3.1 函数的概念与性质
3.1.1 函数及其表示方法
第1课时 函数的概念
学
习
目
标
核
心
素
养
1.进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型．能用集合与对应的语言刻画出函数，体会对应关系在刻画数学概念中的作用．(重点、难点)2．了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域．(重点)
1.通过学习函数的概念，培养数学抽象素养．2．借助函数定义域的求解，培养数学运算素养．3．借助f(x)与f(a)的关系，培养逻辑推理素养．
某物体从高度为44.1
m的空中自由下落，物体下落的距离s(m)与所用时间t(s)的平方成正比，这个规律用数学式子可以描述为s＝gt2，其中g取9.8
m/s2.
问题 (1)时间t和物体下落的距离s满足什么条件？
(2)时间t(0≤t≤3)确定后，下落的距离s确定吗？
(3)下落后的某一时刻能同时对应两个距离吗？
1．函数的概念
定义
给定两个非空实数集A与B，以及对应关系f，如果对于集合A中的每一个实数x，按照对应关系f，在集合B中都有唯一确定的实数y与x对应，则称f为定义在集合A上的一个函数，记作：y＝f(x)，x∈A，其中x称为自变量，y称为因变量
三要素
对应关系
y＝f(x)，x∈A
定义域
自变量x的取值的范围
(即非空实数集A)
值域
所有函数值组成的集合{y∈B|y＝f(x)，x∈A}
思考：(1)有人认为“y＝f(x)”表示的是“y等于f与x的乘积”，这种看法对吗？
(2)f(x)与f(a)有何区别与联系？
[提示] (1)这种看法不对．
符号y＝f(x)是“y是x的函数”的数学表示，应理解为x是自变量，f是对应关系，y是自变量的函数，当x允许取某一具体值时，相应的y值为与该自变量值对应的函数值．y＝f(x)仅仅是函数符号，不表示“y等于f与x的乘积”．在研究函数时，除用符号f(x)外，还常用g(x)，h(x)等来表示函数．
(2)f(x)与f(a)的区别与联系：f(a)表示当x＝a时，函数f(x)的值，是一个常量，而f(x)是自变量x的函数，一般情况下，它是一个变量，f(a)是f(x)的一个特殊值，如一次函数f(x)＝3x＋4，当x＝8时，f(8)＝3×8＋4＝28是一个常数．
[拓展] 给定函数时，要指明函数的定义域，对于用解析式表示的函数，如果没有给出定义域，那么就认为函数的定义域是使函数的解析式有意义的自变量取值的集合．
2．两个函数相同
一般地，如果两个函数的定义域相同，对应关系也相同(即对自变量的每一个值，两个函数对应的函数值都相等)，则称这两个函数就是同一个函数．
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数y＝f(x)＝x2，x∈A与u＝f(t)＝t2，t∈A表示的是同一个函数．
( )
(2)函数y＝f(x)＝x2，x∈[0，2]与g(x)＝2x，x∈[0，2]表示的是同一个函数．
( )
(3)函数y＝f(x)＝x2，x∈[0，2]与h(x)＝x2，x∈(0，2)表示同一个函数．
( )
[答案] (1)√ (2)× (3)×
[提示] (1)两个函数定义域相同，对应关系也相同．
(2)两函数的对应关系不同．
(3)两函数的定义域不同．
2．函数y＝的定义域是( )
A．[－1，＋∞)
B．[－1，0)
C．(－1，＋∞)
D．(－1，0)
C [由x＋1>0得x>－1.
所以函数的定义域为(－1，＋∞).]
3．(教材P93练习A⑤改编)若f(x)＝，则f(3)＝________．
－ [f(3)＝＝－.]
4．下表表示y是x的函数，则函数的值域是________．
x
x＜2
2≤x≤3
x＞3
y
－1
0
1
{－1，0，1} [函数值只有－1，0，1三个数值，故值域为{－1，0，1}．]
函数的概念
【例1】 (1)下列四组函数，表示同一函数的是( )
A．f(x)＝，g(x)＝x
B．f(x)＝x，g(x)＝
C．f(x)＝，g(x)＝x
D．f(x)＝x2，g(x)＝()4
(2)判断下列对应f是否为定义在集合A上的函数．
①A＝R，B＝R，对应法则f：y＝；
②A＝{1，2，3}，B＝R，f(1)＝f(2)＝3，f(3)＝4；
③A＝{1，2，3}，B＝{4，5，6}，对应法则如图所示．
(1)C [选项A中，由于f(x)＝＝|x|，g(x)＝x，两函数对应法则不同，所以它们不是同一函数；选项B中，由于f(x)＝x的定义域为R，g(x)＝的定义域为{x|x≠0}，它们的定义域不相同，所以它们不是同一函数；选项C中，f(x)＝＝x，g(x)＝x的定义域和对应法则完全相同，所以它们是同一函数；选项D中，f(x)＝x2的定义域为R，g(x)＝()4＝x2的定义域为[0，＋∞)，两个函数的定义域不相同，所以它们不是同一函数．]
(2)[解] ①A＝R，B＝R，对于集合A中的元素x＝0，在对应法则f：y＝的作用下，在集合B中没有元素与之对应，故所给对应不是定义在A上的函数．
②由f(1)＝f(2)＝3，f(3)＝4，知集合A中的每一个元素在对应法则f的作用下，在集合B中都有唯一的元素与之对应，故所给对应是定义在A上的函数．
③集合A中的元素3在集合B中没有与之对应的元素，且集合A中的元素2在集合B中有两个元素(5和6)与之对应，故所给对应不是定义在A上的函数．
,
1．判断对应关系是否为函数的2个条件
(1)A，B必须是非空实数集；
(2)A中任意一元素在B中有且只有一个元素与之对应．对应关系是“一对一”或“多对一”的是函数关系，“一对多”的不是函数关系．
2.判断函数相等的方法
(1)先看定义域，若定义域不同，则不相等；
(2)若定义域相同，再化简函数的解析式，看对应关系是否相同，若对应关系也相同，则是同一个函数．
1．在下列从集合A到集合B的对应关系中，能确定y是x的函数的是( )
①A＝{x|x∈Z}，B＝{y|y∈Z}，f为“除以3”；
②A＝{x|x＞0，x∈R}，B＝{y|y∈R}，f为“求3x的平方根”；
③A＝R，B＝R，f为“求平方”；
④A＝{x|－1≤x≤1，x∈R}，B＝{0}，f为“乘以0”．
A．①④
B．②③④
C．②③
D．③④
D [①在对应关系f下，A中不能被3整除的数在B中没有唯一确定的数与它对应，所以不能确定y是x的函数；②在对应关系f下，A中的数在B中有两个数与之对应，所以不能确定y是x的函数；③④符合函数的定义．]
求函数的定义域
[探究问题]
1．已知函数的解析式，求其定义域时，能否可以对其先化简再求定义域？
[提示] 不可以．如f(x)＝.倘若先化简，则f(x)＝，从而定义域与原函数不等价．
2．若函数y＝f(x＋1)的定义域是[1，2]，这里的“[1，2]”是指谁的取值范围？函数y＝f(x)的定义域是什么？
[提示] [1，2]是自变量x的取值范围．
函数y＝f(x)的定义域是x＋1的范围[2，3].
【例2】 (教材P87例1改编)求下列函数的定义域．
(1)f(x)＝2＋；
(2)f(x)＝(x－1)0＋；
(3)f(x)＝·；
(4)f(x)＝－.
[思路点拨] 要求函数的定义域，只需分母不为0，偶次方根中被开方数大于等于0即可．
[解] (1)当且仅当x－2≠0，即x≠2时，
函数f(x)＝2＋有意义，
所以这个函数的定义域为{x|x≠2}．
(2)当且仅当函数有意义，
解得x>－1且x≠1，
所以这个函数的定义域为{x|x>－1且x≠1}．
(3)当且仅当函数有意义，
解得1≤x≤3，
所以这个函数的定义域为{x|1≤x≤3}．
(4)要使函数有意义，自变量x的取值必须满足
解得x≤1且x≠－1，
即函数定义域为{x|x≤1且x≠－1}．
(变结论)在本例(3)条件不变的前提下，求函数y＝f(x＋1)的定义域．
[解] 由1≤x＋1≤3得0≤x≤2.
所以函数y＝f(x＋1)的定义域为[0，2].
求函数定义域的常用方法
(1)若f(x)是分式，则应考虑使分母不为零．
(2)若f(x)是偶次根式，则被开方数大于或等于零．
(3)若f(x)是指数幂，则函数的定义域是使幂运算有意义的实数集合．
(4)若f(x)是由几个式子构成的，则函数的定义域是几个部分定义域的交集．
(5)若f(x)是实际问题的解析式，则应符合实际问题，使实际问题有意义．
求函数值(值域)
【例3】 (教材P88例3改编)设f(x)＝2x2＋2，g(x)＝.
(1)求f(2)，f(a＋3)，g(a)＋g(0)(a≠－2)，g(f(2))；
(2)求函数y＝2x＋1，x∈{1，2，3，4}的值域．
[思路点拨] (1)直接把自变量x的取值代入相应函数解析式求值即可；
(2)所有函数值的集合即为值域．
[解] (1)因为f(x)＝2x2＋2，
所以f(2)＝2×22＋2＝10，
f(a＋3)＝2(a＋3)2＋2＝2a2＋12a＋20.
因为g(x)＝，
所以g(a)＋g(0)＝＋＝＋(a≠－2).
g(f(2))＝g(10)＝＝.
(2)当x＝1时，y＝3；当x＝2时，y＝5；当x＝3时，y＝7；当x＝4时，y＝9.
所以函数y＝2x＋1，x∈{1，2，3，4}的值域为{3，5，7，9}．
,
1．函数求值的方法
(1)已知f(x)的表达式时，只需用a替换表达式中的x即得f(a)的值．
(2)求f(g(a))的值应遵循由里往外的原则．
2.求函数值域的常用方法
(1)观察法：通过对解析式的简单变形和观察，利用熟知的基本函数的值域，求出函数的值域．如：①一次函数f(x)＝kx＋b(k≠0)的值域是R；②反比例函数f(x)＝(k≠0)的值域是{y|y≠0}；③二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，当a＞0时，值域是；当a＜0时，值域是．
(2)配方法：判别式法是求解二次函数型值域的常用方法．
(3)换元法：通过对函数的解析式进行适当换元，可将复杂的函数转化为简单的函数，从而求得函数的值域．
2．已知f(x)＝x3＋2x＋3，求f(1)和f(f(－1))的值．
[解] f(1)＝13＋2×1＋3＝6；
f(f(－1))＝f((－1)3＋2×(－1)＋3)＝f(0)＝3.
