课后练习
选择题（共10小题）
1．（﹣）﹣1等于（ ）
A．2
B．
C．﹣2
D．﹣
2．下列计算结果正确的有（ ）
①?=；
②8a2b2?（﹣）=﹣6a3；③÷=；
④a÷b?=a．
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
3．下来运算中正确的是（ ）
A．÷=
B．（）2=
C．=
D．?=
4．计算的结果为（ ）
A．1
B．3
C．
D．
5．已知a++2b≠0，则的值为（ ）
A．﹣1
B．1
C．﹣2
D．2
6．已知a2+3a﹣3=0，则代数式a2+的值是（ ）
A．3
B．
C．15
D．9
7．已知a+=3，则（a﹣）2=（ ）
A．3
B．5
C．7
D．9
8．计算（﹣1）﹣2018+（﹣1）2017所得的结果是（ ）
A．﹣1
B．0
C．1
D．﹣2
9．下列运算正确的是（ ）
A．a5+a5=a10
B．a6×a4=a24
C．a0÷a﹣1=a
D．a4﹣a4=a0
10．地球距太阳的距离是150000000km，用科学记数法表示为1.5×10nkm，则n的值为（ ）
A．6
B．7
C．8
D．9
二．填空题（共5小题）
1．计算：（﹣2）0×3﹣2=
．
2.化简：（1+）÷=
．
3．先化简，再求值：，其中x=+1．
4．化简：（x﹣）÷
5．化简：﹣（﹣x﹣y）
三．解答题（共2小题）
1.化简：（﹣a+1）÷
2.计算：
课堂测试
一．选择题（共1小题）
1．若分式在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是（ ）
A．x＞﹣2
B．x＜﹣2
C．x=﹣2
D．x≠﹣2
二．填空题（共2小题）
2．若分式有意义，则实数x的取值范围是
．
若分式的值为0，则x的值为
．
三．解答题（共2小题）
4．根据变化完成式子的变形：=．
5．（1）通分：；
（2）通分：，．
15.2
分式的运算
一、教学目标
（1）熟练掌握分式的乘除、乘方、加减及整数指数幂的运算法则.
（2）经历探索分式的乘除、加减、幂的运算的过程，并能正确运用法则.
（3）培养学生严谨的数学运算思想，以及类比、归纳的能力，并体会数学知识的实际应用价值.
2、教学重难点
（1）教学重点：分式的乘、除法法则，分式的乘方法则，分式的加减法法则；
（2）教学难点：分式的混合运算；
知识点一：分式的乘、除法法则
1.
分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母，用式子表示为·=.
2.
分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘.用式子表示为÷=·=.
【提醒】
1.
分式与分式相乘，若分子、分母是单项式，可先将分子、分母分别相乘，然后约去公因式，化为最简分
式；若分子、分母是多项式，先把分子、分母分解因式，看能否约分，然后再相乘.
2.当整式与分式相乘时，要把整式(看做是分母为1的式子)与分式的分子相乘作为积的分子，分式的分母不变.当整式是多项式时，同样要先分解因式，看能否约分，然后再相乘.
3.分式的除法运算可以转化为分式的乘法运算，若除式(或被除式)是整式时，可以看做是分母是1的式子，然后按照分式除法法则计算.
4.分式的乘除运算结果要通过约分化为最简分式(分式的分子、分母没有公因式)或整式的形式.
5.分式的乘除混合运算，如果没有其他附加条件(如括号等)，则应按照由左到右的顺序进行计算.
例1.计算：
（1）·
（2）3ab2÷
例2.计算2x3÷的结果是（ ）
A．2x2
B．2x4
C．2x
D．4
变式1.化简的结果是（ ）
A．
B．
C．
D．
变式2.计算?的结果为（ ）
A．
B．
C．
D．
知识点二：分式的乘方法则
分式的乘方法则：分式乘方要把分子、分母分别乘方。
用式子表示为：（n为正整数），其中b≠0，a，b可以代表数，也可以代表代数式。
例1.计算（）3?（）2÷（﹣）的结果是（ ）
A．
B．﹣
C．
D．﹣
变式1.计算的结果是（ ）
A．
B．
C．
D．
知识点三：分式的加减法法则
1.
