2.1 等式
2.1.1 等式的性质与方程的解集
学
习
目
标
核
心
素
养
1．理解且会运用等式的性质．(重点)2．理解恒等式的概念，会进行恒等变形．(难点)3．会求方程的解集．(重点)
1．借助等式的性质，培养逻辑推理的素养．2．通过求方程的解集，提升数据分析、数学运算的核心素养．
有只狡猾的狐狸平时总喜欢戏弄其它动物，有一天它遇见老虎，狐狸说：“我发现了2和5可以相等，我这里有一个方程5x－2＝2x－2.
等式两边同时加上2，得5x－2＋2＝2x－2＋2，即5x＝2x，①
等式两边同时除以x，得5＝2，②”
老虎瞪大了眼睛，一脸的疑惑．你认为狐狸的说法正确吗？
问题 如果正确，请说明理由；如果不正确，请指出错在哪里，并加以改正．
1．等式的性质
性质(1)：等式的两边同时加上(或减去)同一个数(或代数式)，等式仍成立．
用字母表示为：如果a＝b，则对任意的c，都有a±c＝b±c．
性质(2)：等式的两边同时乘以(或除以)同一个数(或代数式)(除数或代数式不为0)，等式仍成立．
用字母表示为：如果a＝b，则对任意的c，都有a×c＝b×c，a÷c＝b÷c(c≠0).
2．恒等式
(1)一般地，含有字母的等式，如果其中的字母取任意实数时等式都成立，则称其为恒等式，也称等式两边恒等．恒等式是进行代数变形的依据之一．
(2)一个经常会用到的恒等式：对任意的x，a，b，都有(x＋a)(x＋b)＝x2＋(a＋b)x＋ab．
(3)用“十字相乘法”分解因式：①直接利用公式x2＋(a＋b)x＋ab＝(x＋a)(x＋b)进行分解；
②利用公式acx2＋(ad＋bc)x＋bd＝(ax＋b)(cx＋d)进行分解．
思考1：十字相乘法分解因式的关键是什么？
[提示] 把二次项和常数项分解，交叉相乘，得到两个因数，再把两个因式相加，看它们的和是不是正好等于一次项系数．
[拓展] 常用的乘法公式类恒等式
(1)ac＋ab＝a(b＋c)；
(2)(a±b)2＝a2±2ab＋b2；
(3)(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc；
(4)a2－b2＝(a＋b)(a－b)；
(5)a3＋b3＝(a＋b)(a2－ab＋b2)；
(6)a3－b3＝(a－b)(a2＋ab＋b2).
3．方程的解(或根)是指能使方程左右两边相等的未知数的值．求方程解的过程叫做解方程．把一个方程所有解组成的集合称为这个方程的解集．
思考2：把方程通过适当变换后，求出的未知数的值都是这个方程的解(根)吗？
[提示] 把方程通过变换，求出的未知数的值不一定是这个方程的根，也可能是这个方程的增根．
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)计算(2a＋5)(2a－5)＝2a2－25.
( )
(2)因式分解过程为：x2－3xy－4y2＝(x＋y)(x－4).
( )
(3)用因式分解法解方程时部分过程为：
(x＋2)(x－3)＝6，所以x＋2＝3或x－3＝2.
( )
[答案] (1)× (2)× (3)×
2．下列算式：(1)3a＋2b＝5ab；(2)5y2－2y2＝3；(3)7a＋a＝7a2；(4)4x2y－2xy2＝2xy中正确的有( )
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
A [(1)(4)不是同类项，不能合并；(2)5y2－2y2＝3y2；(3)7a＋a＝8a.所以4个算式都错误．故选A.]
3．已知A＝x3＋6x－9，B＝－x3－2x2＋4x－6，则2A－3B等于( )
A．－x3＋6x2
B．5x3＋6x2
C．x3－6x
D．－5x3＋6x2
B [依题意，可得2A－3B＝2(x3＋6x－9)－3(－x3－2x2＋4x－6)＝5x3＋6x2，故选B.]
4．(教材P46练习A②改编)x2－4的因式分解的结果是( )
A．(x－2)2
B．(x－2)(x＋2)
C．(x＋2)2
D．(x－4)(x＋4)
B [x2－4＝(x＋2)(x－2).故选B.]
等式性质的应用
【例1】 已知x＝y,
则下列各式：①x－3＝y－3；②4x＝6y；③－2x＝－2y；④＝1；⑤＝；⑥＝.其中正确的有( )
A．①②③
B．④⑤⑥
C．①③⑤
D．②④⑥
C [①x－3＝y－3；③－2x＝－2y；⑤＝正确，故选C.]
在等式变形中运用等式的性质时要注意，必须保证等式两边同乘以或除以的同一个数是不为零的数，此外，还要注意等式本身隐含的条件．
1．设x，y，c是实数，下列正确的是( )
A．若x＝y，则x＋c＝y－c
B．若x＝y，则xc＝yc
C．若x＝y，则＝
D．若＝，则2x＝3y
B [A.两边加不同的数，故A不符合题意；B.两边都乘以c，故B符合题意；C.c＝0时，两边都除以c无意义，故C不符合题意；D.两边乘6c，得到3x＝2y，故D不符合题意．故选B.]
恒等式的化简
【例2】 化简：
(1)(3a－2)－3(a－5)；
(2)－3x2y＋2x2y＋3xy2－2xy2；
(3)2m＋(m＋n)－2(m＋n)；
(4)(4a2b－5ab2)＋[－2(3a2b－4ab2)].
[解] (1)(3a－2)－3(a－5)＝3a－2－3a＋15＝13.
(2)－3x2y＋2x2y＋3xy2－2xy2＝－x2y＋xy2.
(3)2m＋(m＋n)－2(m＋n)＝2m＋m＋n－2m－2n＝m－n.
(4)(4a2b－5ab2)＋[－2(3a2b－4ab2)]＝4a2b－5ab2＋(－6a2b＋8ab2)＝4a2b－5ab2－6a2b＋8ab2＝－2a2b＋3ab2.
去括号时，首先要弄清楚括号前究竟是“＋”号，还是“－”号，其次要注意法则中的“都”字，都改变符号或都不改变符号，一定要一视同仁，尤其是括号前面是“－”号时，容易出现只改变括号内首项符号，而其余各项均不变号的错误．
2．计算：
(1)a2－3ab＋5－a2－3ab－7;
(2)5(m＋n)－4(3m－2n)＋3(2m－3n)；
(3)3(－5x＋y)－[(2x－4y)－2(3x＋5y)].
[解] (1)原式＝(1－1)a2＋(－3－3)ab＋(5－7)＝－6ab－2.
(2)原式＝5m＋5n－12m＋8n＋6m－9n＝(5－12＋6)m＋(5＋8－9)n＝－m＋4n.
(3)原式＝－15x＋3y－(2x－4y－6x－10y)＝－15x＋3y－(－4x－14y)＝－15x＋3y＋4x＋14y＝(－15＋4)x＋(3＋14)y＝－11x＋17y.
【例3】 十字相乘法分解因式：
(1)x2－x－56；(2)x2－10x＋16.
[解] (1)因为
所以：原式＝(x＋7)(x－8).
(2)因为
所以：原式＝(x－2)(x－8).
常数项为正，分解的两个数同号；常数项为负，分解的两个数异号.
二次项系数一般都化为正数，如果是负数，则提出负号，分解括号里面的二次三项式，最后结果不要忘记把提出的负号添上．
3．将y2－5y＋4因式分解的结果是( )
A．(y＋1)(y＋4)
B．(y＋1)(y－4)
C．(y－1)(y＋4)
D．(y－1)(y－4)
D [因式分解，可得y2－5y＋4＝(y－1)(y－4)，故选D.]
方程的解集
【例4】 (教材P45例2改编)求下列方程的解集．
(1)x(x＋2)＝2x＋4；
(2)16(x－5)2－9(x＋4)2＝0.
[解] (1)原方程可变形为x(x＋2)＝2(x＋2)，即
(x－2)(x＋2)＝0，
从而x＋2＝0或x－2＝0，所以x＝－2或x＝2，方程的解集为{－2，2}．
(2)利用平方差，将原方程变为[4(x－5)＋3(x＋4)][4(x－5)－3(x＋4)]＝0，
整理可得(7x－8)(x－32)＝0，所以7x－8＝0或x－32＝0，所以x＝或x＝32，
故原方程的解集为.
用“十字相乘法”求一元二次方程的解集的一般步骤
(1)移项，将一元二次方程的右边化为0；
(2)化积，利用提取公因式法、公式法等将一元二次方程的左边分解为两个一次因式的积；
(3)转化，两个因式分别为0，转化为两个一元一次方程；
(4)求解，解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解；
(5)将其解写成集合的形式．
4．若x＝－2是关于x的一元二次方程x2－ax＋a2＝0的一个根，则a的值为( )
A．1或4
B．－1或－4
C．－1或4
D．1或－4
B [∵x＝－2是关于x的一元二次方程x2－ax＋a2＝0的一个根，∴4＋5a＋a2＝0，∴(a＋1)(a＋4)＝0,
解得a＝－1或a＝－4.]
知识：
1．利用等式性质进行化简要注意是否恒等变形，化简要彻底，要注意符号的变换．
2．方程的解集要写成集合的形式．
方法：
十字相乘法分解因式的步骤：移项→化积→转化→求解．
1．若3a＝2b，下列各式进行的变形中，不正确的是( )
A．3a＋1＝2b＋1
B．3a－1＝2b－1
C．9a＝4b
D．－＝－
C [A.∵3a＝2b，∴3a＋1＝2b＋1，正确，不合题意；
B．∵3a＝2b，∴3a－1＝2b－1，正确，不合题意；
C．∵3a＝2b，∴9a＝6b，故此选项错误，符合题意；
D．∵3a＝2b，∴－＝－，正确，不合题意．故选C.]
2．(m＋n)－2(m－n)的计算结果是( )
A．3n＋2m
B．3n＋m
C．3n－m
D．3n－2m
C [原式＝m＋n－2m＋2n＝－m＋3n，故选C.]
3．下列方程的解正确的是( )
A．x－3＝1的解集是{－2}
B．x－2x＝6的解集是{－4}
C．3x－4＝(x－3)的解集是{3}
D．－x＝2的解集是
B [方程x－3＝1的解是x＝4，x－2x＝6的解是x＝－4，3x－4＝(x－3)的解是x＝－7，－x＝2的解是x＝－6，故选B.]
4．方程2x－1＝0的解集是________．
[由2x－1＝0，解得x＝，所以方程的解集是.]
5．若式子3x2－mx－2因式分解的结果是(3x＋2)(x＋n)，试求实数m，n的值．
[解] ∵(3x＋2)(x＋n)＝3x2＋(3n＋2)x＋2n＝3x2－mx－2，
∴∴
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-2.1.2 一元二次方程的解集及其根与系数的关系
学
习
目
标
核
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1.理解一元二次方程的定义，并会求一元二次方程的解集．(重点)2．掌握一元二次方程的根的判别式，并会用其判断根的个数．(重点)3．掌握一元二次方程的根与系数的关系，并会用其求一些关于方程两根的代数式的值．(重点、难点)
1.通过对一元二次方程的解集及根与系数的关系的学习，培养数学抽象、逻辑推理的数学素养．2．通过求一元二次方程的解集，提升数学运算素养．
从前有一天，某人拿一竹竿对着大门比画：竹竿横着比门框宽4尺，竖着比门框高2尺，斜着与门框的对角线长度相等．
问题 你知道竹竿有多长吗？
1．一元二次方程的定义
形如ax2＋bx＋c＝0的方程为一元二次方程，其中a，b，c是常数，且a≠0.
