15.3
分式方程
教学目标：
1、了解分式方程的概念和检验根的意义，会解可化为一元一次方程的分式方程．
2、会列出分式方程解简单的应用问题．
教学重难点：分式方程求解步骤，应用过程中等量关系寻找。
知识点一：分式方程的定义
分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程．
判断一个方程是否为分式方程主要是看这个方程的分母中是否含有未知数．
例题．下列方程中是分式方程（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】直接利用分式方程以及一元一次方程的定义分析得出答案．
【解答】解：A、﹣3x=1是一元一次方程，故此选项错误；
B、2x﹣=1，是一元一次方程，故此选项错误；
C、﹣2x=0是一元一次方程，故此选项错误；
D、﹣2=0，是分式方程，正确．
故选：D．
【点评】此题主要考查了分式方程以及一元一次方程的定义，正确把握相关定义是解题关键．
变式1．下列方程不是分式方程的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据分式方程的定义：分母里含有字母的方程叫做分式方程判断．
【解答】解：A、B、C项中的方程分母中都含未知数，是分式方程；
D项不含未知数，不是分式方程，
故选：D．
【点评】判断一个方程是否为分式方程，主要是依据分式方程的定义，也就是看分母中是否含有未知数．
变式2．观察下列方程：
（1）；（2）；（3）；（4）
其中是关于x的分式方程的有（ ）
A．（1）
B．（2）
C．（2）（3）
D．（2）（4）
【分析】根据分式方程的定义：分母里含有字母的方程叫做分式方程判断．
【解答】解：（1）（4）中的方程分母中不含未知数，故不是分式方程；
而（2）（3）的方程分母中含未知数x，所以是分式方程．
故选：C．
【点评】判断一个方程是否为分式方程，主要是依据分式方程的定义，也就是看分母中是否含有未知数（注意：仅仅是字母不行，必须是表示未知数的字母）．
知识点二：分式方程的解（重点）
求出使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于0的未知数的值，这个值叫方程的解．
注意：在解方程的过程中因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根，增根是令分母等于0的值，不是原分式方程的解．
例题．方程=1的解是（ ）
A．x=1
B．x=3
C．x=4
D．无解
【分析】找出分式方程的最简公分母，方程左右两边同时乘以最简公分母，去分母后再利用去括号法则去括号，移项合并，将x的系数化为1，求出x的值，将求出的x的值代入最简公分母中进行检验，即可得到原分式方程的解．
【解答】解：化为整式方程为：3﹣x﹣1=x﹣4，
解得：x=3，
经检验x=3是原方程的解，
故选：B．
【点评】此题考查了分式方程的解法．注意解分式方程一定要验根．
变式1．分式方程﹣1=的解为（ ）
A．x=1
B．x=2
C．x=﹣1
D．无解
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：去分母得：x2+2x﹣x2﹣x+2=3，
解得：x=1，
经检验x=1是增根，分式方程无解．
故选：D．
【点评】此题考查了分式方程的解，始终注意分母不为0这个条件．
变式2．已知x=3是分式方程=3的解，那么实数k的值为（ ）
A．1
B．
C．6
D．9
【分析】将x=3代入原方程即可求出k的值．
【解答】解：将x=3代入方程，得：=3，
解得：k=6，
故选：C．
【点评】本题考查分式方程的解，解题的关键是将x=3代入原方程中得到关于k的方程．
知识点三：分式方程的解法（难点）
（1）解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论．
（2）解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母为0，所以应如下检验：
①将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解．
②将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值为0，则整式方程的解不是原分式方程的解．
所以解分式方程时，一定要检验．
例题．解方程：﹣=1
【分析】观察可得最简公分母是（x﹣5），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解
【解答】解：两边都乘以x﹣5，得：3x﹣10=x﹣5，
解得：x=，
检验：x=时，x﹣5=﹣≠0，
所以分式方程的解为x=．
【点评】本题考查了分式方程的解法，（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．（2）解分式方程一定注意要验根．
变式1．解方程：+=．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：去分母得：7（x﹣3）+2=2（x+3），
整理得：5x=25，
解得：x=5，
经检验x=5是分式方程的解．
故原方程的解为x=5．
【点评】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
变式2．解分式方程：
（1）
（2）
【分析】两分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：（1）去分母得：x2+2x﹣x2﹣x+2=3，
解得：x=1，
经检验x=1是增根，分式方程无解；
（2）去分母得：1=3x﹣1+4，
解得：x=﹣，
经检验x=﹣是分式方程的解．
【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
变式3．解方程：=﹣1
【分析】解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论．依此即可求解．
【解答】解：=﹣1，
整理，得：，
去分母，得：2x=3x﹣3（x﹣1），
去括号，得：2x=3x﹣3x+3，
合并同类项，得：2x=3，
系数化为1，得：，
检验：当时，3（x﹣1）≠0．
∴是原方程的解．
∴原方程的解为．
【点评】考查了解分式方程，解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母为0，所以应如下检验：
①将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解．
②将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值为0，则整式方程的解不是原分式方程的解．所以解分式方程时，一定要检验．
知识点四：分式方程的实际应用（难点）
1、列分式方程解应用题的一般步骤：设、列、解、验、答．
必须严格按照这5步进行做题，规范解题步骤，另外还要注意完整性：如设和答叙述要完整，要写出单位等．
2、要掌握常见问题中的基本关系，如行程问题：速度=路程时间；工作量问题：工作效率=工作量工作时间
等等．
列分式方程解应用题一定要审清题意，找相等关系是着眼点，要学会分析题意，提高理解能力
例题．我市经济技术开发区某智能手机有限公司接到生产300万部智能手机的订单，为了尽快交货，增开了一条生产线，实际每月生产能力比原计划提高了50%，结果比原计划提前5个月完成交货，求每月实际生产智能手机多少万部．
