人教版八年级数学上册同步练习题： 12.3角的平分线的性质（Word版 含答案）

人教版八年级数学上册同步练习题
第十二章全等三角形
12.3角的平分线的性质
一、单选题
1．已知∠AOB，求作射线OC，使OC平分∠AOB．①画射线OC即为所求；②以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N；③分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C，则上面作法的合理顺序为（
）.
A．②③①
B．③①②
C．③②①
D．②①③
2．作已知角的平分线是根据三角形的全等判定（　　）作的．
A．AAS
B．ASA
C．SAS
D．SSS
3．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，垂足为E，若AB=12
cm，则△DBE的周长为（
）
A．12
cm
B．11
cm
C．14
cm
D．10
cm
4．给出下列结论，正确的有(
)．
①到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上；②角的平分线与三角形平分线都是射线；③任何一个命题都有逆命题；④假命题的逆命题一定是假命题
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
5．已知△ABC的周长是60cm,三条角平分线交于P点,且P点到BC的距离是10cm,则△ABC的面积为
(　　)
A．600?cm2
B．300?cm2
C．300?cm2
D．无法确定
6．直线AB上有一点O，射线OD和射线OC在AB同侧，，，则与的平分线的夹角的度数是　　
A．
B．
C．
D．以上都不对
7．三角形内有一点，它到三角形三边的距离都相等，同时与三角形三个顶点的距离也相等，则这个三角形一定是(
)
A．等腰三角形
B．等腰直角三角形
C．等边三角形
D．以上都不对
8．在△ABC中，∠ACB＝90°，点O为△ABC的三条角平分线的交点，OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，点D，E，F是垂足，且AB＝5，BC＝4，AC＝3，则点O到三边AB，AC，BC的距离分别是(
)
A．1，1，1
B．2，2，2
C．1，1.5，2
D．无法确定
9．已知一个等腰三角形的一边长为5,另一边长为7,则这个等腰三角形的周长为(
)
A．12
B．17
C．17或19
D．19
10．已知，△ABC的三边AB，BC，AC的长分别是40，50，60，△ABC三条角平分线交于点O，则S△ABO：S△BCO：S△CAO=（
）
A．2：3：4
B．4：5：6
C．3：4：5
D．1：2：3
二、填空题
11．点O是△ABC内一点，且点O到三边的距离相等，∠A=50°，则∠BOC=
．
12．利用直尺和圆规作出一个角的角平分线的作法，其理论依据是全等三角形判定方法________?．
13．△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于D，且BD：CD=3：2，BC=15cm，则点D到AB的距离是__________。
14．已知AOB是直角，OM平分BOC，ON平分AOC，那么MON=___________。
15．一条射线把一个角分成两个角,这条射线叫这个角的平分线.（_____）
三、解答题
16．已知：如下图在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，交BC于D，若BC=32，且BD∶CD=9∶7，求：D到AB边的距离．
17．如图．已知在△ABC中，∠A、∠B的角平分线交于点O，过O作OP⊥BC于P，OQ⊥AC于Q，OR⊥AB于R，AB=7，BC=8，AC=9．
（1）求BP、CQ、AR的长．
（2）若BO的延长线交AC于E，CO的延长线交AB于F，若∠A=60゜，求证：OE=OF．
18．如图1，P为∠MON平分线OC上一点，以P为顶点的∠APB两边分别与射线OM和ON交于A、B两点，如果∠APB在绕点P旋转时始终满足OA?OB=OP2
，
我们就把∠APB叫做∠MON的关联角．
（1）如图2，P为∠MON平分线OC上一点，过P作PB⊥ON于B，AP⊥OC于P，那么∠APB________∠MON的关联角（填“是”或“不是”）．
（2）①如图3，如果∠MON=60°，OP=2，∠APB是∠MON的关联角，连接AB，求△AOB的面积和∠APB的度数；
②如果∠MON=α°（0°＜α°＜90°），OP=m，∠APB是∠MON的关联角，直接用含有α和m的代数式表示△AOB的面积．
19．如图,∠1=∠2,P为BN上一点,且PD⊥BC于点D,AB+BC=2BD，试说明:∠BAP+∠BCP=180°.
