高中数学高二第一学期7.2等差数列_导学案1-沪教版

等差数列
【学习内容】
1．等差数列的判定
(1)an－an－1＝d (n≥2，d为常数)?{an}是公差为d的等差数列；
(2)2an＝an－1＋an＋1 (n≥2)?{an}是等差数列；
(3)an＝kn＋b(k，b为常数)?{an}是公差为k的等差数列(n≥1)；
(4)Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)?{an}是公差为2A的等差数列(n≥1)．
例如：已知等差数列{an}的前n项和Sn＝(n－1)2＋λ，则λ的值是________．
解析　Sn＝(n－1)2＋λ＝n2－2n＋(1＋λ)，
∵{an}是等差数列，∴1＋λ＝0，λ＝－1.
答案　－1
2．等差数列的通项公式
将an＝a1＋(n－1)d可整理为an＝dn＋(a1－d)，它是关于n的一次函数(d≠0)或常函数(d＝0)，它的图象是一条射线上的一群横坐标为正整数的孤立的点，公差d是该射线所在直线的斜率．21教育网
例如：等差数列{an}中，若an＝m，am＝n (m≠n)，则am＋n＝______.
解析　由点(n，an)，(m，am)，(m＋n，am＋n)三点共线，
∴＝.即＝＝－1，
易得am＋n＝0.
答案　0
3．等差数列的前n项和公式
(1)将公式Sn＝na1＋d变形可得Sn＝n2＋n.故当d≠0时，等差数列前n项和公式是关于n的二次函数，它的图象是抛物线y＝x2＋x上横坐标为正整数的一群孤立点．21·cn·jy·com
(2)＝n＋是关于n的一次函数(d≠0)或常函数(d＝0)．
当涉及等差数列前n项和Sn的计算问题时，有时设Sn＝An2＋Bn的形式更简便快捷．
例如：等差数列{an}中，若Sp＝q，Sq＝p (p≠q)，则Sp＋q＝__________.
解析　设Sn＝An2＋Bn，
则
由(1)－(2)得Ap2＋Bp－Aq2－Bq＝q－p，
∴A(p2－q2)＋B(p－q)＝q－p，
∵p≠q，∴A(p＋q)＋B＝－1.
∵Sp＋q＝A(p＋q)2＋B(p＋q)
＝[A(p＋q)＋B]·(p＋q)
＝－(p＋q)．
答案　－(p＋q)
4．等差数列的性质
(1)若数列{an}和{bn}均是等差数列，则{man＋kbn}仍为等差数列，其中m、k均为常数．
(2)若m，n，p，q∈N*，且m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq.
(3)等差数列中依次k项的和成等差数列，即Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…成等差数列，公差为k2d (d是原数列公差)．www.21-cn-jy.com
(4)若{an}与{bn}均为等差数列，且前n项和分别为Sn与S′n，则＝.
(5)等差数列{an}中，奇数项的和记作S奇，偶数项的和记作S偶，则Sn＝S奇＋S偶．
当n为偶数时：S偶－S奇＝d；
当n为奇数时：S奇－S偶＝a中，S奇＝a中，
S偶＝a中，＝.
(其中a中是等差数列的中间一项)
例如：已知等差数列共有10项，其中奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差是________．
解析　S偶－S奇＝d＝5d，∴5d＝30－15＝15，∴d＝3.
答案　3
5．等差数列前n项和的最值
求等差数列前n项和的最值的常用方法：
(1)通项法
当a1>0，d<0时，数列{an}只有前面有限项为非负数，从某项开始所有项均为负数，因此，Sn有最大值，当n满足不等式组时，Sn取到这个最大值；
当a1<0，d>0时，数列{an}只有前面有限项为非正数，从某项开始所有项均为正数，因此，Sn有最小值，当n满足不等式组时，Sn取到这一最小值．
(2)二次函数法
由于Sn＝n2＋n，n∈N*是关于n的二次函数式，故可转化为求二次函数的最值问题，但要注意数列的特殊性n∈N*.21·世纪*教育网
例如：{an}是等差数列，a1>0，a2 009＋a2 010>0，a2 009·a2 010<0，则使前n项和Sn最大时，n的值是________；使前n项和Sn>0成立时，n的最大值是________．
答案　2 009　4 018
【方法突破】
一、等差数列的判断方法
方法链接：判定等差数列的常用方法：
(1)定义法：an＋1－an＝d (常数)(n∈N*)；
(2)通项公式法：an＝kn＋b (k，b为常数) (n∈N*)；
(3)中项公式法：2an＋1＝an＋an＋2 (n∈N*)；
(4)前n项和法：Sn＝An2＋Bn (A、B为常数)，n∈N*.