【分析】设原计划每月生产智能手机x万部，则实际每月生产智能手机（1+50%）x万部，根据工作时间=工作总量÷工作效率结合提前5个月完成任务，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．
【解答】解：设原计划每月生产智能手机x万部，则实际每月生产智能手机（1+50%）x万部，
根据题意得：﹣=5，
解得：x=20，
经检验，x=20是原方程的解，且符合题意，
∴（1+50%）x=30．
答：每月实际生产智能手机30万部．
【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
变式1．2018年1月25日，济南至成都方向的高铁线路正式开通，高铁平均时速为普快平均时速的4倍，从济南到成都的高铁运行时间比普快列车减少了26小时．已知济南到成都的火车行车里程约为2288千米，求高铁列车的平均时速．
【分析】设普快列车的平均时速为x千米/小时，则高铁列车的平均时速为4x千米/小时，根据时间=路程÷速度结合从济南到成都的高铁运行时间比普快列车减少了26小时，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．
【解答】解：设普快列车的平均时速为x千米/小时，则高铁列车的平均时速为4x千米/小时，
根据题意得：，
解得：x=66，
经检验，x=66是原方程的根，且符合题意，
∴原方程的解为x=66，
∴4x=66×4=264．
答：高铁列车的平均时速为264千米/小时．
【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
变式2．为落实党中央“长江大保护”新发展理念，我市持续推进长江岸线保护，还洞庭湖和长江水清岸绿的自然生态原貌．某工程队负责对一面积为33000平方米的非法砂石码头进行拆除，回填土方和复绿施工，为了缩短工期，该工程队增加了人力和设备，实际工作效率比原计划每天提高了20%，结果提前11天完成任务，求实际平均每天施工多少平方米？
【分析】设原计划平均每天施工x平方米，则实际平均每天施工1.2x平方米，根据时间=工作总量÷工作效率结合提前11天完成任务，即可得出关于x的分式方程，解之即可得出结论．
【解答】解：设原计划平均每天施工x平方米，则实际平均每天施工1.2x平方米，
根据题意得：﹣=11，
解得：x=500，
经检验，x=500是原方程的解，
∴1.2x=600．
答：实际平均每天施工600平方米．
【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
变式3．某青春党支部在精准扶贫活动中，给结对帮扶的贫困家庭赠送甲、乙两种树苗让其栽种．已知乙种树苗的价格比甲种树苗贵10元，用480元购买乙种树苗的棵数恰好与用360元购买甲种树苗的棵数相同．
（1）求甲、乙两种树苗每棵的价格各是多少元？
（2）在实际帮扶中，他们决定再次购买甲、乙两种树苗共50棵，此时，甲种树苗的售价比第一次购买时降低了10%，乙种树苗的售价不变，如果再次购买两种树苗的总费用不超过1500元，那么他们最多可购买多少棵乙种树苗？
【分析】（1）可设甲种树苗每棵的价格是x元，则乙种树苗每棵的价格是（x+10）元，根据等量关系：用480元购买乙种树苗的棵数恰好与用360元购买甲种树苗的棵数相同，列出方程求解即可；
（2）可设他们可购买y棵乙种树苗，根据不等关系：再次购买两种树苗的总费用不超过1500元，列出不等式求解即可．
【解答】解：（1）设甲种树苗每棵的价格是x元，则乙种树苗每棵的价格是（x+10）元，依题意有
=，
解得：x=30．
经检验，x=30是原方程的解，
x+10=30+10=40．
答：甲种树苗每棵的价格是30元，乙种树苗每棵的价格是40元．
（2）设他们可购买y棵乙种树苗，依题意有
30×（1﹣10%）（50﹣y）+40y≤1500，
解得y≤11，
∵y为整数，
∴y最大为11．
答：他们最多可购买11棵乙种树苗．
【点评】考查了分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系和不等关系是解决问题的关键
拓展点一：解分式方程
例题．解方程：
（1）
（2）．
【分析】各分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：（1）去分母得：1﹣x﹣x﹣3=﹣x+2，
解得：x=﹣4，
经检验x=﹣4是分式方程的解；
（2）方程去分母得：2x﹣6﹣3x﹣9=14x，
解得：x=﹣1，
经检验x=﹣1是分式方程的解．
【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
变式1．解分式方程：﹣=
【分析】解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论．依此即可求解．
【解答】解：﹣=，
去分母，得（2x+2）（x﹣2）﹣x（x+2）=x2﹣2，
去括号，得﹣4x=2，
解得x=﹣，
经检验，x=﹣是原分式方程的解．
【点评】考查了解分式方程，解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母为0，所以应如下检验：①将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解．②将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值为0，则整式方程的解不是原分式方程的解．所以解分式方程时，一定要检验．
变式2．解分式方程﹣1=
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：方程两边乘（x﹣2）（x+1），得：x（x+1）﹣（x﹣2）（x+1）=6，
解得：x=2．
检验：当x=2时，（x﹣2）（x+1）=0，
因此x=2不是原分式方程的解．
所以，原分式方程无解．
【点评】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
拓展点二：利用分式方程的解的情况来确定未知系数的值
例题．关于x的方程：=+1．
（1）当a=2时，求这个方程的解；
（2）若这个方程无解且a≠1，求a的值．
【分析】（1）把a=2代入方程，解分式方程即可；
（2）根据增根的概念解答．
【解答】解：（1）当a=2时，原方程为=+1，
方程两边同时乘以（x﹣1）得：2x+1=﹣2+x﹣1，
解这个整式方程得：x=﹣4，
检验：将x=﹣4代入x﹣1=﹣4﹣1=﹣5≠0，
∴x=﹣4是原方程的解；
（2）方程两边同时乘以（x﹣1）得ax+1=﹣2+x﹣1，
若原方程无解，则x﹣1=0，
解得：x=1，
将x=1代入整式方程得：a+1+2=0，
解得：a=﹣3．
【点评】本题考查的是分式方程的解法，掌握解分式方程的一般步骤是解题的关键．
变式1．已知关于x的分式方程+=1（a≠2且a≠3）的解为正数，求字母a的取值范围．
【分析】根据等式的性质，可得整式方程，根据解整式方程，可得x，根据解为正数，可得关于a的不等式，根据解不等式，可得答案．
【解答】解：方程两边都乘以x（x﹣1），得
x2+2﹣a=x2﹣x，
解得x=a﹣2，
由分式有意义，得
a﹣2≠1，a﹣2≠0，
解得a≠3，a≠2．
由关于x的分式方程+=1（a≠2且a≠3）的解为正数，得
a﹣2＞0，
解得a＞2，
字母a的取值范围a＞2且a≠3．
【点评】本题考查了分式方程的解，利用分式方程的解得出关于a的不等式是解题关键．
变式2．阅读下列材料：
在学习“分式方程及其解法”过程中，老师提出一个问题：若关于x的分式方程+=1的解为正数，求a的取值范围？
经过小组交流讨论后，同学们逐渐形成了两种意见：