3．求函数y＝1－x2的值域．
[解] 因为1－x2≤1，所以函数y＝1－x2的值域为(－∞，1].
知识：
1．判断两个函数相同
函数的定义主要包括定义域和定义域到值域的对应法则，因此，判定两个函数是否相同时，就看定义域和对应法则是否完全一致，完全一致的两个函数才算相同．
2．对函数定义的再理解
(1)函数的定义域必须是非空实数集，因此定义域为空集的函数不存在．如y＝＋就不是函数；集合A中的元素是实数，即A≠且A?R.
(2)函数定义中强调“三性”：任意性、存在性、唯一性，即对于非空数集A中的任意一个(任意性)元素x，都有(存在性)唯一(唯一性)的元素y与之对应．这三性只要有一个不满足，便不能构成函数．
(3)函数f(x)的定义域是非空数集A，但值域不一定是非空数集B，而是非空数集B的子集．
例如，对于从集合A＝R到集合B＝R的函数y＝x2，值域是{y|y≥0}，而不是R.
方法：
1．判断一个对应关系是否为函数的方法
(1)判断集合A，B是否为非空数集．
(2)判断集合A中任一元素在集合B中是否有唯一的元素与之对应．
满足上述两条，则该对应关系是函数．
2．判断一个图形是不是函数图像的常用方法
(1)看图形对应的x轴上的任意一个x是否都有唯一的y与之对应，若是，则该图形是函数的图像；若至少有一个x值，存在两个或两个以上的y与之对应，则此图形一定不是函数的图像．
(2)要关注函数的定义域、值域与图形中所示的定义域(图形正对着x轴上的所有实数)、值域(图形正对着y轴上的所有实数)是否一致．
1．函数f(x)＝的定义域是( )
A．[3，＋∞)
B．[3，4)∪(4，＋∞)
C．(3，＋∞)
D．[3，4)
B [要使有意义，只需解得x∈[3，4)∪(4，＋∞).故选B.]
2．将函数y＝的定义域为________．
(－∞，0)∪(0，1] [由
解得x≤1且x≠0，
因此函数的定义域为(－∞，0)∪(0，1].]
3．已知函数f(x)＝的定义域为M，g(x)＝的定义域为N，则M∩N＝________．
{x|－2≤x＜2} [由题意得M＝{x|x＜2}，N＝{x|x≥－2}，所以M∩N＝{x|－2≤x＜2}．]
4．已知函数f(x)＝x＋.
(1)求f(x)的定义域；
(2)求f(－1)，f(2)的值；
(3)当a≠－1时，求f(a＋1)的值．
[解] (1)要使函数f(x)有意义，必须使x≠0，
∴f(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞).
(2)f(－1)＝－1＋＝－2，f(2)＝2＋＝.
(3)当a≠－1时，a＋1≠0，
∴f(a＋1)＝a＋1＋.
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-第2课时 函数的表示方法
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习
目
标
核
心
素
养
1.掌握函数的三种表示方法：解析法、图像法、列表法．(重点)2．会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数．(难点)3．理解分段函数的概念，会求分段函数的函数值，能画出分段函数的图像．(重点，难点)4．能在实际问题中选择恰当的方法表示两变量之间的函数关系，并能解决有关问题．(重点、难点)
1.通过函数表示的图像法培养直观想象素养．2．通过函数解析式的求法培养运算素养．3．利用函数解决实际问题，培养数学建模素养．
(1)已建成的京沪高速铁路总长约1
318千米，设计速度目标值为380千米/时．若京沪高速铁路时速按300千米/时计算，火车行驶x小时后，路程为y千米，则y是x的函数，可以用y＝300x来表示，其中y＝300x叫做该函数的解析式．
(2)如图是我国人口出生率变化曲线：
(3)下表是大气中氰化物浓度与污染源距离的关系表：
污染源距离
50
100
200
300
500
氰化物浓度
0.678
0.398
0.121
0.05
0.01
问题 根据初中学过的知识，说出问题(1)、(2)、(3)分别是用什么法表示函数的？
1．函数的图像
(1)定义：将函数y＝f(x)，x∈A中的自变量x和对应的函数值y，分别看成平面直角坐标系中点的横坐标与纵坐标，则满足条件的点(x，y)组成的集合F称为函数的图像，即F＝{(x，y)|y＝f(x)，x∈A}．
(2)F是函数y＝f(x)的图像，必经满足下列两条
①图像上任意一点的坐标(x，y)都满足函数关系y＝f(x)；
②满足函数关系y＝f(x)的点(x，y)都在函数图像F上．
2．函数的表示法
思考1：任何一个函数都可以用解析法、列表法、图像法三种形式表示吗？
[提示] 不一定．
并不是所有的函数都可以用解析式表示，不仅如此，图像法也不适用于所有函数，如D(x)＝列表法虽在理论上适用于所有函数，但对于自变量有无数个取值的情况，列表法只能表示函数的一个概况或片段．
3．分段函数
如果一个函数，在其定义域内，对于自变量的不同取值区间，有不同的对应方式，则称其为分段函数．
思考2：分段函数是一个函数还是几个函数？
[提示] 分段函数是一个函数，而不是几个函数．
[拓展] 分段函数的定义域、值域和图像
(1)定义域：各段自变量取值范围的并集，注意各段自变量取值范围的交集为空集．
(2)值域：各段函数在相应区间上函数取值集合的并集．
(3)图像：根据不同定义域上的解析式分别作出，再将它们组合在一起得到整个分段函数的图像．
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)任何一个函数都可以用解析法表示．
( )
(2)函数的图像一定是定义区间上一条连续不断的曲线．
( )
(3)分段函数由几个函数构成．
( )
(4)函数f(x)＝是分段函数．
( )
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√
2．已知函数f(x)由下表给出，则f(3)等于( )
x
1≤x<2
2
2
f(x)
1
2
3
A．1
B．2
C．3
D．不存在
C [∵当23．二次函数的图像的顶点为(0，－1)，对称轴为y轴，则二次函数的解析式可以为( )
A．y＝－x2＋1
B．y＝x2－1
C．y＝4x2－16
D．y＝－4x2＋16
B [把点(0，－1)代入四个选项可知，只有B正确．]
4．(教材P93练习A第8题改编)下列给出的式子是分段函数的是( )
①f(x)＝
②f(x)＝
③f(x)＝
④f(x)＝
A．①②
B．①④
C．②④
D．③④
B [结合分段函数的定义可知①④是分段函数，②③中不同对应关系的定义域有重叠部分，故选B.]
函数的三种表示方法
【例1】 某商场新进了10台彩电，每台售价3
000元，试求售出台数x与收款数y之间的函数关系，分别用列表法、图像法、解析法表示出来．
[解] ①列表法如下：
x(台)
1
2
3
4
5
y(元)
3
000
6
000
9
000
12
000
15
000
x(台)
6
7
8
9
10
y(元)
18
000
21
000
24
000
27
000
30
000
②图像法：如图所示．
③解析法：y＝3
000x，x∈{1，2，3，…，10}．
列表法、图像法和解析法是从三个不同的角度刻画自变量与函数值的对应关系，同一个函数可以用不同的方法表示．在用三种方法表示函数时要注意：①解析法必须注明函数的定义域；②列表法中选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征；③图像法中要注意是否连线．
1．若集合A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|0≤y≤3}，则给出的下列图形表示为定义在A上的函数图像的是( )
A B C D
(2)由下表给出函数y＝f(x)，则f(f(1))等于( )
x
1
2
3
4
5
y
4
5
3
2
1
A.1 B．2 C．4 D．5
(1)D (2)B [(1)A中的对应不满足函数的存在性，即存在x∈A，但B中无与之对应的y；B、C均不满足函数的唯一性，只有D正确．
(2)由题意可知，f(1)＝4，f(4)＝2，∴f(f(1))＝f(4)＝2，故选B.]
函数解析式的求法
【例2】 (1)已知f(＋1)＝x－2，求f(x)的解析式；
(2)已知函数f(x)是一次函数，若f(f(x))＝4x＋8，求f(x)的解析式；
(3)如图所示，已知底角为45°的等腰梯形ABCD，底边BC长为7
cm，腰长为2
cm，当垂直于底边BC(垂足为F)的直线l从左至右移动(与梯形ABCD有公共点)时，直线l把梯形分成两部分，令BF＝x，试写出左边部分的面积y关于x的函数解析式．
[思路点拨] (1)用换元法或配凑法求解；(2)用待定系数法求解；(3)可按点E所在的位置分E在线段AB，E在线段AD及E在线段CD三类分别求解．
[解] (1)法一(换元法)：令t＝＋1，则t≥1，x＝(t－1)2，代入原式有f(t)＝(t－1)2－2(t－1)＝t2－4t＋3，f(x)＝x2－4x＋3(x≥1).
法二(配凑法)：f(＋1)＝x＋2＋1－4－4＋3＝(＋1)2－4(＋1)＋3，
因为＋1≥1，
所以f(x)＝x2－4x＋3(x≥1).
(2)设f(x)＝ax＋b(a≠0)，
则f(f(x))＝f(ax＋b)＝a(ax＋b)＋b＝a2x＋ab＋b.
又f(f(x))＝4x＋8，
所以a2x＋ab＋b＝4x＋8，
即解得或
所以f(x)＝2x＋或f(x)＝－2x－8.
(3)过点A，D分别作AG⊥BC，DH⊥BC，垂足分别是G，H.
因为四边形ABCD是等腰梯形，底角为45°，AB＝2
cm，
所以BG＝AG＝DH＝HC＝2
cm，
又BC＝7
cm，所以AD＝GH＝3
cm.
①当点F在BG上，即x∈[0，2]时，y＝x2；
②当点F在GH上，即x∈(2，5]时，y＝×2＝2x－2；
③当点F在HC上，即x∈(5，7]时，y＝S五边形ABFED＝S梯形ABCD－SRt△CEF＝(7＋3)×2－(7－x)2
＝－(x－7)2＋10.
