上海市七宝中学2021届高三上学期摸底考试数学试题 Word版含答案
文档属性
| 名称 | 上海市七宝中学2021届高三上学期摸底考试数学试题 Word版含答案 |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 1.2MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 沪教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2020-09-19 12:30:43 | ||
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文档简介
上海七宝中学高三数学摸底考试卷2020.09
一. 填空题
1. 已知集合，，，则非零实数
2. 不等式的解集为
3. 已知，则
4. 若满足约束条件，则的最大值为
5. 已知是函数的反函数，且，则实数
6. 在△中，角、、所对边分别为、、，已知，，，则△的面积为
7. 已知为等比数列，，，则
8. 在平面直角坐标系中，为原点，，，，动点满足，则的最大值为
9. 我校5位同学报考了北京大学“强基计划”第I专业组，并顺利通过各项考核，已知5位同学将根据综合成绩和志愿顺序随机地进入教学类、物理学类、力学类这三个专业中的某一个专业，则这三个专业都有我校学生的概率是 （结果用最简分数表示）
10. 设是直线与圆在第四象限的交点，则极限
11. 设、分别是函数和的零点（其中），则的取值范围是
12. 已知，点在函数的图像上，，则数列的前项和
二. 选择题
13. 设复数满足，则复数对应的点位于复平面内（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
14. 若动点、分别在直线和上移动，则的中点到原点距离的最小值为（ ） A. B. C. D.
15. 椭圆上有10个不同的点，若点坐标为，数列是公差为的等差数列，则的最大值为（ ）A. B. C. D.
16. 已知，符号表示不超过的最大整数，若函数有且仅有3个零点，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D.
三. 解答题
17. 如图，已知平面，，与平面所成的角为30°，且.
（1）求三棱锥的体积；
（2）设为的中点，求异面直线与所成角的大小（结果用反三角函数值表示）.
18. 已知函数.
（1）当时，求函数的单调递增区间；
（2）对任意，当函数的图像恒在函数图像的下方时，求实数的取值范围.
19. 如图，有一块扇形草地，已知半径为，，现要在其中圈出一块矩形场地作为儿童乐园使用，其中点、在弧上，且线段平行于线段.
（1）若点为弧的一个三等分点，求矩形的面积；
（2）当在弧上何处时，矩形的面积最大？最大值为多少？
20. 已知双曲线经过点，两条渐近线的夹角为60°，直线交双曲线于、两点.
（1）求双曲线的方程；
（2）若过原点，为双曲线上异于、的一点，且直线、的斜率、均存在，求证：
为定值；
（3）若过双曲线右焦点，是否存在轴上的点，使得直线绕点无论怎样转动，都有
成立？若存在，求出的坐标；若不存在，请说明理由.
21. 如果一个数列从第2项起，每一项都与它的前一项的差都大于2，则称这个数列为“数列”.
（1）若数列为“数列”，且，，，求实数取值范围；
（2）是否存在首项为1的等差数列为“数列”，且其前项的和满足？若存在，请求出的通项公式；若不存在，请说明理由；
（3）已知等比数列的每一项均为正整数，且为“数列”，，，当数列不是“数列”时，试判断数列是否为“数列”，并说明理由.
参考答案及其解析
一. 填空题
1. 3 2. 3. 4. 3
5. 1 6. 7. 8.
9. 10. 1 11. 12.
【第10题解析】改编自2015年上海高考理18
当时，直线方程无限趋近于直线，直线与圆在第四象限的交点坐标为，表示点与点连线的斜率，
当时，无限趋近于点，因此，极限实际上就是圆上一点处切线的斜率，计算得斜率为1．
【第11题解析】，，
∴为与交点的横坐标，其中，
为与交点的横坐标，其中，
又与互为反函数，∴关于对称，∴，
∴，由于，∴．
【第12题解析】由题意，得，∴，两边取常用对数，得，∴是以为首项，2为公比的等比数列，∴，从而，
又，∴，
∴，
∴．
二. 选择题
13. A 14. C 15. C 16. D
【第15题解析】设椭圆上一点，其中且，
则，∴，
∴，选C．
【第16题解析】即与的图像有且仅有3个不同的交点．时，，；时，；时，；如图，易得，选D．
三. 解答题
17.（1）；（2）.