小明说：解这个关于x的分式方程，得到方程的解为x=a﹣2．由题意可得a﹣2＞0，所以a＞2，问题解决．
小强说：你考虑的不全面．还必须保证a≠3才行．
老师说：小强所说完全正确．
请回答：小明考虑问题不全面，主要体现在哪里？请你简要说明： 小明没有考虑分式的分母不为0（或分式必须有意义）这个条件 ．
完成下列问题：
（1）已知关于x的方程=1的解为负数，求m的取值范围；
（2）若关于x的分式方程+=﹣1无解．直接写出n的取值范围．
【分析】考虑分式的分母不为0，即分式必须有意义；
（1）表示出分式方程的解，由解为负数确定出m的范围即可；
（2）分式方程去分母转化为整式方程，根据分式方程无解，得到有增根或整式方程无解，确定出n的范围即可．
【解答】解：请回答：小明没有考虑分式的分母不为0（或分式必须有意义）这个条件；
（1）解关于x的分式方程得，x=，
∵方程有解，且解为负数，
∴，
解得：m＜且m≠﹣；
（2）分式方程去分母得：3﹣2x+nx﹣2=﹣x+3，即（n﹣1）x=2，
由分式方程无解，得到x﹣3=0，即x=3，
代入整式方程得：n=；
当n﹣1=0时，整式方程无解，此时n=1，
综上，n=1或n=．
【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
变式3．如果关于x的方程+3=无解，试求m的值？
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程无解确定出m的值即可．
【解答】解：去分母得：m+3x﹣6=x﹣1，
由分式方程无解，得到x﹣2=0，即x=2，
把x=2代入方程得：m=1．
【点评】此题考查了分式方程的解，始终注意分母不为0这个条件．
拓展点三：列分式方程解实际问题
例题．某学校在商场购买甲、乙两种不同足球，购买甲种足球共花费2000元，购买乙种足球共花费1400元，购买甲种足球数量是购买乙种足球数量的2倍，且购买一个乙种足球比购买一个甲种足球多花20元．
（1）求购买一个甲种足球、一个乙种足球各需多少元？
（2）为响应“足球进校园”的号召，这所学校决定再次购买甲、乙两种足球共50个．恰逢该商场对两种足球的售价进行调整，甲种足球售价比第一次购买时提高了10%，乙种足球售价比第一次购买时降低了10%，如果此次购买甲、乙两种足球的总费用不超过2900元，那么这所学校最多可购买多少个乙种足球？
【分析】（1）设购买一个甲种足球需x元，则购买一个乙种足球需（x+20）元，根据购买甲种足球数量是购买乙种足球数量的2倍列出方程解答即可；
（2）设这所学校再次购买y个乙种足球，根据此次购买甲、乙两种足球的总费用不超过2900元列出不等式解答即可．
【解答】解：（1）设购买一个甲种足球需x元，则购买一个乙种足球需（x+20）元，
根据题意，可得：=2×，
解得：x=50，
经检验x=50是原方程的解，
答：购买一个甲种足球需50元，购买一个乙种足球需70元；
（2）设这所学校再次购买y个乙种足球，
根据题意，可得：50×（1+10%）×（50﹣y）+70×（1﹣10%）y≤2900，
解得：y≤18.75，
由题意可得，最多可购买18个乙种足球，
答：这所学校最多可购买18个乙种足球．
【点评】本题考查分式方程、一元一次不等式的应用，关键是根据数量作为等量关系列出方程，根据利润作为不等关系列出不等式求解．
变式1．在汕头市“创文”活动中，一项绿化工程由甲、乙两工程队承担．已知甲工程队单独完成这项工作需120天，甲工程队单独工作30天后，乙工程队参与合做，两队又共同工作了36天完成．
（1）求乙工程队单独完成这项工作需要多少天？
（2）因工期的需要，将此项工程分成两部分，甲做其中一部分用了a天完成，乙做另一部分用了y天完成．若乙工程队还有其它工作任务，最多只能做52天．求甲工程队至少应做多少天？
【分析】（1）设乙工程队单独完成这项工作需要x天，由题意列出分式方程，求出x的值即可；
（2）首先根据题意列出a和y的关系式，进而求出a的取值范围，结合a和y都是正整数，即可求出a的值．
【解答】解：（1）设乙工程队单独完成这项工作需要x天，
由题意得：+（+）×36=1，
解得：x=80，
经检验x=80是原方程的解．
答：乙工程队单独做需要80天完成．
（2）因为甲工程队做其中一部分用了a天，乙工程队做另一部分用了y天，
依题意得：+=1，解得：
y=80﹣a，
∵y≤52，
∴80﹣a≤52，
解得：a≥42，
答：甲工程队至少应做42天．
【点评】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．此题涉及的公式：工作总量=工作效率×工作时间．
变式2．哈市地铁3号线是哈市唯一一条环线，3号线共分两期建设，一期工程已于2017年1月26日载客试运行，二期工程正在建设中，甲、乙两工程队提交了建设投标方案，若独立完成该项目，甲队所用的时间是乙队所用时间的1.5倍，若两队合作完成该项目，则共需72天．
（1）甲、乙两队单独完成该建筑工程各需多少天？
（2）在施工过程中，该公司派一名技术人员到现场全程监督，每天补助100元，若由甲队单独施工，平均每天的费用为0.8万元，为了保障工程质量、缩短工期，该工程选择由乙程队完成，但要求施工的总费用不能超过甲工程队，求乙工程队平均每天施工费用最多是多少万元？
【分析】（1）设乙队完成该工程需要x天，甲队完成该工程需要1.5x天，根据两队合作完成该项目，则共需72天，列方程求解；
（2）先求出甲工程队完成任务需要的花费，然后令乙工程队的花费小于等于甲工程队的花费，列不等式求解．
【解答】解：（1）设乙队完成该工程需要x天，甲队完成该工程需要1.5x天，
由题意得，（）×72=1，
解得：x=120，
则1.5x=120×1.5=180（天），
答：乙队完成该工程需要120天，甲队完成该工程需要180天；
（2）甲工程队完成任务需要的花费为：（100+8000）×180=1458000（元），
设乙工程队平均每天施工费用为y万元，
由题意得，（100+10000y）×120≤1458000，
解得：y≤1.205．
答：乙工程队平均每天施工费用最多为1.205万元．
【点评】本题考查了分式方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解，注意检验．
变式3．某书法班第一期开班，负责人到书店给学员购买一种字帖，该书店规定一次购买100本以上，可享受8折优惠．若给学员每人购买一本，不能享受8折优惠，需付款3080元；若多买22本，就可享受8折优惠，同样只需付款3080元．请问该书法班第一期开班有多少名学员？
【分析】设该书法班第一期开班有x名学员，根据“学员的总人数不变”列分式方程求解可得．
【解答】解：设该书法班第一期开班有x名学员，
根据题意可得：×0.8=，
解得：x=88．
经检验：x=88是原方程的解且符合题意
答：该书法班第一期开班有88名学员．
【点评】此题主要考查了分式方程的应用，关键是弄清题意，找出题目中的等量关系，列出方程，列分式方程解应用题的一般步骤：设、列、解、验、答．必须严格按照这5步进行做题，规范解题步骤，另外还要注意完性：如设和答叙述要完整，要写出单位等．
拓展点四：研究创新问题
例题．在汕头市“创文”活动中，一项绿化工程由甲、乙两工程队承担．已知甲工程队单独完成这项工作需120天，甲工程队单独工作30天后，乙工程队参与合做，两队又共同工作了36天完成．
（1）求乙工程队单独完成这项工作需要多少天？
（2）因工期的需要，将此项工程分成两部分，甲做其中一部分用了a天完成，乙做另一部分用了y天完成．若乙工程队还有其它工作任务，最多只能做52天．求甲工程队至少应做多少天？
