课后作业
一．选择题（共11小题）
1．下列各式属于因式分解的是（ ）
A．（3x+1）（3x﹣1）=9x2﹣1
B．x2﹣2x+4=（x﹣2）2
C．a4﹣1=（a2+1）（a+1）（a﹣1）
D．9x2﹣1+3x=（3x+1）（3x﹣1）+3x
【分析】根据分解因式就是把一个多项式化为几个整式的积的形式的定义，利用排除法求解．
【解答】解：A、是多项式乘法，不是因式分解，错误；
B、不符合完全平方公式的特点，不能运用完全平方公式进行分解，错误；
C、两次运用平方差公式，正确；
D、不是积的形式，错误；
故选：C．
【点评】这类问题的关键在于能否正确应用分解因式的定义来判断．
2.若多项式﹣6ab+18abx+24aby的一个因式是﹣6ab，那么另一个因式是（ ）
A．1﹣3x﹣4y
B．﹣1﹣3x﹣4y
C．1+3x﹣4y
D．﹣1﹣3x+4y
【分析】利用多项式的每一项除以公因式，即可得到另一个因式．
【解答】解：﹣6ab+18abx+24aby=﹣6ab（1﹣3x﹣4y），
所以另一个因式是（1﹣3x﹣4y）．
故选：A．
【点评】本题考查了提公因式法分解因式，提取公因式后剩下的因式是用原多项式除以公因式所得的商．
3.若（a﹣b﹣2）2+|a+b+3|=0，则a2﹣b2的值是（ ）
A．﹣1
B．1
C．6
D．﹣6
【分析】由非负数的性质得出a﹣b=2，a+b=﹣3，求出a，b的值，再代入a2﹣b2进行计算即可．
【解答】解：∵（a﹣b﹣2）2+|a+b+3|=0，
∴a﹣b=2，a+b=﹣3，
∴a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）=2×（﹣3）=﹣6；
故选：D．
【点评】本题主要考查了非负数的性质，由非负数的性质求a，b的值是解题的关键．
4.下列因式分解正确的是（ ）
A．4m2﹣4m+1=4m（m﹣1）
B．a3b2﹣a2b+a2=a2（ab2﹣b）
C．x2﹣7x﹣10=（x﹣2）（x﹣5）
D．10x2y﹣5xy2=5xy（2x﹣y）
【分析】A、利用完全平方公式分解；
B、利用提取公因式a2进行因式分解；
C、利用十字相乘法进行因式分解；
D、利用提取公因式5xy进行因式分解．
【解答】解：A、4m2﹣4m+1=（2m﹣1）2，故本选项错误；
B、a3b2﹣a2b+a2=a2（ab2﹣b+1），故本选项错误；
C、（x﹣2）（x﹣5）=x2﹣7x+10，故本选项错误；
D、10x2y﹣5xy2=xy（10x﹣5y）=5xy（2x﹣y），故本选项正确；
故选：D．
【点评】本题考查了因式分解，要想灵活运用各种方法进行因式分解，需要熟练掌握各种方法的公式和法则；分解因式中常出现错误的有两种：①丢项：整项全部提取后要剩1，分解因式后项数不变；②有些结果没有分解到最后，如最后一个选项需要一次性将公因式提完整或进行多次因式分解，分解因式一定要彻底．
5.下列多项式中，能用公式进行因式分解的是（ ）
A．﹣a2﹣b2
B．x2+2x+4
C．﹣（﹣a）2﹣b2
D．﹣a2+b2
【分析】根据公式法分解因式，a2﹣b2=（a+b）（a﹣b），a2±2ab+b2=（a±b）2的公式特点，把四个选项进行分析可得到答案．
【解答】解：A、﹣a2﹣b2有两项，考虑平方差公式分解，但是平方前的符号相同，所以不能用公式法分解，故此选项错误；
B、x2+2x+4=x2+2x+22有三项，考虑完全平公式分解，由于中间的项2x不是x与2的2倍，所以不能用公式法分解，故此选项错误；
C、﹣（﹣a）2﹣b2=﹣a2﹣b2有两项，考虑平方差公式分解，但是平方前的符号相同，所以不能用公式法分解，故此选项错误；
D、﹣a2+b2=（b+a）（b﹣a），故此选项正确．
故选：D．
【点评】此题主要考查了公式法分解因式，熟练掌握分解因式的公式，才是解题的关键．
6.若关于x的多项式x2﹣px﹣6含有因式x﹣2，则实数p的值为（ ）
A．﹣5
B．5
C．﹣1
D．1
【分析】设x2﹣px﹣6=（x﹣2）（x﹣a），右边利用多项式乘多项式法则计算，合并后根据多项式相等的条件即可求出p的值．
【解答】解：根据题意设x2﹣px﹣6=（x﹣2）（x﹣a）=x2﹣（a+2）x+2a，
∴﹣p=﹣a﹣2，2a=﹣6，
解得：a=﹣3，p=﹣1．
故选：C．
【点评】此题考查了因式分解的意义，弄清题意是解本题的关键．
7.下列因式分解正确的是（ ）
A．（x﹣y）3﹣（x﹣y）=（x﹣y）（x﹣y）2
B．（x﹣y）2﹣（x﹣y）3=（x﹣y）2（x﹣y+1）
C．（x﹣y）2﹣（y﹣x）=（x﹣y）（x﹣y+1）
D．（x﹣y）2﹣（y﹣x）=（x﹣y）（x﹣y﹣0）=（x﹣y）2
【分析】根据提公因式法，提取公因式后整理即可．
【解答】解：A、应为（x﹣y）3﹣（x﹣y）=（x﹣y）[（x﹣y）2﹣1]，有漏项，错误；
B、应为（x﹣y）2﹣（x﹣y）3=（x﹣y）2（﹣x+y+1），错误；
C、（x﹣y）2﹣（y﹣x）=（x﹣y）（x﹣y+1），正确；
D、应为（x﹣y）2﹣（y﹣x）=（x﹣y）（x﹣y+1），错误．
故选：C．
【点评】本题考查整体思想的运用，整理时注意符号的变化．
8.若多项式x2﹣ax﹣1可分解为（x﹣2）（x+b），则a+b的值为（ ）
A．2
B．1
C．﹣2
D．﹣1
【分析】根据因式分解与整式的乘法互为逆运算，把（x﹣2）（x+b）利用多项式乘法法则展开即可求解．
【解答】解：∵（x﹣2）（x+b）=x2+bx﹣2x﹣2b=x2+（b﹣2）x﹣2b=x2﹣ax﹣1，
∴b﹣2=﹣a，﹣2b=﹣1，
∴b=0.5，a=1.5，
∴a+b=2．
故选：A．
【点评】本题主要考查了因式分解与整式的乘法互为逆运算．是中考中的常见题型．
9．多项式x2+7x﹣18因式分解的结果是（ ）
A．（x﹣1）（x+18）
B．（x+2）（x+9）
C．（x﹣3）（x+6）