综合①②③，得函数的解析式为
y＝
求函数解析式的常用方法
(1)待定系数法：若已知f(x)的解析式的类型，设出它的一般形式，根据特殊值确定相关的系数即可．
(2)换元法：设t＝g(x)，解出x，代入f(g(x))，求f(t)的解析式即可．
(3)配凑法：对f(g(x))的解析式进行配凑变形，使它能用g(x)表示出来，再用x代替两边所有的“g(x)”即可．
(4)方程组法(或消元法)：当同一个对应关系中的两个元素之间有互为相反数或互为倒数关系时，可构造方程组求解．
提醒：(1)应用换元法求函数解析式时，务必保证函数在换元前后的等价性．
(2)在实际问题背景下，自变量取值区间不同，对应关系也不同，此时需要用分段函数表示．
2．已知函数f(x＋1)＝3x＋2，则f(x)的解析式是( )
A．f(x)＝3x－1
B．f(x)＝3x＋1
C．f(x)＝3x＋2
D．f(x)＝3x＋4
A [令x＋1＝t，则x＝t－1，∴f(t)＝3(t－1)＋2＝3t－1.∴f(x)＝3x－1.]
3．已知函数f(x)对于任意的x都有f(x)－2f(－x)＝1＋2x，则f(x)＝________．
x－1 [由题意，在f(x)－2f(－x)＝1＋2x中，以－x代替x可得f(－x)－2f(x)＝1－2x，联立可得
消去f(－x)可得f(x)＝x－1.]
分段函数的求值问题
【例3】 已知f(x)＝则f(f(－1))＝
________；若f(x)＝－1，则x＝________．
[思路点拨] 已知x0，求f(x0).求解时首先要分清x0所在的范围，然后选择相应的解析式代入即可．已知f(x0)＝t，求x0，求解时要先对不同的范围进行分类讨论，分别求出x0，并验证求得的x0是否满足要求，最后得出结果．
－1 0或2 [由－1≤1，得f(－1)＝(－1)2－1＝0，由0≤1，得f(0)＝－1，
所以f(f(－1))＝f(0)＝－1.
因为f(x)＝－1，故或解得x＝0或x＝2，满足题意．]
分段函数求值问题的求解策略
分段函数的求值问题，要根据自变量的范围选择适当的解析式去求函数值．若不确定，则需要分类讨论．如果知道分段函数的函数值，则应分类讨论求出不同范围上的自变量的值，但要检验所求得的值是否符合相应分段上自变量的取值范围，也可以先画出分段函数的函数图像，结合图像求函数值或相应的自变量的值．
4．设f(x)＝若f(a)＝f(a＋2)，则f＝( )
A．2
B．4
C．6
D．8
B [若0＜a＜2，则a＋2＞2，
由f(a)＝f(a＋2)，得＝2(a＋2)－4，
解得a＝或a＝0(舍去)，
∴f＝f(4)＝2×4－4＝4.
若a≥2，由f(a)＝f(a＋2)，得2a－4＝2(a＋2)－4，无解．
综上，f＝4，故选B.]
函数的图像及应用
【例4】 (1)作出函数y＝，x∈[2，＋∞)的图像并求出其值域．
(2)某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定：
①5公里以内(含5公里)，票价2元；
②5公里以上，每增加5公里，票价增加1元(不足5公里按照5公里计算).如果某条线路的总里程为20公里，请根据题意，写出票价与里程之间的函数解析式，并画出函数的图像．
[思路点拨] (1)列表→描点→连结；
(2)分段函数的图像需要在同一坐标系中分段画出．
[解] (1)列表
x
2
3
4
5
…
y
1
…
当x∈[2，＋∞)时，图像是反比例函数y＝的一部分，观察图像可知其值域为(0，1].
(2)设票价为y元，里程为x公里，定义域为(0，20].
由题意得函数的解析式如下：
y＝
函数图像如图所示：
描点法作函数图像的三个关注点
(1)画函数图像时首先关注函数的定义域，即在定义域内作图．
(2)图像是实线或实点，定义域外的部分有时可用虚线来衬托整个图像．
(3)要标出某些关键点，例如图像的顶点、端点、与坐标轴的交点等．要分清这些关键点是实心点还是空心点．
提醒：(1)函数图像既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等．
(2)分段函数的图像是在同一个直角坐标系内分别作出各段的图像，在作图时要特别注意接点处点的虚实，保证不重不漏．
5．已知函数f(x)＝1＋(－2(1)用分段函数的形式表示f(x)；
(2)画出f(x)的图像；
(3)若f(a)＝2，求实数a的值．
[解] (1)当0≤x≤2时，f(x)＝1＋＝1，
当－2f(x)＝1＋＝1－x，
∴f(x)＝
(2)函数f(x)的图像如图所示．
(3)∵f(a)＝2，由函数图像可知a∈(－2，0)，
∴1－a＝2，即a＝－1.
知识：
1．函数有三种常用的表示方法，可以适时的选择，以最佳的方式表示函数，解析式后不注明定义域即可视为该函数的定义域为使此解析式有意义的实数集R或R的子集．
2．作函数图像必须要让作出的图像反映出图像的伸展方向，与x轴、y轴有无交点，图像有无对称性，并标明特殊点．
3．分段函数是一个函数，而不是几个函数．
4．分段函数求值要先找准自变量所在的区间；分段函数的定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集．
方法：
求函数的值域是一个比较复杂的问题(因为它和求函数的最值紧密相连)，无论用什么方法求函数的值域都要考虑函数的定义域．
(1)当函数的解析式给出时，函数的值域是由函数的定义域及其对应关系确定的．
常用的方法有：
①观察法：通过对函数解析式的简单变形，利用熟知的基本函数的值域或利用函数图像的“最高点”和“最低点”，观察求得函数的值域．
②配方法：对二次函数型的解析式可先进行配方，在充分注意到自变量取值范围的情况下，将解析式配成完全平方的形式，再求函数的值域．
③换元法：通过对函数的解析式进行适当换元，可将复杂的函数化归为几个简单的函数，进而利用基本函数的取值范围求函数的值域．
④分离常数法：先将形如y＝(a≠0)的函数分离常数，变形过程为＝＝＋，再结合x的取值范围确定的取值范围，从而确定函数的值域．
⑤判别式法：将函数视为关于自变量的二次函数，利用相应一元二次方程根的判别式求函数值的范围，常用于“分式”函数、“无理”函数等，使用此法要特别注意自变量的取值范围．
(2)当函数是根据实际问题给出时，函数的值域由问题的实际意义决定．
1．已知函数f(x)的定义域A＝{x|0≤x≤2}，值域B＝{y|1≤y≤2}，下列选项中，能表示f(x)的图像的只可能是( )
D [选项A，B的值域为B＝{y|0≤y≤2}，不满足题意；选项C中，当x＝0时，对应两个不同的函数值，不是函数．故选D.]
2．设函数f(x)＝则f(f(3))＝( )
A．
B．3
C．
D．
D [∵f(3)＝≤1，∴f(f(3))＝＋1＝.]
3．函数y＝f(x)的图像如图所示，则其解析式为________．
f(x)＝ [当0≤x≤1时，设f(x)＝kx，又函数过点(1，2)，故k＝2，∴f(x)＝2x；
当1综上，f(x)＝]
4．函数f(x)＝若f(x)＝3，则x＝________．
[若x≤－1，由x＋2＝3，得x＝1＞－1(舍去)；若－1＜x＜2，由x2＝3，得x＝±，由于－＜－1(舍去)，故x＝.]
5．已知函数f(x)＝x2－2x(－1≤x≤2).
(1)画出f(x)图像的简图；
(2)根据图像写出f(x)的值域．
[解] (1)f(x)图像的简图如图所示．
(2)观察f(x)的图像可知，f(x)图像上所有点的纵坐标的取值范围是[－1，3]，即f(x)的值域是[－1，3].
PAGE
-
5
-3.1.2 函数的单调性
第1课时 单调性的定义与证明
学
习
目
标
核
心
素
养
1.理解函数的单调性及其几何意义，能运用函数图像理解和研究函数的单调性．(重点)2．会用函数单调性的定义判断(或证明)一些函数的单调性，会求一些具体函数的单调区间．(重点、难点)3．理解函数的最大值和最小值的概念，能借助函数的图像和单调性，求一些简单函数的最值．(重点、难点)
1.借助单调性判断与证明，培养数学抽象、逻辑推理、直观想象素养．2．利用求单调区间、最值、培养数学运算素养．3．利用函数的最值解决实际问题，培养数学建模素养．
德国有一位著名的心理学家艾宾浩斯，对人类的记忆牢固程度进行了有关研究．他经过测试，得到了以下一些数据：
以上数据表明，记忆量y是时间间隔t的函数．艾宾浩斯根据这些数据描绘出了著名的“艾宾浩斯遗忘曲线”，如图．
问题 (1)当时间间隔t逐渐增大你能看出对应的函数值y有什么变化趋势？
通过这个试验，你打算以后如何对待刚学过的知识？
(2)“艾宾浩斯遗忘曲线”从左至右是逐渐下降的，对此，我们如何用数学观点进行解释？
1．增函数与减函数的定义
条件
一般地，设函数y＝f(x)的定义域为D，且I?D：如果对任意x1，x2∈I，当x2＞x1时
都有f(x2)＞f(x1)
都有f(x2)＜f(x1)
结论
y＝f(x)在I上是增函数(也称在I上单调递增)
y＝f(x)在I上是减函数(也称在I上单调递减)
图示
思考1：增(减)函数定义中的x1，x2有什么特征？
[提示] 定义中的x1，x2有以下3个特征
(1)任意性，即“任意取x1，x2”中“任意”二字绝不能去掉，证明时不能以特殊代替一般；
(2)有大小，通常规定x2＞x1；
(3)属于同一个单调区间．
[拓展] (1)自变量的大小与函数值的大小关系：
①单调递增：x1＜x2?f(x1)＜f(x2)，x1＞x2?f(x1)＞f(x2).
②单调递减：x1＜x2?f(x1)＞f(x2)，x1＞x2?f(x1)＜f(x2).
