11.2三角形全等的判定(含全章所有的判定)

(共80张PPT)
三角形全等的探索
C
B
A
多边形全等的识别
若对应边相等，对应角相等
则两多边形全等
三角形有哪些组成元素呢？
三条边和三个角是三角形的6个元素。
C
B
A
边：AB， AC， BC
角：∠A，∠B，∠C
F
E
D
边：AB， AC， BC
角：∠A，∠B，∠C
边：DE， EF， EF
角：∠D，∠E，∠F
三角形全等的识别
若：三边分别对应相等
三角分别对应相等
则两三角形全等。
两个三角形至少要具备什么条件，即它们有多少组边或角分别对应相等时就全等呢？
三角形全等的探索
1、只有一组元素对应相等
①一角对应相等
②一边对应相等
探索之路
结论：只有一组元素对应相等不
能判别两个三角形全等
2、两组元素对应相等
②两边分别对应相等
①两角分别对应相等
③一边一角分别对应相等
说明：两组元素对应相等
不能判别三角形全等。
①三角分别对应相等
②三边分别对应相等
③两边一角分别对应相等
④两角一边分别对应相等
3、有三组元素对应相等
（不能判别）
（“SSS”可判别）
SAS
SSA
（可判别）
（不能判别）
ASA
AAS
（可判别）
（能判别）
复习
HL
探索与应用
“SSS”篇
小制作:
4 cm
3 cm
4.8 cm
你能猜一猜全班这几十个三角形的是什么关系吗？
试一试
若另换三条能画成三角形的线段，我们画出的三角形还会全等吗？
这就是我们所熟悉的三角形的稳定性
概括：
如果两个三角形的三条边分别对应相等，那么这两个三角形全等
A
B
C
D
E
F
(简称: 边.边.边 或 S.S.S)
A
B
C
D
O
A
B
C
D
A
B
C
D
O
尝试 · 据条件判定下列的三角形是否全等
A
B
C
D
△ABC和△BAD
O
小试牛刀
如图，四边形ABCD中，AD=BC，AB=DC，试说明△ABC≌△CDA
A
B
C
D
注意：书写的条理性
如图，AB=AD,BC=DC,试说明∠B= ∠D
A
B
C
D
你也试一试:
如图，AB=EF,BC=DE,若AD=CF,则△ABC与△FED全等吗 说明理由.
继续探索
E
F
D
A
B
C
若△ABC向右平移一定距离,刚才的结论还成立吗
若边结BD,CE,则△BDA 与△ECF全等吗 为什么
还能找出一组三角形并说明它们全等吗？
数学、生活
有一块三角形的厚铁板，据需要，张师傅要把∠AOB平分开，但他身边只有一把直尺(可惜没有刻度)和一根细线，想一想，有什么好办法？说说你的方案。
A
O
B
A
O
B
·
C
·
D
·
M
A
O
B
·
C
·
D
·
M
探索与应用
“SAS”篇
两边及其夹角
两边及一边对角
(边角边)
(边边角)
三角形全等的探索
③两边一角分别对应相等
边角边
边边角
现有线段a=8cm,b=5cm,
(1)画 使AB=8cm,AC=5cm,
(2)画 使AB=8cm,BC=5cm,
实践出真知
请你归纳
如果两个三角形有两边及其夹角分别
对应相等，那么这两个三角形全等。
(简记为：SAS)
试一试：
B
A
D
C
O
根据”边角边“定理填写需要补充的条件，使结论成立；
解：在△AOB和△DOC中
∵ AO=DO，
= ，
BO=CO
∴ △AOB≌△D0C（ ）
∠AOB ∠DOC
≌
再试试
AB DC
生活中的数学
国庆期间,几名学生在钵池山公园，测量一池塘两端Ａ，Ｂ的距离，设计了如下方案：如图，先在平地上取了一个可直接到达Ａ，Ｂ的点Ｃ，再连接ＡＣ，ＢＣ，并分别延长ＡＣ至Ｄ，ＢＣ至Ｅ，使ＤＣ＝ＡＣ，ＥＣ＝ＢＣ，最后测ＤＥ的长即为ＡＢ的距离，你认为这种方案可行吗 并加以说明.