【分析】（1）设乙工程队单独完成这项工作需要x天，由题意列出分式方程，求出x的值即可；
（2）首先根据题意列出a和y的关系式，进而求出a的取值范围，结合a和y都是正整数，即可求出a的值．
【解答】解：（1）设乙工程队单独完成这项工作需要x天，
由题意得：+（+）×36=1，
解得：x=80，
经检验x=80是原方程的解．
答：乙工程队单独做需要80天完成．
（2）因为甲工程队做其中一部分用了a天，乙工程队做另一部分用了y天，
依题意得：+=1，解得：
y=80﹣a，
∵y≤52，
∴80﹣a≤52，
解得：a≥42，
答：甲工程队至少应做42天．
【点评】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．此题涉及的公式：工作总量=工作效率×工作时间．
变式．列方程解决实际问题
运用所学知识解决实际问题
“善用兵者，役不再籍，粮不三载，取用于国，因粮于敌，故军食可足也”“食敌一钟，当吾二十钟”﹣﹣《孙子兵法》
这里的因粮于敌，不是价格的问题，是运输的问题，从自己家里运二十钟，路上的人力物力精力损耗耗费的太多，不如在敌人家里直接吃一钟省事，掠于饶野，三军足食．说明在行军时随军运输物资的消耗是很大的，在北宋沈括的《梦溪笔谈》（卷十一：行军运粮篇）有详细说明．
现假设在古代的战争中，需要为每名士兵配置若干名民夫或骡马来随军运输粮食．假设为10名士兵配置的民夫可以运输200石粮食，士兵和民夫每人每天需要吃四升米．若将民夫替换成骡马且数量不变，每匹骡马每天要吃6升米，但运输的粮食可以增加到500石，同时行军的天数是原来的2倍．请问随10名士兵行军，原来随军的民夫共有多少人？（单位换算：10升=1斗
10斗=1石）
【分析】设：随10名士兵行军，原来随军的民夫共有x人，根据题意得方程即可得到结论．
【解答】解：设：随10名士兵行军，原来随军的民夫共有x人，
根据题意得，2×=，
解得：x=10，
经检验x=10是方程的根，
答：随10名士兵行军，原来随军的民夫共有10人．
【点评】本题考查了方式方程的应用，正确的列方程是解题的关键，
课后作业
1．分式方程=1的解是（ ）
A．x=1
B．x=﹣1
C．x=3
D．x=﹣3
2．甲、乙两船从相距300km的A、B两地同时出发相向而行，甲船从A地顺流航行180km时与从B地逆流航行的乙船相遇，水流的速度为6km/h，若甲、乙两船在静水中的速度均为x
km/h，则求两船在静水中的速度可列方程为（ ）
A．=
B．=
C．=
D．=
3．解分式方程﹣3=时，去分母可得（ ）
A．1﹣3（x﹣2）=4
B．1﹣3（x﹣2）=﹣4
C．﹣1﹣3（2﹣x）=﹣4
D．1﹣3（2﹣x）=4
4．方程=1的解是（ ）
A．x=1
B．x=3
C．x=4
D．无解
5．体育测试中，小进和小俊进行800米跑测试，小进的速度是小俊的1.25倍，小进比小俊少用了40秒，设小俊的速度是x米/秒，则所列方程正确的是（ ）
A．40×1.25x﹣40x=800
B．﹣=40
C．﹣=40
D．﹣=40
6．关于x的方程=无解，则k的值为（ ）
A．0或
B．﹣1
C．﹣2
D．﹣3
7．关于x的方程的解为正数，且关于y的不等式组有解，则符合题意的整数m有（ ）个．
A．4
B．5
C．6
D．7
8．解分式方程﹣1=，去分母得：x（x+2）﹣（x﹣1）（x+2）=3，解得x=1，则下列结论：①x=1是原分式方程的解；②x=1不是原分式方程的解；③x=1是方程x（x+2）﹣（x﹣1）（x+2）=3的解；④原分式方程无解．其中，正确的结论有（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
9．某市计划修建50千米的地铁，开工后每月的进度比原计划提高了10%，结果提前2个月完成了任务，设原计划每月修建地铁x千米，由题意可列方程为（ ）
A．﹣=2
B．﹣﹣=2
C．﹣=2
D．+﹣=2
10．如果关于x的不等式组的解集为x＞﹣2，且关于x的分式方程+=3有正整数解，则所有符合条件的整数a的和是（ ）
A．﹣9
B．﹣8
C．﹣7
D．0
二．填空题（共6小题）
11．方程=的解是
．
12．某商店第一次用600元购进2B铅笔若干支，第二次又用600元购进该款铅笔，但这次每支的进价是第一次进价的倍，购进数量比第一次少了30支．则该商店第一次购进的铅笔，每支的进价是
元．
13．若代数式与+1的值相等，则x=
14．A，B两市相距200千米，甲车从A市到B市，乙车从B市到A市，两车同时出发，已知甲车速度比乙车速度快15千米/小时，且甲车比乙车早半小时到达目的地．若设乙车的速度是x千米/小时，则根据题意，可列方程
．
15．已知关于x的分式方程﹣2=有一个正数解，则k的取值范围为
．
16．若=+++++，则a的值是
．
三．解答题（共9小题）
17．解方程：．
18．某社区积极响应正在开展的“创文活动”，组织甲、乙两个志愿工程队对社区的一些区域进行绿化改造．已知甲工程队每小时能完成的绿化面积是乙工程队每小时能完成的绿化面积的2倍，并且甲工程队完成300平方米的绿化面积比乙工程队完成300平方米的绿化面积少用3小时，乙工程队每小时能完成多少平方米的绿化面积？
19．解分式方程：﹣1=．
20．某商店用1050元购进第一批某种文具盒，很快卖完．又用1440元购进第二批该种文具盒，但第二批每只文具盒的进价是第一批进价的1.2倍，数量比第一批多了10只．求第一批每只文具盒的进价是多少元？
21．某社区计划对面积为1800m2的区域进行绿化经招标，甲、乙两个工程队中标，全部绿化工作由甲、乙两个工程队来完成，已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化面积的2倍，并且在独立完成面积为400m2区域的绿化时，甲队比乙队少用4天．
（1）求甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积；
（2）若甲队每天绿化费用是0.6万元，乙队每天绿化费用为0.25万元，如果施工总费用不超过10万元，那么乙工程队至少需施工多少天？
22．某商场用11000元购进一批拼装机器人进行销售，很快销售一空，商家又用24000元再次购进同款机器人，所购进数量是第一次的2倍，但每个机器人的进价贵了10元，求该商家两次共购进多少个机器人．
23．若关于x的方程的解不小于2，求a的取值范围．
24．某书店老板去批发市场购买某种图书．第一次用1200元购书若干本，并按该书定价20元出售，很快售完．由于该书畅销，第二次购书时，每本书批发价比第一次提高了25%，他用1800元所购该书数量比第一次多20本，又按定价售出全部图书．
（1）求该书原来每本的批发价；
（2）该老板这两次售书一共赚了多少钱？
25．由于某商品的进价降低了，商家决定对该商品分两次下调销售价格，现有两种方案：
方案1：第1次降价的百分率为a，第2次降价的百分率b；
方案2：第1次和第2次降价的百分率均为．
（1）当a≠b时，哪种方案降价幅度最多？
（2）当a=b时，另a=b=x，已知第1次和第2次降价后商品销售价
格分别为A、B；
①填空：原销售价格可分别表示为
、
．
②已知B=，求两次降价的百分率．
课堂测试
1．分式方程的解是（ ）
A．x=1
B．x=2
C．x=0
D．无解．
二．填空题（共1小题）
2．若分式方程=2的一个解是x=1，则a= ．
三．解答题（共3小题）
3．解方程：+=．
解方程：
5．为了帮助遭受自然灾害的地区重建家园，某学校号召同学们自愿捐款．已知第一次捐款总额为4800元，第二次捐款为5000元，第二次捐款人数比第一次多20人，而且两次人均捐款额相等，如果设第一次捐款人数x人，那么x应满足怎样的方程？课后练习
1．分式方程=1的解是（ ）
A．x=1