同分母
(?https:?/??/?baike.baidu.com?/?item?/?%E5%88%86%E6%AF%8D?/?5421449"
\t
"https:?/??/?baike.baidu.com?/?item?/?%E5%88%86%E5%BC%8F%E5%8A%A0%E5%87%8F%E6%B3%95%E6%B3%95%E5%88%99?/?_blank?)分式相加减，只把分子
(?https:?/??/?baike.baidu.com?/?item?/?%E5%88%86%E5%AD%90?/?13014748"
\t
"https:?/??/?baike.baidu.com?/?item?/?%E5%88%86%E5%BC%8F%E5%8A%A0%E5%87%8F%E6%B3%95%E6%B3%95%E5%88%99?/?_blank?)相加减，分母不变.
2.
异分母分式相加减，先通分变为同分母分式，再按同分母分式相加减的法则运算。完成分式的加减运算后，若所得分式不是最简分式，应约分
(?https:?/??/?baike.baidu.com?/?item?/?%E7%BA%A6%E5%88%86?/?10107157"
\t
"https:?/??/?baike.baidu.com?/?item?/?%E5%88%86%E5%BC%8F%E5%8A%A0%E5%87%8F%E6%B3%95%E6%B3%95%E5%88%99?/?_blank?)化为最简分式.
【提醒】
1.分式加减运算的结果要化为最简分式或整式.
2.同分母分式相加减时要注意:“把分子相加减”就是把各个分式的分子“整体”相加减，在这里要注意分数线的括号作用.
3.异分母分式加减的一般步骤:①通分：将异分母分式转化为同分母分式；②加减：写成分母不变，分子相加减的形式；③合并：分子去括号，合并同类项；④约分：分子、分母约分，将结果化成最简分式或整弍.因此，异分母分式加减法的关键是通分.
例1.化简﹣的结果是（ ）
A．x+1
B．x﹣1
C．x
D．﹣x
例2．计算﹣a﹣1的结果为（ ）
A．1
B．﹣1
C．
D．
变式1.计算﹣的结果是（ ）
A．1
B．﹣1
C．2
D．﹣2
变式2.已知：﹣=，则的值是（ ）
A．
B．﹣
C．3
D．﹣3
知识点四：分式的混合运算
分式的混合运算与有理数的混合运算一样，先算乘方，再算乘除，最后算加减.如果有括号，先算括号里面的.在运算过程中，要灵活运用有关运算律.
【提醒】
1.在运算过程中，能约分的尽量约分，以便简化运算过程，
2.运算结果一定要是最简形弍.
例1.化简（a﹣1）÷（﹣1）?a的结果是（ ）
A．﹣a2
B．1
C．a2
D．﹣1
例2.化简（1﹣）÷的结果是（ ）
A．（x+1）2
B．（x﹣1）2
C．
D．
变式1.计算（1+）÷的结果是（ ）
A．x+1
B．
C．
D．
变式2．已知x+=6，则x2+=（ ）
A．38
B．36
C．34
D．32
知识点五：负整数指数幂
当幂
(?https:?/??/?baike.baidu.com?/?item?/?%E5%B9%82?/?5846958"
\t
"https:?/??/?baike.baidu.com?/?item?/?%E8%B4%9F%E6%8C%87%E6%95%B0%E5%B9%82?/?_blank?)的指数为负数时，称为“负指数幂”。正数a的-p次幂(p为任何正数)定义为a的p次幂的倒数.
【提醒】
分式的约分与同底数幂除法两者相结合是推出的依据.
例1.3﹣1的值等于（ ）
A．﹣3
B．3
C．﹣
D．
例2．（）﹣2=（ ）
A．﹣4
B．
C．﹣
D．4
变式1.﹣2的相反数为a，则a﹣1的值为（ ）
A．2
B．﹣2
C．
D．
变式2.计算：= 7 ．
知识点六：用科学记数法表示绝对值小于1的数
科学记数法是一种记数的方法。把一个数表示成a（1≤a<10，n为整数）与10的幂相乘的形式，这种记数法叫做科学记数法。
【提醒】
1.
在这里a的整数位只有一位.
2.
n是指从小数点后到第一个不是零的数的位数的相反数.
