2019-2020学年上海市金山区华东师大三附中高一下学期期末数学试卷 （Word解析版）

2019-2020学年上海市金山区华东师大三附中高一第二学期期末数学试卷
一、填空题（共12小题）.
1．已知P（4，﹣3）是角α终边上一点，则sinα＝　 　．
2．函数y＝arccos（x+2）的定义域是　 　．
3．设tanθ＝2，则＝　 　．
4．已知扇形的圆心角为，面积为，则扇形的半径是　 　．
5．设无穷等比数列{an}的各项和为，则首项a1的取值范围是　 　．
6．函数y＝cos（2x+）的单调递减区间是　 　．
7．已知tanx＝2，则的值为　 　．
8．已知数列{an}的通项公式是an＝2n﹣46，那么Sn达到最小值时n为　 　
9．等差数列{an}与{bn}的前n项和分别为Sn，和Tn，且＝，则＝　 　．
10．△ABC中，sin2A≤sin2B+sin2C﹣sinBsinC，则A的取值范围为　 　．
11．分形几何学是美籍法国数学家伯努瓦．B．曼德尔布罗特在20世纪70年代创立的一门新学科，它的创立，为解决传统科学众多领域的难题提供了全新的思路，如图是按照一定的分形规律生长成一个数形图，则第13行的实心圆点的个数是　 　．
12．等比数列{an}的公比为q，前n项积为Tn，且满足a1＞1，a2015?a2016＞1，（a2015﹣1）（a2016﹣1）＜0，给出以下四个命题：①q＞1；②a2015?a2017＜1；③T2015为Tn的最大值；④使Tn＞1成立的最大的正整数4031，则其中正确的命题序号为　 　．
二、选择题（共4小题）.
13．方程sinx+cosx＝0的解集是（　　）
A．{x|x＝kπ，k∈Z} B．{x|x＝2kπ﹣，k∈Z}
C．{x|x＝kπ﹣，k∈Z} D．{x|x＝kπ+，k∈Z}
14．“ac＝b2”是“a、b、c成等比数列”的（　　）条件．
A．充分不必要 B．必要不充分
C．充要 D．既不充分也不必要
15．若函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|≤π）局部图象如图所示，则函数y＝f（x）的解析式为（　　）
A． B．
C． D．
16．下列四个命题中正确的是（　　）
A．若an2＝A2，则an＝A
B．若an＞0，an＝A，则A＞0
C．若an＝A，则an2＝A2
D．若（an﹣bn）＝0，则an＝bn
三、解答题（本大题满分52分）本大题共有5题（8+8+10+12+14），解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．
17．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，且满足a＜b＜c，b＝2asinB．
（1）求A的大小；
（2）若a＝2，b＝2，求△ABC的面积．
18．已知数列{an}中，a1＝3，an+1＝2an﹣1，设bn＝an﹣1．
（1）求证：数列{bn}是等比数列；
（2）设数列{an}的前n项和为Sn，求满足Sn＞2019的n的最小值．
19．已知关于x的方程sin2x+cosx+m＝0，x∈[0，2π）．
（1）当m＝1时，解此方程
（2）试确定m的取值范围，使此方程有解．
20．如图，一个半圆和长方形组成的铁皮，长方形的边AD为半圆的直径，O为半圆的圆心，AB＝1，BC＝2，现要将此铁皮剪出一个等腰三角形PMN，其底边MN⊥BC，点P在边AB上，设∠MOD＝θ；
（1）若θ＝30°，求三角形铁皮PMN的面积；
（2）求剪下的三角形铁皮PMN面积的最大值．
21．已知数列{an}的前n项和Sn＝﹣n2+9n+2（n∈N*）．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设Rn＝|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|，求Rn；
（3）设bn＝（n∈N*），Tn＝b1+b2+b3+…+bn，是否存在最小的自然数n0，使得不等式Tn对一切正整数n总成立？如果存在，求出n0；如果不存在，说明理由．
参考答案
一、填空题（共12小题）.
