高中数学高二第一学期7.6归纳—猜想—论证_导学案1-沪教版

归纳—猜想—论证
【学习目标】
1．了解数学推理的常用方法：归纳法与演绎法，进一步理解数学归纳法的适用情况和证明步骤；
2．通过几个与自然数有关问题的解决，体验归纳－猜想－论证的思维过程，初步形成在观察的基础上进行归纳猜想和发现的能力；
3．通过实验、观察、尝试，培养科学的探究精神。
【学习重难点】
“归纳-猜想-论证”思维方法的渗透和学习。
【学习过程】
一、复习引入
归纳法和数学归纳法相关的问题。
（1）数学归纳法是一种证明方法，它适用于证明那些与_______________有关的数学命题。
（2）用数学归纳法证明问题的一般步骤是什么？
1）证明当取第一个值时，命题成立；
2）假设当时命题成立，证明当时命题也成立。
（3）这两个步骤的作用是什么？
第一步是递推的_______；第二步是递推的_______。递推是数学归纳法的核心。
（4）用数学归纳法证题时应注意什么？
两个步骤缺一不可。证第二步时，必须用归纳假设。即在_______成立的前提下推出_______成立。只有这样，才能保证递推关系的存在，才真正是用数学归纳法证题。
（5）我们已经学习了用数学归纳法来证明一些等式，但是这些等式又是如何得到的呢？
二、学习新课
例1．依次计算数列1，1+2+1，1+2+3+2+1，1+2+3+4+3+2+1，……的前四项的值，由此猜测：的有限项表达式，并用数学归纳法加以证明。
例2．已知数列，，，……，，……，设为该数列前n项和，计算的值。根据计算结果猜测关于n的表达式，并用数学归纳法证明。
练习：
1．已知数列中，，。
（1）求：、、；
（2）猜想表达式并用数学归纳法证明。
2．提高题：
已知数列的通项公式为，如何求该数列前项和？
解：
三、课堂小结
（1）归纳、猜想、论证是一个完整的思维过程，既需要探究和发现结论，又需要证明所得结论的正确性。它引导我们在数学的领域中积极探索，大胆猜想，可以充分地发挥我们的数学想象力。同时又要求我们注意对所得的一般结论作严格的数学证明。
（2）归纳法是一种推理方法，数学归纳法是一种证明方法。前者帮我们提出猜想，后者帮我们证明猜想。在归纳、猜想、证明的过程中，猜想是关键，证明是保证。
四、习题
1．数学归纳法证明：，在验证成立时，右边所得项为_______________。
2．观察下列等式：。
得一般结论：________________________________________________________。
3．数列中，，，，，…，猜想的一个通项：_____。
4．观察下列等式：，通过观察，用你所发现的规律确定的个位数字是_________。
5．设数列满足：，。
（1）求，并由此猜想出 的一个通项公式；
（2）用数学归纳法证明你的结论。