2.2 位移变化规律 —【新教材】鲁科版（2019）高中物理必修第一册学案

位移变化规律
学案
学习目标：
1、知道v－t图象中的“面积”与位移的对应关系.
2、经历位移公式的研究过程，理解公式的意义及正负号的意义.
3、会推导速度与位移的关系式，并知道关系式中各物理量的含义.
4、会用位移公式和公式v2－v02＝2ax解决物理问题
基础知识：
一、匀变速直线运动的位移－－时间关系
1．位移在v?t图像中的表示
(1)微元法推导
①把物体的运动分成几个小段，如图甲所示，每段位移≈每段起始时刻速度×每段的时间＝对应矩形面积．所以，整个过程的位移≈各个小矩形的面积之和．
②把运动过程分为更多的小段，如图乙所示，各小矩形的面积之和可以更精确地表示物体在整个过程的位移．
③把整个过程分得非常非常细，如图丙所示，小矩形合在一起成了一个梯形，梯形的面积就代表物体在相应时间间隔内的位移．
　
甲　　　　　　乙　　　
　　　丙
(2)结论：做匀变速直线运动的物体的位移对应着v?t图像中的图线与对应的时间轴所包围的面积．
2．位移与时间的关系
?x＝v0t＋at2.
二、匀变速直线运动的位移－－速度的关系
1．公式：v2－v＝2ax.
2．推导
速度公式v＝v0＋at.
位移公式x＝v0t＋at2.
可得到速度和位移的关系式：v2－v＝2ax.
3．两种特殊形式
(1)当v0＝0时，v2＝2ax.
(2)当v＝0时，－v＝2ax.
重难点理解：
一、匀变速直线运动的位移－－时间关系
1.公式的适用条件：位移公式x＝v0t＋at2只适用于匀变速直线运动.
2.公式的矢量性：x＝v0t＋at2为矢量公式，其中x、v0、a都是矢量，应用时必须选取正方向.一般选v0的方向为正方向.
(1)a：匀加速直线运动中，a与v0同向，a取正值；匀减速直线运动中，a与v0反向，a取负值.
(2)若位移的计算结果为正值，说明位移方向与规定的正方向相同；若位移的计算结果为负值，说明位移方向与规定的正方向相反.
3.两种特殊形式
(1)当v0＝0时，x＝at2，即由静止开始的匀加速直线运动，位移x与t2成正比.
(2)当a＝0时，x＝v0t，即匀速直线运动的位移公式.
典例1国歌从响起到结束的时间是48
s，国旗上升的高度是17.6
m．国歌响起同时国旗开始向上做匀加速运动4
s，然后匀速运动，最后匀减速运动4
s到达旗杆顶端，速度恰好为零，此时国歌结束．求：
(1)国旗匀加速运动的加速度大小；
(2)国旗匀速运动时的速度大小．
思路点拨：①国旗上升的高度是国旗匀加速运动、匀速运动、匀减速运动的位移之和．
②国旗匀速上升的时间为48
s－4
s－4
s＝40
s.
③国旗匀加速运动的末速度为国旗匀速上升的速度．
[解析]　由题意知，国旗匀加速上升时间t1＝4
s，匀减速上升时间t3＝4
s，匀速上升时间t2＝t总－t1－t3＝40
s，对于国旗加速上升阶段：x1＝a1t
对于国旗匀速上升阶段：v＝a1t1，x2＝vt2
对于国旗减速上升阶段：x3＝vt3－a2t
根据运动的对称性，对于全过程：a1＝a2
x1＋x2＋x3＝17.6
m
由以上各式可得：a1＝0.1
m/s2
v＝0.4
m/s.
[答案]　(1)0.1
m/s2　(2)0.4
m/s
二、匀变速直线运动的位移－－速度的关系
1.适用范围：速度与位移的关系v2－v02＝2ax仅适用于匀变速直线运动.