A
B
C
E
D
例1
已知:如图,点A,B,C,D在同一条直线上,
AB=CD,∠D=∠ECA,EC=FD
请说明:AE=BF
AE和BF还有其它的关系吗 为什么
看谁反应快
如图,已知,AB=AC,AD=AE,∠BAE=∠CAD
试说明:∠B=∠C
练一练
例2
已知:如图,AB║DE,AB=DE,AF=DC,
请说明:△ECF≌△BFC
思维竞技场
≌
思考题
(2)连结BE,你还能得到什么结论 请写出来.(不要求说明理由)
探索与应用
“ASA与AAS”篇
探索之路
两角一边分别对应相等
(角边角)
(角角边)
两角一边
三角形全等的识别
已知两个角和一条线段，以这两个角为内角，以这条线段为两个角的夹边，画一个三角形.
做一做:
如果两个三角形的两个角及其夹边分别对应相等，那么这两个三角形全等．
归 纳
简记为 (A.S.A.)
符 号 语 言
≌
三角形全等的识别
根据题目条件，判别下面的两个三角形是否全等，并说明理由.
练一练
已知两个角和一条线段，以这两个角为内，以这条线段为一个角的对边，画一个三角形.
　思　考：
A
B
C
D
E
F
如果两个三角形的两个角及其中一个角的对边分别对应相等，那么这两个三角形是否一定全等？
如果两个三角形的两个角及其中一个角的对边分别对应相等，那么这两个三角形全等．（Ａ.Ａ.Ｓ.）
A
B
C
D
E
F
符号语言:
①
②
③
例1：
例1：已知如图:
∠BDA＝∠CEA，AE=AD
求证： △ABD≌△ACE．
注意：书写的条理性
如图：∠1＝∠2，∠B＝∠D，△ABC和△ADC全等吗？
你也试一试:
如图，∠ABC=∠DCB，试添加一个条件，使得△ABC≌△DCB,这个条件可以是
_________,或_______
你也试一试:
如图：△ABC是等腰三角形，AD、BE分别是∠A、∠B的角平分线，△ABD和△BAE全等吗？试说明理由.
你也试一试:
若改为：AD、BE分别是两腰上的中线，△ABD和△BAE全等吗？试说明理由.
若改为：AD、BE分别是两腰上的高，△ABD和△BAE全等吗？试说明理由.
如图，AB//DC，AD//BC,BE⊥AC，DF ⊥ AC垂足为E、F。试说明：BE＝DF
例2:探索继续
A
B
C
D
E
F
变形，如图（2）将上题中的条件“BE⊥AC，DF ⊥ AC”变为“BE //DF”，结论还成立吗？请说明你的理由。
A
B
C
D
E
F
探索与应用
“HL”
直角三形全等的识别
探索
直角三角形
全等的条件
两个三角形全等的条件
两边一角：SAS （夹角）
两角一边
ASA （夹边）
AAS （对边）
三边 SSS
判断
(1)两条直角边对应相等的两个直角三角形全等
(2)两个锐角对应相等的两个直角三角形全等
(3)一条直角边和一个锐角对应相等的两个直角三角形全等
(4)一条斜边和一个锐角对应相等的两个直角三角形全等
(5)两个直角三角形有一边一角对应相等则一定全等
(SAS)
(AAS 或 ASA)
(AAS 或 ASA)
因为直角三角形是一种特殊的三角形，所以一般三角形全等的条件都可以用来说明两个直角三角形全等
对于这种特殊的三角形而言，若只有两边相等，那么这两个直角三角形全等吗？
一般性：
特殊在那里？
让我们一起动动手吧！
（1）画∠PCQ=90°
（2）在射线CP上取CB=3cm
（3）以B为圆心，5cm为半径，画弧交射线CQ于点A。
（4）连接AB。
又多了一个朋友噢
斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
简写为“斜边、直角边”或“HL”
四边形ABCD中，CB=CD∠ABC=∠ADC=90°，∠BAC=35°，则∠BCD的度数为（ ）
∟
C
D
A
B
如图：AC⊥BC，AD ⊥BD，垂足分别为C、D，AC=BD，△ABC与△BAD全等吗？
∟
∟
A
B
D
C
你来试一下如何？
∟
A
B
C
D
如图：AD⊥BC，AB=AC，你能找出其中的全等三角形吗？
你能知道AD和△ABC还有什么关系吗？
如图：AB=DF，CF=EB，AC⊥CE，DE ⊥CE，垂足分别为C、E。△ABC和△DFE全等吗？为什么？