例1.据《中国教育报》近期报道，4年来全国在义务教育阶段经费累计投入2.37万亿元，数据2.37万亿用科学记数法表示为（ ）亿．
A．2.37×103
B．2.37×104
C．2.37×105
D．0.237×106
变式1.长江是我们中华民族的母亲河，她的长约6300千米，用科学记数法表示她的长度是 米．
拓展点一：分式的混合运算
例1.化简÷+的结果是（ ）
A．1
B．
C．
D．
例2.化简得（ ）
A．
B．﹣
C．
D．
变式1．计算的结果是（ ）
A．
B．0
C．
D．
拓展点二：分式运算的巧用
例1.计算：（﹣）．
例2.计算：
（1）a（a+2b）﹣（a+b）（a﹣b）
（2）（+x+2）
拓展点三：分式的化简求值
例1.先化简，再求值：（﹣）÷，其中a=．
例2.先化简，再求值：（+）÷，其中x=﹣．
变式1.先化简，再求值：（﹣）÷，其中x满足x2﹣2x﹣2=0．
拓展点四：负整数指数幂的应用
例1.计算（﹣）﹣4×（1﹣π）0﹣|﹣15|=
．
变式1.计算
（x﹣1+y﹣1）÷（x﹣1﹣y﹣1）=
．
拓展点五：分式运算的实际应用
例1.已知小丽和小颖购买同一种商品的平均价格分别为元/千克和元/千克（a，b是正数，且a≠b），请比较小丽和小颖所购买商品的平均价格的高低．
变式1．商店通常用以下方法来确定两种糖果混合而成的什锦糖的价格：设A种糖的单价为a元/kg，B种糖的单价为b元/kg，则m
kg
A种糖和n
kg
B种糖混合而成的什锦糖的单价为元/kg．现有甲、乙两种什锦糖，均由A，B两种单价不同的糖混合而成．其中甲种什锦糖由10kg
A种糖和10kg
B种糖混合而成，乙种什锦糖由价值100元的A种糖和价值100元的B种糖混合而成．你认为哪一种什锦糖的单价较高？为什么？
课后练习
选择题（共10小题）
1．（﹣）﹣1等于（ ）
A．2
B．
C．﹣2
D．﹣
【分析】根据负整数指数幂的意义即可求出答案．
【解答】解：原式=﹣2
故选：C．
【点评】本题考查负整数指数幂的意义，解题的关键是熟练运用负整数指数幂的意义，本题属于基础题型．
2．下列计算结果正确的有（ ）
①?=；
②8a2b2?（﹣）=﹣6a3；③÷=；
④a÷b?=a．
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【分析】原式各项计算得到结果，即可作出判断．
【解答】解：①?=；
正确；
②8a2b2?（﹣）=﹣6a3；正确；
③÷=；正确；
④a÷b?=a．错误．
故选：C．
【点评】此题考查了分式的乘除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
3．下来运算中正确的是（ ）
A．÷=
B．（）2=
C．=
D．?=
【分析】根据分式的乘除运算法则逐一判断即可得．
【解答】解：A、÷=?=，此选项错误；
B、（）2=，此选项错误；
C、=﹣，此选项错误；
D、?=，此选项正确；
故选：D．
【点评】本题主要考查分式的乘除运算，解题的关键是熟练掌握分式乘除运算法则及分式的性质．
4．计算的结果为（ ）
A．1
B．3
C．
D．
【分析】原式利用同分母分式的减法法则计算即可求出值．
【解答】解：原式==，
故选：C．
【点评】此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
5．已知a++2b≠0，则的值为（ ）
A．﹣1
B．1
C．﹣2
D．2
【分析】求出ab+1≠0，把a++2b去分母，移项，分解因式，即可求出a=2b，代入求出即可．
【解答】解：a++2b≠0，
a2b+a=2b+2ab2，
ab（a﹣2b）+（a﹣2b）=0，
（a﹣2b）（ab+1）=0，
∵a+≠0，
∴ab+1≠0，
∴a﹣2b=0，
∴a=2b，
∴==2，
故选：D．
【点评】本题考查了比例的性质和求分式的值，能根据比例的性质求出a=2b是解此题的关键．
6．已知a2+3a﹣3=0，则代数式a2+的值是（ ）
A．3
B．
C．15
D．9
【分析】根据完全平方公式以及整体的思想即可求出答案．
【解答】解：由于a2+3a=3，
显然a≠0，
∴a﹣=﹣3
∴（a﹣）2=a2﹣6+
∴9=a2﹣6+
∴a2+=15
故选：C．
【点评】本题考查完全平方公式，解题的关键是熟练运用完全平方公式，本题属于基础题型．
7．已知a+=3，则（a﹣）2=（ ）
A．3
B．5
C．7
D．9
【分析】根据完全平方公式即可求出答案．
【解答】解：由于a+=3，
∴（a﹣）2
=a2﹣2+
=（a+）2﹣4