1．已知P（4，﹣3）是角α终边上一点，则sinα＝　﹣　．
【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义，求得sinα的值．
解：∵P（4，﹣3）是角α终边上一点，则x＝4，y＝﹣3，r＝|OP|＝＝5，
∴sinα＝＝＝﹣，
故答案为：﹣．
2．函数y＝arccos（x+2）的定义域是　[﹣3，﹣1]　．
【分析】根据反余弦函数的定义域，列不等式求得x的取值范围即可．
解：根据反余弦函数的定义域知，
令﹣1≤x+2≤1，
∴函数y＝arccos（x+8）的定义域是[﹣3，﹣1]．
故答案为：[﹣3，﹣1]．
3．设tanθ＝2，则＝　﹣3　．
【分析】直接利用两角和的正切公式求出的值．
解：＝＝＝﹣3，
故答案为：﹣3．
4．已知扇形的圆心角为，面积为，则扇形的半径是　2　．
【分析】设扇形的半径是R，由扇形面积公式得：＝，由此能求出扇形的半径．
解：设扇形的半径是R，
∵扇形的圆心角为，面积为，
解得R＝2，
故答案为：2．
5．设无穷等比数列{an}的各项和为，则首项a1的取值范围是　　．
【分析】由已知可得，得0＜|q|＜1，＝，把首项用公比表示，再由公比q的范围求得首项a1的取值范围．
解：∵无穷等比数列{an}的各项和为，即，
∴0＜|q|＜1，＝，
当﹣1＜q＜0时，∈（）；
则首项a1的取值范围是．
故答案为：．
6．函数y＝cos（2x+）的单调递减区间是　　．
【分析】根据余弦函数的单调性的性质即可得到结论．
解：由2kπ≤2x+≤2kπ+π，
即kπ﹣≤x≤kπ，k∈Z
故答案为：．
7．已知tanx＝2，则的值为　　．
【分析】利用同角三角函数基本关系式化弦为切求解．
解：∵tanx＝2，
∴＝
故答案为：．
8．已知数列{an}的通项公式是an＝2n﹣46，那么Sn达到最小值时n为　22或23　
【分析】利用数列的单调性求得满足题意的n即可．
解：∵an＝2n﹣46，∴数列{an}是递增数列．
令an＝0，解得：n＝23，
故答案为：22或23．
9．等差数列{an}与{bn}的前n项和分别为Sn，和Tn，且＝，则＝　　．
【分析】由等差数列的性质和求和公式可得＝，代值计算可得．
解：由等差数列的性质和求和公式可得＝＝＝＝＝，
故答案为：
10．△ABC中，sin2A≤sin2B+sin2C﹣sinBsinC，则A的取值范围为　（0，60°]　．
【分析】利用正弦定理化简已知的不等式，再利用余弦定理表示出cosA，将得出的不等式变形后代入表示出的cosA中，得出cosA的范围，由A为三角形的内角，根据余弦函数的图象与性质即可求出A的取值范围．
解：利用正弦定理化简sin2A≤sin2B+sin2C﹣sinBsinC得：a2≤b4+c2﹣bc，
变形得：b2+c2﹣a2≥bc，
又A为三角形的内角，
故答案为：（0，60°]
11．分形几何学是美籍法国数学家伯努瓦．B．曼德尔布罗特在20世纪70年代创立的一门新学科，它的创立，为解决传统科学众多领域的难题提供了全新的思路，如图是按照一定的分形规律生长成一个数形图，则第13行的实心圆点的个数是　144　．
【分析】本题是一个探究型的题，可以看到第四行起每一行实心圆点的个数都是前两行实心圆点个数的和，由此可以得到一个递推关系，利用此递推关系求解即可得答案．
解：由题意及图形知不妨构造这样一个数列{an}表示实心圆点的个数变化规律，
令a1＝1，a2＝1，n≥3时，an＝an﹣1+an﹣2，本数列中的n对应着图形中的第n+1行中实心圆点的个数．
故各行中实心圆点的个数依次为1，6，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144；
故答案为：144
12．等比数列{an}的公比为q，前n项积为Tn，且满足a1＞1，a2015?a2016＞1，（a2015﹣1）（a2016﹣1）＜0，给出以下四个命题：①q＞1；②a2015?a2017＜1；③T2015为Tn的最大值；④使Tn＞1成立的最大的正整数4031，则其中正确的命题序号为　②③　．