B．x=﹣1
C．x=3
D．x=﹣3
【分析】观察可得最简公分母是x（x﹣2），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．
【解答】解：=1，
去分母，方程两边同时乘以x（x﹣2）得：
（x+1）（x﹣2）+x=x（x﹣2），
x2﹣x﹣2+x=x2﹣2x，
x=1，
经检验，x=1是原分式方程的解，
故选：A．
【点评】考查了解分式方程，（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．（2）解分式方程一定注意要验根．
2．甲、乙两船从相距300km的A、B两地同时出发相向而行，甲船从A地顺流航行180km时与从B地逆流航行的乙船相遇，水流的速度为6km/h，若甲、乙两船在静水中的速度均为x
km/h，则求两船在静水中的速度可列方程为（ ）
A．=
B．=
C．=
D．=
【分析】直接利用两船的行驶距离除以速度=时间，得出等式求出答案．
【解答】解：设甲、乙两船在静水中的速度均为xkm/h，则求两船在静水中的速度可列方程为：
=．
故选：A．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，正确表示出行驶的时间和速度是解题关键．
3．解分式方程﹣3=时，去分母可得（ ）
A．1﹣3（x﹣2）=4
B．1﹣3（x﹣2）=﹣4
C．﹣1﹣3（2﹣x）=﹣4
D．1﹣3（2﹣x）=4
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，即可作出判断．
【解答】解：去分母得：1﹣3（x﹣2）=﹣4，
故选：B．
【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
4．方程=1的解是（ ）
A．x=1
B．x=3
C．x=4
D．无解
【分析】找出分式方程的最简公分母，方程左右两边同时乘以最简公分母，去分母后再利用去括号法则去括号，移项合并，将x的系数化为1，求出x的值，将求出的x的值代入最简公分母中进行检验，即可得到原分式方程的解．
【解答】解：化为整式方程为：3﹣x﹣1=x﹣4，
解得：x=3，
经检验x=3是原方程的解，
故选：B．
【点评】此题考查了分式方程的解法．注意解分式方程一定要验根．
5．体育测试中，小进和小俊进行800米跑测试，小进的速度是小俊的1.25倍，小进比小俊少用了40秒，设小俊的速度是x米/秒，则所列方程正确的是（ ）
A．40×1.25x﹣40x=800
B．﹣=40
C．﹣=40
D．﹣=40
【分析】先分别表示出小进和小俊跑800米的时间，再根据小进比小俊少用了40秒列出方程即可．
【解答】解：小进跑800米用的时间为秒，小俊跑800米用的时间为秒，
∵小进比小俊少用了40秒，
方程是﹣=40，
故选：C．
【点评】本题考查了列分式方程解应用题，能找出题目中的相等关系式是解此题的关键．
6．关于x的方程=无解，则k的值为（ ）
A．0或
B．﹣1
C．﹣2
D．﹣3
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，分整式方程无解和整式方程有解而分式方程无解两种情况讨论计算，分式方程无解确定出x的值，代入整式方程计算即可求出k的值，同时要考虑一元一次方程解的情况．
【解答】解：去分母得：x+3=2kx，
∴（2k﹣1）x=3，
当k=时，（2k﹣1）x=3无解，即原方程无解；
由分式方程无解，得到2x（x+3）=0，
解得：x=0或x=﹣3，
把x=0代入整式方程得：3=0，无解；
把x=﹣3代入整式方程得：﹣6k=0，解得：k=0，
综上所述，k的值为0或．
故选：A．
【点评】此题考查了分式方程的解的情况，明确分式方程无解时，分母为0．
7．关于x的方程的解为正数，且关于y的不等式组有解，则符合题意的整数m有（ ）个．
A．4
B．5
C．6
D．7
【分析】先求出方程的解与不等式组的解集，再根据题目中的要求，求出相应的m的值即可解答本题．
【解答】解：∵关于x的方程的解为正数，
∴2﹣（x+m）=2（x﹣2），
解得：x=，
则6﹣m＞0，
故m＜6，
∵关于y的不等式组有解，
∴m+2≤y≤3m+4，
且m+2≤3m+4，
解得：m≥﹣1，
故m的取值范围是：﹣1≤m＜6，
∵x﹣2≠0，
∴x≠2，
∴≠2，
m≠0，
则符合题意的整数m有：﹣1，1，2，3，4，5，共6个．
故选：C．
【点评】本题考查分式方程的解、一元一次不等式组的整数解，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
8．解分式方程﹣1=，去分母得：x（x+2）﹣（x﹣1）（x+2）=3，解得x=1，则下列结论：①x=1是原分式方程的解；②x=1不是原分式方程的解；③x=1是方程x（x+2）﹣（x﹣1）（x+2）=3的解；④原分式方程无解．其中，正确的结论有（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【分析】根据解分式方程的步骤及分式方程的解与增根的概念逐一判断可得．
【解答】解：去分母得：x（x+2）﹣（x﹣1）（x+2）=3，解得x=1，
①当x=1时，最简公分母（x﹣1）（x+2）=0，则x=1不是原分式方程的解，此结论错误；
②x=1不是原分式方程的解，此结论正确；
③x=1是方程x（x+2）﹣（x﹣1）（x+2）=3的解，此结论正确；
④原分式方程无解，此结论正确；
故选：C．
【点评】本题主要考查解分式方程，解题的关键是熟练掌握解分式方程的步骤及分式方程的解与增根的概念．
9．某市计划修建50千米的地铁，开工后每月的进度比原计划提高了10%，结果提前2个月完成了任务，设原计划每月修建地铁x千米，由题意可列方程为（ ）
A．﹣=2
B．﹣﹣=2
C．﹣=2
D．+﹣=2
【分析】关键描述语为：“提前2个月完成了任务”；等量关系为：原计划用的月数﹣实际用的月数=提前月数．
【解答】解：设原计划每月修建地铁x千米，则原计划用的月数为：，实际用的月数为：．
所列方程为：﹣=2．
故选：A．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程．
10．如果关于x的不等式组的解集为x＞﹣2，且关于x的分式方程+=3有正整数解，则所有符合条件的整数a的和是（ ）
A．﹣9
B．﹣8
C．﹣7
D．0
【分析】根据不等式组的解集确定出a的范围，再由分式方程有正整数解确定出满足题意a的值，求出之和即可．
【解答】解：不等式组整理得：，
由已知解集为x＞﹣2，得到2a﹣4≤﹣2，
解得：a≤1，
分式方程去分母得：a+x﹣2=3x﹣9，
解得：x=，
由分式方程有正整数解，得到＞0，且≠3，
∴a=1，﹣3，﹣5，
则所有满足条件的整数a的和是﹣7，
故选：C．
【点评】此题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
二．填空题（共6小题）
11．方程=的解是 x=2 ．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：去分母得：x+6=4x，
解得：x=2，
经检验x=2是分式方程的解，
故答案为：x=2
【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
12．某商店第一次用600元购进2B铅笔若干支，第二次又用600元购进该款铅笔，但这次每支的进价是第一次进价的倍，购进数量比第一次少了30支．则该商店第一次购进的铅笔，每支的进价是 4 元．