=9﹣4
=5
故选：B．
【点评】本题考查完全平方公式，解题的关键是熟练运用配方法，本题属于基础题型．
8．计算（﹣1）﹣2018+（﹣1）2017所得的结果是（ ）
A．﹣1
B．0
C．1
D．﹣2
【分析】直接利用负指数幂的性质化简进而得出答案．
【解答】解：原式=1﹣1
=0．
故选：B．
【点评】此题主要考查了负整数指数幂的性质，正确化简各数是解题关键．
9．下列运算正确的是（ ）
A．a5+a5=a10
B．a6×a4=a24
C．a0÷a﹣1=a
D．a4﹣a4=a0
【分析】根据同底数幂的乘法、除法法则及合并同类项法则计算．
【解答】解：A、中a5+a5=2a5错误；
B、中a6×a4=a10错误；
C、正确；
D、中a4﹣a4=0，错误；
故选：C．
【点评】本题考查的知识点很多，掌握每个知识点是解题的关键．
10．地球距太阳的距离是150000000km，用科学记数法表示为1.5×10nkm，则n的值为（ ）
A．6
B．7
C．8
D．9
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值是易错点，由于150000000有9位，所以可以确定n=9﹣1=8．
【解答】解：150
000
000=1.5×108．
故选：C．
【点评】此题考查科学记数法表示较大的数的方法，准确确定a与n值是关键．
二．填空题（共5小题）
1．计算：（﹣2）0×3﹣2= ．
【分析】直接利用负指数幂的性质以及零指数幂的性质化简得出答案．
【解答】解：原式=1×=．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了负指数幂的性质以及零指数幂的性质，正确化简各数是解题关键．
2.化简：（1+）÷= ．
【分析】根据分式的加法和除法可以解答本题．
【解答】解：（1+）÷
=
=
=，
故答案为：．
【点评】本题考查分式的混合运算，解答本题的关键是明确分式的混合运算的计算方法．
3．先化简，再求值：，其中x=+1．
【分析】根据分式的运算法则即可求出答案．
【解答】解：当x=+1时
原式=?
=x﹣1
=
【点评】本题考查分式的运算法则，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．
4．化简：（x﹣）÷
【分析】根据分式的减法和除法可以解答本题．
【解答】解：（x﹣）÷
=
=
=x﹣y．
【点评】本题考查分式的混合运算，解答本题的关键是明确分式的混合运算的计算方法．
5．化简：﹣（﹣x﹣y）
【分析】根据分式的运算法则即可求出答案．
【解答】解：原式=?+?（x+y）
=﹣+1
=1
【点评】本题考查分式的运算法则，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．
三．解答题（共2小题）
1.化简：（﹣a+1）÷
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果．
【解答】解：原式=?=?=﹣．
【点评】此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
2.计算：
【分析】根据分式的运算法则即可求出答案．
【解答】解：原式=×﹣
=﹣
=
=﹣1
【点评】本题考查分式的运算法则，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．
课堂测试
一．选择题（共1小题）
1．若分式在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是（ ）
A．x＞﹣2
B．x＜﹣2
C．x=﹣2
D．x≠﹣2
【分析】直接利用分式有意义的条件分析得出答案．
【解答】解：∵代数式在实数范围内有意义，
∴x+2≠0，
解得：x≠﹣2．
故选：D．
【点评】此题主要考查了分式有意义的条件，正确把握定义是解题关键．
二．填空题（共2小题）
2．若分式有意义，则实数x的取值范围是 x≠3 ．
【分析】根据分母不能为零，可得答案．
【解答】解：由题意，得
x﹣3≠0，
解得x≠3，
故答案为：x≠3．
【点评】本题考查了分式有意义的条件，利用分式有意义得出不等式是解题关键．
3．若分式的值为0，则x的值为 ﹣3 ．
【分析】分式的值为0的条件是：（1）分子=0；（2）分母≠0．两个条件需同时具备，缺一不可．据此可以解答本题．
【解答】解：因为分式的值为0，所以=0，
化简得x2﹣9=0，即x2=9．
解得x=±3
因为x﹣3≠0，即x≠3