2.公式的矢量性：v2－v02＝2ax是矢量式，v0、v、a、x都是矢量，应用解题时一定要先设定正方向，取v0方向为正方向：
(1)若加速运动，a取正值，减速运动，a取负值.
(2)x＞0，位移的方向与初速度方向相同，x＜0则为减速到0，又返回到计时起点另一侧的位移.
(3)v＞0，速度的方向与初速度方向相同，v＜0则为减速到0，又返回过程的速度.
注意：应用此公式时，注意符号关系，必要时对计算结果进行分析，验证其合理性.
3.公式的特点：不涉及时间，v0、v、a、x中已知三个量可求第四个量.
典例2
一隧道限速108
km/h.一列火车长100
m，以144
km/h的速度行驶，驶至距隧道200
m处开始做匀减速运动，以不高于限速的速度匀速通过隧道．若隧道长500
m．求：
(1)火车做匀减速运动的最小加速度的大小；
(2)火车全部通过隧道的最短时间．
思路点拨：①火车匀减速运动的位移为200
m，而匀速通过隧道的位移为100
m＋500
m＝600
m.
②火车到达隧道口的速度为108
km/h时匀减速运动的加速度为最小．
[解析]　(1)火车减速过程中
v0＝144
km/h＝40
m/s，x＝200
m，
v＝108
km/h＝30
m/s
当车头到达隧道口速度恰为108
km/h时加速度最小，设为a
由v2－v＝2ax
得a＝＝
m/s2＝－1.75
m/s2.
(2)火车以108
km/h的速度通过隧道，所需时间最短，火车通过隧道的位移为
100
m＋500
m＝600
m
由x＝vt得t＝＝
s＝20
s.
[答案]　(1)1.75
m/s2　(2)20
s
三、x－t与v－t图象的理解
1．x－t图象中的五点信息
2．匀变速直线运动的x－t图象
(1)图象形状：由匀变速直线运动的位移公式x＝v0t＋at2知x－t图象是一个二次函数图象，如图所示．
(2)不是轨迹：这个图象反映的是物体位移随时间按二次函数关系(抛物线)变化，而不是运动轨迹．
3．对x－t图象与v－t图象的比较
x－t图象
v－t图象
①表示物体做匀速直线运动(斜率表示速度v)
①表示物体做匀加速直线运动(斜率表示加速度a)
②表示物体静止
②表示物体做匀速直线运动
③表示物体向反方向做匀速直线运动，初位置为x0
③表示物体做匀减速直线运动，初速度为v0
④交点的纵坐标表示三个物体相遇时的位置
④交点的纵坐标表示三个运动物体某时刻有共同速度
⑤t1时间内物体的位移为x1
⑤t1时刻物体的速度为v1(图中阴影部分面积表示物体在0～t1时间内的位移)　
典例3
如图所示的位移－时间图象和速度－时间图象中，给出四条图线1、2、3、4代表四个不同物体的运动情况，关于它们的物理意义，下列描述正确的是(　　)
A．图线1表示物体做曲线运动
B．x－t图象中t1时刻v1>v2
C．v－t图象中0～t3时间内3和4的平均速度大小相等
D．两图象中，t2、t4时刻分别表示2、4开始反向运动
[解析]　图线1是位移－时间图象，表示物体做变速直线运动，所以选项A错误；x－t图线上某点斜率的绝对值的大小表示速度的大小，选项B正确；v－t图象中0～t3时间内3和4位移不同，所以平均速度不相等，选项C错误；t2时刻2开始反向运动，t4时刻4加速度方向变化但运动方向不变，所以选项D错误．[答案]　B
巩固练习：
1．某质点做直线运动的位移随时间变化的关系是x＝4t＋2t
2，x与t的单位分别为m和s，则质点的初速度与加速度分别为(　　)
A．4
m/s与2
m/s2　
B．0与4
m/s2
C．4
m/s与4
m/s2
D．4
m/s与0
2．折线ABCD和曲线OE分别为甲、乙物体沿同一直线运动的位移—时间图像，如图所示，t＝2
s时，两图线相交于C点，下列说法正确的是(　　)
A．两个物体同时、同地、同向出发
B．第3
s内，甲、乙运动方向相反
C．2～4
s内，甲做减速运动，乙做加速运动
D．第2
s末，甲、乙未相遇
3．物体从长为L的光滑斜面顶端由静止开始下滑，滑到底端时的速率为v，如果物体以v0＝的初速度从斜面底端沿斜面上滑，上滑时的加速度与下滑时的加速度大小相同，则可以达到的最大距离为(　　)
A.