2．一元二次方程的解法
(1)直接开平方法：利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法．
(2)配方法：通过方程的简单变形，将左边配成一个含有未知数的完全平方式，若右边是一个非负常数，则可以运用直接开平方法求解，
这种解一元二次方程的方法叫做配方法．
(3)公式法：将一元二次方程中的系数a，b，c的值代入式子x＝中，就求得方程的根，这种解一元二次方程的方法叫做公式法．
3．一元二次方程根的判别式
式子b2－4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)根的判别式，通常用Δ表示，即Δ＝b2－4ac.当Δ＞0
时，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个相等的实数根；当Δ＜0时，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根．
4．一元二次方程的根与系数的关系
如果ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根是x1，x2，那么x1＋x2＝－，x1·x2＝，即两个根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两个根的积等于常数项与二次项系数的比．
思考：利用一元二次方程根与系数的关系解题时，需要注意什么条件？
[提示] 先把方程化为ax2＋bx＋c＝0的形式，然后验证，是否满足a≠0，Δ＝b2－4ac≥0这两个条件，同时满足这两个条件才能用根与系数关系解题．
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)用公式法解一元二次方程3x2＝－2x＋3时，a＝3，b＝－2，c＝3，再代入公式即可．
( )
(2)方程x2－2＝0的解是x＝.
( )
(3)若x1，x2是一元二次方程x2－2x－3＝0的两个根，则x1x2＝－2.
( )
[答案] (1)× (2)× (3)×
2．用配方法解方程x2－8x＋5＝0，将其化为(x＋a)2＝b的形式，正确的是( )
A.(x＋4)2＝11
B．(x＋4)2＝21
C.(x－8)2＝11
D．(x－4)2＝11
D [∵x2－8x＋5＝0，∴x2－8x＝－5，∴x2－8x＋16＝－5＋16，∴(x－4)2＝11，故选D.]
3．用公式法解方程6x－8＝5x2时，a，b，c的值分别是( )
A.5，6，－8
B．5，－6，－8
C.5，－6，8
D．6，5，－8
C [原方程可化为5x2－6x＋8＝0，∴a＝5,
b＝－6，c＝8，故选C.]
4．(教材P51练习B②改编)已知一元二次方程2x2＋2x－1＝0的两个根为x1，x2，且x1＜x2，下列结论正确的是( )
A.x1＋x2＝1
B．x1·x2＝－1
C.|x1|＜|x2|
D．x＋x1＝
D [根据题意，得x1＋x2＝－＝－1，x1x2＝－，所以A，B选项错误．∵x1＋x2＜0，x1x2＜0，∴x1，x2异号，且负数的绝对值大，所以C选项错误．∵x1为一元二次方程2x2＋2x－1＝0的根，∴2x＋2x1－1＝0，∴x＋x1＝，D选项正确．故选D.]
一元二次方程的解法
角度一 直接开平方法
【例1】 用直接开平方法求下列一元二次方程的解集．
(1)4y2－25＝0；(2)3x2－x＝15－x.
[思路点拨] 可将方程转化为x2＝p(p≥0)的形式，再两边开平方进行降次，化为一元一次方程．
[解] (1)移项，得4y2＝25.
两边都除以4，得y2＝.
解得y1＝，y2＝－，
所以原一元二次方程的解集是.
(2)移项，合并同类项，得3x2＝15.
两边都除以3，得x2＝5，
解得x1＝，x2＝－.
所以原一元二次方程的解集是{，－}．
应用直接开平方法求一元二次方程解集的主要步骤
(1)化为x2＝p(p≥0)的形式；(2)直接开平方；(3)解两个一元一次方程，写出方程的两个根；(4)总结写成解集的形式．
1．用直接开平方法求下列一元二次方程的解集．
(1)(x＋1)2＝12；
(2)(6x－1)2－25＝0.
[解] (1)直接开平方，得x＋1＝±2，
∴x1＝2－1，x2＝－2－1.
∴原一元二次方程的解集是{2－1，－2－1}．
(2)移项，得(6x－1)2＝25.
开平方，得6x－1＝±5，
∴x1＝1，x2＝－.
∴原一元二次方程的解集是.
角度二 配方法
【例2】 用配方法求下列方程的解集．
(1)x2＋4x－1＝0；
(2)4x2＋8x＋1＝0.
[解]
(1)∵x2＋4x－1＝0，∴x2＋4x＝1，
∴x2＋4x＋4＝1＋4，∴(x＋2)2＝5，
∴x＝－2±，
∴x1＝－2＋，x2＝－2－.
∴原一元二次方程的解集是{－2＋，－2－}．
(2)移项，得4x2＋8x＝－1.
二次项系数化为1，得x2＋2x＝－，
配方，得x2＋2x＋12＝12－，即(x＋1)2＝.
∴x＋1＝±.
∴x1＝－1＋，x2＝－1－，
∴原一元二次方程的解集是.
利用配方法解一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，先把二次项系数变为1，即方程两边都除以a，然后把常数项移到方程右边，再把方程两边加上一次项系数一半的平方，把方程的一边配方化为一个完全平方式，另一边化为非负数，然后用直接开平方法求解(若另一边为负数，则此方程无实数根).
2．用配方法求下列方程的解集．
(1)x2＋3＝2x；
(2)2x2－5＋x＝0.
[解] (1)移项，得x2－2x＝－3.
配方，得x2－2x＋()2＝－3＋()2，
即(x－)2＝0.∴x1＝x2＝，
∴原一元二次方程的解集是{}．
(2)移项，得2x2＋x＝5.
二次项系数化为1，得x2＋x＝.
配方，得x2＋x＋＝＋.
∴＝.
∴x＋＝±.
∴x1＝，x2＝，
∴原一元二次方程的解集是{，}．
角度三 公式法
【例3】 用公式法求下列方程的解集．
(1)x2－4x＋10＝0；
(2)x2＋x＋＝0.
[思路点拨] 先化成一元二次方程的一般形式，再求Δ，然后根据求根公式求解．
[解] (1)∵a＝1，b＝－4，c＝10，
Δ＝b2－4ac＝(－4)2－4×1×10＝8＞0，
∴x＝＝＝2±，
∴x1＝2＋，x2＝2－.
∴原一元二次方程的解集是{2＋，2－}．
(2)方程两边都乘以8，得4x2＋4x＋1＝0.
∵a＝4，b＝4，c＝1，
Δ＝b2－4ac＝42－4×4×1＝0，
∴x＝＝－，
∴x1＝x2＝－.
∴原一元二次方程的解集是.
利用公式法解一元二次方程时，首先将方程化为一般形式，找出二次项系数，一次项系数及常数项，计算b2－4ac的值；当b2－4ac≥0时，把a，b，c的值代入求根公式即可求出原方程的解，然后总结写出解集．
3．用公式法求下列方程的解集．
(1)x2＋3＝2x；
(2)3x2＝－6x－1.
[解] (1)将方程化为一般形式为x2－2x＋3＝0.
∵a＝1，b＝－2，c＝3，
Δ＝b2－4ac＝(－2)2－4×1×3＝－4＜0，
∴原方程没有实数根．
∴原一元二次方程的解集是.
(2)将方程化为一般形式为3x2＋6x＋1＝0，
∵a＝3，b＝6，c＝1，
Δ＝b2－4ac＝62－4×3×1＝24＞0，
∴x＝＝，
∴x1＝，x2＝.
∴原一元二次方程的解集是.
一元二次方程的根的判别式
【例4】 不解方程，判断下列一元二次方程的解集情况．
(1)3x2－2x－1＝0；
(2)2x2－x＋1＝0；
(3)4x－x2＝x2＋2.
[解] (1)∵Δ＝(－2)2－4×3×(－1)＝16＞0，∴方程有两个不相等的实数根，∴方程的解集中有两个元素．
(2)∵Δ＝(－1)2－4×2×1＝－7＜0，∴方程没有实数根，∴方程的解集为空集．
(3)方程整理为x2－2x＋1＝0,
∵Δ＝(－2)2－4×1×1＝0,
∴方程有两个相等的实数根，∴方程的解集中有一个元素．
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判别式Δ＝b2－4ac.当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程没有实数根．
4．下列一元二次方程中，解集为空集的是( )
A.x2－2x＝0
B．x2＋4x－1＝0
C.2x2－4x＋3＝0
D．3x2＝5x－2
C [利用根的判别式Δ＝b2－4ac分别进行判定即可．
A.Δ＝(－2)2－4×1×0＝4＞0，有两个不相等的实数根，故此选项不合题意；B.Δ＝42－4×1×(－1)＝20＞0，有两个不相等的实数根，
故此选项不合题意；C.Δ＝(－4)2－4×2×3＝－8＜0，没有实数根，故此选项符合题意；D.Δ＝(－5)2－4×3×2＝1＞0，有两个不相等的实数根，故此选项不合题意．故选C.]
一元二次方程的根与系数的关系
[探究问题]
1．怎样用x1＋x2和x1x2表示x＋x？
[提示] x＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2.
2．当x1＜x2时，x2－x1可以用x1＋x2与x1x2表示吗？
[提示] x2－x1＝.
【例5】 (教材P50例2改编)设x1，x2是方程2x2－9x＋6＝0的两个根，求下列各式的值．
(1)＋；
(2)x＋x；
(3)(x1－3)(x2－3)；
(4)x1－x2.
[思路点拨] 先由一元二次方程根与系数的关系写出x1＋x2与x1x2的值，再将所求值的式子化为关于x1＋x2与x1x2的表达式，最后整体代入求值．
[解] 由根与系数的关系，得x1＋x2＝，x1x2＝3.
(1)＋＝＝÷3＝.
(2)x＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2
＝－2×3＝.
(3)(x1－3)(x2－3)
＝x1x2－3(x1＋x2)＋9
＝3－3×＋9
＝－.
(4)∵(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2
＝－4×3＝，
∴x1－x2＝±.
利用根与系数的关系求有关代数式的值的一般方法
(1)利用根与系数的关系求出x1＋x2，x1x2的值；
(2)将所求的代数式变形转化为含x1＋x2，x1x2的代数式的形式；
(3)将x1＋x2，x1x2的值整体代入，求出待求代数式的值．
本例中条件不变，求x＋x的值．
[解] x＋x
＝(x1＋x2)(x－x1x2＋x)
＝(x1＋x2)[(x1＋x2)2－3x1x2]
＝×
＝.
与一元二次方程相关的求未知字母的值或范围问题
【例6】 已知关于x的一元二次方程2x2－kx＋3＝0的解集中只有一个元素，则k的值为( )
A.±2
B．±
C.3或4
D．2或3
A [∵a＝2，b＝－k，c＝3，∴Δ＝b2－4ac＝k2－4×2×3＝k2－24，∵方程的解集中只有一个元素，∴Δ＝k2－24＝0,
解得k＝±2.]