即可以利用单调递增、单调递减的定义，实现自变量的大小关系与函数值的大小关系的直接转化．
(2)若f(x)在区间I上为增(减)函数，则函数f(x)的图像在区间I上的对应部分自左向右逐渐上升(下降).
2．函数的单调性与单调区间
如果函数y＝f(x)在I上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在I上具有单调性(当I为区间时，称I为函数的单调区间，也可分别称为单调递增区间或单调递减区间).
思考2：函数y＝在定义域上是减函数吗？
[提示] 不是．y＝在(－∞，0)上递减，在(0，＋∞)上也递减，但不能说y＝在(－∞，0)∪(0，＋∞)上递减．
3．函数的最值
最大值
最小值
条件
一般地，设函数f(x)的定义域为D，且x0∈D；如果对任意x∈D
都有f(x)≤f(x0)
都有f(x)≥f(x0)
结论
称f(x)的最大值为f(x0)，则称f(x)的最大值为f(x0)，而x0称为f(x)的最大值点
称f(x)的最小值为f(x0)，则称f(x)的最小值为f(x0)，而x0称为f(x)的最小值点
统称
最大值和最小值统称为最值
最大值点和最小值点统称为最值点
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若函数y＝f(x)在定义域上有f(1)( )
(2)若函数y＝f(x)在区间[1，3]上是减函数，则函数y＝f(x)的单调递减区间是[1，3].
( )
(3)任何函数都有最大(小)值．
( )
(4)函数f(x)在[a，b]上的最值一定是f(a)(或f(b)).
( )
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)×
2．下列函数中，在区间(0，＋∞)上是减函数的是( )
A．y＝－
B．y＝x
C．y＝x2
D．y＝1－x
D [函数y＝1－x在区间(0，＋∞)上是减函数，其余函数在(0，＋∞)上均为增函数，故选D.]
3．函数y＝f(x)在[－2，2]上的图像如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是( )
A．－1，0
B．0，2
C．－1，2
D．，2
C [由题图可知，f(x)的最大值为f(1)＝2，f(x)的最小值为f(－2)＝－1.故选C.]
4．函数f(x)＝x2－2x＋3的单调减区间是________．
(－∞，1] [因为f(x)＝x2－2x＋3是图像开口向上的二次函数，其对称轴为x＝1，所以函数f(x)的单调减区间是(－∞，1].]
定义法证明(判断)函数的单调性
【例1】 证明：函数f(x)＝x＋在(0，1)上是减函数．
[思路点拨] ―→
[证明] 设x1，x2是区间(0，1)上的任意两个实数，且x1＞x2，则f(x1)－f(x2)＝－＝(x1－x2)＋＝(x1－x2)＋＝(x1－x2)＝，
∵0∴x1－x2＞0，0∴＜0，即f(x1)＜f(x2)，
∴f(x)＝x＋在(0，1)上是减函数．
利用定义证明函数单调性的步骤
(1)取值：设x1，x2是该区间内的任意两个值，且x1＞x2.
(2)作差变形：作差f(x1)－f(x2)，并通过因式分解、通分、配方、有理化等手段，转化为易判断正负的式子．
(3)定号：确定f(x1)－f(x2)的符号．
(4)结论：根据f(x1)－f(x2)的符号及定义判断单调性．
提醒：作差变形是证明单调性的关键，且变形的结果是几个因式乘积的形式．
1．证明：函数y＝在(－1，＋∞)上是增函数．
[证明] 设x1>x2>－1，则
y1－y2＝－＝.
∵x1>x2>－1，∴x1－x2>0，x1＋1>0，x2＋1>0，
∴>0，即y1－y2>0，y1>y2，
∴y＝在(－1，＋∞)上是增函数．
求函数的单调区间
【例2】 求下列函数的单调区间，并指出该函数在其单调区间上是增函数还是减函数．
(1)f(x)＝－；(2)f(x)＝
(3)f(x)＝－x2＋2|x|＋3.
[解] (1)函数f(x)＝－的单调区间为(－∞，0)，(0，＋∞)，其在(－∞，0)，(0，＋∞)上都是增函数．
(2)当x≥1时，f(x)是增函数，当x<1时，f(x)是减函数，所以f(x)的单调区间为(－∞，1)，[1，＋∞)，并且函数f(x)在(－∞，1)上是减函数，在[1，＋∞)上是增函数．
(3)因为f(x)＝－x2＋2|x|＋3＝
根据解析式可作出函数的图像如图所示，由图像可知，函数f(x)的单调区间为(－∞，－1]，(－1，0)，[0，1)，[1，＋∞).
f(x)在(－∞，－1]，[0，1)上是增函数，在(－1，0)，[1，＋∞)上是减函数．
求函数单调区间的方法
(1)利用已知函数的单调性求函数的单调区间．
(2)利用函数图像求函数的单调区间．
提醒：(1)若所求出函数的单调增区间或单调减区间不唯一，函数的单调区间之间要用“，”隔开．
(2)理清“单调区间”和“在区间上单调”的区别与联系．
2．根据如图所示，写出函数在每一单调区间上是增函数还是减函数．
[解] 函数在[－1，0]，[2，4]上是减函数，在[0，2]，[4，5]上是增函数．
3．写出y＝|x2－2x－3|的单调区间．
[解] 先画出
f(x)＝的图像，如图．
所以y＝|x2－2x－3|的单调减区间为(－∞，－1]，[1，3]；单调增区间为[－1，1]，[3，＋∞).
函数单调性的应用
[探究问题]
1．若函数f(x)是其定义域上的增函数，且f(a)>f(b)，则a，b满足什么关系．如果函数f(x)是减函数呢？
[提示] 若函数f(x)是其定义域上的增函数，那么当f(a)>f(b)时，a>b；若函数f(x)是其定义域上的减函数，那么当f(a)>f(b)时，a2．决定二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c单调性的因素有哪些？
[提示] 开口方向和对称轴的位置，即字母a的符号及－的大小．
【例3】 (1)若函数f(x)＝－x2－2(a＋1)x＋3在区间(－∞，3]上是增函数，则实数a的取值范围是________．
(2)已知函数y＝f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，且f(2x－3)>f(5x－6)，则实数x的取值范围为________．
[思路点拨] (1)
(2)
(1)(－∞，－4] (2)(－∞，1) [(1)∵f(x)＝－x2－2(a＋1)x＋3的图像开口向下，要使f(x)在(－∞，3]上是增函数，只需－(a＋1)≥3，即a≤－4.
∴实数a的取值范围为(－∞，－4].
(2)∵f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，
且f(2x－3)>f(5x－6)，
∴2x－3>5x－6，即x<1.
∴实数x的取值范围为(－∞，1).]
1．(变条件)若本例(1)的函数f(x)在(1，2)上是单调函数，求a的取值范围．
[解] 由题意可知－(a＋1)≤1或－(a＋1)≥2，即a≤－3或a≥－2.
所以a的取值范围为(－∞，－3]∪[－2，＋∞).
2．(变条件)若本例(2)的函数f(x)是定义在(0，＋∞)上的减函数，求x的取值范围．
[解] 由题意可知，
解得x>.
∴x的取值范围为.
函数单调性的应用
(1)函数单调性定义的“双向性”：利用定义可以判断、证明函数的单调性，反过来，若已知函数的单调性可以确定函数中参数的取值范围．
(2)若一个函数在区间[a，b]上是单调的，则此函数在这一单调区间内的任意子集上也是单调的．
求函数的最值(值域)
【例4】 已知函数f(x)＝.
(1)判断函数在区间(－1，＋∞)上的单调性，并用定义证明你的结论；
(2)求该函数在区间[2，4]上的最大值和最小值．
[解] (1)f(x)在(－1，＋∞)上为增函数，证明如下：任取－1则f(x1)－f(x2)＝－＝，
因为－10，
x2＋1>0，x1－x2<0，
所以f(x1)－f(x2)<0?f(x1)所以f(x)在(－1，＋∞)上为增函数．
(2)由(1)知f(x)在[2，4]上单调递增，
所以f(x)的最小值为f(2)＝＝，
最大值为f(4)＝＝.
1．利用单调性求函数的最大(小)值的一般步骤
(1)判断函数的单调性．
(2)利用单调性求出最大(小)值．
2．函数的最大(小)值与单调性的关系
(1)若函数f(x)在区间[a，b]上是增(减)函数，则f(x)在区间[a，b]上的最小(大)值是f(a)，最大(小)值是f(b).
(2)若函数f(x)在区间[a，b]上是增(减)函数，在区间[b，c]上是减(增)函数，则f(x)在区间[a，c]上的最大(小)值是f(b)，最小(大)值是f(a)与f(c)中较小(大)的一个．
提醒：(1)求最值勿忘求定义域．
(2)闭区间上的最值，不判断单调性而直接将两端点值代入是最容易出现的错误，求解时一定注意．
4．已知函数f(x)＝求(1)f(x)的最大值、最小值；(2)f(x)的最值点．
[解] (1)作出函数f(x)的图像(如图).
由图像可知，当x＝1时，f(x)取最大值为f(1)＝1.当x＝0时，f(x)取最小值f(0)＝0，
故f(x)的最大值为1，最小值为0.
(2)f(x)的最大值点为x0＝1，最小值点为x0＝0.
知识：
1．定义单调性时应强调x1，x2在其定义域内的任意性，其本质是把区间上无限多个函数值的大小比较转化为两个任意值的大小比较．
2．证明函数的单调性(利用定义)一定要严格遵循设元、作差、变形、
定号、结论的步骤，特别在变形上，一定要注意因式分解、配方等技巧的运用，直到符号判定水到渠成才可．
方法：
1．求函数的最值与求函数的值域类似，常用的方法是：
(1)图像法，即画出函数的图像，根据图像的最高点或最低点写出最值；
(2)单调性法，一般需要先确定函数的单调性，然后根据单调性的意义求出最值；
2．通过函数最值的学习，渗透数形结合思想，树立以形识数的解题意识．
1．函数y＝的区间上的最大值是( )
A．
B．－1
C．4
D．－4
C [y＝在上是减函数，∴当x＝时，ymax＝4.故选C.]