20．如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC平分线BP交于点P，若∠BPC=40°，求∠CAB和∠CAP的度数．
21．在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，E、F分别为AB、AC上的点，且∠EDF+∠EAF=180°，求证DE=DF．
22．如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．
（1）说明BE=CF的理由；
（2）如果AB=5，AC=3，求AE、BE的长．
23．如图，已知用尺规将一个任意角三等分是不可能的，但对于一些特殊角则可以利用作等边三角形的方法三等分，请用直尺和圆规把平角和这两个角三等分（尺规作图，要求保留作图痕迹，不必写出作法）
【参考答案】
1．A
2．D
3．A
4．A
5．B
6．C
7．C
8．A
9．C
10．B
11．115°.
12．SSS
13．6cm
14．45
15．×
16．解：过点D作DE⊥AB，则DE是点D到AB的距离．
∵BD∶CD=9∶7，
∴CD=BC·=32×=14
而AD平分∠CAB，
∴DE=CD=14
17．解：连接AO，OB，OC，
∵OP⊥BC，OQ⊥AC，OR⊥AB，∠A、∠B的角平分线交于点O，
∴OR=OQ，OR=OP，
∴由勾股定理得：AR2=OA2﹣OR2，AQ2=AO2﹣OQ2，
∴AR=AQ，
同理BR=BP，CQ=CP，
即O在∠ACB角平分线上，
设BP=BR=x，CP=CQ=y，AQ=AR=z，AB=7，BC=8，AC=9，
则，
x=3，y=5，z=4，
∴BP=3，CQ=5，AR=4．
（2）过O作OM⊥AC于M，ON⊥AB于N，
∵O在∠A的平分线，
∴OM=ON，∠ANO=∠AMO=90°，
∵∠A=60°，
∴∠NOM=120°，
∵O在∠ACB、∠ABC的角平分线上，
∴∠EBC+∠FCB=（∠ABC+∠ACB）=×（180°﹣∠A）=60°，
∴∠FON=∠EOM，
在△FON和△EOM中，
∠ONF=∠OME，ON=OM，∠FON=∠EOM，
∴△FON≌△EOM，
∴OE=OF．
18．略
19．证明：如图，过点P作PE⊥BA于E.
∵PD⊥BC，PE⊥BM，∠1=∠2，
∴PD=PE.
∵PD⊥BC，PE⊥BM，PD=PE，BP=BP，
∴△BPD≌△BPE.
∴BE=BD.
∵AB+BC=2BD，BC=BD+DC，AB=BE-AE，
∴AE=CD.
∵PD=PE，AE=CD，PD⊥BC，PE⊥BM，
∴△PCD≌△PAE，
∴∠PCB=∠PAE.
∵∠BAP+∠PAE=180°，
∴∠BAP+∠PCB=180°.
20．解：如图所示：延长BA，作PN⊥BD，PF⊥BA,PM⊥AC，
设∠PCD
=
x°
∵CP平分∠
ACD
∴∠ACP
=∠PCD
=
x°，PM=PN
∵BP平分∠
ABC
∴∠ABP=∠PBC，PF=PN
∴PM=PF
∵∠BPC=40°
∴∠ABP=∠PBC=∠PCD?∠BPC=（x?40）°
∴∠CAB=∠ACD?∠ABC=2x°?2（x?40）°=80°
∵PM=PF，AP=AP，PF⊥BA,PM⊥AC
∴Rt△PAF
≌
Rt
△PAM
∴∠CAP=∠PAF=（180°?∠CAB）=
（180°?80°）=50°
故本题答案应为：∠CAB=80°，∠CAP=50°
21．证明：过D作DM⊥AB于M，DN⊥AC于N，
即∠EMD=∠FND=90°，
∵AD平分∠BAC，DM⊥AB，DN⊥AC，
∴DM=DN（角平分线性质），
∵∠EAF+∠EDF=180°，
∴∠MED+∠AFD=360°-180°=180°，
∵∠AFD+∠NFD=180°，
∴∠MED=∠NFD，
在△EMD和△FND中
，
∴△EMD≌△FND（AAS），
∴DE=DF．
22．（1）证明：连接BD，CD，
∵
AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF，∠BED=∠CFD=90°，
∵DG⊥BC且平分BC，
∴BD=CD，
在Rt△BED与Rt△CFD中，
，
∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），
∴BE=CF；
（2）解：在△AED和△AFD中，
∴△AED≌△AFD（AAS），
∴AE=AF，
设BE=x，则CF=x，
∵AB=5，AC=3，AE=AB﹣BE，AF=AC+CF，
∴5﹣x=3+x，解得：x=1，
∴BE=1，即AE=AB﹣BE=5﹣1=4．
23．解：如图所示，射线、为平角的三等分线；
如图所示，射线、为的三等分线．