根据已知条件求一元二次方程中字母系数的取值或取值范围问题，常见情况为根据方程解的情况判定字母系数的情况．
5．若关于x的一元二次方程x2－(2a＋1)x＋a2＝0有两个不相等的实数根，求a的取值范围．
[解] ∵关于x的一元二次方程x2－(2a＋1)x＋a2＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝[－(2a＋1)]2－4a2＝4a＋1＞0，
∴a＞－.
知识：
一元二次方程根与系数的关系
如果ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根是x1，x2，那么x1＋x2＝－，x1x2＝.利用这个关系，可以求一些关于方程两根的代数式的值的问题．
注意：一元二次方程的根与系数的关系需满足的前提条件是：①a≠0；②Δ≥0.
方法：
一元二次方程的解法：(1)直接开平方法；(2)配方法；
(3)公式法．
1．一元二次方程x2－9＝0的解集是( )
A.{3}
B．{－3}
C.{－3，3}
D．{－9，9}
C [∵x2－9＝0，∴x2＝9，∴x＝±3，故选C.]
2．一元二次方程x2＝3x的解集是( )
A.{0} B．{3}
C．{－3} D．{0，3}
D [∵x2＝3x，∴x2－3x＝0，∴x(x－3)＝0，解得x1＝0，x2＝3，故选D.]
3．一元二次方程4x2＋1＝4x的解集情况是( )
A.为空集
B．只有一个元素
C.有两个元素
D．无法确定元素的个数
B [原方程可化为4x2－4x＋1＝0，∵Δ＝(－4)2－4×4×1＝0，∴方程有两个相等的实数根，解集中只有一个元素．故选B.]
4．将方程x2－2x＝3化为(x－m)2＝n的形式，则m，n分别是________．
1，4 [x2－2x＝3，配方得x2－2x＋1＝4,
即(x－1)2＝4，∴m＝1，n＝4.]
5．设集合U＝{0，1，2，3}，A＝{x∈U|x2＋mx＝0}．若?UA＝{1，2}，则实数m＝________．
－3 [由条件知A＝{0，3}，
∴3＋m＝0，∴m＝－3.]
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-
10
-2.1.3 方程组的解集
学
习
目
标
核
心
素
养
1.理解方程组的解集的定义及表示方法．(难点)2．掌握用消元法求方程组解集的方法．(重点)3．会利用方程组知识解决一些简单的实际问题．(重点、难点)
1.通过理解方程组的定义，培养数学抽象的素养．2．通过求方程组的解集，提升数据分析、数学运算的学科素养．
我国古代数学著作《张邱建算经》中记载百鸡问题：“今有鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一．凡百钱，买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何？”设鸡翁、鸡母、鸡雏个数分别为x，y，z，则
当z＝81时，x＝________，y＝________．
1．方程组的解集
一般地，将多个方程联立，
就能得到方程组．方程组中，由每个方程的解集得到的交集称为这个方程组的解集．
2．求方程组解集的过程要不断应用等式的性质，常用的方法是消元法．
思考：常用的消元法有哪几种？
[提示] 解方程组时常用的消元方法有代入消元法和加减消元法．代入消元时一般需要把原式化简一下再代入；加减消元时，也需要把原方程组中的某一个或某些个转化后再进行加减消元．
3．二元一(二)次方程组解集的表示方法为{(x，y)|(a，b)，…}，其中a，b为确定的实数，三元一次方程组解集的表示方法为
{(x,
y，z)|(a，b，c)，…}，其中a，b，c为确定的实数．
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)方程1＋＝－2是一元一次方程．
( )
(2)是方程组的解．
( )
(3)解方程组时要用代入消元法把未知数逐渐变少．
( )
[答案] (1)× (2)√ (3)×
2．已知二元一次方程组解集为( )
A.{(x，y)|(2，3)}
B．{(x，y)|(3，2)}
C.{(x，y)|(－2，3)}
D．{(x，y)|(－2，－3)}
A [
①＋②得：3x＋3y＝15，解得x＝2，y＝3，解集为{(x，y)|(2，3)}，故选A.]
3．(教材P55练习B①改编)已知A＝{(x，y)|x＋y＝5}，B＝{(x，y)|2x－y＝4}，则A∩B＝( )
A.{(x，y)|(1，4)}
B．{(x，y)|(2，3)}
C.{(x，y)|(3，2)}
D．{(x，y)|(4，1)}
C [根据题意，得
由代入消元法可求得x＝3，y＝2，故A∩B＝{(x，y)|(3，2)}.
]
4．已知那么x－y的值是________．
－1 [两式相减可得结果x－y＝－1.]
二元一次方程组的解集【例1】 求下列方程组的解集．
(1)
(2)
[解] (1)由①，得y＝4－x.③
把③代入②，得2x－3(4－x)＝3.解这个方程，得x＝3.
把x＝3代入③，得y＝1.
所以原方程组的解集为{(x，y)|(3，1)}．
(2)法一：①＋②，得6x＝12，所以x＝2.
把x＝2代入②，得3×2＋7y＝13，所以y＝1.
所以原方程组的解集为{(x，y)|(2，1)}．
法二：①－②，得－14y＝－14，所以y＝1.
把y＝1代入①，得3x－7×1＝－1，所以x＝2.
所以原方程组的解集为{(x，y)|(2，1)}．
1.用代入消元法解二元一次方程组的一般步骤
（1）当方程组中的未知数系数不是1（或－1）时，常选择系数相对较小的未知数，用另一个未知数的代数式表示这个未知数；
（2）代入时要注意加括号；
（3）为了检查解答是否正确，可把所得解代入未变形的方程进行口算检验，不必写检验过程．
2.用加减消元法解二元一次方程组的一般步骤
（1）将其中一个未知数的系数化为相同（或互为相反数）；
（2）通过相减（或相加）消去这个未知数，得到一个一元一次方程；
（3）解这个一元一次方程，得到这个未知数的值；
（4）将求得的未知数的值代入原方程组中任何一个方程，求得另一个未知数的值；
（5）写出方程组的解；
（6）检验，但不必写出检验过程．
1．求下列方程组的解集．
(1)
(2)
[解] (1)由②，得2y＝3x－5.③
把③代入①，得4x＋4(3x－5)＝12，解得x＝2.
把x＝2代入③，得y＝.
所以原方程组的解集为.
(2)由①×2，得16x＋18y＝146，③
由③－②，得9x＝144，解得x＝16.
把x＝16代入①，得8×16＋9y＝73，解得y＝－.
所以原方程组的解集为.
三元一次方程组的解集
【例2】 求下列方程组的解集．
(1)
(2)
[解] (1)法一：将③分别代入①②，得
解得
把y＝2代入③，得x＝8.
所以原方程组的解集为{(x，y，z)|(8，2，2)}．
法二：②－①，得y＋4z＝10，④
②－③，得6y＋5z＝22，⑤
联立④⑤，得解得
把y＝2代入③，得x＝8.
所以原方程组的解集为{(x，y，z)|(8，2，2)}．
法三：①×5，得5x＋5y＋5z＝60，④
④－②，得4x＋3y＝38，⑤
联立③⑤，得解得
把x＝8，y＝2代入①，得z＝2.
所以原方程组的解集为{(x，y，z)|(8，2，2)}．
(2)①×2－②，得x＋8z＝11，④
①×3＋③，得10x＋7z＝37，⑤
联立④⑤，得解得
把x＝3，z＝1代入①，得y＝2.
所以原方程组的解集为{(x，y，z)|(3，2，1)}．
解三元一次方程组的基本步骤
(1)观察方程组中每个方程的特点，确定消去的未知数；
(2)利用加减消元法或代入消元法，消去一个未知数，得到二元一次方程组；
(3)解二元一次方程组，求出两个未知数的值；
(4)将所得的两个未知数的值代入原三元一次方程组中的某个方程，求出第三个未知数的值；
(5)写出三元一次方程组的解．
2．求方程组的解集．
[解] ①＋②＋③，得2(x＋y＋z)＝10，
即x＋y＋z＝5.④
④－①，得z＝4；④－②，得x＝－1；④－③，得y＝2.
所以原方程组的解集为{(x，y，z)|(－1，2，4)}．
二元二次方程组的解集
【例3】 (教材P53例1改编)求下列方程组的解集．
(1)
(2)
[解] (1)由①得y＝8－x，③
把③代入②，整理得x2－8x＋12＝0.
解得x1＝2，x2＝6.
把x1＝2代入③，得y1＝6.
把x2＝6代入③，得y2＝2.
所以原方程组的解集为{(x，y)|(2，6)，(6，2)}．
(2)由①得(x－2y)2＋(x－2y)－2＝0，
解得x－2y＝1或x－2y＝－2，
由得
由得
所以原方程组的解集为.
求二元二次方程组解集的基本思想是消元和降次，消元就是化二元为一元，降次就是把二次降为一次，因此可以通过消元和降次把二元二次方程组转化为二元一次方程组、一元二次方程甚至一元一次方程．
3．求方程组的解集．
[解] ∵方程①是x与2y的和，方程②是x与2y的积，
∴x与2y是方程z2－4z－21＝0的两个根，解此方程得z1＝－3，z2＝7，
∴或即或
所以原方程组的解集为
.
方程组的实际应用
【例4】 某汽车在相距70
km的甲、乙两地往返行驶，行驶中有一坡度均匀的小山，该汽车从甲地到乙地需要2.5
h，从乙地到甲地需要2.3
h．假设该汽车在平路、上坡路、下坡路的行驶过程中时速分别是30
km，20
km，40
km，则从甲地到乙地的过程中，上坡路、平路、下坡路的长度各是多少？
[思路点拨] 题中有三个等量关系：①上坡路长度＋平路长度＋下坡路长度＝70
km；②从甲地到乙地的过程中，上坡时间＋平路时间＋下坡时间＝2.5
h；③从乙地到甲地的过程中，上坡时间＋平路时间＋下坡时间＝2.3
h．
[解] 设从甲地到乙地的过程中，上坡路、平路、下坡路分别是x
km，y
km和z
km.
由题意得解得
故从甲地到乙地的过程中，上坡路是12
km，平路是54
km，下坡路是4
km.