D．（x﹣2）（x+9）
【分析】原式利用十字相乘法分解即可．
【解答】解：原式=（x﹣2）（x+9）．
故选：D．
【点评】此题考查了因式分解﹣十字相乘法，熟练掌握十字相乘的方法是解本题的关键．
10.化简：，结果是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】将所求式子的分子分母前两项提取20122，整理后分子提取2010，分母提取2013，约分后即可得到结果．
【解答】解：原式=
=
=
=．
故选：A．
【点评】此题考查了因式分解的应用，是一道技巧性较强的题，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
11．△ABC中三边长a，b，c满足条件|a﹣2|+b2﹣6b+9=0，则c边不可能为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【分析】已知等式左边后三项利用完全平方公式变形，根据非负数之和为0，非负数分别为0求出a与b的值，即可得出第三边c的范围．
【解答】解：∵|a﹣2|+b2﹣6b+9=|a﹣2|+（b﹣3）2=0，
∴a=2，b=3，
∵△ABC的三边长分别为a，b，c，b﹣a＜c＜b+a，
∴3﹣2＜c＜3+2，即1＜c＜5．
故选：A．
【点评】此题考查了因式分解的应用，三角形的三边关系，以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
二．填空题（共5小题）
12．若多项式x2﹣mx+n（m、n是常数）分解因式后，有一个因式是x﹣3，则3m﹣n的值为 9 ．
【分析】设另一个因式为x+a，（x+a）（x﹣3）=x2+（﹣3+a）x﹣3a，根据题意得出﹣m=﹣3+a，n=﹣3a，求出m、n后代入即可．
【解答】解：设另一个因式为x+a，
则（x+a）（x﹣3）=x2+（﹣3+a）x﹣3a，
∴﹣m=﹣3+a，n=﹣3a，
∴m=3﹣a
∴3m﹣n=3（3﹣a）﹣（﹣3a）=9﹣3a+3a=9，
故答案为：9．
【点评】本题考查了因式分解的意义，能得出﹣m=﹣3+a和n=﹣3a是解此题的关键．
13．对多项式24ab2﹣32a2bc进行因式分解时提出的公因式是 8ab ．
【分析】根据公因式是每项都含有的因式，可得答案．
【解答】解：24ab2﹣32a2bc进行因式分解时提出的公因式是
8ab，
故答案为：8ab．
【点评】本题考查了公因式，找公因式的要点是：（1）公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数；（2）字母取各项都含有的相同字母；（3）相同字母的指数取次数最低的．在提公因式时千万别忘了“﹣1”．
14．2x3y2与12x4y的公因式是 2x3y ．
【分析】根据公因式的定义，分别找出系数的最大公约数和相同字母的最低指数次幂，乘积就是公因式．
【解答】解：∵2x3y2=2x3y?y，12x4y=2x3y?6x，
∴2x3y2与12x4y的公因式是2x3y，
故答案为：2x3y．
【点评】本题主要考查了公因式的确定，熟练掌握公因式的定义和公因式的确定方法是解题的关键．
15．分解因式：2xy﹣6y= 2y（x﹣3） ．
【分析】首先找出公因式2y，进而提取2y，分解因式即可．
【解答】解：原式=2y（x﹣3）．
故答案为：2y（x﹣3）．
【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．
16．若x2+mx+n分解因式的结果是（x+2）（x﹣1），则m+n的值为 ﹣1 ．
【分析】先把（x+2）（x﹣1）展开，求得m，n的值，再求m+n的值即可．
【解答】解：∵x2+mx+n分解因式的结果是（x+2）（x﹣1），
∴x2+mx+n=x2+x﹣2，
∴m=1，n=﹣2，
∴m+n=1﹣2=﹣1，
故答案为﹣1．
【点评】本题考查了因式分解﹣十字相乘法，求得m，n的值是解题的关键．
三．解答题（共3小题）
17．因式分解：2x2﹣4x．
【分析】提取公因式2x即可得．
【解答】解：原式=2x（x﹣2）．
【点评】本题主要考查提公因式法分解因式，解题的关键是掌握当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的．
18．因式分解：
（1）x2+2xy2+2y4；
（2）4b2c2﹣（b2+c2）2；
（3）a（a2﹣1）﹣a2+1；
（4）（a+1）（a﹣1）﹣8．
【分析】（1）先提取公因式，再利用公式法求解可得；
（2）先利用平方差公式分解，再利用完全平方公式分解；
（3）先提取公因式a2﹣1，再分解可得；
（4）先去括号、合并，再利用平方差公式分解可得．
【解答】解：（1）原式=（x2+4xy2+y4）=（x+2y2）2；
（2）原式=（2bc+b2+c2）（2bc﹣b2﹣c2）
=﹣（b+c）2（b﹣c）2；
（3）原式=a（a2﹣1）﹣（a2﹣1）
=a（a+1）（a﹣1）﹣（a+1）（a﹣1）
=（a+1）（a﹣1）2；
（4）原式=a2﹣1﹣8
=a2﹣9
=（a+3）（a﹣3）．
【点评】本题主要考查因式分解，解题的关键是熟练掌握提公因式法和公式法分解因式的能力．
理解题意给出的方法，本题属于基础题型．
19．阅读下面材料：
小明遇到这样一个问题：
已知二次三项式x2﹣4x+m有一个因式是（x+3），求另一个因式以及m的值．
小明发现，可以设另一个因式为（x+n），得
x2﹣4x+m=（x+3）（x+n）
则x2﹣4x+m=x2+（n+3）x+3n
∴
利用方程组可以解决．
请回答：
另一个因式为 x﹣7 ，m的值为 ﹣21 ；
参考小明的方法，解决下面的问题：
已知二次三项式2x2+3x﹣k有一个因式是（x﹣4），求另一个因式以及k的值．