例1　数列{an}的前n项和Sn满足：Sn＝，判断{an}是否为等差数列？并证明你的结论．
解　{an}是等差数列，证明如下：
因为an＝Sn－Sn－1＝－ (n≥2)，
所以an＋1＝－，
所以an＋1－an＝[(n＋1)(a1＋an＋1)－2n(a1＋an)＋(n－1)(a1＋an－1)]
＝[(n＋1)an＋1－2nan＋(n－1)an－1] (n≥2)，
即(n－1)(an＋1－2an＋an－1)＝0，
所以an＋1＋an－1＝2an (n≥2)，
所以数列{an}为等差数列．
二、等差数列中基本量的运算
方法链接：在等差数列中，五个重要的量，只要已知三个量，就可求出其他两个量，其中a1和d是两个基本量，利用通项公式与前n项和公式，求出a1和d，等差数列就确定了．
例2　在等差数列{an}中，
(1)已知a6＝10，S5＝5，求a8和S8；
(2)已知前3项和为12，前3项积为48，且d>0，求a1；
(3)已知前3项依次为a,4,3a，前k项和Sk＝2 550，求a及k.
解　(1)∵a6＝10，S5＝5，
∴.
解方程组得a1＝－5，d＝3，
∴a8＝a6＋2d＝10＋2×3＝16，
S8＝8×＝44.
(2)设数列的前三项分别为a－d，a，a＋d，依题意有：
，
∴，
∴.
∵d>0，∴d＝2，a－d＝2.∴a1＝2.
(3)设公差为d，则由题意得
∴
因此，a＝2，k＝50.
三、等差数列的性质及运用
方法链接：等差数列有一些重要的性质，例如：
(1)若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq；
(2)若m＋n＝2p，则am＋an＝2ap；
(3)若{an}是等差数列，则Sk，S2k－Sk，S3k－S2k也成等差数列．(其Sk为前k项和)
(4)若等差数列{an}的前n项和为Sn，等差数列{bn}的前n项和为Tn，则＝.
熟练运用这些性质，可以提高解题速度，获得事半功倍的功效．
例3　(1)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S9＝72，求a2＋a4＋a9的值；
(2)已知等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，
求证：①＝；②＝·.
(1)解　由S9＝＝72，∴a1＋a9＝16，
∴a1＋a9＝2a5＝16，∴a5＝8，
∴a2＋a4＋a9＝a1＋a5＋a9＝3a5＝24.
(2)证明　①＝＝
＝＝.
②＝＝
＝＝·.
四、等差数列前n项和的最值
方法链接：等差数列前n项和最值问题除了用二次函数求解外，还可用下面的方法讨论：
若d>0，a1<0，Sn有最小值，需
若a1>0，d<0，Sn有最大值，需n取正整数．
例4　(1)首项为正数的等差数列，前n项和为Sn，且S3＝S11，问n为何值时，Sn最大？
(2)等差数列{an}中，a1＝－60，a17＝－12，求{|an|}的前30项和及前n项和．
解　(1)设首项为a1，公差为d，则由题意知，d<0，点P(n，Sn)在抛物线y＝x2＋x上，其对称轴方程为x＝7(由S11＝S3知)，故(7，S7)是抛物线的顶点，∴n＝7时，Sn最大．
(2)设公差为d，则由a1＋16d＝a17，得d＝3>0，
因此an＝3n－63.点Q(n，an)在增函数y＝3x－63的图象上．令y＝0则得x＝21，故当n≥22时，an>0；【来源：21·世纪·教育·网】
当1≤n≤21且n∈N*时，an≤0，
于是|a1|＋|a2|＋…＋|a30|
＝－a1－a2－…－a21＋a22＋a23＋…＋a30
＝a1＋a2＋…＋a30－2(a1＋a2＋…＋a21)
＝765.
记Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|，
则由上面的求解过程知：
当1≤n≤21，n∈N*时，
Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|
＝－a1－a2－…－an
＝＝－n2＋n.
当n>21，n∈N*时，
Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|a20|＋|a21|＋…＋|an|
＝－(a1＋a2＋…＋a21)＋a22＋a23＋…＋an
＝(a1＋a2＋…＋an)－2(a1＋a2＋…＋a21)
＝n2－n＋1 260.
∴数列{|an|}的前n项和
Tn＝
五、关于等差数列的探索性问题
方法链接：对于与等差数列有关的探索性问题，先由前三项成等差数列确定参数后，再利用定义验证或证明所得结论．2·1·c·n·j·y
例5　已知数列{an}中，a1＝5且an＝2an－1＋2n－1 (n≥2且n∈N*)．
(1)求a2，a3的值；
(2)是否存在实数λ，使得数列为等差数列？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．
解　(1)∵a1＝5，∴a2＝2a1＋22－1＝13，
a3＝2a2＋23－1＝33.