列方程组解应用题的一般步骤
(1)审：认真审题，分清题中的已知量、未知量，并明确它们之间的等量关系；
(2)设：恰当地设未知数；
(3)列：依据题中的等量关系列出方程组；
(4)解：解方程组，求出未知数的值；
(5)验：检验所求得的未知数的值是否符合题意和实际意义；
(6)答：写出结论．
提醒：(1)一般来说，设几个未知数就应列出几个方程．(2)设未知数及写结论时，都要写清单位名称．
4．甲、乙两人分别从相距30千米的A、B两地同时相向而行，经过3小时后相距3千米，再经过2小时，甲到B地所剩的路程是乙到A地所剩路程的2倍，求甲、乙两人的速度．
[解] 设甲的速度为每小时x千米，乙的速度为每小时y千米．
①当甲、乙两人相遇前相距3千米时，得解得
②当甲、乙两人经过3小时相遇后又相距3千米时，得
解得
答：甲的速度为每小时4千米，乙的速度为每小时5千米或甲的速度为每小时千米，乙的速度为每小时千米．
知识：
求二元二次方程组解集的基本思想是消元和降次，消元就是化二元为一元，降次就是把二次降为一次．消元后求出一元二次方程的根，应代入二元一次方程求另一个未知数的值，不能代入二元二次方程，因为这样可能产生增根．
方法：
1．代入消元法．
2．加减消元法．
1．二元一次方程组的解集是( )
A.{(x，y)|(1，2)}
B．{(x，y)|(1，0)}
C.{(x，y)|(－1，2)}
D．{(x，y)|(1，－2)}
A [由加减消元法可求得x＝1，y＝2，故所求方程组的解集为{(x，y)|(1，2)}．]
2．已知集合A＝{(x，y)|y＝x3}，B＝{(x，y)|y＝x}，则A∩B的元素个数是( )
A.0
B．1
C.2
D．3
D [联立消元，得x3＝x，
所以x(x－1)(x＋1)＝0，所以x＝0，1，－1，
故有三个交点，即(－1，－1)，(0，0)，(1，1)，所以集合A∩B中有3个元素．]
3．桌面上有甲、乙、丙三个杯子，三杯内原本均装有一些水．先将甲杯的水全部倒入丙杯，此时丙杯的水量为原本甲杯内水量的2倍多40毫升；再将乙杯的水全部倒入丙杯，此时丙杯的水量为原本乙杯内水量的3倍少180毫升．若过程中水没有溢出，
则原本甲、乙两杯内的水量相差( )
A.80毫升
B．110毫升
C.140毫升
D．220毫升
B [设甲杯中原有水a毫升，乙杯中原有水
b毫升，丙杯中原有水c毫升，
依题意有
②－①，得b－a＝110，故选B.]
4．设计一个二元二次方程组，使得这个二元二次方程组的解是和试写出符合要求的方程组________．
(答案不唯一) [由于这两组解都有：xy＝2×3＝6，x－y＝－1，
故可组成方程组为(答案不唯一).]
5．有一群人在池中游泳，若每位男孩看到的人中男孩和女孩一样多，而每位女孩看到的人中男孩比女孩多一倍，问池中男、女孩各多少人？
[解] 设男孩有x人，女孩有y人，由题意得
解得故池中有男孩4人，女孩3人．
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1
-2.2 不等式
2.2.1 不等式及其性质
第1课时 不等关系与不等式
学
习
目
标
核
心
素
养
1.会用不等式(组)表示实际问题中的不等关系．(难点)2．会用比较法比较两实数的大小．(重点)
1.
借助实际问题表示不等式，提升数学建模素养．2.
通过大小比较，培养逻辑推理素养．
如图，在日常生活中，我们经常看到下列标志：
其含义分别为
①最低限速：限制行驶速度v不得低于50
km/h；
②限制质量：装载总质量m不得超过10
t；
③限制高度：装载高度h不得超过3.5
m；
④限制宽度：装载宽度a不得超过3
m.
你能用数学式子表示上述关系吗？
1．不等式的定义
我们用数学符号“≠”“＞”“＜”“≥”“≤”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系，含有这些不等号的式子，称为不等式．
2．不等式a≤b和a≥b的含义
(1)不等式a≤b应读作“a小于或者等于b”，其含义是指“a＜b，或者a＝b”，等价于“a不大于b”，即若a＜b与a＝b之中有一个正确，则a≤b正确．
(2)不等式a≥b应读作“a大于或者等于b”，其含义是指“a＞b，或者a＝b”，等价于“a不小于b”，即若a＞b与a＝b之中有一个正确，则a≥b正确．
3．实数大小比较的依据
我们已经知道，实数与数轴上的点一一对应，即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数．一般地，如果点P对应的数为x，则称x为点P的坐标，并记作P(x)．另外，数轴上的点往数轴的正方向运动时，它所对应的实数会变大，这就是说，两个数在数轴上对应的点的相对位置决定了这两个数的大小．如图所示的数轴中，A(a)，B(b)，不难看出b>1>0>a.
此外，我们也知道，一个数加上一个正数，相当于数轴上对应的点向正方向移动了一段距离；一个数减去一个正数(即加上一个负数)，相当于数轴上对应的点向负方向移动了一段距离．由此可以看出，要比较两个实数a，b的大小，只要考察a－b与0的相对大小就可以了，即a－b＜0?a＜b，a－b＝0?a＝b，a－b＞0?a＞b.
上面等价符号的左式反映的是实数的运算性质，右式反映的则是实数的大小顺序，合起来就成为实数的运算性质与大小顺序之间的关系．它是不等式的理论基础，也是不等式性质的证明、证明不等式和解不等式的主要依据．
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)不等式x≥2的含义是指x不小于2.
( )
(2)两个实数a，b之间，有且只有a＞b，a＝b，a
( )
(3)若a＞b，则ac2＞bc2.
( )
(4)若a＋c＞b＋d，则a＞b，c＞d.
( )
[答案] (1)√ (2)√ (3)× (4)×
2．某高速公路要求行驶的车辆的速度v的最大值为120
km/h，同一车道上的车间距d不得小于10
m，用不等式表示为( )
A．v≤120
km/h且d≥10
m
B．v≤120
km/h或d≥10
m
C．v≤120
km/h
D．d≥10
m
A [v的最大值为120
km/h，即v≤120
km/h，车间距d不得小于10
m，即d≥10
m，故选A.]
3．雷电的温度大约是28
000
℃，比太阳表面温度的4.5倍还要高．设太阳表面温度为t
℃，那么t应满足的关系式是________．
4.5t<28
000 [由题意得，太阳表面温度的4.5倍小于雷电的温度，即4.5t<28
000.]
4．设M＝a2，N＝－a－1，则M，N的大小关系为________．
M＞N [M－N＝a2＋a＋1
＝＋＞0，
∴M＞N.]
用不等式(组)表示不等关系
【例1】 京沪线上，复兴号列车跑出了350
km/h的速度，这个速度的2倍再加上100
km/h，不超过民航飞机的最低时速，可这个速度已经超过了普通客车的3倍，请你用不等式表示三种交通工具的速度关系．
[解] 设复兴号列车速度为v1，民航飞机速度为v2，普通客车速度为v3.
v1，v2的关系：2v1＋100≤v2，
v1，v3的关系：v1＞3v3.
在用不等式(组)表示不等关系时，要进行比较的各量必须具有相同性质，没有可比性的两个(或几个)量之间不可用不等式(组)来表示．另外，在用不等式(组)表示实际问题时，一定要注意单位的统一．
1．用一段长为30
m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18
m，要求菜园的面积不小于216
m2，靠墙的一边长为x
m．试用不等式(组)表示其中的不等关系．
[解] 由于矩形菜园靠墙的一边长为x
m，而墙长为18
m，所以0这时菜园的另一条边长为＝(m).
因此菜园面积S＝x·，
依题意有S≥216，即x≥216，
故该题中的不等关系可用不等式组表示为
比较两数(式)的大小
【例2】 (教材P60例1改编)已知x≤1，比较3x3与3x2－x＋1的大小．
[解] 3x3－(3x2－x＋1)＝(3x3－3x2)＋(x－1)
＝3x2(x－1)＋(x－1)＝(3x2＋1)(x－1).
∵x≤1，∴x－1≤0，而3x2＋1＞0，
∴(3x2＋1)(x－1)≤0，∴3x3≤3x2－x＋1.
把本例中“x≤1”改为“x∈R”，再比较3x3与3x2－x＋1的大小．
[解] 3x3－(3x2－x＋1)＝(3x3－3x2)＋(x－1)
＝(3x2＋1)(x－1).
∵3x2＋1＞0，
当x＞1时，x－1＞0，∴3x3＞3x2－x＋1；
当x＝1时，x－1＝0，∴3x3＝3x2－x＋1；
当x＜1时，x－1＜0，∴3x3＜3x2－x＋1.
作差法比较两个实数大小的基本步骤
2．比较2x2＋5x＋3与x2＋4x＋2的大小．
[解] (2x2＋5x＋3)－(x2＋4x＋2)＝x2＋x＋1
＝＋.
∵≥0，∴＋≥＞0.
∴(2x2＋5x＋3)－(x2＋4x＋2)＞0，
∴2x2＋5x＋3＞x2＋4x＋2.
不等关系的实际应用
【例3】 某单位组织职工去某地参观学习需包车前往．甲车队说：“如果领队买全票一张，其余人可享受
7.5
折优惠”．乙车队说：“你们属团体票，按原价的8折优惠”．这两车队的原价、车型都是一样的，试根据单位去的人数，比较两车队的收费哪家更优惠．
[解] 设该单位职工有n人(n∈N
)，全票价为x元，坐甲车需花y1元，坐乙车需花y2元，
则y1＝x＋x(n－1)＝x＋xn，y2＝nx.
因为y1－y2＝x＋xn－nx
＝x－nx＝x，
当n＝5时，y1＝y2；
当n＞5时，y1＜y2；当0＜n＜5时，y1＞y2.
因此当单位去的人数为5人时，两车队收费相同；多于5人时，选甲车队更优惠；少于5人时，选乙车队更优惠．
解决决策优化型应用题，首先要确定制约着决策优化的关键量是哪一个，然后再用作差法比较它们的大小即可．
3．甲、乙两家旅行社对家庭旅游提出优惠方案．甲旅行社提出：如果户主买全票一张，其余人可享受五五折优惠；乙旅行社提出：家庭旅游算集体票，按七五折优惠．如果这两家旅行社的原价相同，那么哪家旅行社价格更优惠？
[解] 设该家庭除户主外，还有x人参加旅游，甲、乙两旅行社收费总额分别为y甲、y乙，一张全票价为a元，则
y甲＝a＋0.55ax，y乙＝0.75(x＋1)a.
y甲－y乙＝(a＋0.55ax)－0.75(x＋1)a
＝0.2a(1.25－x)，
当x＞1.25(x∈N)时，y甲＜y乙；
当x＜1.25(x∈N)时，即x＝1时，y甲＞y乙．
因此两口之家，乙旅行社较优惠，三口之家或多于三口的家庭，甲旅行社较优惠．
知识：
比较两个实数的大小，只要求出它们的差就可以了．
a－b>0?a>b；a－b＝0?a＝b；a－b<0?a方法：
作差法比较大小的一般步骤
第一步：作差；
第二步：变形，常采用配方、因式分解等恒等变形手段，将“差”化成“和”或“积”；
第三步：定号，就是确定是大于0，等于0，还是小于0(不确定的要分情况讨论)；
最后得结论．
概括为“三步一结论”，这里的“定号”是目的，“变形”是关键．
1．如图，在一个面积为200
m2的矩形地基上建造一个仓库，四周是绿地，仓库的长a大于宽b的4倍，则表示上面叙述中的不等关系正确的是( )
A．a＞4b
B．(a＋4)(b＋4)＝200
C．
D．
C [∵仓库的长a大于宽b的4倍，∴a＞4b.又矩形地基的面积为200
m2，∴(a＋4)(b＋4)＝200，故选C.]
