平面及其基本性质
【学习目标】
1.理解公理三的三个推论。
2.进一步掌握“点线共面”的证明方法。
3.将三条定理及三个推论用符号语言表述,提高几何语言水平。
4.通过公理3导出其三个推论的思考与论证培养逻辑推理能力。
【学习重难点】
1.用反证法和同一法证明命题的思路。
2.对公理3的三个推论的存在性与唯一性的证明及书写格式。
【学习过程】
一、复习预习
1.平面的概念:_________________________________________________。
2.平面的画法及其表示方法:
①常用平行四边形表示平面通常把平行四边形的锐角画成,横边画成邻边的两倍画两个平面相交时,当一个平面的一部分被另一个平面遮住时,应把被遮住的部分画成虚线或不画。
②一般用一个希腊字母、、……来表示,还可用平行四边形的对角顶点的字母来表示如平面AC等。
3.空间图形是由点、线、面组成的。
点、线、面的基本位置关系如下表所示:
图形 符号语言 文字语言(读法)
点______直线上。
点______直线上。
点______平面内。
点______平面内。
直线、交于点。
直线在平面内。
直线与平面无公共点。
直线与平面交于点。
平面、相交于直线。
(平面外的直线)表示或。
4.平面的基本性质。
公理1:如果一条直线的两点在一个平面内,那么这条直线上的______都在这个平面内。
推理模式:。如图示:
应用:是判定直线是否在平面内的依据,也可用于验证一个面是否是______。
公理1说明了平面与曲面的本质区别。通过直线的“直”来刻划平面的“平”,通过直线的“____________”来描述平面的“____________”,它既是判断____________,又是检验____________的方法。
公理2:如果两个平面有一个公共点,那么它们还有其他公共点,且所有这些公共点的集合是一条____________的直线。
推理模式:且且唯一如图示:
应用:
①确定两相交平面的交线位置;
②判定点在直线上。
公理2:
揭示了两个平面相交的____________,是判定两平面______的依据,提供了确定两个平面______的方法。
公理3:经过不在同一条直线上的三点,____________一个平面。
推理模式:不共线存在唯一的平面,使得。
应用:
①确定平面;
②证明两个平面重合。
“有且只有一个”的含义分两部分理解,“有”说明图形存在,但不唯一,“只有一个”说明图形如果有顶多只有一个,但不保证符合条件的图形存在,“有且只有一个”既保证了图形的____________性,又保证了图形的____________性。在数学语言的叙述中,“确定一个”,“可以作且只能作一个”与“有且只有一个”是同义词,因此,在证明有关这类语句的命题时,要从“存在性”和“唯一性”两方面来论证。
5.平面图形与空间图形的概念:如果一个图形的____________都在同一个平面内,则称这个图形为____________图形,否则称为____________图形。
二、知识讲解
易错点1:
推论1:经过一条直线和直线外的一点有且只有一个平面。
已知:直线,点是直线外一点。
求证:过点和直线有且只有一个平面。
推论2:经过两条相交直线有且只有一个平面。
已知:直线。
求证:过直线和直线有且只有一个平面。
推论3:经过两条平行直线有且只有一个平面。
已知:直线。
求证:过直线和直线有且只有一个平面。