【分析】利用等比数列的性质可知a2015＞1，a2016＜1，得出q＜1，进而判断②③④即可．
解：①等比数列{an}的公比为q，且满足a1＞1，a2015?a2016＞1，（a2015﹣1）（a2016﹣1）＜5，
∴a2015＞1，a2016＜1，
②a2015?a2017＝a2016×a2016＜1，故正确；
③a2015＞1，a2016＜1，a2＞1，q＜1，
∴前n项积为Tn的最大值为T2015故正确；
④T4030＝a1?a2…a4030＝（a8?a4030）（a2?a4029）…（a2015?a2016）＝（a2014?a2015）2015＞1，
T4031＝a5?a2…a4031＝（a1?a4031）（a2?a4030）…（a2015?a2017）a2016＜1，
故答案为：②③．
二、选择题：（本大题满分12分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写选项，选对得3分，否则一律得零分．
13．方程sinx+cosx＝0的解集是（　　）
A．{x|x＝kπ，k∈Z} B．{x|x＝2kπ﹣，k∈Z}
C．{x|x＝kπ﹣，k∈Z} D．{x|x＝kπ+，k∈Z}
【分析】由两角和的正弦函数公式可得2sin（x+）＝0，利用正弦函数的性质即可求解．
解：∵由题意可得：sinx+cosx＝2sin（x+）＝0，
∴x+＝kπ，k∈Z，解得x＝kπ﹣，k∈Z，可得方程sinx+cosx＝0的解集是{x|x＝kπ﹣，k∈Z}．
故选：C．
14．“ac＝b2”是“a、b、c成等比数列”的（　　）条件．
A．充分不必要 B．必要不充分
C．充要 D．既不充分也不必要
【分析】由a、b、c成等比数列，根据等比数列的性质可得b2＝ac；对于充分性，可以举一个反例，满足b2＝ac，但a、b、c不成等比数列，从而得到正确的选项．
解：若a、b、c成等比数列，
根据等比数列的性质可得：b2＝ac；
则“b2＝ac”是“a、b、c成等比数列”的必要非充分条件
故选：B．
15．若函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|≤π）局部图象如图所示，则函数y＝f（x）的解析式为（　　）
A． B．
C． D．
【分析】由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象可求得A，T，从而可得ω，再由f（）＝，结合φ的范围可求得φ，从而可得答案．
解：∵T＝﹣＝，
∴ω＝＝2；
f（）＝sin（2×+φ）＝，
∴φ＝kπ﹣，（k∈Z），
∴当k＝0时，可得：φ＝﹣，此时，可得：f（x）＝sin（2x﹣）．
故选：D．
16．下列四个命题中正确的是（　　）
A．若an2＝A2，则an＝A
B．若an＞0，an＝A，则A＞0
C．若an＝A，则an2＝A2
D．若（an﹣bn）＝0，则an＝bn
【分析】此题可采用排除法法，可取an＝（﹣1）n，排除A；取an＝，排除B；取an＝bn＝n，排除D得到答案．
解：取an＝（﹣1）n，排除A；
取an＝，排除B；
故选：C．
三、解答题（本大题满分52分）本大题共有5题（8+8+10+12+14），解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．
17．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，且满足a＜b＜c，b＝2asinB．
（1）求A的大小；
（2）若a＝2，b＝2，求△ABC的面积．
【分析】（1）由正弦定理化简可得A的大小；
（2）由余弦定理求出c，即可求△ABC的面积．
解：（1）b＝2asinB，
由正弦定理：可得sinB＝2sinAsinB
∴
∴A为锐角，
（2）由，，