【分析】求出方程组的解，即可求出答案；设二次三项式2x2+3x﹣k的另一个因式为2x+a，得出方程组，求出方程组的解即可．
【解答】解：解方程组得：，
即另一个因式为x﹣7，m=﹣21；
设二次三项式2x2+3x﹣k的另一个因式为2x+a，
则2x2+3x﹣k=（x﹣4）（2x+a），
2x2+3x﹣k=2x2+（a﹣8）x﹣4a，
所以，
解得：a=11，k=44，
即另一个因式是2x+11，k=44，
故答案为：x﹣7，﹣21．
【点评】本题考查了多项式乘以多项式和解二元一次方程组，能得出二元一次方程组是解此题的关键．
课堂小测
1.因式分解：a2﹣a= a（a﹣1） ．
【分析】直接提取公因式a，进而分解因式得出即可．
【解答】解：a2﹣a=a（a﹣1）．
故答案为：a（a﹣1）．
【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．
2.分解因式：（y+2x）2﹣（x+2y）2= 3（x+y）（x﹣y） ．
【分析】原式利用平方差公式分解即可．
【解答】解：原式=（y+2x+x+2y）（y+2x﹣x﹣2y）=3（x+y）（x﹣y），
故答案为：3（x+y）（x﹣y）
【点评】此题考查了因式分解﹣运用公式法，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．
3.因式分解：a3﹣2a2b+ab2= a（a﹣b）2 ．
【分析】原式提取a，再利用完全平方公式分解即可．
【解答】解：原式=a（a2﹣2ab+b2）
=a（a﹣b）2．
故答案为：a（a﹣b）2．
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
4.在实数范围内将下列各式分解因式：
（1）3ax2﹣6axy+3ay2；
（2）x3﹣5x．
【分析】（1）先提取公因式3a，然后由完全平方公式进行因式分解；
（2）先提取公因式x，然后由平方差公式进行因式分解．
【解答】解：（1）原式=3a（x2﹣2xy+y2）
=3a（x﹣y）2；
（2）原式=x（x2﹣5），
=x（x+）（x﹣）．
【点评】本题考查了实数范围内分解因式．因式分解的步骤为：一提公因式；二看公式．在实数范围内进行因式分解的式子的结果一般要分到出现无理数为止．
14.3
因式分解
学习目标
1.了解因式分解的意义
2.理解因式分解的方法------提公因法
2.通过对因式分解方法的归纳学习，培养学生独立思考的习惯
学习重点
知识点一
因式分解【重点】
把一个多项式化成了几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。
【例题1】下列各式从左到右的变形中，为因式分解的是（ ）
A．x（a﹣b）=ax﹣bx
B．x2﹣1+y2=（x﹣1）（x+1）+y2
C．ax+bx+c=x（a+b）+c
D．y2﹣1=（y+1）（y﹣1）
【分析】直接利用把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式，进而分析得出答案．
【解答】解：A、x（a﹣b）=ax﹣bx，是整式乘法，故此选项错误；
B、x2﹣1+y2=（x﹣1）（x+1）+y2，不是因式分解，故此选项错误；
C、ax+bx+c=x（a+b）+c，不是因式分解，故此选项错误；
D、y2﹣1=（y+1）（y﹣1），是因式分解，故此选项正确．
故选：D．
【点评】此题主要考查了因式分解的意义，正确把握定义是解题关键．
【变式1】下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A．a（x﹣y）=ax﹣ay
B．x2+2x+1=x（x+2）+1
C．（x+1）2=x2+2x+1
D．x2﹣x=x（x﹣1）
【分析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，可得答案．
【解答】解：A、是整式的乘法，故A不符合题意；
B、没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故B不符合题意；
C、是整式的乘法，故C不符合题意；
D、把一个多项式转化成几个整式积的形式，故D符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了因式分解的意义，判断的依据是把一个多项式转化成几个整式积的形式．
【变式2】下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A．（x+1）（x﹣2）=x2﹣x﹣2
B．4a2b3=4a2?b3
C．x2﹣2x+1=（x﹣1）2
D．
【分析】C选项左边是多项式，右边的乘积式，符合因式分解的定义，其它选项不符合因式分解的定义，不是因式分解，可得答案．
【解答】解：A、（x+1）（x﹣2）=x2﹣x﹣2
不符合因式分解的定义；
B、4a2b3=4a2?b34a2b3=4a2?b3不符合因式分解的定义；
C、x2﹣2x+1=（x﹣1）2左边是多项式，右边的乘积式，符合因式分解的定义；
D、不符合因式分解的定义．
故选：C．
【点评】本题考查了因式分解的意义；严格按照定义去验证每个选项是正确解答本题的关键．
知识点二
用提公因式法分解因式
【重点】
1.公因式定义：多项式ma+mb+mc中，各项都含有一个公共的因式m，因式m叫做这个多项式各项的公因式．
2、确定多项式中各项的公因式，可概括为三“定”：
①定系数，即确定各项系数的最大公约数；
②定字母，即确定各项的相同字母因式（或相同多项式因式）；
③定指数，即各项相同字母因式（或相同多项式因式）的指数的最低次幂
3.提公因式法：如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．????