2．下列函数中，在(0，2)上是增函数的是( )
A．y＝
B．y＝2x－1
C．y＝1－2x
D．y＝(2x－1)2
B [对于A，y＝在(－∞，0)，(0，＋∞)上单调递减；对于B，y＝2x－1在R上单调递增；对于C，y＝1－2x在R上单调递减；对于D，y＝(2x－1)2在上单调递减，在上单调递增．故选B.]
3．函数y＝x2－2x，x∈[0，3]的值域为________．
[－1，3] [∵函数y＝x2－2x＝(x－1)2－1，x∈[0，3]，∴当x＝1时，函数y取得最小值为－1，当x＝3时，函数取得最大值为3，故函数的值域为[－1，3].]
4．函数f(x)＝x2－3|x|＋2的单调递减区间是________．
， [去绝对值，得函数f(x)＝作出其图像，可得函数的单调递减区间为，.]
5．试用函数单调性的定义证明：f(x)＝在(1，＋∞)上是减函数．
[证明] f(x)＝2＋，设x1>x2>1，
则f(x1)－f(x2)＝－＝.
因为x1>x2>1，所以x2－x1<0，x1－1>0，x2－1>0，
所以f(x1)所以f(x)在(1，＋∞)上是减函数．
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2
-第2课时 函数的平均变化率
学
习
目
标
核
心
素
养
1.理解斜率的含义及平均变化率的概念．(重点)2．掌握判断函数单调性的充要条件．(重点、难点)
通过利用函数f(x)的平均变化证明f(x)在I上的单调性，提升数学运算和培养逻辑推理素养．
科考队对“早穿棉袄午穿纱，围着火炉吃西瓜”这一独特的沙漠气候进行科学考查，如图是某天气温随时间的变化曲线．请根据曲线图思考下列问题：
问题 (1)在区间[6，17]对应的曲线上任取不同两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，＝一定大于零吗？
(2)如果在区间[2，10]对应的曲线上任取不同两点C(x3，y3)，D(x4，y4)，＝一定大于零吗？
1．直线的斜率
(1)定义：给定平面直角坐标系中的任意两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，当x1≠x2时，称为直线AB的斜率；(若记Δx＝x2－x1，相应的Δy＝y2－y1，当Δx≠0时，斜率记为)，当x1＝x2时，称直线AB的斜率不存在．
(2)作用：直线AB的斜率反映了直线相对于x轴的倾斜程度．
2．平均变化率与函数单调性
若I是函数y＝f(x)的定义域的子集，对任意x1，x2∈I且x1≠x2，记y1＝f(x1)，y2＝f(x2)，＝，则：
(1)y＝f(x)在I上是增函数的充要条件是＞0在I上恒成立；
(2)y＝f(x)在I上是减函数的充要条件是＜0在I上恒成立．
当x1≠x2时，称＝为函数y＝f(x)在区间[x1，x2](x1＜x2时)或[x2，x1](x1＞x2时)上的平均变化率．通常称Δx为自变量的改变量，Δy为因变量的改变量．
[拓展] (1)注意自变量与函数值的对应关系，公式中，若Δx＝x2－x1，则Δy＝f(x2)－f(x1)；若Δx＝x1－x2，则Δy＝f(x1)－f(x2).
(2)平均变化率可正可负，也可为零．但是，若函数在某区间上的平均变化率为0，并不能说明该函数在此区间上的函数值都相等．比如，f(x)＝x2在区间[－2，2]上的平均变化率为0，但f(x)＝x2在[－2，2]上的图像先下降后上升，值域是[0，4].
(3)平均变化率的几何意义是函数y＝f(x)图像上的两点A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))连线所在直线的斜率．
(4)平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”，曲线陡峭程度是平均变化率的“视觉化”．利用平均变化率可以刻画变量平均变化的趋势和快慢程度，但效果是“粗糙不精确的”．只有当Δx＝x2－x1无限变小时，这种量化才由“粗糙”逼近“精确”．
3．平均变化率的物理意义
(1)把位移s看成时间t的函数s＝s(t)，则平均变化率的物理意义是物体在时间段[t1，t2]上的平均速度，即＝.
(2)把速度v看成时间t的函数v＝v(t)，则平均变化率的物理意义是物体在时间段[t1，t2]上的平均加速度，即＝.
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)一次函数y＝ax＋b(a≠0)从x1到x2的平均变化率为a.
( )
(2)函数y＝f(x)的平均变化率＝的几何意义是过函数y＝f(x)图像上两点A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))所在直线的斜率．
( )
(3)在[a，b]上，y＝ax2＋bx＋c(a≠0)任意两点的平均变化率都相等．
( )
[答案] (1)√ (2)√ (3)×
2．如图，函数y＝f(x)在[1，3]上的平均变化率为
( )
A．1
B．－1
C．2
D．－2
B [＝＝＝－1.]
3．(教材P99例4改编)一次函数y＝－2x＋3在R上是___________函数．(填“增”或“减”)
减 [任取x1，x2∈R且x1≠x2.∴y1＝－2x1＋3，y2＝－2x2
＋3，∴＝＝－2＜0，故y＝－2x＋3在R上是减函数．]
4．过点M(－1，m)，N(m＋1，4)的直线的斜率为1，则m的值为________．
1 [由直线的斜率公式得＝1，即＝1，解得m＝1.]
5．已知函数f(x)＝2x2＋3x－5，当x1＝4，且Δx＝1时，求Δy的平均变化率.
[解] ∵f(x)＝2x2＋3x－5，x1＝4，x2＝x1＋Δx，
∴Δy＝f(x2)－f(x1)＝2(x1＋Δx)2＋3(x1＋Δx)－5－(2x＋3x1－5)＝2(Δx)2＋(4x1＋3)Δx.
当x1＝4，Δx＝1时，Δy＝2×12＋(4×4＋3)×1＝21.
则＝＝21.
平均变化率的计算
【例1】 一正方形铁板在0
℃时边长为10
cm，加热后会膨胀，当温度为t
℃时，边长变为10(1＋at)cm，a为常数．试求铁板面积对温度的平均膨胀率．
[思路点拨] 由正方形的边长与面积关系列出函数表达式，再求面积的平均变化率．
[解] 设温度的增量为Δt，则铁板面积S的增量为：
ΔS＝102[1＋a(t＋Δt)]2－102(1＋at)2＝200(a＋a2t)Δt＋100a2(Δt)2，所以平均膨胀率＝200(a＋a2t)＋100a2Δt.
求平均变化率只需要三个步骤：(1)求出或者设出自变量的改变量；(2)根据自变量的改变量求出函数值的改变量；(3)求出函数值的改变量与自变量的改变量的比值．
1．路灯距地面8
m，一个身高为1.6
m的人以84
m/min的速度在地面上从路灯在地面上的射影点C处沿直线匀速离开路灯．
(1)求身影的长度y与人距路灯的距离x之间的关系式；
(2)求人离开路灯10
s内身影长度y关于时间t的平均变化率．
[解] (1)如图所示，设此人从C点运动到B点的距离为x
m，AB为身影长度，AB的长度为y
m，由于CD∥BE，则＝，即＝，所以y＝0.25x.
(2)84
m/min＝1.4
m/s，则y关于t的函数关系式为y＝0.25×1.4t＝0.35t，所以10
s内平均变化率＝＝0.35(m/s)，
即此人离开灯10
s内身影长度y关于时间t的平均变化率为0.35
m/s.
利用平均变化率证明函数的单调性
【例2】 若函数y＝f(x)是其定义域的子集I上的增函数且f(x)＞0，求证：g＝在I上为减函数．
[思路点拨] 由y＝f(x)在I上为增函数的充要条件可得＞0，再证＜0即可．
[证明] 任取x1，x2∈I且x2＞x1，则Δx＝x2－x1＞0，Δy＝f(x2)－f(x1)，∵函数y＝f(x)是其定义域的子集I上的增函数，∴Δy＞0，＞0，
∴Δg＝g(x2)－g(x1)＝－＝.
又∵f(x)＞0，∴f(x1)f(x2)＞0且f(x1)－f(x2)＜0，
∴Δg＜0，∴＜0，故g＝在I上为减函数．
单调函数的运算性质
(1)若函数f(x)，g(x)在区间I上具有单调性，则f(x)与f(x)＋C(C为常数)具有相同的单调性．
(2)f(x)与a·f(x)，当a＞0时具有相同的单调性；当a＜0时具有相反的单调性．
(3)当f(x)恒为正值或恒为负值时，f(x)与具有相反的单调性．
(4)在f(x)，g(x)的公共单调区间上，有如下结论：
f(x)
g(x)
f(x)＋g(x)
f(x)－g(x)
增函数
增函数
增函数
不能确定单调性
增函数
减函数
不能确定单调性
增函数
减函数
减函数
减函数
不能确定单调性
减函数
增函数
不能确定单调性
减函数
2．已知函数f(x)＝1－，x∈[3，5]，判断函数f(x)的单调性，并证明．
[解] 由于y＝x＋2在[3，5]上是增函数，且恒大于零，因此，由性质知f(x)＝1－在[3，5]上为增函数．
证明过程如下：
任取x1，x2∈[3，5]且x1＜x2，即Δx＝x2－x1＞0，
则Δy＝f(x2)－f(x1)＝1－－＝－＝.
∵(x1＋2)(x2＋2)＞0，
∴Δy＞0，∴＞0，故函数f(x)在[3，5]上是增函数．
二次函数的单调性最值问题
[探究问题]
1．二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)的对称轴与区间[m，n]可能存在几种位置关系？试画草图给予说明．
[提示]
2．求二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c在[m，n]上的最值，应考虑哪些因素？
[提示] 若求二次函数f(x)在[m，n]上的最值，应考虑其开口方向及对称轴x＝－与区间[m，n]的关系．
【例3】 已知函数f(x)＝x2－ax＋1，求f(x)在[0，1]上的最大值．
[思路点拨]
[解] 因为函数f(x)＝x2－ax＋1的图像开口向上，其对称轴为x＝，
当≤，即a≤1时，f(x)的最大值为f(1)＝2－a；
当>，即a>1时，f(x)的最大值为f(0)＝1.
1．在题设条件不变的情况下，求f(x)在[0，1]上的最小值．
[解] (1)当≤0，即a≤0时，f(x)在[0，1]上单调递增，∴f(x)的最小值为f(0)＝1.