所以x=﹣3．
故答案为﹣3．
【点评】本题主要考查分式的值为0的条件，注意分母不为0．
三．解答题（共2小题）
4．根据变化完成式子的变形：=．
【分析】根据分式的基本性质，分式有意义，则可对分子、分母先提取公因式，再化简解答．
【解答】解：提取公因式，得，
=，
分式有意义，则y≠0且x﹣y≠0，
化简得，原式=；
故答案为：y
【点评】本题主要考查了分式基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变．
5．（1）通分：；
（2）通分：，．
【分析】找出最简公分母，根据分式的通分法则计算即可．
【解答】解：（1）=，=；
（2）=，=．
【点评】本题考查的是分式的通分、约分，掌握分式的基本性质是解题的关键．
15.2
分式的运算
一、教学目标
（1）熟练掌握分式的乘除、乘方、加减及整数指数幂的运算法则.
（2）经历探索分式的乘除、加减、幂的运算的过程，并能正确运用法则.
（3）培养学生严谨的数学运算思想，以及类比、归纳的能力，并体会数学知识的实际应用价值.
2、教学重难点
（1）教学重点：分式的乘、除法法则，分式的乘方法则，分式的加减法法则；
（2）教学难点：分式的混合运算；
知识点一：分式的乘、除法法则
1.
分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母，用式子表示为·=.
2.
分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘.用式子表示为÷=·=.
【提醒】
1.
分式与分式相乘，若分子、分母是单项式，可先将分子、分母分别相乘，然后约去公因式，化为最简分
式；若分子、分母是多项式，先把分子、分母分解因式，看能否约分，然后再相乘.
2.当整式与分式相乘时，要把整式(看做是分母为1的式子)与分式的分子相乘作为积的分子，分式的分母不变.当整式是多项式时，同样要先分解因式，看能否约分，然后再相乘.
3.分式的除法运算可以转化为分式的乘法运算，若除式(或被除式)是整式时，可以看做是分母是1的式子，然后按照分式除法法则计算.
4.分式的乘除运算结果要通过约分化为最简分式(分式的分子、分母没有公因式)或整式的形式.
5.分式的乘除混合运算，如果没有其他附加条件(如括号等)，则应按照由左到右的顺序进行计算.
例1.计算：
（1）·
（2）3ab2÷
【解析】直接根据公式的乘除法法则进行计算.
例2.计算2x3÷的结果是（ ）
A．2x2
B．2x4
C．2x
D．4
【分析】原式利用除法法则变形，计算即可得到结果．
【解答】解：原式=2x3?x=2x4，
故选：B．
【点评】此题考查了分式的乘除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
变式1.化简的结果是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】首先将能分解因式的进行分解因式，进而化简求出即可．
【解答】解：原式=×
=．
故选：B．
【点评】此题主要考查了分式的乘除法，正确分解因式得出是解题关键．
变式2.计算?的结果为（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】原式变形后，约分即可得到结果．
【解答】解：原式=?=，
故选：D．
【点评】此题考查了分式的乘除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
知识点二：分式的乘方法则
分式的乘方法则：分式乘方要把分子、分母分别乘方。
用式子表示为：（n为正整数），其中b≠0，a，b可以代表数，也可以代表代数式。
例1.计算（）3?（）2÷（﹣）的结果是（ ）
A．
B．﹣
C．
D．﹣
【分析】原式先计算乘方运算，再计算乘除运算即可求出值．
【解答】解：原式=??（﹣）=﹣，
故选：D．
【点评】此题考查了分式的乘除法以及分式的乘方，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
变式1.计算的结果是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】首先计算乘方，然后计算分式的乘法即可求解．
【解答】解：原式=﹣?=﹣．
故选：C．
【点评】分式的乘除混合运算一般是统一为乘法运算，如果有乘方，还应根据分式乘方法则先乘方，即把分子、分母分别乘方，然后再进行乘除运算．
知识点三：分式的加减法法则
1.