【分析】设该商店第一次购进铅笔的单价为x元/支，则第二次购进铅笔的单价为x元/支，根据单价=总价÷数量结合第二次购进数量比第一次少了30支，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．
【解答】解：设该商店第一次购进铅笔的单价为x元/支，则第二次购进铅笔的单价为x元/支，
根据题意得：﹣=30，
解得：x=4，
经检验，x=4是原方程的解，且符合题意．
答：该商店第一次购进铅笔的单价为4元/支．
故答案为：4．
【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
13．若代数式与+1的值相等，则x= 4
【分析】根据题意列出分式方程解答即可．
【解答】解：由题意可得：，
化为整式方程为：3=﹣2+x+x﹣3
解得：x=4，
经检验x=4是原方程的解，
故答案为：4
【点评】此题考查了分式方程的解法．注意解分式方程一定要验根．
14．A，B两市相距200千米，甲车从A市到B市，乙车从B市到A市，两车同时出发，已知甲车速度比乙车速度快15千米/小时，且甲车比乙车早半小时到达目的地．若设乙车的速度是x千米/小时，则根据题意，可列方程 ﹣= ．
【分析】直接利用甲车比乙车早半小时到达目的地得出等式即可．
【解答】解：设乙车的速度是x千米/小时，则根据题意，可列方程：
﹣=．
故答案为：﹣=．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，正确表示出两车所用时间是解题关键．
15．已知关于x的分式方程﹣2=有一个正数解，则k的取值范围为 k＜6且k≠3 ．
【分析】根据解分式方程的步骤，可得分式方程的解，根据分式方程的解是正数，可得不等式，解不等式，可得答案，并注意分母不分零．
【解答】解；﹣2=，
方程两边都乘以（x﹣3），得
x=2（x﹣3）+k，
解得x=6﹣k≠3，
关于x的方程程﹣2=有一个正数解，
∴x=6﹣k＞0，
k＜6，且k≠3，
∴k的取值范围是k＜6且k≠3．
故答案为：k＜6且k≠3．
【点评】本题主要考查了解分式方程、分式方程的解、一元一次不等式等知识，能根据已知和方程的解得出k的范围是解此题的关键．
16．若=+++++，则a的值是
8 ．
【分析】由于（1﹣x）（1+x）满足平方差公式的结构特征，因此运用平方差公式先将方程右边的两个分式+通分，所得结果再与第三个分式通分，依此类推，直到方程的右边成为一个分式，然后去分母，得到关于a的方程，求出解即可．
【解答】解：∵+++++
=++++
=，
∴=，
两边同乘1﹣x32，得8a=64，
解得a=8．
故答案为8．
【点评】本题主要考查了分式的加法运算及分式方程的解法．将方程的右边分步通分，使之最后变成为一个分式，是解题的关键．本题属于竞赛题型，有一定难度．
三．解答题（共9小题）
17．解方程：．
【分析】本题的最简公分母是3（x+1），方程两边都乘最简公分母，可把分式方程转换为整式方程求解．
【解答】解：方程两边都乘3（x+1），
得：3x﹣2x=3（x+1），
解得：x=﹣，
经检验x=﹣是方程的解，
∴原方程的解为x=﹣．
【点评】当分母是多项式，又能进行因式分解时，应先进行因式分解，再确定最简公分母．分式方程里单独的一个数和字母也必须乘最简公分母．
18．某社区积极响应正在开展的“创文活动”，组织甲、乙两个志愿工程队对社区的一些区域进行绿化改造．已知甲工程队每小时能完成的绿化面积是乙工程队每小时能完成的绿化面积的2倍，并且甲工程队完成300平方米的绿化面积比乙工程队完成300平方米的绿化面积少用3小时，乙工程队每小时能完成多少平方米的绿化面积？
【分析】设乙工程队每小时能完成x平方米的绿化面积，则甲工程队每小时能完成2x平方米的绿化面积，根据工作时间=总工作量÷工作效率结合甲工程队完成300平方米的绿化面积比乙工程队完成300平方米的绿化面积少用3小时，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．
【解答】解：设乙工程队每小时能完成x平方米的绿化面积，则甲工程队每小时能完成2x平方米的绿化面积，
根据题意得：﹣=3，
解得：x=50，
经检验，x=50是分式方程的解．
答：乙工程队每小时能完成50平方米的绿化面积．
【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
19．解分式方程：﹣1=．
【分析】首先找出最简公分母，进而去分母解方程即可．
【解答】解：方程两边同时乘以（x+2）（x﹣2）得：
（x﹣2）2﹣（x+2）（x﹣2）=16
解得：x=﹣2，
检验：当x=﹣2时，（x+2）（x﹣2）=0，
∴x=﹣2是原方程的增根，原方程无解．
【点评】此题主要考查了解分式方程，正确找出最简公分母是解题关键．
20．某商店用1050元购进第一批某种文具盒，很快卖完．又用1440元购进第二批该种文具盒，但第二批每只文具盒的进价是第一批进价的1.2倍，数量比第一批多了10只．求第一批每只文具盒的进价是多少元？
【分析】设第一批每只文具盒的进价是x元，则第二批每只文具盒的进价是1.2x元．根据数量=总价÷单价结合第二批比第一批多10只，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．
【解答】解：设第一批每只文具盒的进价是x元，则第二批每只文具盒的进价是1.2x元．
根据题意得：﹣=10，
解得：x=15，
经检验，x=15是原方程的解．
答：第一批每只文具盒的进价是15元．
【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
21．某社区计划对面积为1800m2的区域进行绿化经招标，甲、乙两个工程队中标，全部绿化工作由甲、乙两个工程队来完成，已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化面积的2倍，并且在独立完成面积为400m2区域的绿化时，甲队比乙队少用4天．
（1）求甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积；
（2）若甲队每天绿化费用是0.6万元，乙队每天绿化费用为0.25万元，如果施工总费用不超过10万元，那么乙工程队至少需施工多少天？
【分析】（1）设乙工程队每天能完成绿化的面积为xm2，则甲工程队每天能完成绿化的面积为2xm2，根据工作时间=工作总量÷工作效率结合在独立完成面积为400m2区域的绿化时甲队比乙队少用4天，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）设乙工程队需施工y天，则甲工程队需施工（18﹣0.5y）天，根据总费用=甲队每天所需费用×甲队工作时间+乙队每天所需费用×乙队工作时间结合施工总费用不超过10万元，即可得出关于y的一元一次不等式，解之取其最小值即可得出结论．
【解答】解：（1）设乙工程队每天能完成绿化的面积为xm2，则甲工程队每天能完成绿化的面积为2xm2，
根据题意得：﹣=4，
解得：x=50，
经检验，x=50是原分式方程的解，
∴2x=100．
答：乙工程队每天能完成绿化的面积为50m2，甲工程队每天能完成绿化的面积为100m2．
（2）设乙工程队需施工y天，则甲工程队需施工（18﹣0.5y）天，
根据题意得：0.6（18﹣0.5y）+0.25y≤10，
解得：y≥16．
答：乙工程队至少需施工16天．
【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量间的关系，正确列出一元一次不等式．
22．某商场用11000元购进一批拼装机器人进行销售，很快销售一空，商家又用24000元再次购进同款机器人，所购进数量是第一次的2倍，但每个机器人的进价贵了10元，求该商家两次共购进多少个机器人．