(2)当≥1，即a≥2时，f(x)在[0，1]上单调递减，
∴f(x)的最小值为f(1)＝2－a.
(3)当0<<1，即02．在本例条件不变的情况下，若a＝1，求f(x)在[t，t＋1](t∈R)上的最小值．
[解] 当a＝1时，f(x)＝x2－x＋1，其图像的对称轴为x＝，
①当t≥时，f(x)在其上是增函数，∴f(x)的最小值为f(t)＝t2－t＋1；
②当t＋1≤，即t≤－时，f(x)在其上是减函数，
∴f(x)的最小值为f(t＋1)＝＋＝t2＋t＋1；
③当t<二次函数在闭区间上的最值,设f（x）＝ax2＋bx＋c（a＞0），则二次函数f（x）在闭区间[m，n]上的最大值、最小值有如下的分布情况：
对称轴与区间的关系
＜m＜n，即∈（－∞，m）
m＜＜n，即∈（m，n）
m＜n＜，即∈（n，＋∞）
图像
最值
f（x）max＝f（n），f（x）min＝f（m）
f（x）max＝max{f（n），f（m）}，f（x）min＝
f（x）max＝f（m），f（x）min＝f（n）
知识：
1．平均变化率中Δx，Δy，的理解
(1)函数f(x)应在x1，x2处有定义；
(2)x2在x1附近，即Δx＝x2－x1≠0，但Δx可正可负；
(3)注意变量的对应，若Δx＝x2－x1，则Δy＝f(x2)－f(x1)，而不是Δy＝f(x1)－f(x2)；
(4)平均变化率可正可负，也可为零．但是，若函数在某区间上的平均变化率为0，并不能说明该函数在此区间上的函数值都相等．
2．判断函数y＝f(x)在I上单调性的充要条件
(1)y＝f(x)在I上单调递增的充要条件是＞0恒成立；
(2)y＝f(x)在I上单调递减的充要条件是＜0恒成立．
方法：
证明函数单调常用的方法：(1)定义法；(2)平均变化率法．
1．函数f(x)在区间[－2，－1]上满足＞0，且图像关于y轴对称，则函数f(x)在区间[1，2]上( )
A．单调递增，且有最小值f(1)
B．单调递增，且有最大值f(1)
C．单调递减，且有最小值f(2)
D．单调递减，且有最大值f(2)
C [∵函数f(x)在区间[－2，－1]上满足＞0，∴函数f(x)在区间[－2，－1]上是增函数．
∵其图像关于y轴对称，∴函数f(x)在区间[1，2]上是减函数，∴f(x)min＝f(2)，f(x)max＝f(1).故选C.]
2．函数f(x)＝从1到4的平均变化率为( )
A．
B．
C．1
D．3
A [Δy＝－＝1，Δx＝4－1＝3，则平均变化率为＝.故选A.]
3．李华在参加一次同学聚会时，他用如图所示的圆口杯喝饮料，李华认为：如果向杯子中倒饮料的速度一定(即单位时间内倒入的饮料量相同)，那么杯子中饮料的高度h是关于时间t的函数h(t)，则函数h(t)的图像可能是( )
B [由于圆口杯的形状是“下细上粗”，则开始阶段饮料的高度增加较快，往后高度增加得越来越慢，仅有B中的图像符合题意．]
4．一质点的运动方程为s＝8－3t2，其中s表示位移(单位：m)，t表示时间(单位：s).求该质点在[1，1＋Δt]这段时间内的平均速度．
[解] 该质点在[1，1＋Δt]这段时间内的平均速度为＝＝(－6－3Δt)(m/s).
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-
1
-3.1.3 函数的奇偶性
第1课时 奇偶性的概念
学
习
目
标
核
心
素
养
1.理解奇函数、偶函数的定义．(重点)2．了解奇函数、偶函数图像的特征．3．掌握判断函数奇偶性的方法．(重点、难点)
1.借助奇(偶)函数的特征，培养直观想象素养．2．借助函数奇、偶的判断方法，培养逻辑推理素养．
在我们的日常生活中，可以观察到许多对称现象，如图，六角形的雪花晶体、建筑物和它在水中的倒影……
① ②
问题 (1)上述材料中提到的图形对称指的是“整个图形对称”还是“图形的部分”对称？
(2)哪个图形是轴对称图形？哪个图形是中心对称图形？
1．函数的奇偶性的定义
奇偶性
偶函数
奇函数
条件
设函数y＝f(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有－x∈D
结论
f(－x)＝f(x)
f(－x)＝－f(x)
图像特点
关于y轴对称
关于原点对称
思考：具有奇偶性的函数，其定义域有何特点？
[提示] 定义域关于原点对称．
[拓展] (1)函数具有奇偶性的前提是定义域关于原点对称．一个函数无论是奇函数还是偶函数，定义域必须关于原点对称，否则这个函数既不是奇函数也不是偶函数．例如，f(x)＝x2－1在区间(－∞，＋∞)上是偶函数，但在区间[－1，2]上却无奇偶性可言．
(2)函数的奇偶性是整体性质，函数的单调性是局部性质．只有对函数的定义域内的每一个x，都有f(－x)＝－f(x)(或f(－x)＝f(x))，才能说函数是奇函数(或偶函数).
2．奇函数、偶函数的图像特征
(1)奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称．
(2)如果一个函数的图像关于原点对称，那么它是奇函数；如果一个函数的图像关于y轴对称，那么它是偶函数．
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数f(x)＝x2，x∈[0，＋∞)是偶函数．
( )
(2)对于函数y＝f(x)，若存在x，使f(－x)＝－f(x)，则函数y＝f(x)一定是奇函数．
( )
(3)不存在既是奇函数，又是偶函数的函数．
( )
(4)若函数的定义域关于原点对称，则这个函数不是奇函数就是偶函数．
( )
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)×
2．下列图像表示的函数具有奇偶性的是( )
A B C D
B [B选项的图像关于y轴对称，是偶函数，其余选项中的图像都不具有奇偶性．]
3．函数y＝f(x)，x∈[－1，a](a>－1)是奇函数，则a等于( )
A．－1 B．0 C．1 D．无法确定
C [∵奇函数的定义域关于原点对称，∴a－1＝0，即a＝1.]
4．(教材P109练习B②改编)已知函数f(x)＝x5＋ax3＋bx－5，且f(3)＝4，则f(－3)＝________．
－14 [由f(x)＝x5＋ax3＋bx－5得f(－x)＝－x5－ax3－bx－5，∴f(x)＋f(－x)＝－10，即f(3)＋f(－3)＝－10.∵f(3)＝4，∴f(－3)＝－14.]
函数奇偶性的判断
【例1】 判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝x3＋x；
(2)f(x)＝＋；
(3)f(x)＝；
(4)f(x)＝
[解] (1)函数的定义域为R，关于原点对称．
又f(－x)＝(－x)3＋(－x)＝－(x3＋x)＝－f(x)，
因此函数f(x)是奇函数．
(2)由得x2＝1，即x＝±1.
因此函数的定义域为{－1，1}，关于原点对称．
又f(1)＝f(－1)＝－f(－1)＝0，所以f(x)既是奇函数又是偶函数．
(3)函数f(x)的定义域是(－∞，－1)∪(－1，＋∞)，
不关于原点对称，所以f(x)既不是奇函数也不是偶函数．
(4)函数f(x)的定义域为R，关于原点对称．
f(－x)＝
即f(－x)＝
于是有f(－x)＝－f(x).所以f(x)为奇函数．
判断函数奇偶性的两种方法
(1)定义法：
(2)图像法：
1．下列函数中，是偶函数的有________．(填序号)
①f(x)＝x3；②f(x)＝|x|＋1；③f(x)＝；
④f(x)＝x＋；⑤f(x)＝x2，x∈[－1，2].
②③ [对于①，f(－x)＝－x3＝－f(x)，则为奇函数；
对于②，f(－x)＝|－x|＋1＝|x|＋1＝f(x)，则为偶函数；
对于③，定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，f(－x)＝＝＝f(x)，则为偶函数；对于④，定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，f(－x)＝－x－＝－f(x)，则为奇函数；对于⑤，定义域为[－1，2]，不关于原点对称，不具有奇偶性，则为非奇非偶函数．]
奇偶函数的图像问题
【例2】 已知奇函数f(x)的定义域为[－5，5]，且在区间[0，5]上的图像如图所示．
(1)画出在区间[－5，0]上的图像；
(2)写出使f(x)<0的x的取值集合．
[解] (1)因为函数f(x)是奇函数，所以y＝f(x)在[－5，5]上的图像关于原点对称．由y＝f(x)在[0，5]上的图像，可知它在[－5，0]上的图像，如图所示．
(2)由图像知，使函数值y<0的x的取值集合为(－2，0)∪(2，5).
(变条件)将本例中的“奇函数”改为“偶函数”，再求解上述问题．
[解] (1)如图所示
(2)由(1)可知，使函数值y<0的x的取值集合为(－5，－2)∪(2，5).
巧用奇、偶函数的图像求解问题
(1)依据：奇函数?图像关于原点对称，偶函数?图像关于y轴对称．
(2)求解：根据奇、偶函数图像的对称性，可以解决诸如求函数值或画出奇偶函数图像的问题．
2．如图是函数f(x)＝在区间[0，＋∞)上的图像，请据此在该坐标系中补全函数f(x)在定义域内的图像，并说明你的作图依据．
[解] 因为f(x)＝，所以f(x)的定义域为R.又对任意x∈R，都有f(－x)＝＝＝f(x)，所以f(x)为偶函数，所以f(x)的图像关于y轴对称，其图像如图所示．
利用函数的奇偶性求值
[探究问题]
1．对于定义域内的任意x，若f(－x)＋f(x)＝0，则函数f(x)是否具有奇偶性？若f(－x)－f(x)＝0呢？
[提示] 由f(－x)＋f(x)＝0得f(－x)＝－f(x)，
∴f(x)为奇函数．由f(－x)－f(x)＝0得f(－x)＝f(x)，∴f(x)为偶函数．
2．若f(x)是奇函数且在x＝0处有定义，则f(0)的值可求吗？若f(x)为偶函数呢？
[提示] 若f(x)为奇函数，则f(0)＝0；若f(x)为偶函数，则无法求出f(0)的值．
【例3】 (1)若函数f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，定义域为[a－1，2a]，则a＝________，b＝________；
(2)已知f(x)＝x7－ax5＋bx3＋cx＋2，若f(－3)＝－3，则f(3)＝________．
[思路点拨] (1)
(2)―→―→―→
(1) 0 (2)7 [(1)因为偶函数的定义域关于原点对称，所以a－1＝－2a，解得a＝.