4、提公因式法基本步骤：
（1）先确定公因式；
（2）把多项式的每一项都写成公因式与另一个因式的积的形式
（3）把公因式提到括号外面，各项余下的式子保持原来的和的形式。
【例题1】多项式a2﹣9与a2﹣3a的公因式是（ ）
A．a+3
B．a﹣3
C．a+1
D．a﹣1
【分析】根据平方差公式分解a2﹣9，再根据提公因式法分解a2﹣3a，即可找到两个多项式的公因式．
【解答】解：a2﹣9=（a﹣3）（a+3），
a2﹣3a=a（a﹣3），
故多项式a2﹣9与a2﹣3a的公因式是：a﹣3，
故选：B．
【点评】主要考查了分解因式的实际运用，解此题的关键是把a2﹣9与a2﹣3a进行因式分解．
【例题2】分解因式x3+4x的结果是（ ）
A．x（x2+4）
B．x（x+2）（x﹣2）
C．x（x+2）2
D．x（x﹣2）2
【分析】直接提取公因式x，进而分解因式即可．
【解答】解：x3+4x=x（x2+4）．
故选：A．
【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．
【变式1】多项式12ab3c+8a3b的各项公因式是（ ）
A．4ab2
B．4abc
C．2ab2
D．4ab
【分析】根据公因式定义，对各选项整理然后即可选出有公因式的项．
【解答】解：12ab3c+8a3b=4ab（3b2+2a2），
4ab是公因式，
故选：D．
【点评】此题考查的是公因式的定义，找公因式的要点是：（1）公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数；（2）字母取各项都含有的相同字母；（3）相同字母的指数取次数最低的．在提公因式时千万别忘了“﹣1”．
【变式2】多项式2ax2﹣12axy中，应提取的公因式是 2ax ．
【分析】找出系数的最大公约数，相同字母的最低指数次幂，即可确定出公因式．
【解答】解：∵2ax2﹣12axy=2ax（x﹣6y），
∴应提取的公因式是2ax．
【点评】本题主要考查公因式的确定，找公因式的要点是：（1）公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数；（2）相同字母的最低指数次幂．
【变式3】2x3y2与12x4y的公因式是 2x3y ．
【分析】根据公因式的定义，分别找出系数的最大公约数和相同字母的最低指数次幂，乘积就是公因式．
【解答】解：∵2x3y2=2x3y?y，12x4y=2x3y?6x，
∴2x3y2与12x4y的公因式是2x3y，
故答案为：2x3y．
【点评】本题主要考查了公因式的确定，熟练掌握公因式的定义和公因式的确定方法是解题的关键．
【变式4】分解因式：
（1）3x+15= 3（x+5） ．
（2）（a+1）（a﹣1）﹣2a+2= （a﹣1）2 ．
（3）8x2y﹣2y= 2y（2x+1）（2x﹣1） ．
（4）2m2﹣m= m（2m﹣1） ．
（5）3mx﹣6my
（6）4xy2﹣4x2y﹣y3．
（7）（2a+b）2﹣2b（2a+b）= （2a+b）（2a﹣b） ．
（1）【分析】原式提取3进行因式分解即可．
【解答】解：3x+15=3（x+5）．
故答案是：3（x+5）．
【点评】此题考查了实数范围内分解因式﹣﹣提公因式法：如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．
（2）【分析】直接提取公因式（a﹣1），进而分解因式得出答案．
【解答】解：（a+1）（a﹣1）﹣2a+2
=（a+1）（a﹣1）﹣2（a﹣1）
=（a﹣1）（a+1﹣2）
=（a﹣1）2．
故答案为：（a﹣1）2．
【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，掌握找出公因式是解题关键．
（3）分解因式【分析】首先提取公因式2y，再利用平方差公式分解因式得出答案．
【解答】解：8x2y﹣2y=2y（4x2﹣1）
=2y（2x+1）（2x﹣1）．
故答案为：2y（2x+1）（2x﹣1）．
【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用公式是解题关键．
（4）【分析】直接把公因式m提出来即可．
【解答】解：2m2﹣m=m（2m﹣1）．
故答案为：m（2m﹣1）．
【点评】本题主要考查了提公因式法分解因式，准确找出公因式m是解题的关键．
（5）【分析】（1）直接提取公因式3m，进而分解因式得出答案；
【解答】解：（1）3mx﹣6my=3m（x﹣2y）；
（6）【分析】（2）首先提取公因式﹣y，再利用完全平方公式分解因式即可．
【解答】（2）原式=﹣y（﹣4xy+4x2+y2）
=﹣y（y﹣2x）2．
【点评】此题主要考查了公式法以及提取公因式法分解因式，正确运用公式是解题关键．
（7）【分析】直接找出公因式提取公因式分解因式即可．
【解答】解：（2a+b）2﹣2b（2a+b）
=（2a+b）（2a+b﹣2b）
=（2a+b）（2a﹣b）．
故答案为：（2a+b）（2a﹣b）．
【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．
知识点三
用平方差公式分解因式
【重点】
1.
两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积。
2.