2．下面表示“a与b的差是非负数”的不等关系的是(
)
A．a－b＞0
B．a－b＜0
C．a－b≥0
D．a－b≤0
[答案] C
3．设M＝(a＋1)(a－3)，N＝2a(a－2)，则( )
A．M＞N
B．M≥N
C．M＜N
D．M≤N
C [N－M＝2a(a－2)－(a＋1)(a－3)＝2a2－4a－(a2－2a－3)＝a2－2a＋3＝(a－1)2＋2＞0，即M＜N，故选C.]
4．若实数a>b，则a2－ab________ba－b2.(填“>”或“<”)
> [因为(a2－ab)－(ba－b2)＝(a－b)2，又a>b，所以(a－b)2>0.]
5．完成一项装修工程，请木工共需付工资每人500元，请瓦工共需付工资每人400元，现有工人工资预算20
000元，设木工x人，瓦工y人，试用不等式表示上述关系．
[解] 由题意知，500x＋400y≤20
000，
即5x＋4y≤200.
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7
-第2课时 不等式及其性质
学
习
目
标
核
心
素
养
1.掌握不等式的性质．(重点)2.能利用不等式的性质进行数或式的大小比较或不等式的证明．(难点)3.通过类比等式与不等式的性质，探索两者之间的共性与差异．
1.通过不等式性质的判断与证明，培养逻辑推理能力．2.借助不等式性质求范围问题，提升数学运算素养．
糖水跟煲汤一样，具有滋补养生的功效．可以作为糖水的材料有很多，不同的材料具有不同的功效，有的具于清凉性，有的具有燥热性．根据不同的主料来配搭不同辅料，可以达到相辅相成的效果．专家称，喝糖水可缓解烦躁失眠，在烦躁而不容易入眠时，喝糖水可使体内产生大量血清素，亦可助眠．
问题 (1)如果向一杯糖水里加糖，糖水变甜了，为什么？
(2)把原来的糖水(淡)与加糖后的糖水(浓)混合到一起，你能得出什么不等关系？如何证明？
性质1(可加性)：a＞b?a＋c＞b＋c．
性质2(可乘性)：?ac＞bc．
性质3：?ac＜bc．
性质4(传递法)：a＞b，b＞c?a＞c．
推论1(移项法则)：a＋b＞c?a＞c－b．
推论2(同向可加性)：?a＋c＞b＋d．
推论3(同向同正可乘性)：?ac＞bd．
推论4(正数乘方性)：a＞b＞0?an＞bn(n∈N，n＞1).
推论5(正数开方性)：a＞b＞0?＞．
[拓展] (1)性质1说明不等式两边都加上同一个实数，所得的不等式与原不等式同向．性质1是不等式移项法则的基础，不等式中任何一项改变符号后，可以把它从一边移到另一边．
(2)性质2，3证明过程中的关键步骤是根据“同号相乘得正，异号相乘得负”的法则来完成的．一定要注意性质2，3中c的符号，因为c的符号不同，结论恰好相反．性质2，3中的a，b可以是实数，也可以是式子．
(3)推论2中，同向不等式可相加，但不能相减，即由a＞b，c＞d，可以得出a＋c＞b＋d，但不能得出a－c＞b－d.
(4)不等式的性质中，对表达不等式性质的各不等式，要注意“箭头”是单向的还是双向的，即符号“?”表示等价关系，可以互相推出，而符号“?”只能从左边推向右边，该性质不具备可逆性．尤其在证明不等式时，要注意是否可逆．
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc.
( )
(2)如果a＜b＜0，那么a2＞b2.
( )
(3)如果＜＜0，那么|a|＞|b|.
( )
[答案] (1)√ (2)√ (3)×
2．与a>b等价的不等式是( )
A．|a|>|b|
B．a2>b2
C．>1
D．a3>b3
D [可利用赋值法．令a＝－5，b＝0，则A，B正确而不满足a>b，再令a＝－3，b＝－1，则C正确而不满足a>b，故选D.]
3．设xA．x2B．x2>ax>a2
C．x2D．x2>a2>ax
B [∵xa2.
∵x2－ax＝x(x－a)>0，∴x2>ax.
又ax－a2＝a(x－a)>0，∴ax>a2.
∴x2>ax>a2.故选B.]
4．(教材P63练习B②改编)若a＜b＜0，则下列不等式中不成立的是( )
A．a2＞b2
B．＞
C．＞
D．a5＋b5＜a2b3＋a3b2
B [由于a＜b＜0，则|a|＞|b|，即a2＞b2，故A成立；
当a＝－2，b＝－1时，＝－1＜－，故B不成立；由a＜b＜0，两边同时除以ab可得＞，故C成立；a5＋b5－(a2b3＋a3b2)＝a2(a3－b3)－b2(a3－b3)
＝(a2－b2)(a3－b3)＝(a－b)2(a＋b)(a2＋ab＋b2)＜0，故D成立．故选B.]
利用不等式性质判断命题真假
【例1】 对于实数a，b，c，下列命题中的真命题是( )
A．若a＞b，则ac2＞bc2
B．若a＞b＞0，则＞
C．若a＜b＜0，则＞
D．若a＞b，＞，则a＞0，b＜0
[思路点拨] 本题可以利用不等式的性质直接判断命题的真假，也可以采用特殊值法判断．
D [法一：∵c2≥0，∴c＝0时，有ac2＝bc2，故A为假命题；
由a＞b＞0，有ab＞0?＞?＞，故B为假命题；
a＜b＜0?－a＞－b＞0?－＞－＞0?＞，
故C为假命题；
?ab＜0.
∵a＞b，∴a＞0且b＜0，故D为真命题．
法二：特殊值排除法．
取c＝0，则ac2＝bc2，故A错；
取a＝2，b＝1，则＝，＝1.有＜，故B错；
取a＝－2，b＝－1，
则＝，＝2，有＜，故C错．故选D.]
运用不等式的性质判断时，要注意不等式成立的条件，不要弱化条件，尤其是不能凭想当然随意捏造性质．解有关不等式选择题时，也可采用特殊值法进行排除，注意取值一定要遵循如下原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算．
1．下列命题正确的是( )
A．若a2＞b2，则a＞b
B．若＞，则a＜b
C．若ac＞bc，则a＞b
D．若＜，则a＜b
D [A错，例如(－3)2＞22；B错，例如＞；C错，例如当c＝－2，a＝－3，b＝2时，有ac＞bc，但a＜b.故选D.]
利用不等式性质证明简单不等式
[探究问题]
1．证明不等式的常用方法有哪些？
[提示] 比较法，综合法，分析法，反证法．
2．综合法证明不等式的基本思路是什么？
[提示] 从已知条件出发，综合利用各种结果，经逐步推导，最后得出结论．
【例2】 若a＞b＞0，c＜d＜0，e＜0，求证：＞.
[思路点拨] 可结合不等式的基本性质，分析所证不等式的结构，有理有据地导出证明结果．
[证明] ∵c＜d＜0，∴－c＞－d＞0.
又∵a＞b＞0，∴a－c＞b－d＞0.
∴(a－c)2＞(b－d)2＞0.
两边同乘以，得＜.
又e＜0，∴＞.
本例条件不变的情况下，求证：＞.
[证明] ∵c＜d＜0，∴－c＞－d＞0.
∵a＞b＞0，∴a－c＞b－d＞0，
∴0＜＜.
又∵e＜0，∴＞.
利用不等式的性质证明不等式的注意事项
(1)利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式．解决此类问题一定要在理解的基础上，记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用．
(2)应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，切不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则．
不等式性质的应用
[探究问题]
1．小明同学做题时进行如下变形：
∵2∴<<，
又∵－6∴－2<<4.
你认为正确吗？为什么？
[提示] 不正确．因为不等式两边同乘以一个正数，不等号的方向不变，但同乘以一个负数，不等号方向改变，在本题中只知道－62．由－6[提示] 不正确．因为同向不等式具有可加性，但不能相减，解题时要充分利用条件，运用不等式的性质进行等价变形，而不可随意“创造”性质．
3．你知道下面的推理、变形错在哪儿吗？
∵2∴－4又∵－2∴0∴－3这怎么与－2[提示] 利用几个不等式的范围来确定某不等式的范围要注意：同向不等式两边可以相加(相乘)，这种转化不是等价变形．本题中将2【例3】 已知1＜a＜4，2＜b＜8，试求a－b与的取值范围．
[思路点拨] 依据不等式的性质，找到－b与的范围，进而求出a－b与的取值范围．
[解] 因为1＜a＜4，2＜b＜8，
所以－8＜－b＜－2，
所以1－8＜a－b＜4－2，即－7＜a－b＜2.
又因为＜＜，所以＜＜＝2，
即＜＜2.
求含字母的数(或式子)的取值范围时，一要注意题设中的条件，二要正确使用不等式的性质，尤其是两个同方向的不等式可加不可减，可乘不可除．
2．已知－≤α＜β≤，求，的取值范围．
[解] ∵－≤α＜β≤，
∴－≤＜，－＜≤，
两式相加，得－＜＜.
又∵－＜≤，∴－≤－＜，
∴－≤＜，又知α＜β，∴＜0.
故－≤＜0.
知识：
1．在应用不等式性质时，一定要搞清它们成立的前提条件，不可强化或弱化成立的条件．
2．要注意“箭头”是单向的还是双向的，也就是说每条性质是否具有可逆性．
3．证明不等式常选用综合法，对于不方便用综合法证明的不等式可以灵活选择分析法与反证法．
方法：
证明不等式常用的方法有：作差(商)比较法、综合法、分析法、反证法．
1．若a＞b＞0，c＜d＜0，则一定有( )
A.＞
B．＜
C．＞
D．＜
D [法一：∵c＜d＜0，∴－c＞－d＞0，∴＞＞0.又a＞b＞0，所以＞，所以＜.
法二：令a＝3，b＝2，c＝－3，d＝－2.
则＝－1，＝－1，排除选项A，B.
又＝－，＝－，所以＜，排除选项C.]
2．如果a＞b＞0，c＞d＞0，则下列不等式中不正确的是( )
A．a－d＞b－c
B．－＜－
C．a＋d＞b＋c
D．ac＞bd
C [由已知及不等式的性质可得a＋c＞b＋d，
即a－d＞b－c，所以A正确；
由c＞d＞0，得＞＞0，又a＞b＞0，所以＞，－
＜－，即B正确；
显然D正确，因此不正确的选项是C.]
3．若－1＜α＜β＜1，则下列各式中恒成立的是( )
A．－2＜α－β＜0
B．－2＜α－β＜－1
C．－1＜α－β＜0
D．－1＜α－β＜1
A [由－1＜α＜1，－1＜β＜1，得－1＜－β＜1.
∴－2＜α－β＜2，但α＜β，
故知－2＜α－β＜0.故选A.]
4．能说明“若a＞b，则＜”为假命题的一组a，b的值依次为________．
a＝1，b＝－1(答案不唯一) [“若a＞b，则＜”是真命题，则ab＞0，因此举例只需使得“ab＞0”不成立且a＞b即可．]
5．若bc－ad≥0，bd>0，求证：≤.
[证明] 因为bc－ad≥0，所以ad≤bc，
因为bd>0，所以≤，所以＋1≤＋1，所以≤.