(2)假设存在实数λ，使得数列为等差数列．
则，，成等差数列，
∴2×＝＋，
∴＝＋.
解得λ＝－1.
当λ＝－1时，－
＝[(an＋1－1)－2(an－1)]
＝(an＋1－2an＋1)
＝[(2an＋2n＋1－1)－2an＋1]
＝×2n＋1＝1.
综上可知，存在实数λ＝－1，
使得数列为等差数列，且首项是2，公差是1.
六、关于等差数列的创新型问题
方法链接：关于等差数列的创新型试题，常以图表、数阵、新定义等形式出现．解决此类问题时通过对图表的观察、分析、提炼，挖掘出题目蕴含的有用信息，利用所学等差数列的有关知识加以解决．21教育名师原创作品
例6　下表给出一个“等差数阵”：
4 7 (　　) (　　) (　　) … a1j …
7 12 (　　) (　　) (　　) … a2j …
(　　) (　　) (　　) (　　) (　　) … a3j …
(　　) (　　) (　　) (　　) (　　) … a4j …
… … … … … … … …
ai1 ai2 ai3 ai4 ai5 … aij …
… … … … … … … …
其中每行、每列都是等差数列，aij表示位于第i行第j列的数．
(1)写出a45的值；
(2)写出aij的计算公式．
解　(1)通过观察“等差数阵”发现：第一行的首项为4，公差为3；第二行首项为7，公差为5.归纳总结出：第一列(每行的首项)是以4为首项，3为公差的等差数列，即3i＋1，各行的公差是以3为首项，2为公差的等差数列，即2i＋1.所以a45在第4行，首项应为13，公差为9，进而得出a45＝49.2-1-c-n-j-y
(2)该“等差数阵”的第一行是首项为4，公差为3的等差数列：a1j＝4＋3(j－1)；
第二行是首项为7，公差为5的等差数列：
a2j＝7＋5(j－1)；
……
第i行是首项为4＋3(i－1)，公差为2i＋1的等差数列，
因此，aij＝4＋3(i－1)＋(2i＋1)(j－1)＝2ij＋i＋j＝i(2j＋1)＋j.
【误区突破】
1．审题不细心，忽略细节而致错
例1　首项为－24的等差数列，从第10项起开始为正数，求公差d的取值范围．
[错解]　a10＝a1＋9d＝－24＋9d>0，∴d>.
[点拨]　忽略了“开始”一词的含义，题目强调了第10项是该等差数列中的第一个正项，应有a9≤0.
[正解]　设an＝－24＋(n－1)d，
由，
解不等式得：2．忽略公式的基本特征而致错
例2　已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，且对一切正整数n都有＝，试求的值．　　21*cnjy*com
[错解]　设Sn＝(5n＋3)k，Tn＝(2n＋7)k，k≠0，
则a9＝S9－S8＝(5×9＋3)k－(5×8＋3)k＝5k，
b9＝T9－T8＝(2×9＋7)k－(2×8＋7)k＝2k，
所以＝.
[点拨]　此解答错在根据条件＝，设Sn＝(5n＋3)k，Tn＝(2n＋7)k，这是把等差数列前n项和误认为是关于n的一次函数，没有准确把握前n项和公式的特点．
[正解]　因为{an}和{bn}是公差不为0的等差数列，
故设Sn＝n(5n＋3)k，Tn＝n(2n＋7)k，k≠0，则
a9＝S9－S8＝9×(5×9＋3)k－8×(5×8＋3)k
＝88k，
b9＝T9－T8＝9×(2×9＋7)k－8×(2×8＋7)k
＝41k，所以＝.
温馨点评　等差数列的前n项和Sn＝n2＋n，当d≠0时，是关于n的二次函数式，且常数项为零，当d＝0时，Sn＝na1，但是本题不属于这种情况(否则＝＝与＝矛盾)．【出处：21教育名师】
3．对数列的特点考虑不周全而致错
例3　在等差数列{an}中，已知a1＝20，前n项和为Sn，且S10＝S15，求当n取何值时，Sn有最大值，并求出它的最大值．【版权所有：21教育】
[错解]　设公差为d，∵S10＝S15，
∴10×20＋d＝15×20＋d，
得120d＝－200，即d＝－，
∴an＝20－(n－1)·，
当an>0时，20－(n－1)·>0，
∴n<13.∴n＝12时，Sn最大，
S12＝12×20＋×＝130.
∴当n＝12时，Sn有最大值S12＝130.