如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法．
平方差公式：，其中a,b即可以是单项式，也可以是多项式。
【例题1】多项式x2﹣4因式分解的结果是（ ）
A．（x+2）2
B．（x﹣2）2
C．（x+2）（x﹣2）
D．（x+4）（x﹣4）
【分析】直接利用平方差公式分解因式得出答案．
【解答】解：x2﹣4=（x+2）（x﹣2）．
故选：C．
【点评】此题主要考查了公式法分解因式，正确应用公式是解题关键．
【例题2】下列多项式中能用平方差公式分解因式的是（ ）
A．a2+（﹣b）2
B．5m2﹣20mn
C．﹣x2﹣y2
D．﹣x2+9
【分析】能用平方差公式分解因式的式子特点是：两项平方项，符号相反．
【解答】解：A、a2+（﹣b）2符号相同，不能用平方差公式分解因式，故A选项错误；
B、5m2﹣20mn两项不都是平方项，不能用平方差公式分解因式，故B选项错误；
C、﹣x2﹣y2符号相同，不能用平方差公式分解因式，故C选项错误；
D、﹣x2+9=﹣x2+32，两项符号相反，能用平方差公式分解因式，故D选项正确．
故选：D．
【点评】本题考查用平方差公式分解因式的式子特点，两平方项的符号相反．
【变式1】下列多项式中，不能用平方差公式分解因式的是（ ）
A．x2﹣y2
B．﹣x2﹣y2
C．4x2﹣y2
D．﹣4+y2
【分析】根据平方差公式的结构特点，两平方项的符号相反，对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：A、x2﹣y2符合平方差公式，故本选项错误；
B、﹣x2与﹣y2符号相同，不能运用平方差公式，故本选项正确；
C、4x2﹣y2符合平方差公式，故本选项错误；
D、﹣4+y2，符合平方差公式，故本选项错误．
故选：B．
【点评】本题主要考查了运用公式法分解因式，熟记平方差公式的结构特点是解本题的关键，是基础题．
【变式2】分解因式：
（1）a2﹣6a= a（a﹣6） ．
（2）x2﹣1= （x+1）（x﹣1） ．
（3）4x2﹣y2= （2x+y）（2x﹣y） ．
（4）因式分解：9x2﹣4= （3x﹣2）（3x+2） ．
（5）9m2﹣1= （3m+1）（3m﹣1） ．
（1）【分析】找出公因式，直接提取分解因式即可．
【解答】解：a2﹣6a=a（a﹣6）．
故答案为：a（a﹣6）．
【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确提取公因式是解题关键．
（2）【分析】利用平方差公式分解即可求得答案．
【解答】解：x2﹣1=（x+1）（x﹣1）．
故答案为：（x+1）（x﹣1）．
【点评】此题考查了平方差公式分解因式的知识．题目比较简单，解题需细心．
（3）【分析】原式利用平方差公式分解即可．
【解答】解：原式=（2x+y）（2x﹣y），
故答案为：（2x+y）（2x﹣y）
【点评】此题考查了因式分解﹣运用公式法，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．
（4）【分析】直接利用平方差公式分解因式得出即可．
【解答】解：9x2﹣4=（3x﹣2）（3x+2）．
故答案为：（3x﹣2）（3x+2）．
【点评】此题主要考查了公式法分解因式，熟练应乘法公式是解题关键．
（5）【分析】直接利用平方差公式分解因式得出答案．
【解答】解：原式=（3m+1）（3m﹣1）．
故答案为：（3m+1）（3m﹣1）．
【点评】此题主要考查了公式法分解因式，正确应用平方差公式是解题关键．
知识点四
用完全平方公式因式分解
【重点】
1.两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的两倍，等于这两个数的和（或差）的平方。
2.公式：
，
【例题1】因式分解：x2﹣1= （x+1）（x﹣1） ．
【分析】方程利用平方差公式分解即可．
【解答】解：原式=（x+1）（x﹣1）．
故答案为：（x+1）（x﹣1）．
【点评】此题考查了因式分解﹣运用公式法，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．
【例题2】因式分解：a2﹣2ab+b2= （a﹣b）2 ．
【分析】根据完全平方公式即可求出答案．
【解答】解：原式=（a﹣b）2
故答案为：（a﹣b）2
【点评】本题考查因式分解法，解题的关键是熟练运用因式分解法，本题属于基础题型．
【变式1】因式分解：
（1）x2+14x+49= （x+7）2 ．
（2）m2+2mn+n2= （m+n）2 ．
（3）a2+2a+1= （a+1）2 ．
【分析】（1）直接利用完全平方公式分解因式得出答案．
【解答】解：原式=（x+7）2．
故答案为：（x+7）2．
【点评】此题主要考查了公式法分解因式，正确应用公式是解题关键．
（2）【分析】直接利用完全平方公式分解因式得出答案．
【解答】解：m2+2mn+n2=（m+n）2．
故答案为：（m+n）2．
【点评】此题主要考查了公式法分解因式，正确应用公式是解题关键．
（3）【分析】直接利用完全平方公式分解因式得出答案．
【解答】解：a2+2a+1=（a+1）2．
故答案为：（a+1）2．
【点评】此题主要考查了运用公式分解因式，正确掌握完全平方公式是解题关键．
拓展点一
因式分解在计算中的应用
【例题1】利用因式分解计算：2012﹣1992= 800 ．
【分析】首先利用平方差公式分解因式，然后计算即可求解．
【解答】解：2012﹣1992=（201+199）（201﹣199）=800，
故答案为800．
【点评】本题考查了因式分解在进行有理数的乘法中的运用，涉及的是平方差公式的运用，使运算简便．
【变式1】在实数范围内将下列各式因式分解．
①x2﹣2x+3
②5x2﹣7
③x4﹣4．
【分析】①原式变形后，利用完全平方公式分解即可；
②原式变形后，利用平方差公式分解即可；
③原式利用平方差公式分解即可．
【解答】解：①原式=x2﹣2x+（）2=（x﹣）2；
②原式=（x）2﹣（）2=（x+）（x﹣）；
③原式=（x2+2）（x2﹣2）=（x2+2）（x+）（x﹣）．
【点评】此题考查了实数范围内分解因式，熟练掌握平方差公式及完全平方公式是解本题的关键．
【变式2】若n为任意整数，（n+11）2﹣n2的值总可以被k整除，则k等于（ ）
A．11
B．22
C．11或12
D．11的倍数
【分析】利用平方差公式进行因式分解，然后整理成含有常数因式的形式．
【解答】解：∵（n+11）2﹣n2，
=（n+11+n）（n+11﹣n），
=11（2n+11），
∴（n+11）2﹣n2的值总可以被11整除．
故选：A．
【点评】本题考查了平方差公式分解因式，熟记平方差公式的结构特点是解题的关键．
拓展点二
较复杂的因式分解问题
【例题1】因式分解：3ax2﹣12ay2= 3a（x+2y）（x﹣2y） ．
【分析】首先提取公因式3a，再利用平方差公式进行二次分解即可．