18.（1）和；（2）.
19.（1）如图，作于点H，交线段CD于点E，连接OA、OB，
∴，…2分∴，
，∴ …4分
.…6分
（2）设…7分∴，
∴…9分
…11分∵，∴…12分
∴即时，13分，此时A在弧MN的四等分点处，
答：当A在弧MN的四等分点处时，…14分
20.（1）由题意得：…2分解得：…3分∴双曲线的方程为…4分
（2）证明：设点坐标为，则由对称性知点坐标为…5分
设，则…7分
，得…8分∴…10分
（3）当直线的斜率存在时，设直线方程为， 与双曲线方程联立消得：，
∴得且……12分设、
∵
…14分 假设存在实数，使得，
∴对任意的恒成立，∴，解得．
∴当时，． 当直线l的斜率不存在时，由及知结论也成立
综上：存在，使得．…16分
21.（1）由题意得：，…1分， 即 ，… 3分
解不等式得：；…4分
（2）假设存在等差数列符合要求，设公差为，则，由，得，…5分
由题意得：对均成立， 即：对均成立，……7分
∵，且，∴，与矛盾，∴这样的等差数列不存在．…10分
（3）设数列的公比为，则，
∵的每一项均为正整数，且，∴，且，
∵，即：在中，“”为最小项，
同理，在中，“”为最小项，…11分
由为“型数列”，可知只需， 即 ，
又∵不是“型数列”， 且“”为最小项，∴，即，
由数列的每一项均为正整数，可得：，∴或，…12分
当时，，则，
令，则，令，
则，∴为递增数列，
即，即，
∵，∴对任意的都有，即数列为“型数列”；…16分
当时，，则，显然，为递减数列，，
∴数列不是“型数列”；
综上：当时，数列为“型数列”，当时，数列不是“型数列”．… 18分
第 1 页 共 7 页
一. 填空题
1. 已知集合，，，则非零实数
2. 不等式的解集为
3. 已知，则
4. 若满足约束条件，则的最大值为
5. 已知是函数的反函数，且，则实数
6. 在△中，角、、所对边分别为、、，已知，，，则△的面积为
7. 已知为等比数列，，，则
8. 在平面直角坐标系中，为原点，，，，动点满足，则的最大值为
9. 我校5位同学报考了北京大学“强基计划”第I专业组，并顺利通过各项考核，已知5位同学将根据综合成绩和志愿顺序随机地进入教学类、物理学类、力学类这三个专业中的某一个专业，则这三个专业都有我校学生的概率是 （结果用最简分数表示）
10. 设是直线与圆在第四象限的交点，则极限
11. 设、分别是函数和的零点（其中），则的取值范围是
12. 已知，点在函数的图像上，，则数列的前项和
二. 选择题
13. 设复数满足，则复数对应的点位于复平面内（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
14. 若动点、分别在直线和上移动，则的中点到原点距离的最小值为（ ） A. B. C. D.
15. 椭圆上有10个不同的点，若点坐标为，数列是公差为的等差数列，则的最大值为（ ）A. B. C. D.
16. 已知，符号表示不超过的最大整数，若函数有且仅有3个零点，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D.
三. 解答题
17. 如图，已知平面，，与平面所成的角为30°，且.
（1）求三棱锥的体积；
（2）设为的中点，求异面直线与所成角的大小（结果用反三角函数值表示）.
18. 已知函数.
（1）当时，求函数的单调递增区间；
（2）对任意，当函数的图像恒在函数图像的下方时，求实数的取值范围.
19. 如图，有一块扇形草地，已知半径为，，现要在其中圈出一块矩形场地作为儿童乐园使用，其中点、在弧上，且线段平行于线段.