同分母
(?https:?/??/?baike.baidu.com?/?item?/?%E5%88%86%E6%AF%8D?/?5421449"
\t
"https:?/??/?baike.baidu.com?/?item?/?%E5%88%86%E5%BC%8F%E5%8A%A0%E5%87%8F%E6%B3%95%E6%B3%95%E5%88%99?/?_blank?)分式相加减，只把分子
(?https:?/??/?baike.baidu.com?/?item?/?%E5%88%86%E5%AD%90?/?13014748"
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2.
异分母分式相加减，先通分变为同分母分式，再按同分母分式相加减的法则运算。完成分式的加减运算后，若所得分式不是最简分式，应约分
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【提醒】
1.分式加减运算的结果要化为最简分式或整式.
2.同分母分式相加减时要注意:“把分子相加减”就是把各个分式的分子“整体”相加减，在这里要注意分数线的括号作用.
3.异分母分式加减的一般步骤:①通分：将异分母分式转化为同分母分式；②加减：写成分母不变，分子相加减的形式；③合并：分子去括号，合并同类项；④约分：分子、分母约分，将结果化成最简分式或整弍.因此，异分母分式加减法的关键是通分.
例1.化简﹣的结果是（ ）
A．x+1
B．x﹣1
C．x
D．﹣x
【分析】原式利用同分母分式的减法法则计算，约分即可得到结果．
【解答】解：原式==x，
故选：C．
【点评】此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
例2．计算﹣a﹣1的结果为（ ）
A．1
B．﹣1
C．
D．
【分析】根据分式的运算法则即可求出答案．
【解答】解：原式=﹣
=
故选：C．
【点评】本题考查分式的运算法则，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．
变式1.计算﹣的结果是（ ）
A．1
B．﹣1
C．2
D．﹣2
【分析】原式利用同分母分式的减法法则计算，约分即可得到结果．
【解答】解：原式==﹣=﹣1．
故选：B．
【点评】此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
变式2.已知：﹣=，则的值是（ ）
A．
B．﹣
C．3
D．﹣3
【分析】由﹣=知=，据此可得答案．
【解答】解：∵﹣=，
∴=，
则=3，
故选：C．
【点评】本题主要考查分式的加减法，解题的关键是掌握分式加减运算法则与分式的性质．
知识点四：分式的混合运算
分式的混合运算与有理数的混合运算一样，先算乘方，再算乘除，最后算加减.如果有括号，先算括号里面的.在运算过程中，要灵活运用有关运算律.
【提醒】
1.在运算过程中，能约分的尽量约分，以便简化运算过程，
2.运算结果一定要是最简形弍.
例1.化简（a﹣1）÷（﹣1）?a的结果是（ ）
A．﹣a2
B．1
C．a2
D．﹣1
【分析】根据分式的混合运算顺序和运算法则计算可得．
【解答】解：原式=（a﹣1）÷?a
=（a﹣1）??a
=﹣a2，
故选：A．
【点评】本题主要考查分式的混合运算，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
例2.化简（1﹣）÷的结果是（ ）
A．（x+1）2
B．（x﹣1）2
C．
D．
【分析】先对括号内的式子通分，然后再将除法转化为乘法即可解答本题．
【解答】解：（1﹣）÷
=
=
=（x﹣1）2，
故选：B．
【点评】本题考查分式的混合运算，解题的关键是明确分式的混合运算的计算方法．
变式1.计算（1+）÷的结果是（ ）
A．x+1
B．
C．
D．
【分析】先计算括号内分式的加法、将除式分子因式分解，再将除法转化为乘法，约分即可得．
【解答】解：原式=（+）÷
=?
