人教版八年级上册 数学 11.3.2多边形的内角和课件（28张PPT）

多边形的内角和
1、n边形的一个顶点可以引＿＿＿＿＿对角线。
将n边形分成了________个三角形
2、n边形的对角线一共有＿＿＿＿__ 条。
（n-3）
（n-2）
温故知新
问题2：你知道长方形和正方形的内角和是多少？
其它四边形的内角和是多少？

问题1：你还记得三角形内角和是多少度？
（三角形内角和 180°）
（都是360°）
想一想

试一试
你会利用三角形的内角和计算四边形ABCD的内角和吗？请你与同学们交流你的证明思路.
D
C
B
A
连接对角线把四边形转化为三角形。
A
B
C
D
四边形ABCD的内角和
＝△ABC的内角和﹢△ACD的内角和
=180°+180°=360°
已知：四边形ABCD，试说明：∠A+ ∠B+ ∠C+ ∠D=360 °
分析:
观察上图：可以看出四边形从一个顶点出发，
可以做_____对角线，它们将四边形分成_____ 个三角形，所以四边形的内角和为_____ 。
1
思考:
2
360°
A
B
C
D
E
F
同理：从五边形从一个顶点出发，可以做_____对角线，它们将四边形分成_____个三角形，所以四边形的内角和为 。
2
3
同理：从六边形从一个顶点出发，可以做_____对角线，它们将四边形分成_____ 个三角形，所以四边形的内角和为_____ 。
3
4
180°*3= 540°
180°*4= 720°
多边形
边数
一个顶点出发的对角线条数
图形
分成三角形的个数
计算规律
三角形
四边形
五边形
六边形
七边形
n边形
…
…
…
…
…
…
3
4
5
6
7
n
0
n-3
1
2
3
4
1
2
3
4
5
n-2
(n－2) ·180°
5 ×180°
4 ×180°
3 ×180°
2 ×180°
1 ×180°
总结：n边形内角和公式
B
A
C
D
G
F
E
n边形内角和=(n－2) ·180°
探究四边形内角和还有哪些方法？
D
C
B
A
D
C
B
A
O
D
C
B
A
O
D
C
B
A
O
●
●
●
4×180°-360° =360°
3×180°-180°
=360°
4×180°-360°
=360°
3×180°-180°
=360°
共同点：找一个点，将四边形转化为三角形。
D
C
B
A
o
n边形内角和公式的应用
B
A
C
D
G
F
E
n边形内角和=(n－2) ·180°
1.求下列图形中x的值：
∟
(1)
∟
(2)
(3)
C
A
B
D
E
(4)
AB∥CD
做一做

（1）十二边形的内角和是多少？
解：（12-2）×180°
=10 ×180°
=1800 °
答：十二边形的内角和为1800 °
练一练
(2)一个多边形的内角和为2700°，求它的边数。
解 ：设这是一个n边形，根据题意得：
（n-2）·180 °=2700 °
解得： n=17
答：它的边数为17.
例1:已知四边形ABCD，∠A+∠C=180°，求∠B+∠D=？
A
B
C
D
点评：四边形的一组对角互补，另一组对角也互补。
解:四边形的内角和为:
(4-2) ×180 =360 °
∴ ∠B+∠D= 360 °- (A+∠C)=180°
∠A+∠C=180°
例1 如图，在五边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做五边形的外角和．五边形的外角和等于多少？
1.任意一个外角和他相邻的内角有什么关系？
2.五个外角加上他们分别相邻的五个内角和是多少？
3.这五个平角和与五边形的内角和、外角和有什么关系？
6
E
B
C
D
1
2
3
4
5
A
例2 如图，在五边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做五边形的外角和．五边形的外角和等于多少？
5边形外角和
结论：五边形的外角和等于360°
-(5-2) × 180°
=360 °
6
E
B
C
D
1
2
3
4
5
A
=5个平角
-5边形内角和
=5×180°
探究在n边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做n边形的外角和．
n边形外角和=
结论：
n边形的外角和等于360°
-(n-2) × 180°
=360 °
A
1
E
B
C
D
2
3
4
5
F
n
n个平角-n边形内角和
=n×180 °
从多边形的一个顶点A点出发，沿多边形的各边走过各点之后回到点A.最后再转回出发时的方向。在行程中所转的各个角的和是多少？
多边形的外角和
回想正多边形的性质，你知道正多边形的每个内角是多少度吗？每个外角呢？
每个内角的度数是
每个外角的度数是
练一练
练习1：正五边形的每一个外角等于____，每一个内角等于_____。
5X=360°
X=72°
72°
108°
解：设正五边形的每一个外角度数为x，由
多边形的外角和等于360度可得：
所以每一个内角度数为108 °
练习2： 已知一个多边形，它的内角和等于外角和的2倍，求这个多边形的边数。

解： 设多边形的边数为n
∵它的内角和等于 (n-2)?180°，
多边形外角和等于360?，
∴ (n-2)?180°=2× 360?。
解得: n=6
∴这个多边形的边数为6。
3.填空题
（1）一个多边形的内角和为4320°，则它的边数为______
（2）五边形的内角和为_____，它的对角线共有_____条
（3）一个多边形的每一个外角都等于30°，则这个多边形为____边形
（4）一个多边形的每一个内角都等于135°，则这个多边形为_____边形
（5）如果一个多边形的边数增加一条，那么这个多边形的内角和增加________,外角和增加_______.
（6）一个多边形从一个顶点可引对角线3条，这个多边形内角和等于_______.
5
540°
八
26
十二
180°
0
720°
例2. 一个多边形当边数增加1时，它的内角和增加多少度？


解： 设多边形的边数为n，
∵它的内角和等于 (n-2)?180°，
当边数增加1时，内角和为(n+1-2)?180°，
? (n+1-2)?180°- (n-2)?180°
=n?180°-180°-n?180°+360°
= 180°
?内角和增加180°
外角和呢？
边数增加2或3呢？
例3. 五边形中,前四个角的比是1:2:3:4,第五个角比最小角多100 °,则这个五边形的内角分别为_____
解;设五边形中前四个角的度数分别是x,2x,3x,4x,则第五个角度数是x+ 100 °.
X+2x+3x+4x+x+ 100 °= （5－2）×180°
11X +100 °= 540°
11X = 440°
X = 40°
则这个五边形的内角分别为40, 80°, 120°, 160°, 140°.
练一练: 已知在四边形ABCD中, ∠A= 90° ∠C= 90°,BE平分∠ABC,交CD于点E,DF平分∠ADC,交AB于点F.求证:BE∥DF.
A
B
C
D
E
F
拓展：
1、在多边形的所有外角中最多有几个钝角？在多边形的所有内角中最多有几个锐角？
2、小军在进行多边形内角和计算时，求得的内角和为1125 ° ，当发现错了之后，重新检查，发现是少加了一个内角，求:
（1）这个多边形是几边形？
（2）这个内角是多少度？
3、把一个四边形削去一个角，剩下一个几边形？它的内角和是多少？
小结
通过本节课你有哪些收获
谢 谢