B.
C.
D.L
4．物体做匀减速直线运动，初速度为10
m/s，加速度大小为1
m/s2，则物体在停止运动前1
s内的平均速度为(　　)
A．5.5
m/s
B．5
m/s
C．1
m/s
D．0.5
m/s
5．飞机着陆后做匀减速滑行，着陆时的初速度是216
km/h，在最初2
s内滑行114
m．问：
(1)第5
s末的速度大小是多少？
(2)飞机着陆后12
s内滑行多远？
6.沪杭高铁是连接上海和杭州的现代化高速铁路，试运行时的最大时速达到了413.7
km/h.沪杭高速列车在一次运行中由A站开往B站，A、B车站间的铁路为直线．技术人员乘此列车从A车站出发，列车从启动匀加速到360
km/h，用了250
s的时间，再匀速运动了10
min后，列车匀减速运动，经过5
min后刚好停在B车站．
(1)求A、B两站间的距离；
(2)画出该高速列车的v－t图象．
参考答案：
1.C　[对比x＝4t＋2t
2和位移公式x＝v0t＋at
2，可知其初速度v0＝4
m/s,2＝a，则加速度a＝4
m/s2.]
2.B　[两物体同时、同向出发，但不是同地出发，A错误；第3
s内甲图线的斜率为负，向负方向运动，乙图线的斜率为正，向正方向运动，二者运动方向相反，B正确；2～4
s内，甲沿负方向做匀速直线运动，乙沿正方向做加速运动，C错误；第2
s末，甲、乙的位置相同，甲、乙相遇，D错误．]
3.C　[设加速度大小为a，下滑时v2＝2aL，上滑时0－2＝－2aL′，则由以上两式得：L′＝，故C正确．]
4.D解析　对于末速度为0的匀减速直线运动，采用逆向思维法后，速度公式和位移公式变为v＝at、x＝at2，计算更为简洁。物体减速时间t0＝＝＝10
s，该匀减速直线运动的逆运动为：初速度为零、加速度为a′＝1
m/s2的匀加速直线运动，则原运动物体停止运动前1
s内的位移与逆运动第1
s内的位移相等。由此可得x＝a′t2＝×1×12
m＝0.5
m，故物体停止运动前1
s内的平均速度＝＝0.5
m/s，D正确。
5.[解析]　(1)最初2
s内的位移x1＝v0t＋at
2
代入数据解得：a＝－3
m/s2
5
s末的速度v2＝v0＋at＝45
m/s
(2)着陆减速总时间t＝＝20
s
飞机着陆后12
s内的位移
x2＝v0t＋at
2＝504
m.
[答案]　(1)45
m/s　(2)504
m
6.解析：(1)高速列车启动过程，初速度为0，末速度为v＝360
km/h＝100
m/s，时间为t1＝250
s，则加速度为
a1＝
m/s2＝0.4
m/s2
减速运动过程，初速度为100
m/s，末速度为0，时间为t3＝5
min＝300
s，则加速度为
a2＝
m/s2＝－
m/s2
列车的位移为
x＝a1t＋vt2＋a2t＋vt3
代入数据得x＝8.75×104
m.
(2)画出该高速列车的v－t图象如图所示．
答案：(1)8.75×104
m　(2)见解析图