【解答】解：原式=3a（x2﹣4y2）
=3a（x+2y）（x﹣2y），
故答案为：3a（x+2y）（x﹣2y）．
【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
【例题2】若m=2，则m2﹣4m+4的值是 0 ．
【分析】直接利用完全平方公式结合m的值代入求出答案．
【解答】解：∵m=2，
∴m2﹣4m+4=（m﹣2）2=0．
故答案为：0．
【点评】此题主要考查了公式法的应用以及代数式求值，正确应用公式是解题关键．
【例题3】若a，b互为相反数，则a2﹣b2= 0 ．
【分析】直接利用平方差公式分解因式进而结合相反数的定义分析得出答案．
【解答】解：∵a，b互为相反数，
∴a+b=0，
∴a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）=0．
故答案为：0．
【点评】此题主要考查了公式法分解因式以及相反数的定义，正确分解因式是解题关键．
【变式1】因式分解：2a2﹣2= 2（a+1）（a﹣1） ．
【分析】原式提取2，再利用平方差公式分解即可．
【解答】解：原式=2（a2﹣1）
=2（a+1）（a﹣1）．
故答案为：2（a+1）（a﹣1）．
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
【变式2】已知m=2n+1，则m2﹣4mn+4n2﹣5的值为 ﹣4 ．
【分析】根据条件可得m﹣2n=1，然后再把代数式m2﹣4mn+4n2﹣5变形为m2﹣4mn+4n2﹣5=（m﹣2n）2﹣5，再代入求值即可．
【解答】解：∵m=2n+1，
∴m﹣2n=1，
∴m2﹣4mn+4n2﹣5=（m﹣2n）2﹣5=1﹣5=﹣4，
故答案为：﹣4．
【点评】此题主要考查了公式法分解因式，关键是正确把条件变形，然后再代入求值．
【变式3】若m=4n+3，则m2﹣8mn+16n2的值是 9
【分析】由m=4n+3知m﹣4n=3，代入到原式=（m﹣4n）2即可得．
【解答】解：∵m=4n+3，
∴m﹣4n=3，
则原式=（m﹣4n）2=32=9，
故答案为：9．
【点评】本题主要考查因式分解﹣运用公式法，解题的关键是熟练掌握完全平方公式．
【变式4】已知x+y=，xy=，则x2y+xy2的值为 ．
【分析】按照因式分解的方法，先提公因式，然后整体代入计算即可．
【解答】解：x2y+xy2=xy（x+y）=．
答案：
【点评】此题考查因式分解的应用，关键是根据因式分解得出x2y+xy2=xy（x+y）．要掌握因式分解的方法：“一提”、“二套公式”、“三分组”．
拓展点三
因式分解在实际生活中应用的问题
【例题1】如图，边长为a、b的长方形的周长为14，面积为10，则a3b+ab3+2a2b2的值为（ ）
A．70
B．140
C．2560
D．490
【分析】先根据周长和面积得出方程组，求出a、b的值，再代入求出即可．
【解答】解：根据题意得：，
解得：a=5，b=2，
所以a3b+ab3+2a2b2=53×2+5×23+2×52×22=490，
故选：D．
【点评】本题考查了求代数式的值，长方形性质，解二元二次方程组等知识点，能得出关于a、b的方程组是解此题的关键．
【变式1】长和宽分别为a，b的长方形的周长为14，面积为10，则a2b+ab2的值为（ ）
A．24
B．35
C．70
D．140
【分析】根据已知条件长方形的长与宽之和即a+b=7，长与宽的积为ab=10，再将所给的代数式分解用，将a+b与ab代入即可．
【解答】解：根据长方形的周长为14，面积为10，可得a+b==7，ab=10，
a2b+ab2=ab（a+b）=10×7=70．
故选：C．
【点评】本题考查了因式分解的应用，由已知可得到a与b的和，a与b的积；求所给代数式的值，关键先分解因式，用已知式子的值整体代入．
【变式2】观察图形，根据图形面积的关系，不需要连其他的线，便可以得到一个用来分解因式的公式，这个公式是 a2+2ab+b2=（a+b）2 ．
【分析】通过用不同的计算方法来表示大正方形的面积即可得到这一公式．
【解答】解：首先用分割法来计算，即a2+2ab+b2；再用整体计算即为（a+b）2．
因此a2+2ab+b2=（a+b）2．
【点评】利用不同的方法表示同一个图形的面积也是证明公式的一种常用方法．
拓展点四
型式子是因式分解
【例题1】因式分解：x2﹣10x+24= （x﹣4）（x﹣6） ．
【分析】直接利用十字相乘法分解因式得出答案．
【解答】解：x2﹣10x+24=（x﹣4）（x﹣6）．
故答案为：（x﹣4）（x﹣6）．
【点评】此题主要考查了十字相乘法分解因式，正确分解常数项是解题关键．
【变式1】分解因式：
（1）x2﹣4x+3= （x﹣1）（x﹣3）． ．
（2）2x2﹣8xy﹣10y2= 2（x﹣5）（x+y）
（3）x2﹣x﹣12= （x﹣4）（x+3） ．
（4）2x3﹣6x2+4x= 2x（x﹣1）（x﹣2） ．
【分析】（1）把3写成﹣1×（﹣3），又﹣1﹣3=﹣4，所以利用十字相乘法分解因式即可．
【解答】解：x2﹣4x+3=（x﹣1）（x﹣3）．
故答案为：（x﹣1）（x﹣3）．
【点评】本题考查了十字相乘法分解因式，运用十字相乘法分解因式时，要注意观察，尝试，并体会它实质是二项式乘法的逆过程．
（2）【分析】首先提取公因式2，进而利用十字相乘法分解因式即可．
【解答】解：2x2﹣8xy﹣10y2
=2（x2﹣4xy﹣10y2）
=2（x﹣5）（x+y）．
故答案为：2（x﹣5）（x+y）．
【点评】此题主要考查了提取公因式法以及十字相乘法分解因式运用十字相乘法分解因式时，要注意观察，尝试，并体会它实质是二项式乘法的逆过程，本题需要进行多次因式分解，分解因式一定要彻底．
（3）【分析】根据所给多项式的系数特点，可以用十字相乘法进行因式分解．
【解答】解：x2﹣x﹣12=（x﹣4）（x+3）．
【点评】本题考查十字相乘法分解因式，十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数．
（4）【分析】首先提取公因式2x，再利用十字相乘法分解因式得出答案．
【解答】解：2x3﹣6x2+4x
=2x（x2﹣3x+2）
=2x（x﹣1）（x﹣2）．
故答案为：2x（x﹣1）（x﹣2）．
【点评】此题主要考查了提取公因式法以及十字相乘法分解因式，正确分解常数项是解题关键．
拓展点五
因式分解应用于判断三角形的形状
【例题1】已知a，b，c为△ABC的三边长，且a4﹣b4+b2c2﹣a2c2=0，则△ABC的形状是（ ）
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等腰直角三角形
D．等腰三角形或直角三角形
【分析】将多项式进行因式分解后即可判断△ABC的形状．
【解答】解：原式=（a2﹣b2）（a2+b2）+c2（b2﹣a2）=（a2﹣b2）（a2+b2﹣c2）=0，
当a2﹣b2=0时
此时△ABC是等腰三角形，