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8
-2.2.2 不等式的解集
2.2.3 一元二次不等式的解法
学
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目
标
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1.掌握不等式的解集及不等式组的解集．2．解绝对值不等式．(重点、难点)3．掌握一元二次不等式的解法．(重点)4．能根据“三个二次”之间的关系解决简单问题．(难点)
1.通过数学抽象理解绝对值不等式．2．通过一元二次不等式的学习，培养数学运算素养．
如图为某三岔路口交通环道的简化模型，在某高峰时段，单位时间进出路口A，B，C的机动车辆如图所示，图中x1，x2，x3分别表示该时段单位时间通过路段，，的机动车辆数(假设：单位时间内，在上述路段中，同一路段上驶入与驶出车辆数相等).
问题 (1)你能用x3，x1，x2分别表示出x1，x2，x3吗？
(2)你能判断出x1，x2，x3的大小吗？
1．不等式的解集与不等式组的解集
一般地，不等式的所有解组成的集合称为不等式的解集．对于由若干个不等式联立得到的不等式组来说，这些不等式的解集的交集称为不等式组的解集．
2．绝对值不等式
一般地，含有绝对值的不等式称为绝对值不等式．
思考1：你能总结出若a＞0，|x|＞a与|x|＜a的解集吗？
[提示]
不等式
|x|＜a
|x|＞a
解集
{x|－a＜x＜a}
{x|x＞a或x＜－a}
3.数轴上两点之间的距离公式、中点坐标公式
一般地，如果实数a，b在数轴上对应的点分别为A，B，即A(a)，B(b)，则线段AB的长为AB＝|a－b|，这就是数轴上两点之间的距离公式．数轴上线段AB的中点坐标公式为x＝.
4.一元二次不等式的概念
一般地，形如ax2＋bx＋c＞0的不等式称为一元二次不等式，其中a，b，c是常数，而且a≠0.
5．一元二次不等式的一般形式
(1)ax2＋bx＋c＞0(a≠0).
(2)ax2＋bx＋c≥0(a≠0).
(3)ax2＋bx＋c＜0(a≠0).
(4)ax2＋bx＋c≤0(a≠0).
思考2：不等式x2－y2>0是一元二次不等式吗？
[提示] 此不等式含有两个变量，根据一元二次不等式的定义，可知不是一元二次不等式．
6．一元二次不等式的解与解集
使一元二次不等式成立的未知数的值，叫做这个一元二次不等式的解，其解的集合，称为这个一元二次不等式的解集．
思考3：类比“方程x2＝1的解集是{1，－1}，解集中的每一个元素均可使等式成立”．不等式x2>1的解集及其含义是什么？
[提示] 不等式x2>1的解集为{x|x<－1或x>1}，该集合中每一个元素都是不等式的解，即不等式的每一个解均使不等式成立．
[拓展] 一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(a≠0)通过配方总是可以变为(x－h)2＞k或(x－h)2＜k的形式．
(1)当k≥0时，(x－h)2＞k的解集为(－∞，h－)∪(h＋，＋∞)；(x－h)2＜k的解集为(h－，h＋).
(2)当k＜0时，(x－h)2＞k的解集为R；
(x－h)2＜k的解集为.
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)不等式3x－1≥－4的解集为(－∞，－1].
( )
(2)构成不等式组的各个不等式的解集的并集称为不等式组的解集．
( )
(3)|a－2|表示数轴上表示a的点与表示2的点之间的距离．
( )
[答案] (1)× (2)× (3)√
2．不等式3x2－2x＋1＞0的解集为( )
A.
B.
C.
D．R
D [因为Δ＝(－2)2－4×3×1＝4－12＝－8＜0，所以不等式3x2－2x＋1＞0的解集为R.]
3．(教材P67练习B①改编)不等式|x|－3＜0的解集为________.
{x|－3＜x＜3} [不等式变形为|x|＜3，解集为{x|－3＜x＜3}．]
4．不等式－3x2＋5x－4>0的解集为________．
[原不等式变形为3x2－5x＋4<0.因为Δ＝(－5)2－4×3×4＝－23<0，所以3x2－5x＋4＝0无解．
3x2－5x＋4<0的解集为.]
求不等式组的解集
【例1】 (教材P64例1改编)不等式组
x＋3＞0))的解集是( )
A.x＞－3
B．－3≤x＜2
C.－3＜x≤2
D．x≤2
C [
解不等式①得：x≤2，解不等式②得：x＞－3，
∴不等式组的解集为－3＜x≤2，故选C.]
一元一次不等式组解集的求解策略
(1)一元一次不等式组的解集就是每个不等式解集的交集；
(2)求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到(无解).
1．解不等式组并在数轴上表示该不等式组的解集．
[解]
由①得，x＜3，
由②得，x≥－1，
故此不等式组的解集为{x|－1≤x＜3}，
在数轴上表示为：
解绝对值不等式
[探究问题]
1．若|x|＝|a|，是否一定有x＝a?
[提示] 不一定，x＝a或x＝－a.
2．|x|的几何意义是什么？
提示：|x|表示数轴上坐标为x的点到原点的距离，
即|x|＝
【例2】 不等式|5－4x|＞9的解集为________．
[∵|5－4x|＞9，∴5－4x＞9或5－4x＜－9.∴4x＜－4或4x＞14，
∴x＜－1或x＞.
∴原不等式的解集为.]
1．(变设问)不等式|5－4x|≤9的解集为________．
[∵|5－4x|≤9，
∴－9≤4x－5≤9.
∴－1≤x≤，
∴原不等式的解集为.]
2．(变设问)若不等式|kx－5|≤9的解集为，则实数k＝________．
4 [由|kx－5|≤9?－4≤kx≤14.
∵不等式的解集为，
∴k＝4.]
1．|x|＜a与|x|＞a型不等式的解法
不等式
a＞0
a＝0
a＜0
|x|＜a
{x|－a＜x＜a}
|x|＞a
{x|x＞a或x＜－a}
{x|x∈R且x≠0}
R
2.|ax＋b|≤c(c＞0)和|ax＋b|≥c(c＞0)型不等式的解法
(1)|ax＋b|≤c?－c≤ax＋b≤c；
(2)|ax＋b|≥c?ax＋b≥c或ax＋b≤－c.
一元二次不等式的解法
【例3】 (教材P70例2改编)求下列不等式的解集：
(1)2x2＋7x＋3>0；
(2)－4x2＋18x－≥0；
(3)－2x2＋3x－2<0.
[解] (1)因为Δ＝72－4×2×3＝25>0，所以方程2x2＋7x＋3＝0有两个不等实根x1＝－3，x2＝－，所以原不等式的解集为.
(2)原不等式可化为≤0，所以原不等式的解集为.
(3)原不等式可化为2x2－3x＋2>0，因为Δ＝9－4×2×2＝－7<0，所以方程2x2－3x＋2＝0无实根，所以原不等式的解集为R.
解不含参数的一元二次不等式的一般步骤
(1)化标准．通过对不等式的变形，使不等式右侧为0，使二次项系数为正．
(2)判别式．对不等式左侧因式分解，若不易分解，则计算对应方程的判别式．
(3)求实根．求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程有无实根．
(4)画草图．根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图．
(5)写解集．根据图像写出不等式的解集．
2．解下列不等式．
(1)2x2－3x－2>0；(2)x2－4x＋4>0；
(3)－x2＋2x－3<0；(4)－3x2＋5x－2>0.
[解] (1)∵Δ>0，方程2x2－3x－2＝0的根是x1＝－，x2＝2，∴不等式2x2－3x－2>0的解集为
.
(2)∵Δ＝0，方程x2－4x＋4＝0的根是x1＝x2＝2，
∴不等式x2－4x＋4>0的解集为.
(3)原不等式可化为x2－2x＋3>0，
由于Δ<0，方程x2－2x＋3＝0无解，
∴不等式－x2＋2x－3<0的解集为R.
(4)原不等式可化为3x2－5x＋2<0，
由于Δ>0，方程3x2－5x＋2＝0的两根为x1＝，x2＝1，
∴不等式－3x2＋5x－2>0的解集为.
含参数的一元二次不等式的解法
【例4】 解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1<0.
[思路点拨] ①对于二次项的系数a是否分a＝0，a<0，a>0三类进行讨论？②当a≠0时，是否还要比较两根的大小？
[解] 当a＝0时，原不等式可化为x>1.
当a≠0时，原不等式可化为(ax－1)(x－1)<0.
当a<0时，不等式可化为(x－1)>0，
∵<1，∴x<或x>1.
当a>0时，原不等式可化为(x－1)<0.
若<1，即a>1，则若＝1，即a＝1，则x∈；
若>1，即0综上所述，当a<0时，原不等式的解集为
eq
\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x或x>1)))；当a＝0时，原不等式的解集为{x|x>1}；当01时，原不等式的解集为.
解含参数的一元二次不等式的一般步骤
提醒：对参数分类讨论的每一种情况是相互独立的一元二次不等式的解集，不能合并．
3．解关于x的不等式：ax2－2≥2x－ax(a<0).
[解] 原不等式移项得ax2＋(a－2)x－2≥0，
化简为(x＋1)(ax－2)≥0.
∵a<0，∴(x＋1)≤0.
当＜－1时，即－2＜a＜0时，解得≤x≤－1；
当＝－1时，即a＝－2时，解得x＝－1；
当＞－1时，即a＜－2时，解得－1≤x≤.
综上所述，
当－2当a＝－2时，不等式的解集为{x|x＝－1}；
当a<－2时，不等式的解集为.
二次函数、二次方程、二次不等式之间的关系
[探究问题]
1．利用函数y＝x2－2x－3的图像说明当y>0、y<0、y＝0时x的取值集合分别是什么？这说明二次函数与二次方程、二次不等式有何关系？
[提示] y＝x2－2x－3的图像如图所示．
函数y＝x2－2x－3的值满足y>0时自变量x组成的集合，亦即二次函数y＝x2－2x－3的图像在x轴上方时点的横坐标x的集合{x|x<－1或x>3}；同理，满足y<0时x的取值集合为{x|－1方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)和不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)或ax2＋bx＋c<0(a>0)是函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的一种特殊情况，它们之间是一种包含关系，也就是当y＝0时，函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)就转化为方程，当y>0或y<0时，就转化为一元二次不等式．
2．方程x2－2x－3＝0与不等式x2－2x－3>0的解集分别是什么？观察结果你发现什么问题？这又说明什么？
[提示] 方程x2－2x－3＝0的解集为{－1，3}．
不等式x2－2x－3>0的解集为{x|x<－1或x>3}，观察发现不等式x2－2x－3>0解集的端点值恰好是方程x2－2x－3＝0的根．
3．设一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)和ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集分别为{x|xx2}，{x|x1[提示] 一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)和ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集分别为{x|xx2}，{x|x1【例5】 已知关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|2[思路点拨] →→→→
[解] 法一：由不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|20，即x2－x＋>0，解得x<或x>，所以不等式cx2＋bx＋a<0的解集为.
法二：由不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|21．(变结论)本例中的条件不变，求关于x的不等式cx2－bx＋a>0的解集．
[解] 由根与系数的关系知＝－5，＝6且a<0.
∴c<0，＝－，故不等式cx2－bx＋a>0，
即x2－x＋<0，即x2＋x＋<0.
解得.