（1）若点为弧的一个三等分点，求矩形的面积；
（2）当在弧上何处时，矩形的面积最大？最大值为多少？
20. 已知双曲线经过点，两条渐近线的夹角为60°，直线交双曲线于、两点.
（1）求双曲线的方程；
（2）若过原点，为双曲线上异于、的一点，且直线、的斜率、均存在，求证：
为定值；
（3）若过双曲线右焦点，是否存在轴上的点，使得直线绕点无论怎样转动，都有
成立？若存在，求出的坐标；若不存在，请说明理由.
21. 如果一个数列从第2项起，每一项都与它的前一项的差都大于2，则称这个数列为“数列”.
（1）若数列为“数列”，且，，，求实数取值范围；
（2）是否存在首项为1的等差数列为“数列”，且其前项的和满足？若存在，请求出的通项公式；若不存在，请说明理由；
（3）已知等比数列的每一项均为正整数，且为“数列”，，，当数列不是“数列”时，试判断数列是否为“数列”，并说明理由.
参考答案及其解析
一. 填空题
1. 3 2. 3. 4. 3
5. 1 6. 7. 8.
9. 10. 1 11. 12.
【第10题解析】改编自2015年上海高考理18
当时，直线方程无限趋近于直线，直线与圆在第四象限的交点坐标为，表示点与点连线的斜率，
当时，无限趋近于点，因此，极限实际上就是圆上一点处切线的斜率，计算得斜率为1．
【第11题解析】，，
∴为与交点的横坐标，其中，
为与交点的横坐标，其中，
又与互为反函数，∴关于对称，∴，
∴，由于，∴．
【第12题解析】由题意，得，∴，两边取常用对数，得，∴是以为首项，2为公比的等比数列，∴，从而，
又，∴，
∴，
∴．
二. 选择题
13. A 14. C 15. C 16. D
【第15题解析】设椭圆上一点，其中且，
则，∴，
∴，选C．
【第16题解析】即与的图像有且仅有3个不同的交点．时，，；时，；时，；如图，易得，选D．
三. 解答题
17.（1）；（2）.
18.（1）和；（2）.
19.（1）如图，作于点H，交线段CD于点E，连接OA、OB，
∴，…2分∴，
，∴ …4分
.…6分
（2）设…7分∴，
∴…9分
…11分∵，∴…12分
∴即时，13分，此时A在弧MN的四等分点处，
答：当A在弧MN的四等分点处时，…14分
20.（1）由题意得：…2分解得：…3分∴双曲线的方程为…4分
（2）证明：设点坐标为，则由对称性知点坐标为…5分
设，则…7分
，得…8分∴…10分
（3）当直线的斜率存在时，设直线方程为， 与双曲线方程联立消得：，
∴得且……12分设、
∵
…14分 假设存在实数，使得，
∴对任意的恒成立，∴，解得．
∴当时，． 当直线l的斜率不存在时，由及知结论也成立
综上：存在，使得．…16分
21.（1）由题意得：，…1分， 即 ，… 3分
解不等式得：；…4分
（2）假设存在等差数列符合要求，设公差为，则，由，得，…5分
由题意得：对均成立， 即：对均成立，……7分
∵，且，∴，与矛盾，∴这样的等差数列不存在．…10分
（3）设数列的公比为，则，
∵的每一项均为正整数，且，∴，且，
∵，即：在中，“”为最小项，
同理，在中，“”为最小项，…11分
由为“型数列”，可知只需， 即 ，
又∵不是“型数列”， 且“”为最小项，∴，即，
由数列的每一项均为正整数，可得：，∴或，…12分
当时，，则，
令，则，令，
则，∴为递增数列，
即，即，
∵，∴对任意的都有，即数列为“型数列”；…16分
当时，，则，显然，为递减数列，，
∴数列不是“型数列”；
综上：当时，数列为“型数列”，当时，数列不是“型数列”．… 18分
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