又函数f(x)＝x2＋bx＋b＋1为二次函数，结合偶函数图像的特点，易得b＝0.
(2)令g(x)＝x7－ax5＋bx3＋cx，则g(x)是奇函数，
∴f(－3)＝g(－3)＋2＝－g(3)＋2，又f(－3)＝－3，
∴g(3)＝5.又f(3)＝g(3)＋2，所以f(3)＝5＋2＝7.]
,
利用奇偶性求参数的常见类型及策略
(1)定义域含参数：奇、偶函数f(x)的定义域为[a，b]，根据定义域关于原点对称，利用a＋b＝0求参数．
(2)解析式含参数：根据f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)列式，比较系数即可求解．
3．若f(x)＝(x＋a)(x－4)为偶函数，则实数a＝________．
4 [法一：f(x)＝(x＋a)(x－4)＝x2＋(a－4)x－4a，f(－x)＝(－x＋a)(－x－4)＝x2－(a－4)x－4a，两式恒相等，则a－4＝0，即a＝4.
法二：f(x)＝(x＋a)(x－4)＝x2＋(a－4)x－4a，要使函数为偶函数，只需多项式的奇次项系数为0，即a－4＝0，则a＝4.
法三：根据二次函数的奇偶性可知，形如f(x)＝ax2＋c的都是偶函数，因而本题只需将解析式看成是平方差公式，则a＝4.]
知识：
1．奇偶性是函数“整体”性质，只有对函数f(x)定义域内的每一个值x，都有f(－x)＝－f(x)(或f(－x)＝f(x))，才能说f(x)是奇函数(或偶函数).
2．函数的奇偶性是其相应图像特殊对称性的反映，也体现了在关于原点对称的定义域的两个区间上函数值及其性质的相互转化，这是对称思想的应用．
方法：
判断或证明函数奇偶性的常用方法：(1)定义法；(2)图像法．
1．函数f(x)＝的图像关于( )
A．x轴对称
B．原点对称
C．y轴对称
D．直线y＝x对称
B [由得f(x)的定义域为[－，0)∪(0，]，关于原点对称．
又f(－x)＝＝＝－
＝－f(x)，∴f(x)是奇函数，
∴f(x)＝的图像关于原点对称．]
2．函数f(x)＝|x|＋1是( )
A．奇函数
B．偶函数
C．既是奇函数又是偶函数
D．非奇非偶函数
B [∵f(－x)＝|－x|＋1＝|x|＋1＝f(x)，∴f(x)为偶函数．]
3．已知函数f(x)＝ax2＋2x是奇函数，则实数a＝______．
0 [∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＋f(x)＝0，∴2ax2＝0对任意x∈R恒成立，所以a＝0.]
4．已知函数y＝f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f(x)＝x2＋2x.现已画出函数f(x)在y轴左侧的图像，如图所示．
(1)请补充完整函数y＝f(x)的图像；
(2)根据图像写出函数y＝f(x)的增区间；
(3)根据图像写出使f(x)<0的x的取值集合．
[解] (1)由题意作出函数图像如图：
(2)据图可知，f(x)的单调增区间为(－1，0)，(1，＋∞).
(3)据图可知，使f(x)<0的x的取值集合为(－2，0)∪(0，2).
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-
3
-第2课时 奇偶性的应用
学
习
目
标
核
心
素
养
1.会根据函数奇偶性求函数值或解析式．2．能利用函数的奇偶性与单调性分析、解决较简单的问题．
1.利用奇偶性求函数的解析式，培养逻辑推理素养．2．借助奇偶性与单调性的应用，提升逻辑推理、数学运算素养．
问题 (1)图(1)和图(2)分别是偶函数和奇函数的一部分图像，你能结合奇偶函数图像的特征画出相应图像的另一部分吗？
(1) (2)
(2)就图(1)而言，函数在区间(－∞，－2]与[2，＋∞)上的单调性是否相同？就图(2)而言，函数在区间与上的单调性是否相同？
1．函数的奇偶性与单调性的性质
(1)若f(x)为奇函数且在区间[a，b](a＜b)上为增函数(减函数)，则f(x)在[－b，－a]上为增函数(减函数)，即在关于原点对称的区间上单调性相同．
(2)若f(x)为偶函数且在区间[a，b](a＜b)上为增函数(减函数)，则f(x)在[－b，－a]上为减函数(增函数)，即在关于原点对称的区间上单调性相反．
2．奇偶函数的运算性质
在公共定义域内：
(1)两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数；
(2)两个偶函数的和、积都是偶函数；
(3)一个奇函数、一个偶函数的积是奇函数．
3．函数的对称轴与对称中心
(1)若函数f(x)的定义域为D，对?x∈D都有f(a＋x)＝f(a－x)(a为常数)，则x＝a是f(x)的对称轴．
(2)若函数f(x)的定义域为D，对?x∈D都有f(a＋x)＋f(a－x)＝2b(a，b为常数)，则(a，b)是f(x)的对称中心．
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)奇函数f(x)＝，当x>0时的解析式与x<0时的解析式相同，所以一般的奇函数在(0，＋∞)上的解析式与(－∞，0)上的解析式也相同．
( )
(2)对于偶函数f(x)，恒有f(x)＝f(|x|).
( )
(3)若存在x0使f(1－x0)＝f(1＋x0)，则f(x)关于直线x＝1对称．
( )
(4)若奇函数f(x)在(0，＋∞)上有最小值a，则f(x)在(－∞，0)上有最大值－a.
( )
[答案] (1)× (2)√ (3)× (4)√
2．若函数f(x)的定义域为R，则f(0)＝0是函数f(x)为奇函数的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
B [当f(x)＝x2时，f(0)＝0，但f(x)＝x2为偶函数；若f(x)为奇函数，则f(0)＝－f(0)，所以f(0)＝0，所以f(0)＝0是函数f(x)为奇函数的必要不充分条件．故选B.]
3．下列函数中，既是奇函数，又在(0，1)上是增函数的是( )
A．y＝x(x－1)
B．y＝－x
C．y＝x(x2－1)
D．y＝2x－
D [选项A，B不是奇函数，选项C中y＝x(x2－1)在(0，1)上不是单调函数，选项D符合条件，故选D.]
4．定义在[－3，3]上的偶函数f(x)在区间[0，3]上的图像如图中曲线OAB，其中点O，A，B的坐标分别为(0，0)，(1，2)，(3，1)，则函数f(x)的单调递减区间是________．
[－1，0]和[1，3] [利用偶函数的图像关于y轴对称，作出其在[－3，0]上的图像后写出单调递减区间．
由于函数f(x)是[－3，3]上的偶函数，所以其图像如图所示．所以它的单调递减区间为[－1，0]和[1，3].]
用奇偶性求解析式
【例1】 (1)函数f(x)是定义域为R的奇函数，当x>0时，f(x)＝－x＋1，求f(x)的解析式；
(2)设f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)＋g(x)＝，求函数f(x)，g(x)的解析式．
[思路点拨] (1)
(2)
[解] (1)设x<0，则－x>0，
∴f(－x)＝－(－x)＋1＝x＋1，
又∵函数f(x)是定义域为R的奇函数，
∴f(－x)＝－f(x)＝x＋1，
∴当x<0时，f(x)＝－x－1.
又x＝0时，f(0)＝0，
所以f(x)＝
(2)∵f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，
∴f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x).
由f(x)＋g(x)＝，①
用－x代替x得f(－x)＋g(－x)＝，
∴f(x)－g(x)＝，②
(①＋②)÷2，得f(x)＝；
(①－②)÷2，得g(x)＝.
把本例(2)的条件“f(x)是偶函数，g(x)是奇函数”改为“f(x)是奇函数，g(x)是偶函数”，再求f(x)，g(x)的解析式．
[解] ∵f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，
∴f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，
又f(x)＋g(x)＝，①
用－x代替上式中的x，得
f(－x)＋g(－x)＝，
即f(x)－g(x)＝.②
联立①②得
f(x)＝，g(x)＝.
,
利用函数奇偶性求解析式的方法
(1)“求谁设谁”，即在哪个区间上求解析式，x就应在哪个区间上设．
(2)要利用已知区间的解析式进行代入．
(3)利用f(x)的奇偶性写出－f(x)或f(－x)，从而解出f(x).
提醒：若函数f(x)的定义域内含0且为奇函数，则必有f(0)＝0，但若为偶函数，未必有f(0)＝0.
函数单调性和奇偶性的综合问题
[探究问题]
1．如果奇函数f(x)在区间(a，b)上单调递增，那么f(x)在(－b，－a)上的单调性如何？
如果偶函数f(x)在区间(a，b)上单调递减，那么f(x)在(－b，－a)上的单调性如何？
[提示] 如果奇函数f(x)在区间(a，b)上单调递增，那么f(x)在(－b，－a)上单调递增；如果偶函数f(x)在区间(a，b)上单调递减，那么f(x)在(－b，－a)上单调递增．
2．你能否把上述问题所得出的结论用一句话概括出来？
[提示] 奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反．
3．若偶函数f(x)在(－∞，0)上单调递增，那么f(3)和f(－2)的大小关系如何？若f(a)>f(b)，你能得到什么结论？
[提示] f(－2)>f(3)，若f(a)>f(b)，则|a|<|b|.