2．(变条件)若将本例中的条件“关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|2[解] 由ax2＋bx＋c≥0的解集为知a＜0.
又×2＝＜0，则c＞0.
又－，2为方程ax2＋bx＋c＝0的两个根，
∴－＝，∴＝－.
又＝－，∴b＝－a，c＝－a，
∴不等式变为x2＋x＋a＜0，
即2ax2＋5ax－3a＞0.
又∵a＜0，∴2x2＋5x－3＜0，
所求不等式的解集为.
已知以a，b，c为参数的不等式（如ax2＋bx＋c＞0）的解集，求解其他不等式的解集时，一般遵循：
（1）根据解集来判断二次项系数的符号；
（2）根据根与系数的关系把b，c用a表示出来并代入所要解的不等式；
（3）约去
a，
将不等式化为具体的一元二次不等式求解．
知识：
1．不等式(组)的解集要写成集合形式，不等式组的解集是每个不等式解集的交集．
2．解绝对值不等式的关键就是去掉绝对值，利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想．
3．含参数的一元二次型的不等式
在解含参数的一元二次型的不等式时，往往要对参数进行分类讨论，为了做到分类“不重不漏”，讨论需从如下三个方面进行考虑：
(1)关于不等式类型的讨论：二次项系数a＞0，a＜0，a＝0.
(2)关于不等式对应的方程根的讨论：两根(Δ>0)，一根(Δ＝0)，无根(Δ<0).
(3)关于不等式对应的方程根的大小的讨论：x1＞x2，x1＝x2，x1＜x2.
4．由一元二次不等式的解集可以逆推二次函数的开口及与x轴的交点坐标．
方法：
解一元二次不等式的常见方法
(1)图像法：由一元二次方程、一元二次不等式及二次函数的关系，可以得到解一元二次不等式的一般步骤：
①化不等式为标准形式：ax2＋bx＋c＞0(a＞0)或ax2＋bx＋c＜0(a＞0)；
②求方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根，并画出对应函数y＝ax2＋bx＋c图像的简图；
③由图像得出不等式的解集．
(2)代数法：将所给不等式化为一般式后借助分解因式或配方求解．
当m有口诀如下：大于取两边，小于取中间．
1．不等式|2x－1|≤3的解集是( )
A.[－1，2]
B．[－2，1]
C.[0，3]
D．(－1，2)
A [由|2x－1|≤3得－3≤2x－1≤3，∴－2≤2x≤4，
∴－1≤x≤2，故选A.]
2．已知数轴上A(3)，B(－5)，则线段AB中点M的坐标为________．
M(－1) [＝－1，线段AB中点M的坐标为M(－1).]
3．如果＜2和|x|＞同时成立，那么x的取值范围是________．
[由＜2可得x＜0或x＞. ①
再由|x|＞可得x＞或x＜－. ②
把①②取交集可得x的取值范围是.]
4．不等式5＜1－2x＜9的解集是________．
(－4，－2) [法一：∵5＜1－2x＜9，∴4＜－2x＜8，－2＞x＞－4，即－4＜x＜－2.
法二：将不等式化成
由①，得x＜－2，
由②，得x＞－4.
∴－4＜x＜－2.]
5．解下列不等式．
(1)x(7－x)≥12；
(2)x2>2(x－1).
[解] (1)原不等式可化为x2－7x＋12≤0，因为方程x2－7x＋12＝0的两根为x1＝3，x2＝4，
所以原不等式的解集为{x|3≤x≤4}．
(2)原不等式可以化为x2－2x＋2>0，
因为判别式Δ＝4－8＝－4<0，
所以方程x2－2x＋2＝0无实根，根据图像得原不等式的解集为R.
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12
-2.2.4 均值不等式及其应用
第1课时 均值不等式
学
习
目
标
核
心
素
养
1.掌握均值不等式，明确均值不等式成立的条件．(难点)2．会用均值不等式证明一些简单的不等式或比较代数式的大小．(重点)
1.通过不等式的证明，培养逻辑推理的素养．2．通过均值不等式形式求简单的最值问题，提升数学运算的素养．
如图，是2002年8月在北京召开的第24届国际数学家大会的会标．它依据我国著名数学家赵爽为研究勾股定理所作的“弦图”进行设计，颜色的明暗使其看起来像一个风车．
问题 依据会标，你能找到一些相等或不等关系吗？
1．算术平均值与几何平均值
对于正数a，b，常把数叫做a，b的算术平均值，数叫做a，b的几何平均值．
2．均值不等式
(1)当a＞0，b＞0时，有≥，当且仅当a＝b时，等号成立．
思考1：均值不等式中的a，b只能是具体的数吗？
[提示] a，b既可以是具体的某个数，也可以是代数式．
思考2：均值不等式的叙述中，“正数”二字能省略吗？
[提示] 不能．如a＝－3，b＝－4，均值不等式不成立．
(2)均值不等式的常见变形
①当a＞0，b＞0，则a＋b≥2；
②若a＞0，b＞0，则ab≤.
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)对任意a，b∈R，a2＋b2≥2ab，a＋b≥2均成立．
( )
(2)若a≠0，则a＋≥2＝2.
( )
(3)若a>0，b>0，则ab≤.
( )
[答案] (1)× (2)× (3)√
[提示] (1)任意a，b∈R，有a2＋b2≥2ab成立，当a，b都为正数时，不等式a＋b≥2成立．
(2)只有当a>0时，根据均值不等式，才有不等式a＋≥2＝2成立．
(3)因为≤，所以ab≤.
2．已知a，b∈(0，1)，且a≠b，下列各式中最大的是( )
A．a2＋b2 B．2 C．2ab D．a＋b
D [∵a，b∈(0，1)，∴a2＜a，b2＜b，
∴a2＋b2＜a＋b，又a2＋b2＞2ab(a≠b)，
∴2ab＜a2＋b2＜a＋b.
又∵a＋b＞2(a≠b)，∴a＋b最大．]
3．(教材P77习题2－2A⑧改编)已知x＞0，则y＝x＋＋2的最小值是________．
2＋2 [∵x＞0，＞0，∴y≥2＋2，当且仅当x＝，即x＝时等号成立．]
4．当a，b∈R时，下列不等关系成立的是________．
①≥；②a－b≥2；③a2＋b2≥2ab；④a2－b2≥2ab.
③ [根据≥ab，≥成立的条件判断，知①②④错，只有③正确．]
对均值不等式的理解
【例1】 给出下面三个推导过程：
①∵a，b为正实数，∴＋≥2＝2；
②∵a∈R，a≠0，∴＋a≥2＝4；
③∵x，y∈R，xy＜0，∴＋＝－[(－)＋(－)]≤－2＝－2.
其中正确的推导为( )
A．①②
B．①③
C．②③
D．①②③
B [①∵a，b为正实数，∴，为正实数，符合均值不等式的条件，故①的推导正确；
②∵a∈R，a≠0，不符合均值不等式的条件，
∴＋a≥2＝4是错误的；
③由xy＜0，得，均为负数，但在推导过程中将整体＋提出负号后，，均变为正数，符合均值不等式的条件，故③正确．]
1．均值不等式≤
(a＞0，b＞0)反映了两个正数的和与积之间的关系．
2．对均值不等式的准确掌握要抓住以下两个方面：
(1)定理成立的条件是a，b都是正数．
(2)“当且仅当”的含义：当a＝b时，≤的等号成立，即a＝b?＝；仅当a＝b时，≥的等号成立，即＝?a＝b.
1．下列不等式的推导过程正确的是________．
①若x＞1，则x＋≥2＝2；
②若x＜0，则x＋＝－≤－2＝－4；
③若a，b∈R，则＋≥2＝2.
② [①中忽视了均值不等式等号成立的条件，当x＝时，即当x＝1时，x＋≥2等号成立，因为x＞1，所以x＋＞2，③中忽视了利用均值不等式时每一项必须为正数这一条件．]
利用均值不等式比较大小
【例2】 (1)已知a，b∈(0，＋∞)，则下列各式中不一定成立的是( )
A．a＋b≥2
B．＋≥2
C．≥2
D．≥
(2)已知a，b，c是两两不等的实数，则p＝a2＋b2＋c2与q＝ab＋bc＋ca的大小关系是________．
(1)D (2)p＞q [(1)由≥得a＋b≥2，
∴A成立；
∵＋≥2＝2，∴B成立；
∵≥＝2，∴C成立；
∵≤＝，∴D不一定成立．
(2)∵a，b，c互不相等，
∴a2＋b2＞2ab，b2＋c2>2bc，a2＋c2>2ac.
∴2(a2＋b2＋c2)>2(ab＋bc＋ac).
即a2＋b2＋c2>ab＋bc＋ac.∴p＞q.]
1．在理解均值不等式时，要从形式到内含中理解，特别要关注条件．
2．运用均值不等式比较大小时应注意成立的条件，即a＋b≥2成立的条件是a>0，b>0，等号成立的条件是a＝b；a2＋b2≥2ab成立的条件是a，b∈R，等号成立的条件是a＝b.
2．如果0＜a＜b＜1，P＝，Q＝，M＝，那么P，Q，M的大小顺序是( )
A．P＞Q＞M
B．M＞P＞Q
C．Q＞M＞P
D．M＞Q＞P
B [显然＞，又因为＜
，
所以＞＞.故M＞P＞Q.]
利用均值不等式证明不等式
【例3】 已知a，b，c是互不相等的正数，且a＋b＋c＝1，求证：＋＋>9.
[思路点拨] 看到＋＋>9，想到将“1”换成“a＋b＋c”，裂项构造均值不等式的形式，用均值不等式证明．
[证明] ∵a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝1，
∴＋＋＝＋＋
＝3＋＋＋＋＋＋
＝3＋＋＋
≥3＋2＋2＋2
＝3＋2＋2＋2＝9.
当且仅当a＝b＝c时取等号，
∵a，b，c互为相等，∴＋＋>9.
本例条件不变，求证：>8.
[证明] ∵a，b，c∈R＋，
且a＋b＋c＝1，
∴－1＝>0，－1＝>0，－1＝>0，∴
＝··≥＝8，
当且仅当a＝b＝c时取等号，
∵a，b，c互不相等，
∴＞8.
,
1．条件不等式的证明，要将待证不等式与已知条件结合起来考虑，比如本题通过“1”的代换，将不等式的左边化成齐次式，一方面为使用均值不等式创造条件，另一方面可实现约分与不等式的右边建立联系．
2.先局部运用均值不等式，再利用不等式的性质(注意限制条件)，通过相加(乘)合成为待证的不等式，既是运用均值不等式时的一种重要技能，也是证明不等式时的一种常用方法．
知识：
应用均值不等式时要时刻注意其成立的条件，只有当a>0，b>0时，才会有≤.对于“当且仅当……时，‘＝’成立…”这句话要从两个方面理解：一方面，当a＝b时，＝；另一方面：当＝时，也有a＝b.
方法：
应用均值不等式证明不等式的关键在于进行“拼”“凑”“拆”“合”“放缩”等变形，构造出符合均值不等式的条件结构．
1．对于任意a，b∈R，下列不等式一定成立的是( )
A．≥
B．a＋≥2
C．＋≥2
D．＋≥2
D [A选项，当a＜0，且b＜0时不成立；B选项，当a＜0时不成立；C选项，当a与b异号时不成立．故选D.]