【分析】设该商家第一次购进机器人x个，根据“第一次用11000元购进某款拼装机器人，用24000元第二次购进同款机器人，所购进数量是第一次的2倍，但单价贵了10元”列出方程并解答．
【解答】解：设该商家第一次购进机器人x个，
依题意得：，
解得x=100．
经检验x=100是所列方程的解，且符合题意．
100+2×100=300，
答：该商家两次共购进300个机器人．
【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
23．若关于x的方程的解不小于2，求a的取值范围．
【分析】根据解分式方程，可得关于a的表达式，根据解不等式，可得答案．
【解答】解：两边都乘（x﹣4），得
x﹣3（x﹣4）=a，
解得x=≠4，
由关于x的方程的解不小于2，得
≥2，
解得a≤8，
a的取值范围是a≤8且a≠4．
【点评】本题考查了分式方程的解，利用方程的解不小于2得出不等式是解题关键．
24．某书店老板去批发市场购买某种图书．第一次用1200元购书若干本，并按该书定价20元出售，很快售完．由于该书畅销，第二次购书时，每本书批发价比第一次提高了25%，他用1800元所购该书数量比第一次多20本，又按定价售出全部图书．
（1）求该书原来每本的批发价；
（2）该老板这两次售书一共赚了多少钱？
【分析】（1）设该书原来每本的批发价为x元，由题意得等量关系：第二次购书数量﹣第一次购书数量=20，根据等量关系列出方程，再解即可；
（2）利用第一次的利润+第二次利润=总利润进行计算．
【解答】解：（1）设该书原来每本的批发价为x元，由题意得：
﹣=20，
解得：x=12，
经检验：x=12是原分式方程的解，
答：该书原来每本的批发价为12元；
（2）100×（20﹣12）+120（20﹣15）=1400（元），
答：该老板这两次售书一共赚了1400元．
【点评】本题考查了分式方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解，注意检验．
25．由于某商品的进价降低了，商家决定对该商品分两次下调销售价格，现有两种方案：
方案1：第1次降价的百分率为a，第2次降价的百分率b；
方案2：第1次和第2次降价的百分率均为．
（1）当a≠b时，哪种方案降价幅度最多？
（2）当a=b时，另a=b=x，已知第1次和第2次降价后商品销售价
格分别为A、B；
①填空：原销售价格可分别表示为 、 ．
②已知B=，求两次降价的百分率．
【分析】（1）直接根据题意表示出两种商品的价格，再利用两式的差得出大小关系；
（2）①利用A销售价格÷（1﹣下降百分率）=原价，B销售价格÷（1﹣下降百分率）2=原价进而得出答案；
②根据原价不变得出等式，进而解分式方程得出答案．
【解答】解：设该商品原来的销售价格为m．
（1）方案1：两次降价后的价格为m（1﹣a）（1﹣b）；
方案2：两次降价后的价格为m（1﹣）2．
因为m（1﹣a）（1﹣b）﹣m（1﹣）2=﹣（a﹣b）2＜，所以方案1降价幅度最多．
（2）①第1次降价后商品销售价格为：A=原价（1﹣x），则原价格为：，
第2次降价后商品销售价格为：B=原价（1﹣x）2，则原价格为：．
②由题意可得：=，
由B=A，
解得x1=0.2，x2=1（不合题意舍去），
经检验，x=0.2是原方程的根．
故两次降价的百分率均为20%．
故答案为：，．
【点评】此题主要考查了分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，根据题意正确表示出原价是解题关键．
课堂测试
1．分式方程的解是（ ）
A．x=1
B．x=2
C．x=0
D．无解．
【分析】观察可得最简公分母为（x﹣2）（x﹣1），方程两边同时乘以最简公分母，把分式方程转化为整式方程求解．
【解答】解：分式方程，
两边分别乘以（x﹣2）（x﹣1），
可得：x﹣2=2（x﹣1），
移项合并，解得：x=0，
经检验x=0是原分式方程的解．
故选：C．
【点评】本题主要考查解分式方程解答本题的关键是熟练掌握解分式方程的步骤，注意分式方程要验根．
二．填空题（共1小题）
2．若分式方程=2的一个解是x=1，则a= 0 ．
【分析】根据方程的解的定义，把x=1代入原方程，原方程左右两边相等，从而原方程转化为含有a的新方程，解此新方程可以求得a的值．
【解答】解：把x=1代入原方程得，，去分母得2=2+2a，解得，a=0．
【点评】解题关键是要掌握方程的解的定义，使方程成立的未知数的值叫做方程的解．由已知解代入原方程列出新的方程，然后解答．
三．解答题（共3小题）
3．解方程：+=．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：去分母得：7（x﹣3）+2=2（x+3），
整理得：5x=25，
解得：x=5，
经检验x=5是分式方程的解．
故原方程的解为x=5．
【点评】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
4．解方程：
【分析】由于3x﹣6=3（x﹣2），所以本题的最简公分母是3（x﹣2），方程两边都乘最简公分母，可把分式方程转换为整式方程求解．
【解答】解：方程两边都乘以3x（x﹣2），
得：3（5x﹣4）﹣（4x+10）=﹣3（x﹣2），
15x﹣4x+3x=6+12+10，
∴x=2，
检验：当x=2时，3（x﹣2）=0，
∴x=2是原方程的增根，
∴原方程无解．
【点评】（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，方程两边都乘最简公分母，把分式方程转化为整式方程求解．
（2）解分式方程一定注意要代入最简公分母验根．
5．为了帮助遭受自然灾害的地区重建家园，某学校号召同学们自愿捐款．已知第一次捐款总额为4800元，第二次捐款为5000元，第二次捐款人数比第一次多20人，而且两次人均捐款额相等，如果设第一次捐款人数x人，那么x应满足怎样的方程？
【分析】要求的未知量是人数，有捐款总额，一定是根据人均捐款额来列等量关系的．关键描述语是：两次人均捐款额相等．等量关系为：第一次人均捐款额=第二次两次人均捐款额，也就是：第一次的捐款总额÷第一次的捐款人数=第二次的捐款总额÷第二次的捐款人数．
【解答】解：设第一次捐款人数x人，第二次捐款人数（x+20）人，
由第一次人均捐款额=第二次两次人均捐款额，
故可得：．
【点评】题中一般有三个量，已知一个量，求一个量，一定是根据另一个量来列等量关系的．根据关键描述语，找到等量关系是解决问题的关键．
15.3
分式方程
教学目标：
1、了解分式方程的概念和检验根的意义，会解可化为一元一次方程的分式方程．
2、会列出分式方程解简单的应用问题．
教学重难点：分式方程求解步骤，应用过程中等量关系寻找。
知识点一：分式方程的定义
分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程．
判断一个方程是否为分式方程主要是看这个方程的分母中是否含有未知数．
例题．下列方程中是分式方程（ ）
A．
B．
C．
D．
变式1．下列方程不是分式方程的是（ ）
A．
B．
C．
D．
变式2．观察下列方程：
（1）；（2）；（3）；（4）
其中是关于x的分式方程的有（ ）
A．（1）
B．（2）
C．（2）（3）
D．（2）（4）
知识点二：分式方程的解（重点）
求出使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于0的未知数的值，这个值叫方程的解．