[点拨]　解中仅解不等式an>0是不正确的，事实上应解an≥0，an＋1≤0.
[正解]　由a1＝20，S10＝S15，解得公差d＝－.
∵S10＝S15，∴S15－S10＝a11＋a12＋a13＋a14＋a15＝0，
∵a11＋a15＝a12＋a14＝2a13＝0，∴a13＝0.
∵公差d<0，a1>0，
∴a1，a2，…，a11，a12均为正数，
而a14及以后各项均为负数．
∴当n＝12或13时，Sn有最大值为S12＝S13＝130.
4．忽略题目中的隐含条件而致错
例4　一个凸n边形的各内角度数成等差数列，其最小角为120°，公差为5°，求凸n边形的边数．
[错解]　一方面凸n边形的内角和为Sn，
Sn＝120°n＋×5°.
另一方面，凸n边形内角和为(n－2)×180°.
所以120n＋×5＝(n－2)×180.
化简整理得：n2－25n＋144＝0.
所以n＝9或n＝16.
即凸n边形的边数为9或16.
[点拨]　凸n边形的每个内角都小于180°.当n＝16时，最大内角为120°＋15°×5°＝195°>180°应该舍掉．21世纪教育网版权所有
[正解]　凸n边形内角和为(n－2)×180°，
所以120n＋×5＝(n－2)×180
解得：n＝9或n＝16.
当n＝9时，最大内角为120°＋8°×5°＝160°<180°；
当n＝16时，最大内角为120°＋15×5°＝195°>180°舍去．
所以凸n边形的边数为9.
【一题多解】
例　一个等差数列的前10项之和为100，前100项之和为10，求前110项之和．
分析　本题可从基本方法入手，先求a1，d，再求前110项之和，为了简化计算，也可利用等差数列前n项和的性质．www-2-1-cnjy-com
解　方法一　设等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，
则Sn＝na1＋d.
由已知得
①×10－②整理得d＝－，
代入①，得a1＝，
∴S110＝110a1＋d
＝110×＋×
＝110＝－110.
故此数列的前110项之和为－110.
方法二　设Sn＝an2＋bn.
∵S10＝100，S100＝10，
∴，解得
∴Sn＝－n2＋n.
∴S110＝－×1102＋×110＝－110.
方法三　设等差数列的首项为a1，公差为d，
则
①－②得(p－q)a1＋d
＝－(p－q)．
又p≠q，
∴a1＋d＝－1，
∴Sp＋q＝(p＋q)a1＋d
＝(p＋q)(－1)，
∴S110＝－110.
方法四　数列S10，S20－S10，S30－S20，…，S100－S90，S110－S100 成等差数列，设其公差为D.前10项的和10S10＋·D＝S100＝10，解得D＝－22，【来源：21cnj*y.co*m】
∴S110－S100＝S10＋(11－1)D
＝100＋10×(－22)＝－120.
∴S110＝－120＋S100＝－110.
方法五　∵S100－S10＝a11＋a12＋…＋a100
＝＝.
又S100－S10＝10－100＝－90，
∴a1＋a110＝－2.∴S110＝＝－110.
【考题赏析】
1．已知等差数列{an}中，a3a7＝－16，a4＋a6＝0，求{an}的前n项和Sn.
解　设{an}的公差为d，则
即
解得或
因此Sn＝－8n＋n(n－1)＝n(n－9)，
或Sn＝8n－n(n－1)＝－n(n－9)．
2．设{an}是公差不为零的等差数列，Sn为其前n项和，满足a＋a＝a＋a，S7＝7.
(1)求数列{an}的通项公式及前n项和Sn；
(2)试求所有的正整数m，使得为数列{an}中的项．
解　(1)由题意，设等差数列{an}的通项公式为
an＝a1＋(n－1)d，d≠0.
由a＋a＝a＋a得a－a＝a－a，
由性质得－3d(a4＋a3)＝d(a4＋a3)，因为d≠0
所以a4＋a3＝0，即2a1＋5d＝0.①
又因为S7＝7，所以a1＋3d＝1.②
由①②可得a1＝－5，d＝2.
所以数列{an}的通项公式an＝2n－7，
Sn＝na1＋d＝n2－6n.
(2)因为＝
＝am＋2－6＋为数列{an}中的项，
故为整数．
又由(1)知am＋2为奇数，
所以am＋2＝2m－3＝±1，即m＝1,2.
经检验，符合题意的正整数只有m＝2.
赏析　试题考查了等差数列的有关知识，起点较低，落点较高，难度控制得恰到好处．第(2)问要求考生有一定的分析问题解决问题的能力．21cnjy.com