∟
∟
A
B
C
D
E
F
如图：△ABC中，∠A=90°AB=AC=BE，E是BC上一点，DE⊥BC，如果BC=10cm，那么△DEC的周长是_______cm
A
B
E
C
D
如图：EB⊥AC，AB=EB，CE=DA，试说明AF⊥EC
E
A
B
C
D
F
能力升级
1、如图，△ABC中，∠ABC=45°，H是高AD与BE的交点，试说明：BH=AC。
探索与应用
复习篇
图形的全等
全等三角形
性质
判定
对
应
边
相
等
对
应
角
相
等
全等图形
能够完全重合
大小，形状相同
1、判断两个三角形全等的方法：
判定方法 条 件
边边边
（SSS）
三边对应相等
边角边
（SAS）
两边和他们的　　对应相等
角边角
（ASA）
两角和他们的夹边对应相等
角角边
（AAS）
两角和　　　　　　　对应相等
夹角
其中一角的对边
2、判断两个直角三角形全等的方法：
Ａ．一般三角形全等的判定方法对直角三角形全等的判定
　　同样适用．
Ｂ．
判定方法 条 件
直角边和斜边
（ＨＬ）
斜边和一条直角边对应相等
2、一般三角形全等判定方法的选择：
已知条件 可选择的判定方法
SAS
ASA
AAS
SAS
AAS
ASA
SSS
一边一角对应相等
两个角对应相等
两条边对应相等
练习：
判断题：
１．全等图形是指面积大小一样的图形
２．两个等边三角形一定是全等图形
3．周长相等的两个正方形面积也相等
4．全等三角形的对应高不一定相等
5、全等三角形的周长相等，面积相等
6、全等三角形对应边的中线相等。（ ）
7、面积相等的两个三角形全等。（ ）
8、两边和一角对应相等的两个三角形全 等。 （ ）
√
√
×
×
练习：
１.如图，已知AC＝DC，∠BCE＝∠ACD，请添加一
个已知条件：　　　　　，使ΔABC≌ΔDEC．
２.如图，已知AB＝AC，EB=EC，AE的延长线交BC于
　点D，那么图中的全等三角形共有　　　　对．
第3题
第4题
BC＝EC
或∠B＝∠DCE
或∠A＝∠D
3
E
D
A
B
C
C
A
D
B
E
３.已知,在ΔABC和ΔDEF中,∠A＝40 ,∠B＝60 ，　　
　∠D＝80 ，∠E＝60 ，你可再添加一个什么条
　件使得ΔABC≌ΔFDE,并说明理由．
40
60
80
60
４.如图，已知,∠B＝∠C，D,E,F分别在AB,BC,AC
　上，且BD＝CE，∠DEF＝∠B，图中与ΔBDE全等　　
　的三角形是　　　　　　　．请你写出理由．
ΔCEF
三角形全等的识别
已知:AB BC,DC BC,
DE AC,B,C,M为垂足,
AB=EC,试说明AC=DE
4、已知，如图，AB＝AC，BD＝DC，则
AD与BC有什么样的位置关系 WHY？
A
B
C
D
A
D
E
B
C
若AB=AD，BE=DE，试说明BC=DC
三角形全等的识别
若AB、CD相交于点O，AB=CD，AD=CB，试说明∠A=∠C
O
C
B
D
A
三角形全等的识别
已知:如图,AB=AC, BAC= DAE, ABD = ACE
试说明AD=AE
练一练
A
B
C
D
E
如图：△ABC中，∠A=90°AB=AC=BE，E是BC上一点，DE⊥BC，如果BC=10cm，那么△DEC的周长是_______cm
A
B
E
C
D
勇攀高峰
如图所示,已知M是正方形ABCD的边AB的中点，MN⊥MD交∠CBE的平分线BN于点N，求证：MD=MN
若M是正方形ABCD的边AB的任一点，其余条件不变，上述结论还成立吗？
勇攀高峰
如图①所示，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AE是过A点的一条直线，且B点和C点在AE的异侧，BD⊥AE于D点， CE⊥AE于E点；
如图③求证：若直线AE绕点A旋转到图③所示位置时(BD>CE),其余条件不变,问BD与DE、CE关系如何？直接写出结论，不必证明。
④归纳前面三题，用语言表达BD与DE、CE的关系。
如图②求证：若直线AE绕A旋转到图②所示位置时(BD图①
图②
图③
忠心祝福我们每个同学都可以给这一章画上一个完美的号！