=，
故选：B．
【点评】本题主要考查分式的混合运算，解题的关键是掌握分式混合运算顺序和运算法则．
变式2．已知x+=6，则x2+=（ ）
A．38
B．36
C．34
D．32
【分析】把x+=6两边平方，利用完全平方公式化简，即可求出所求．
【解答】解：把x+=6两边平方得：（x+）2=x2++2=36，
则x2+=34，
故选：C．
【点评】此题考查了分式的混合运算，以及完全平方公式，熟练掌握运算法则及公式是解本题的关键．
知识点五：负整数指数幂
当幂
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"https:?/??/?baike.baidu.com?/?item?/?%E8%B4%9F%E6%8C%87%E6%95%B0%E5%B9%82?/?_blank?)的指数为负数时，称为“负指数幂”。正数a的-p次幂(p为任何正数)定义为a的p次幂的倒数.
【提醒】
分式的约分与同底数幂除法两者相结合是推出的依据.
例1.3﹣1的值等于（ ）
A．﹣3
B．3
C．﹣
D．
【分析】根据负整数指数幂与正整数指数幂互为倒数，可得答案．
【解答】解：3﹣1=，
故选：D．
【点评】本题考查了负整数指数幂，利用了负整数指数幂与正整数指数幂互为倒数．
例2．（）﹣2=（ ）
A．﹣4
B．
C．﹣
D．4
【分析】根据负整数指数幂：a﹣p=（a≠0，p为正整数）进行计算即可．
【解答】解：原式=4，
故选：D．
【点评】此题主要考查了负整数指数幂，关键是掌握计算公式．
变式1.﹣2的相反数为a，则a﹣1的值为（ ）
A．2
B．﹣2
C．
D．
【分析】直接利用相反数的定义进而利用负指数幂的性质得出答案．
【解答】解：∵﹣2的相反数为a，
∴a=2，
∴a﹣1=2﹣1=．
故选：D．
【点评】此题主要考查了负指数幂的性质以及相反数，正确把握相关定义是解题关键．
变式2.计算：= 7 ．
【分析】根据负整数指数幂计算即可．
【解答】解：=9﹣2=7，
故答案为：7
【点评】此题考查负整数指数幂，关键是根据负整数指数幂解答．
知识点六：用科学记数法表示绝对值小于1的数
科学记数法是一种记数的方法。把一个数表示成a（1≤a<10，n为整数）与10的幂相乘的形式，这种记数法叫做科学记数法。
【提醒】
1.
在这里a的整数位只有一位.
2.
n是指从小数点后到第一个不是零的数的位数的相反数.
例1.据《中国教育报》近期报道，4年来全国在义务教育阶段经费累计投入2.37万亿元，数据2.37万亿用科学记数法表示为（ ）亿．
A．2.37×103
B．2.37×104
C．2.37×105
D．0.237×106
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．
【解答】解：由题可得：2.37万亿=23700亿=2.37×104．
故选：B．
【点评】此题考查科学记数法表示较大的数的方法，准确确定a与n值是关键．
变式1.长江是我们中华民族的母亲河，她的长约6300千米，用科学记数法表示她的长度是 6.3×103 米．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值是易错点，由于6
300有4位，所以可以确定n=4﹣1=3．
【解答】解：6
300=6.3×103．
故答案为：6.3×103．
【点评】此题考查科学记数法表示较大的数的方法，准确确定n值是关键．
拓展点一：分式的混合运算
例1.化简÷+的结果是（ ）
A．1
B．
C．
D．
【分析】先计算除法，再计算加法即可得．
【解答】解：原式=?（x﹣1）2+
=+
=
=1，
故选：A．
【点评】本题主要考查分式的混合运算，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
例2.化简得（ ）
A．
B．﹣
C．
D．
【分析】把除法化为乘法，能分解因式的分解因式，按乘法分配律，最后约分即可．
【解答】解：原式=+，
=，
=，
=．
故选：D．
【点评】本题主要考查分式的混合运算，通分、因式分解和约分是解答的关键．注意：y﹣x﹣﹣（x﹣y）．
变式1．计算的结果是（ ）
A．
B．0
C．
D．
【分析】根据分式的混合运算顺序和运算法则计算可得．
【解答】解：原式=?﹣?+
=﹣﹣
=
=0，
故选：B．
【点评】本题主要考查分式的混合运算，分式的混合运算，一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法的运算律进行灵活运算．
拓展点二：分式运算的巧用
例1.计算：（﹣）．
【分析】先把括号内通分，再把除法运算化为乘法运算，然后把分子分母因式分解后约分即可．
【解答】解：原式=[﹣]?