当a2+b2﹣c2=0，
此时△ABC是直角三角形
故选：D．
【点评】本题考查因式分解的应用，涉及等腰三角形的判定，勾股定理逆定理，提取公因式法，平方差公式．
【变式1】已知a、b、c为一个三角形的三条边长，则代数式（a﹣b）2﹣c2的值（ ）
A．一定为负数
B．一定是正数
C．可能是正数，可能为负数
D．可能为零
【分析】先把前三项利用完全平方公式配方，再与第四项利用平方差公式分解因式，然后根据三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边进行判断．
【解答】解：（a﹣b）2﹣c2，
=（a﹣b+c）（a﹣b﹣c），
∵a+c﹣b＞0，a﹣b﹣c＜0，
∴（a﹣b+c）（a﹣b﹣c）＜0，
即（a﹣b）2﹣c2＜0．
故选：A．
【点评】本题考查了利用完全平方公式配方，利用平方差公式因式分解，三角形的三边关系，利用完全平方公式配方整理成两个因式乘积的形式是解题的关键．
【变式2】已知a，b，c是△ABC的三条边，且满足a2﹣b2=c（a﹣b），则△ABC是（ ）
A．锐角三角形
B．钝角三角形
C．等腰三角形
D．等边三角形
【分析】已知等式左边分解因式后，利用两数相乘积为0两因式中至少有一个为0得到a=b，即可确定出三角形形状．
【解答】解：已知等式变形得：（a+b）（a﹣b）﹣c（a﹣b）=0，即（a﹣b）（a+b﹣c）=0，
∵a+b﹣c≠0，
∴a﹣b=0，即a=b，
则△ABC为等腰三角形．
故选：C．
【点评】此题考查了因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
课后作业
一．选择题（共11小题）
1．下列各式属于因式分解的是（ ）
A．（3x+1）（3x﹣1）=9x2﹣1
B．x2﹣2x+4=（x﹣2）2
C．a4﹣1=（a2+1）（a+1）（a﹣1）
D．9x2﹣1+3x=（3x+1）（3x﹣1）+3x
2.若多项式﹣6ab+18abx+24aby的一个因式是﹣6ab，那么另一个因式是（ ）
A．1﹣3x﹣4y
B．﹣1﹣3x﹣4y
C．1+3x﹣4y
D．﹣1﹣3x+4y
3.若（a﹣b﹣2）2+|a+b+3|=0，则a2﹣b2的值是（ ）
A．﹣1
B．1
C．6
D．﹣6
4.下列因式分解正确的是（ ）
A．4m2﹣4m+1=4m（m﹣1）
B．a3b2﹣a2b+a2=a2（ab2﹣b）
C．x2﹣7x﹣10=（x﹣2）（x﹣5）
D．10x2y﹣5xy2=5xy（2x﹣y）
5.下列多项式中，能用公式进行因式分解的是（ ）
A．﹣a2﹣b2
B．x2+2x+4
C．﹣（﹣a）2﹣b2
D．﹣a2+b2
6.若关于x的多项式x2﹣px﹣6含有因式x﹣2，则实数p的值为（ ）
A．﹣5
B．5
C．﹣1
D．1
7.下列因式分解正确的是（ ）
A．（x﹣y）3﹣（x﹣y）=（x﹣y）（x﹣y）2
B．（x﹣y）2﹣（x﹣y）3=（x﹣y）2（x﹣y+1）
C.（x﹣y）2﹣（y﹣x）=（x﹣y）（x﹣y+1）
D．（x﹣y）2﹣（y﹣x）=（x﹣y）（x﹣y﹣0）=（x﹣y）2
8.若多项式x2﹣ax﹣1可分解为（x﹣2）（x+b），则a+b的值为（ ）
A．2
B．1
C．﹣2
D．﹣1
9．多项式x2+7x﹣18因式分解的结果是（ ）
A．（x﹣1）（x+18）
B．（x+2）（x+9）
C．（x﹣3）（x+6）
D．（x﹣2）（x+9）
10.化简：，结果是（ ）
A．
B．
C．
D．
11．△ABC中三边长a，b，c满足条件|a﹣2|+b2﹣6b+9=0，则c边不可能为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
二．填空题（共5小题）
12．若多项式x2﹣mx+n（m、n是常数）分解因式后，有一个因式是x﹣3，则3m﹣n的值为 9 ．
13．对多项式24ab2﹣32a2bc进行因式分解时提出的公因式是 8ab ．
14．2x3y2与12x4y的公因式是 2x3y ．
15．分解因式：2xy﹣6y= 2y（x﹣3） ．
16．若x2+mx+n分解因式的结果是（x+2）（x﹣1），则m+n的值为 ﹣1 ．
三．解答题（共3小题）
17．因式分解：2x2﹣4x．
18．因式分解：
（1）x2+2xy2+2y4；
（2）4b2c2﹣（b2+c2）2；
a（a2﹣1）﹣a2+1；
（4）（a+1）（a﹣1）﹣8．
19．阅读下面材料：
小明遇到这样一个问题：
已知二次三项式x2﹣4x+m有一个因式是（x+3），求另一个因式以及m的值．
小明发现，可以设另一个因式为（x+n），得
x2﹣4x+m=（x+3）（x+n）
则x2﹣4x+m=x2+（n+3）x+3n
∴
利用方程组可以解决．
请回答：
另一个因式为 x﹣7 ，m的值为 ﹣21 ；
参考小明的方法，解决下面的问题：
已知二次三项式2x2+3x﹣k有一个因式是（x﹣4），求另一个因式以及k的值．
课堂小测
1.因式分解：a2﹣a=
．
2.分解因式：（y+2x）2﹣（x+2y）2=
．
3.因式分解：a3﹣2a2b+ab2=
．
4.在实数范围内将下列各式分解因式：
（1）3ax2﹣6axy+3ay2；
（2）x3﹣5x．14.3
因式分解
学习目标
1.了解因式分解的意义
2.理解因式分解的方法------提公因法
2.通过对因式分解方法的归纳学习，培养学生独立思考的习惯
学习重点
知识点一
因式分解【重点】
把一个多项式化成了几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。
【例题1】下列各式从左到右的变形中，为因式分解的是（ ）
A．x（a﹣b）=ax﹣bx
B．x2﹣1+y2=（x﹣1）（x+1）+y2
C．ax+bx+c=x（a+b）+c
D．y2﹣1=（y+1）（y﹣1）
【变式1】下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A．a（x﹣y）=ax﹣ay
B．x2+2x+1=x（x+2）+1
C．（x+1）2=x2+2x+1
D．x2﹣x=x（x﹣1）
【变式2】下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A．（x+1）（x﹣2）=x2﹣x﹣2
B．4a2b3=4a2?b3
C．x2﹣2x+1=（x﹣1）2
D．
知识点二
用提公因式法分解因式
【重点】
1.公因式定义：多项式ma+mb+mc中，各项都含有一个公共的因式m，因式m叫做这个多项式各项的公因式．
2、确定多项式中各项的公因式，可概括为三“定”：
①定系数，即确定各项系数的最大公约数；
②定字母，即确定各项的相同字母因式（或相同多项式因式）；
③定指数，即各项相同字母因式（或相同多项式因式）的指数的最低次幂
3.提公因式法：如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．????