注意：在解方程的过程中因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根，增根是令分母等于0的值，不是原分式方程的解．
例题．方程=1的解是（ ）
A．x=1
B．x=3
C．x=4
D．无解
变式1．分式方程﹣1=的解为（ ）
A．x=1
B．x=2
C．x=﹣1
D．无解
变式2．已知x=3是分式方程=3的解，那么实数k的值为（ ）
A．1
B．
C．6
D．9
知识点三：分式方程的解法（难点）
（1）解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论．
（2）解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母为0，所以应如下检验：
①将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解．
②将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值为0，则整式方程的解不是原分式方程的解．
所以解分式方程时，一定要检验．
例题．解方程：﹣=1
变式1．解方程：+=．
变式2．解分式方程：
（1）
（2）
变式3．解方程：=﹣1
知识点四：分式方程的实际应用（难点）
1、列分式方程解应用题的一般步骤：设、列、解、验、答．
必须严格按照这5步进行做题，规范解题步骤，另外还要注意完整性：如设和答叙述要完整，要写出单位等．
2、要掌握常见问题中的基本关系，如行程问题：速度=路程时间；工作量问题：工作效率=工作量工作时间
等等．
列分式方程解应用题一定要审清题意，找相等关系是着眼点，要学会分析题意，提高理解能力
例题．我市经济技术开发区某智能手机有限公司接到生产300万部智能手机的订单，为了尽快交货，增开了一条生产线，实际每月生产能力比原计划提高了50%，结果比原计划提前5个月完成交货，求每月实际生产智能手机多少万部．
变式1．2018年1月25日，济南至成都方向的高铁线路正式开通，高铁平均时速为普快平均时速的4倍，从济南到成都的高铁运行时间比普快列车减少了26小时．已知济南到成都的火车行车里程约为2288千米，求高铁列车的平均时速．
变式2．为落实党中央“长江大保护”新发展理念，我市持续推进长江岸线保护，还洞庭湖和长江水清岸绿的自然生态原貌．某工程队负责对一面积为33000平方米的非法砂石码头进行拆除，回填土方和复绿施工，为了缩短工期，该工程队增加了人力和设备，实际工作效率比原计划每天提高了20%，结果提前11天完成任务，求实际平均每天施工多少平方米？
变式3．某青春党支部在精准扶贫活动中，给结对帮扶的贫困家庭赠送甲、乙两种树苗让其栽种．已知乙种树苗的价格比甲种树苗贵10元，用480元购买乙种树苗的棵数恰好与用360元购买甲种树苗的棵数相同．
（1）求甲、乙两种树苗每棵的价格各是多少元？
（2）在实际帮扶中，他们决定再次购买甲、乙两种树苗共50棵，此时，甲种树苗的售价比第一次购买时降低了10%，乙种树苗的售价不变，如果再次购买两种树苗的总费用不超过1500元，那么他们最多可购买多少棵乙种树苗？
拓展点一：解分式方程
例题．解方程：
（1）
（2）．
变式1．解分式方程：﹣=
变式2．解分式方程﹣1=
拓展点二：利用分式方程的解的情况来确定未知系数的值
例题．关于x的方程：=+1．
（1）当a=2时，求这个方程的解；
（2）若这个方程无解且a≠1，求a的值．
变式1．已知关于x的分式方程+=1（a≠2且a≠3）的解为正数，求字母a的取值范围．
变式2．阅读下列材料：
在学习“分式方程及其解法”过程中，老师提出一个问题：若关于x的分式方程+=1的解为正数，求a的取值范围？
经过小组交流讨论后，同学们逐渐形成了两种意见：
小明说：解这个关于x的分式方程，得到方程的解为x=a﹣2．由题意可得a﹣2＞0，所以a＞2，问题解决．
小强说：你考虑的不全面．还必须保证a≠3才行．
老师说：小强所说完全正确．
请回答：小明考虑问题不全面，主要体现在哪里？请你简要说明： 小明没有考虑分式的分母不为0（或分式必须有意义）这个条件 ．
完成下列问题：
（1）已知关于x的方程=1的解为负数，求m的取值范围；
（2）若关于x的分式方程+=﹣1无解．直接写出n的取值范围．
变式3．如果关于x的方程+3=无解，试求m的值？
拓展点三：列分式方程解实际问题
例题．某学校在商场购买甲、乙两种不同足球，购买甲种足球共花费2000元，购买乙种足球共花费1400元，购买甲种足球数量是购买乙种足球数量的2倍，且购买一个乙种足球比购买一个甲种足球多花20元．
（1）求购买一个甲种足球、一个乙种足球各需多少元？
（2）为响应“足球进校园”的号召，这所学校决定再次购买甲、乙两种足球共50个．恰逢该商场对两种足球的售价进行调整，甲种足球售价比第一次购买时提高了10%，乙种足球售价比第一次购买时降低了10%，如果此次购买甲、乙两种足球的总费用不超过2900元，那么这所学校最多可购买多少个乙种足球？
变式1．在汕头市“创文”活动中，一项绿化工程由甲、乙两工程队承担．已知甲工程队单独完成这项工作需120天，甲工程队单独工作30天后，乙工程队参与合做，两队又共同工作了36天完成．
（1）求乙工程队单独完成这项工作需要多少天？
（2）因工期的需要，将此项工程分成两部分，甲做其中一部分用了a天完成，乙做另一部分用了y天完成．若乙工程队还有其它工作任务，最多只能做52天．求甲工程队至少应做多少天？
变式2．哈市地铁3号线是哈市唯一一条环线，3号线共分两期建设，一期工程已于2017年1月26日载客试运行，二期工程正在建设中，甲、乙两工程队提交了建设投标方案，若独立完成该项目，甲队所用的时间是乙队所用时间的1.5倍，若两队合作完成该项目，则共需72天．
（1）甲、乙两队单独完成该建筑工程各需多少天？
（2）在施工过程中，该公司派一名技术人员到现场全程监督，每天补助100元，若由甲队单独施工，平均每天的费用为0.8万元，为了保障工程质量、缩短工期，该工程选择由乙程队完成，但要求施工的总费用不能超过甲工程队，求乙工程队平均每天施工费用最多是多少万元？
变式3．某书法班第一期开班，负责人到书店给学员购买一种字帖，该书店规定一次购买100本以上，可享受8折优惠．若给学员每人购买一本，不能享受8折优惠，需付款3080元；若多买22本，就可享受8折优惠，同样只需付款3080元．请问该书法班第一期开班有多少名学员？
拓展点四：研究创新问题
例题．在汕头市“创文”活动中，一项绿化工程由甲、乙两工程队承担．已知甲工程队单独完成这项工作需120天，甲工程队单独工作30天后，乙工程队参与合做，两队又共同工作了36天完成．
（1）求乙工程队单独完成这项工作需要多少天？
（2）因工期的需要，将此项工程分成两部分，甲做其中一部分用了a天完成，乙做另一部分用了y天完成．若乙工程队还有其它工作任务，最多只能做52天．求甲工程队至少应做多少天？
变式．列方程解决实际问题
运用所学知识解决实际问题
“善用兵者，役不再籍，粮不三载，取用于国，因粮于敌，故军食可足也”“食敌一钟，当吾二十钟”﹣﹣《孙子兵法》
这里的因粮于敌，不是价格的问题，是运输的问题，从自己家里运二十钟，路上的人力物力精力损耗耗费的太多，不如在敌人家里直接吃一钟省事，掠于饶野，三军足食．说明在行军时随军运输物资的消耗是很大的，在北宋沈括的《梦溪笔谈》（卷十一：行军运粮篇）有详细说明．
现假设在古代的战争中，需要为每名士兵配置若干名民夫或骡马来随军运输粮食．假设为10名士兵配置的民夫可以运输200石粮食，士兵和民夫每人每天需要吃四升米．若将民夫替换成骡马且数量不变，每匹骡马每天要吃6升米，但运输的粮食可以增加到500石，同时行军的天数是原来的2倍．请问随10名士兵行军，原来随军的民夫共有多少人？（单位换算：10升=1斗
10斗=1石）