可得：
解得：c＝2或c＝4，
∴c＝7
故得△ABC的面积．
18．已知数列{an}中，a1＝3，an+1＝2an﹣1，设bn＝an﹣1．
（1）求证：数列{bn}是等比数列；
（2）设数列{an}的前n项和为Sn，求满足Sn＞2019的n的最小值．
【分析】（1）将数列的递推公式变形，可得an+1+1＝2（an+1），即可得到结论；
（2）先求数列{an+1}的通项，再求数列{an}的通项公式；利用分组求和，即可求数列{an}的前n项和．
【解答】（1）证明：∵an+1＝2an﹣1（n∈N*），∴an+1﹣6＝2（an﹣1），a1＝6，
∴{an+1}是以a1﹣5＝2为首项，2为公比的等比数列；
（2）解：由（1）知，an﹣5＝2n，∴an＝2n+1；
可得：＞2019，n＞9，
满足Sn＞2019的n的最小值：n＝10．
19．已知关于x的方程sin2x+cosx+m＝0，x∈[0，2π）．
（1）当m＝1时，解此方程
（2）试确定m的取值范围，使此方程有解．
【分析】（1）由sin2x+cos2x＝1，则sin2x+cosx+m＝0可化为：cos2x﹣cosx﹣1﹣m＝0，将m＝1代入解一元二次方程可得解，
（2）分离m与cosx，用值域法可得解，即1+m＝cos2x﹣cosx，再用配方法求cos2x﹣cosx的值域即可得解．
解：（1）sin2x+cosx+m＝0，
所以cos2x﹣cosx﹣1﹣m＝0，
所以cosx＝﹣1或cosx＝4，
所以cosx＝﹣1，
所以x＝π，
（2）由（1）得，cos5x﹣cosx﹣1﹣m＝0有解，
又1+m＝cos2x﹣cosx＝（cosx﹣）3﹣，
所以（cosx﹣）4﹣∈[﹣]，
即m∈[]，
故答案为：[]
20．如图，一个半圆和长方形组成的铁皮，长方形的边AD为半圆的直径，O为半圆的圆心，AB＝1，BC＝2，现要将此铁皮剪出一个等腰三角形PMN，其底边MN⊥BC，点P在边AB上，设∠MOD＝θ；
（1）若θ＝30°，求三角形铁皮PMN的面积；
（2）求剪下的三角形铁皮PMN面积的最大值．
【分析】（1）求出MN和P到MN的距离，代入面积公式得出答案；
（2）用θ表示出MN和P到MN的距离，得出三角形的面积S关于θ的函数，利用三角变换求出S的最大值．
解：（1）当∠MOD＝θ＝30°时，MN＝OM?sinθ+AB＝，
∴P到MN的距离为OA+OM?cosθ＝1+．
（2）MN＝1+sinθ，P到直线MN的距离为（1+cosθ），
设sinθ+cosθ＝t，则sinθcosθ＝，
∵t＝sin（），2≤θ＜π，
∴当t＝时，S取得最大值．
21．已知数列{an}的前n项和Sn＝﹣n2+9n+2（n∈N*）．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设Rn＝|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|，求Rn；
（3）设bn＝（n∈N*），Tn＝b1+b2+b3+…+bn，是否存在最小的自然数n0，使得不等式Tn对一切正整数n总成立？如果存在，求出n0；如果不存在，说明理由．
【分析】（1）利用an＝Sn﹣Sn﹣1对n分类求出an；
（2）由（1）求得的an对n分类求出Rn即可；
（3）先由（1）求得的an求出bn，再对n分类讨论求出Tn，然后由Tn对一切正整数n总成立求出满足题意的n0即可．
解：（1）由题设知：①当n≥2时，有an＝Sn﹣Sn﹣1＝（﹣n2+9n+6）﹣[﹣（n﹣1）2+9（n﹣1）+2]＝10﹣2n；
②当n＝1时，有a1＝S1＝﹣7+9+2＝10，
（2）由（1）知：an＝，
④当n≥6时，Rn＝a1+a2+…+a5﹣（a3+a7+…+an）＝﹣52+9×5+2﹣＝n2﹣9n+42，
（3）由（5）知：an＝，∴bn＝＝，
当n＝7时，T1＝b1＝也适合上式，故Tn＝．
则n0＞32Tn＝8×＝8（3﹣），
∴n3＝24．
故存在n0＝24．