2．设a>b>0，则下列不等式中一定成立的是( )
A．a－b<0
B．0<<1
C．<
D．ab>a＋b
C [∵a>b>0，由均值不等式知<一定成立．]
3．不等式＋(x－2)≥6(其中x＞2)中等号成立的条件是( )
A．x＝3
B．x＝－3
C．x＝5
D．x＝－5
C [由均值不等式知等号成立的条件为＝x－2，即x＝5(x＝－1舍去).]
4．设0＜a＜b，且a＋b＝1，在下列四个数中最大的是( )
A．
B．b
C．2ab
D．a2＋b2
B [∵ab＜，
∴ab＜，∴2ab＜.
∵＞＞0，∴＞，
∴a2＋b2＞.
∵b－(a2＋b2)＝(b－b2)－a2＝b(1－b)－a2
＝ab－a2＝a(b－a)＞0，∴b＞a2＋b2，∴b最大．]
5．设a>0，b>0，证明：＋≥a＋b.
[证明] ∵a>0，b>0，
∴＋a≥2b，＋b≥2a，
∴＋≥a＋b.
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3
-第2课时 均值不等式的应用
学
习
目
标
核
心
素
养
1.熟练掌握利用均值不等式求函数的最值问题．(重点)2．会用均值不等式求解实际应用题．(难点)
1.通过均值不等式求最值，提升数学运算素养．2．借助均值不等式在实际问题中的应用，培养数学建模素养．
(1)某养殖场要用100米的篱笆
围成一个矩形的鸡舍，怎样设计才能
使鸡舍面积最大？
(2)某农场主想用篱笆围成一个
10
000平方米的矩形农场，怎样设计才能使所用篱笆最省呢？
问题 实例中两个问题的实质是什么？如何求解？
已知x，y都是正数．
(1)若x＋y＝S(和为定值)，则当x＝y时，积xy取得最大值.
(2)若xy＝p(积为定值)，则当x＝y时，和x＋y取得最小值2.
上述命题可归纳为口诀：积定和最小，和定积最大．
[拓展] 在应用均值不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件：一正、二定、三相等，这三个条件缺一不可．
一正：各项必须为正数．例如，求代数式x＋的最值时，不能直接用x＋≥2＝2.取特殊值x＝－1，x＋＝－2，可见x＋的最小值不为2，产生错误的原因是这里的x不一定为正数．只有各项为正数时才能利用均值不等式．
二定：积或和为定值．积为定值和有最小值；和为定值积有最大值．为了利用均值不等式，有时对给定的代数式要进行适当变形．例如：
①当x＞2时，x＋＝(x－2)＋＋2≥2＋2＝4(当且仅当x＝3时，等号成立).
②当0＜x＜时，x(8－3x)＝(3x)(8－3x)≤
＝(当且仅当x＝时，等号成立).
三相等：等号能否取到．例如，＋中，虽然与的积为定值1，但是当＝时，有x2＝－1不成立．所以＋≥2中等号不成立，即此时不能用均值不等式求最值．
另外，在连续使用公式求最值时，取等号的条件很严格，要求同时满足任何一次等号成立的字母取值存在且一致．
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)两个正数的积为定值，一定存在两数相等时，它们的和有最小值．
( )
(2)若a>0，b>0且a＋b＝4，则ab≤4.
( )
(3)当x>1时，函数y＝x＋≥2，所以函数y的最小值是2.
( )
[答案] (1)√ (2)√ (3)×
[提示] (1)由a＋b≥2可知正确．
(2)由ab≤＝4可知正确．
(3)不是常数，故错误．
2．已知a，b∈R，则“ab＞0”是“＋＞2”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
B [ab＞0时，＞0，＞0，∴＋≥2，当且仅当a＝b时取等号，故充分性不成立．反之，∵＋＞2，
∴－2＞0，∴＞0，∴ab＞0，∴“ab＞0”是“＋＞2”的必要不充分条件．]
3．(教材P76练习A①改编)若x>0，则x＋的最小值是________．
2 [x＋≥2＝2，当且仅当x＝时，等号成立．]
4．设x，y∈N
满足x＋y＝20，则xy的最大值为________．
100 [∵x，y∈N
，
∴20＝x＋y≥2，
∴xy≤100.]
利用均值不等式求最值
【例1】 (1)已知x<，求y＝4x－2＋的最大值；
(2)已知0[思路点拨] (1)看到求y＝4x－2＋的最值，想到如何才能出现乘积定值；(2)要求y＝x(1－2x)的最值，需要出现和为定值．
[解] (1)∵x<，∴5－4x>0，
∴y＝4x－2＋＝－＋3≤－2＋3＝1，当且仅当5－4x＝，即x＝1，x＝(舍去)时，上式等号成立，
故当x＝1时，ymax＝1.
(2)∵00，
∴y＝×2x(1－2x)≤×＝×＝.
∴当且仅当2x＝1－2x，即x＝时，ymax＝.
,
利用均值不等式求最值的关键是获得满足均值不等式成立条件，即“一正、二定、三相等”．解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创设应用均值不等式的条件．具体可归纳为三句话：若不正，用其相反数，改变不等号方向；若不定，应凑出定和或定积；若不等，一般用后面第三章函数的单调性解决．
1．(1)已知x>0，求函数y＝的最小值；
(2)已知0[解] (1)∵y＝＝x＋＋5≥2＋5＝9，
当且仅当x＝，即x＝2时等号成立．
故y＝(x>0)的最小值为9.
(2)法一：∵00.
∴y＝x(1－3x)＝·3x(1－3x)
≤＝，
当且仅当3x＝1－3x，即x＝时，等号成立．
∴当x＝时，函数取得最大值.
法二：∵00.
∴y＝x(1－3x)＝3·x≤3·
＝，当且仅当x＝－x，即x＝时，等号成立．
∴当x＝时，函数取得最大值.
利用均值不等式求条件最值
【例2】 已知x＞0，y＞0，且满足＋＝1.求x＋2y的最小值．
[解] ∵x＞0，y＞0，＋＝1，
∴x＋2y＝(x＋2y)＝10＋＋
≥10＋2＝18，
当且仅当即时，等号成立，
故当x＝12，y＝3时，(x＋2y)min＝18.
若把“＋＝1”改为“x＋2y＝1”，其他条件不变，求＋的最小值．
[解] ∵x，y∈R＋，且x＋2y＝1，
∴＋＝(x＋2y)
＝8＋＋＋2＝10＋＋≥10＋2＝18.
当且仅当＝时取等号，
结合x＋2y＝1，得x＝，y＝，
∴当x＝，y＝时，＋取到最小值18.
常数代换法求最值的方法步骤
常数代换法适用于求解条件最值问题．应用此种方法求解最值的基本步骤为：
(1)根据已知条件或其变形确定定值(常数).
(2)把确定的定值(常数)变形为1.
(3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式．
(4)利用均值不等式求最值．
2．已知a＞0，b＞0，a＋2b＝1，求＋的最小值．
[解] 法一：＋＝·1
＝·(a＋2b)
＝1＋＋＋2＝3＋＋≥3＋2
＝3＋2，
当且仅当即时等号成立．
∴＋的最小值为3＋2.
法二：＋＝＋＝1＋＋＋2
＝3＋＋≥3＋2，
当且仅当即时等号成立，
∴＋的最小值为3＋2.
利用均值不等式解决实际问题
【例3】 (教材P74例3改编)如图，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．现有36
m长的钢筋网材料，每间虎笼的长、宽分别设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？
[解] 设每间虎笼长x
m，宽y
m，
则由条件知，4x＋6y＝36，即2x＋3y＝18.
设每间虎笼面积为S，则S＝xy.
法一：由于2x＋3y≥2＝2，
所以2≤18，得xy≤，
即Smax＝，当且仅当2x＝3y时，等号成立．
由解得
故每间虎笼长为4.5
m，宽为3
m时，可使每间虎笼面积最大．
法二：由2x＋3y＝18，得x＝9－y.
∵x>0，∴0∵00.
∴S≤＝.
当且仅当6－y＝y，即y＝3时，等号成立，此时x＝4.5.
故每间虎笼长为4.5
m，宽为3
m时，可使每间虎笼面积最大．
用均值不等式解决实际问题的步骤
(1)理解题意，设好变量；
(2)建立相应的关系式，把实际问题转化、抽象为最大值或最小值问题；
(3)在自变量范围内，求出最大值或最小值；
(4)结合实际意义求出正确的答案，回答实际问题．
3．某单位用2
160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层，每层2
000平方米的楼房．经测算，如果将楼房建为x(x≥10)层，则每平方米的平均建筑费用为560＋48x(单位：元).为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？(注：平均综合费用＝平均建筑费用＋平均购地费用，平均购地费用＝)
[解] 设将楼房建为x层，则每平方米的平均购地费用为＝.
∴每平方米的平均综合费用
y＝560＋48x＋＝560＋48.
当x＋取最小值时，y有最小值．
∵x>0，∴x＋≥2＝30.
当且仅当x＝，
即x＝15时，上式等号成立．
∴当x＝15时，y有最小值2
000元．
因此该楼房建为15层时，每平方米的平均综合费用最少．
知识：
1．利用均值不等式求最值
(1)利用均值不等式求最值要把握下列三个条件：
①“一正”——各项为正数；②“二定”——“和”或“积”为定值；③“三相等”——等号一定能取到．这三个条件缺一不可．
(2)利用均值不等式求最值的关键是获得定值条件，解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创建应用均值不等式的条件．
(3)在求最值的一些问题中，有时看起来可以运用均值不等式求最值，但由于其中的等号取不到，所以运用均值不等式得到的结果往往是错误的．
2．不等式的应用题大都与函数相关联，在求最值时，均值不等式是经常使用的工具，但若对自变量有限制，一定要注意等号能否取到．
方法：
利用均值不等式求最值时，得出定值常用的方法有：配凑法、分离因式法、“1”的代换法等．
1．若实数a，b满足＋＝，则ab的最小值为( )
A．
B．2
C．2
D．4
C [由题意知a＞0，b＞0，
则＋≥2＝，当且仅当＝，
即b＝2a时，等号成立．
因为＋＝，所以≥，
即ab≥2，所以ab的最小值为2，故选C.]
2．若正实数a，b满足a＋b＝2，则ab的最大值为( )
A．1 B．2 C．2 D．4
A [由均值不等式得，ab≤＝1，当且仅当a＝b＝1时取到等号．]
3．已知0A．
B．
C．
D．
A [∵00，
则x(3－3x)＝3[x(1－x)]≤3×＝，
当且仅当x＝1－x，即x＝时取等号．]
4．已知a＞1，当a＝________时，代数式a＋有最小值．
1＋ [∵a＞1，∴a－1＞0，＞0，
∴a＋＝a－1＋＋1≥2＋1
＝2＋1，
当且仅当a－1＝时，等号成立．
即a＝1＋或a＝1－(舍)时，代数式a＋有最小值．
∴a＝1＋.]
5．已知x>0，求y＝的最大值．
[解] y＝＝.
∵x>0，∴x＋≥2＝2，
∴y≤＝1，当且仅当x＝，即x＝1时等号成立．
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