4、提公因式法基本步骤：
（1）先确定公因式；
（2）把多项式的每一项都写成公因式与另一个因式的积的形式
（3）把公因式提到括号外面，各项余下的式子保持原来的和的形式。
【例题1】多项式a2﹣9与a2﹣3a的公因式是（ ）
A．a+3
B．a﹣3
C．a+1
D．a﹣1
【例题2】分解因式x3+4x的结果是（ ）
A．x（x2+4）
B．x（x+2）（x﹣2）
C．x（x+2）2
D．x（x﹣2）2
【变式1】多项式12ab3c+8a3b的各项公因式是（ ）
A．4ab2
B．4abc
C．2ab2
D．4ab
【变式2】多项式2ax2﹣12axy中，应提取的公因式是
．
【变式3】2x3y2与12x4y的公因式是
．
【变式4】分解因式：
（1）3x+15=
．
（2）（a+1）（a﹣1）﹣2a+2=
．
（3）8x2y﹣2y=
．
（4）2m2﹣m=
．
（5）3mx﹣6my=
．
（6）4xy2﹣4x2y﹣y3=
．
（7）（2a+b）2﹣2b（2a+b）=
．
知识点三
用平方差公式分解因式
【重点】
1.
两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积。
2.
如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法．
平方差公式：，其中a,b即可以是单项式，也可以是多项式。
【例题1】多项式x2﹣4因式分解的结果是（ ）
A．（x+2）2
B．（x﹣2）2
C．（x+2）（x﹣2）
D．（x+4）（x﹣4）
【例题2】下列多项式中能用平方差公式分解因式的是（ ）
A．a2+（﹣b）2
B．5m2﹣20mn
C．﹣x2﹣y2
D．﹣x2+9
【变式1】下列多项式中，不能用平方差公式分解因式的是（ ）
A．x2﹣y2
B．﹣x2﹣y2
C．4x2﹣y2
D．﹣4+y2
【变式2】分解因式：
（1）a2﹣6a=
．
（2）x2﹣1=
．
（3）4x2﹣y2=
．
（4）因式分解：9x2﹣4=
．
（5）9m2﹣1=
．
知识点四
用完全平方公式因式分解
【重点】
1.两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的两倍，等于这两个数的和（或差）的平方。
2.公式：
，
【例题1】因式分解：x2﹣1=
．
【例题2】因式分解：a2﹣2ab+b2=
．
【变式1】因式分解：
（1）x2+14x+49=
．
（2）m2+2mn+n2=
．
（3）a2+2a+1=
．
拓展点一
因式分解在计算中的应用
【例题1】利用因式分解计算：2012﹣1992=
．
【变式1】在实数范围内将下列各式因式分解．
①x2﹣2x+3=
．
②5x2﹣7=
．
③x4﹣4．=
．
【变式2】若n为任意整数，（n+11）2﹣n2的值总可以被k整除，则k等于（ ）
A．11
B．22
C．11或12
D．11的倍数
拓展点二
较复杂的因式分解问题
【例题1】因式分解：3ax2﹣12ay2=
．
【例题2】若m=2，则m2﹣4m+4的值是
．
【例题3】若a，b互为相反数，则a2﹣b2=
．
【变式1】因式分解：2a2﹣2=
．
【变式2】已知m=2n+1，则m2﹣4mn+4n2﹣5的值为
．
【变式3】若m=4n+3，则m2﹣8mn+16n2的值是
拓展点三
因式分解在实际生活中应用的问题
【例题1】如图，边长为a、b的长方形的周长为14，面积为10，则a3b+ab3+2a2b2的值为（ ）
A．70
B．140
C．2560
D．490
【变式1】长和宽分别为a，b的长方形的周长为14，面积为10，则a2b+ab2的值为（ ）
A．24
B．35
C．70
D．140
【变式2】观察图形，根据图形面积的关系，不需要连其他的线，便可以得到一个用来分解因式的公式，这个公式是
．
拓展点四
型式子是因式分解
【例题1】因式分解：x2﹣10x+24=
．
【变式1】分解因式：
（1）x2﹣4x+3=
．
（2）2x2﹣8xy﹣10y2=
（3）x2﹣x﹣12=
．
（4）2x3﹣6x2+4x=
．
拓展点五
因式分解应用于判断三角形的形状
【例题1】已知a，b，c为△ABC的三边长，且a4﹣b4+b2c2﹣a2c2=0，则△ABC的形状是（ ）
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等腰直角三角形
D．等腰三角形或直角三角形
【变式1】已知a、b、c为一个三角形的三条边长，则代数式（a﹣b）2﹣c2的值（ ）
A．一定为负数
B．一定是正数
C．可能是正数，可能为负数
D．可能为零
【变式2】已知a，b，c是△ABC的三条边，且满足a2﹣b2=c（a﹣b），则△ABC是（ ）
A．锐角三角形
B．钝角三角形
C．等腰三角形
D．等边三角形