=?
=?
=．
【点评】本题考查了分式的混合运算：分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序；先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的；最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．
例2.计算：
（1）a（a+2b）﹣（a+b）（a﹣b）
（2）（+x+2）
【分析】（1）原式利用单项式乘以多项式法则，平方差公式化简，去括号合并即可得到结果；
（2）原式通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果．
【解答】解：（1）原式=a2+2ab﹣a2+b2=2ab+b2；
（2）原式=?=．
【点评】此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
拓展点三：分式的化简求值
例1.先化简，再求值：（﹣）÷，其中a=．
【分析】先根据分式混合运算顺序和运算法则化简原式，再将a的值代入计算可得．
【解答】解：原式=[﹣]÷
=?
=，
当a=时，
原式===5﹣2．
【点评】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式混合运算顺序和运算法则．
例2.先化简，再求值：（+）÷，其中x=﹣．
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值．
【解答】解：原式=?=，
当x=﹣时，原式=2．
【点评】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
变式1.先化简，再求值：（﹣）÷，其中x满足x2﹣2x﹣2=0．
【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再由x2﹣2x﹣2=0得x2=2x+2=2（x+1），整体代入计算可得．
【解答】解：原式=[﹣]÷
=?
=，
∵x2﹣2x﹣2=0，
∴x2=2x+2=2（x+1），
则原式==．
【点评】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
拓展点四：负整数指数幂的应用
例1.计算（﹣）﹣4×（1﹣π）0﹣|﹣15|=
．
【分析】直接利用负指数幂的性质以及结合零指数幂的性质和绝对值的性质分别化简得出答案．
【解答】解：原式=×1﹣15
=16﹣15
=1．
故答案为：1．
【点评】此题主要考查了负指数幂的性质以及零指数幂的性质和绝对值的性质，正确化简各数是解题关键．
变式1.计算
（x﹣1+y﹣1）÷（x﹣1﹣y﹣1）=
．
【分析】根据a﹣p=，将括号里面的式子化为分式，然后进行分式的除法运算即可．
【解答】解：原式=（+）÷（﹣）=÷=．
故答案为：．
【点评】此题考查了负整数指数幂及分式的除法运算，解答本题的关键是将负整数指数幂转化为分式的形式．
拓展点五：分式运算的实际应用
例1.已知小丽和小颖购买同一种商品的平均价格分别为元/千克和元/千克（a，b是正数，且a≠b），请比较小丽和小颖所购买商品的平均价格的高低．
【分析】根据作差法，比较小丽与小颖的价格即可．
【解答】解：∵a，b是正数，且a≠b，
∴﹣==＞0，
∴＞，
则小丽的价格高，小颖的价格低．
【点评】此题考查了列代数式、分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键
变式1．商店通常用以下方法来确定两种糖果混合而成的什锦糖的价格：设A种糖的单价为a元/kg，B种糖的单价为b元/kg，则m
kg
A种糖和n
kg
B种糖混合而成的什锦糖的单价为元/kg．现有甲、乙两种什锦糖，均由A，B两种单价不同的糖混合而成．其中甲种什锦糖由10kg
A种糖和10kg
B种糖混合而成，乙种什锦糖由价值100元的A种糖和价值100元的B种糖混合而成．你认为哪一种什锦糖的单价较高？为什么？
【分析】根据单价=总价÷数量分别求出甲糖单价和乙糖单价，再根据作差法比较大小即可求解．
【解答】解：甲糖单价为：（10a+10b）÷20=（a+b）（元），
乙糖单价为：（100+100）÷（+）=（元），
（a+b）﹣==，
∵甲、乙两种什锦糖，均由A，B两种单价不同的糖混合而成，
∴＞0，
∴甲糖的单价较高．
【点评】本题考查了列代数式（分式），分式的加减法．注意代数式的正确书写：出现除号的时候，用分数线代替．