角度一 比较大小问题
【例2】 函数y＝f(x)在[0，2]上单调递增，且函数f(x＋2)是偶函数，则下列结论成立的是( )
A．f(1)B．fC．fD．f[思路点拨] ―→
B [∵函数f(x＋2)是偶函数，∴函数f(x)的图像关于直线x＝2对称，∴f＝f，f＝f，又f(x)在[0，2]上单调递增，
∴f,
比较大小的求解策略
看自变量是否在同一单调区间上．
(1)在同一单调区间上，直接利用函数的单调性比较大小；
(2)不在同一单调区间上，需利用函数的奇偶性把自变量转化到同一单调区间上，然后利用单调性比较大小．
(变条件)设偶函数f(x)的定义域为R，当x∈[0，＋∞)时，f(x)是增函数，则f(－2)，f(π)，f(－3)的大小关系是( )
A．f(π)＞f(－3)＞f(－2)
B．f(π)＞f(－2)＞f(－3)
C．f(π)＜f(－3)＜f(－2)
D．f(π)＜f(－2)＜f(－3)
A [由偶函数与单调性的关系知，若x∈[0，＋∞)时，f(x)是增函数，则x∈(－∞，0)时，f(x)是减函数，故其图像的几何特征是自变量的绝对值越小，则其函数值越小，∵|－2|＜|－3|＜π，
∴f(π)＞f(－3)＞f(－2)，故选A.]
角度二 解不等式问题
【例3】 已知定义在[－2，2]上的奇函数f(x)在区间[0，2]上是减函数，若f(1－m)[解] 因为f(x)在区间[－2，2]上为奇函数，且在区间[0，2]上是减函数，所以f(x)在[－2，2]上为减函数．
又f(1－m)即解得－1≤m<.
故实数m的取值范围是.
解有关奇函数f(x)的不等式f(a)＋f(b)<0，先将f(a)＋f(b)<0变形为f(a)<－f(b)＝f(－b)，再利用f(x)的单调性去掉“f”，化为关于a，b的不等式．另外，要特别注意函数的定义域．
由于偶函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相反，所以我们要利用偶函数的性质f(x)＝f(|x|)＝f(－|x|)将f(g(x))中的g(x)全部化到同一个单调区间内，再利用单调性去掉符号f，使不等式得解．
1．函数f(x)是定义在实数集上的偶函数，且在[0，＋∞)上是增函数，f(3)A．a>1
B．a<－2
C．a>1或a<－2
D．－1C [因为函数f(x)在实数集上是偶函数，且f(3)1或a<－2.故选C.]
函数图像的对称性
【例4】 对于定义在R上的函数f(x)，有下述结论：
①若f(x)是奇函数，则f(x－1)的图像关于点A(1，0)对称；
②若f(x＋1)＝f(x－1)，则f(x)的图像关于直线x＝1对称；
③若函数f(x－1)的图像关于直线x＝1对称，则f(x)为偶函数；
④函数f(1＋x)与函数f(1－x)的图像关于直线x＝1对称；
⑤若f(x)＋f(x＋2)＝0，且f(4－x)＝f(x)，则f(x)的图像关于坐标原点对称．
其中正确结论的序号为________．
①③ [∵f(x)为奇函数，∴f(x)的图像关于原点对称，而f(x－1)的图像是将f(x)的图像向右平移1个单位长度得到的，∴f(x－1)的图像关于点A(1，0)对称，故①正确．
令t＝x－1，则由f(x＋1)＝f(x－1)可知，f(t)＝f(t＋2)，即f(x)＝f(x＋2)，其图像不一定关于直线x＝1对称．例如，函数f(x)＝－(其中[x]表示不超过x的最大整数)，其图像如图所示，满足f(x＋1)＝f(x－1)，但其图像不关于直线x＝1对称，故②不正确．
若g(x)＝f(x－1)的图像关于直线x＝1对称，则有g(x＋1)＝g(－x＋1)，即f(x)＝f(－x)，∴③正确．
易知函数y＝f(x＋1)的图像与函数y＝f(1－x)的图像关于y轴对称，∴④不正确．
⑤∵f(x)＝－f(x＋2)，∴－f(x＋2)＝f(x＋4)，∴f(x)＝f(x＋4).又f(4－x)＝f(x)，∴f(4＋x)＝f(－x)，
∴f(x)＝f(4＋x)＝f(－x)，从而f(x)为偶函数，可知f(x)的图像关于y轴对称，故⑤不正确．]
,
1．函数f(x)的图像关于直线对称
若函数f(x)对定义域内任一x，都有
(1)f(a－x)＝f(a＋x)?y＝f(x)的图像关于直线x＝a对称；
(2)f(x)＝f(a－x)?y＝f(x)的图像关于直线x＝对称；
(3)f(a＋x)＝f(b－x)?y＝f(x)的图像关于直线x＝对称．
2.函数f(x)的图像关于点对称
若函数f(x)对定义域内任一x，都有
(1)f(a－x)＝－f(a＋x)?y＝f(x)的图像关于点(a，0)对称；
(2)f(x)＝－f(a－x)?y＝f(x)的图像关于点对称；
(3)f(a＋x)＝－f(b－x)?y＝f(x)的图像关于点对称．
2．已知定义在R上的函数f(x)满足f(2－x)为奇函数，函数f(x＋3)关于直线x＝1对称，则下列式子一定成立的是( )
A．f(x－2)＝f(x)
B．f(x－2)＝f(x＋6)
C．f(x－2)·f(x＋2)＝1
D．f(－x)＋f(x＋1)＝0
B [令F(x)＝f(2－x)，∵f(2－x)为奇函数，∴F(－x)＝－F(x)，即f(2＋x)＝－f(2－x)，
∴即f(x)的图象关于点(2，0)对称，
令G(x)＝f(x＋3)，G(x)图象关于直线x＝1对称，
即G(1＋x)＝G(1－x)，f[(1＋x)＋3]＝f[(1－x)＋3]，f(4＋x)＝f(4－x)，
即f(x)的图象关于直线x＝4对称，
f(x)＝f[4＋(x－4)]
＝f[4－(x－4)]＝f(8－x)，
用x＋6换表达式中的x，可得f(2－x)＝f(x＋6)，
又－f(2＋x)＝f(2－x)，
即－f(2＋x)＝f(x＋6)，∴－f(x)＝f(x＋4)，用x＋4换表达式中的x，
则－f(x＋4)＝f(x＋8)＝－[－f(x)]＝f(x)，
∴函数f(x)的周期为8，故选B.]
知识：
1．具有奇偶性的函数的单调性的特点
(1)奇函数在[a，b]和[－b，－a]上具有相同的单调性．
(2)偶函数在[a，b]和[－b，－a]上具有相反的单调性．
2．偶函数的一个重要性质：f(|x|)＝f(x)，它能使自变量化归到[0，＋∞)上，避免分类讨论．
方法：
利用函数奇偶性求函数解析式的方法：
已知函数f(x)的奇偶性及函数f(x)在某区间上的解析式，求该函数在整个定义域上的解析式的方法如下：①求哪个区间上的解析式，x就设在那个区间上；②把x对称转化到已知区间上，代入到已知区间上的函数解析式中；③利用f(x)的奇偶性将f(－x)用－f(x)或f(x)表示，从而求出f(x).
1．若奇函数f(x)在区间[3，7]上是增函数，且最小值为5，则f(x)在区间[－7，－3]上是( )
A．增函数且有最大值－5
B．增函数且有最小值－5
C．减函数且有最大值－5
D．减函数且有最小值－5
A [因为f(x)在区间[3，7]上是增函数，且最小值为5，所以f(3)＝5.由奇函数在对称区间上单调性相同，可知f(x)在区间[－7，－3]上为增函数，且有最大值f(－3)＝－f(3)＝－5.故选A.]
2．已知偶函数在(－∞，0)上单调递增，则( )
A．f(1)>f(2)
B．f(1)C．f(1)＝f(2)
D．以上都有可能
A [∵f(x)是偶函数，且在(－∞，0)上单调递增，
∴f(x)在(0，＋∞)上单调递减，∴f(1)>f(2)，故选A.]
3．定义在R上的偶函数f(x)在[0，＋∞)上是增函数，若f(a)A．aB．a>b
C．|a|<|b|
D．0≤ab≥0
C [∵f(x)是R上的偶函数，且在[0，＋∞)上是增函数，∴由f(a)4．已知f(x)＝是奇函数，则f(g(－3))＝
________．
－33 [因为函数f(x)是奇函数，所以f(－3)＝g(－3)＝－f(3)＝－6，所以f(g(－3))＝f(－6)＝－f(6)＝－33.]
5．已知f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)＋g(x)＝x2＋x－2，求f(x)，g(x)的表达式．
[解] f(－x)＋g(－x)＝x2－x－2，由f(x)是偶函数，g(x)是奇函数得，f(x)－g(x)＝x2－x－2，又f(x)＋g(x)＝x2＋x－2，两式联立得f(x)＝x2－2，g(x)＝x.
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-
10
-3.2 函数与方程、不等式之间的关系
第1课时 函数的零点及其与对应方程、不等式解集之间的关系
学
习
目
标
核
心
素
养
1.理解函数零点的概念以及函数的零点与方程的根之间的关系．(难点)2．会求函数的零点．(重点)3．掌握函数与方程、不等式之间的关系，并会用函数零点法求不等式的解集．(重点、难点)
1.借助函数零点概念的理解，培养数学抽象的素养．2．通过函数与方程、不等式之间的关系的学习，提升逻辑推理的素养．3．利用零点法求不等式的解集，培养数学运算的素养．
如图已知函数f(x)＝x＋1的图像．
问题 (1)写出方程f(x)＝0的解集A；
(2)写出不等式f(x)>0的解集B；
(3)写出不等式f(x)<0的解集C；
(4)A∩B，B∩C，A∩C有什么关系？
(5)A∪B∪C与f(x)的定义域集合R有什么关系？
1．函数的零点
(1)函数零点的概念：一般地，如果函数y＝f(x)在实数α处的函数值等于零，即f(α)＝0，则称实数α为函数y＝f(x)的零点．
(2)三者之间的关系：
函数f(x)的零点?函数f(x)的图像与x轴有交点?方程f(x)＝0有实数根．
思考1：(1)函数的零点是一个点吗？
(2)任何函数都有零点吗？
[提示] (1)函数的零点是一个实数，而不是一个点．
(2)并不是任何函数都有零点，如y＝1，y＝x2＋1就没有零点．
2．三个“二次”的关系
设y＝ax2＋bx＋c(a＞0)，方程ax2＋bx＋c＝0的判别式Δ＝b2－4ac
判别式
Δ＞0
Δ＝0
Δ＜0
解不等式y＞0或y＜0的步骤
求方程y＝0的解
有两个不相等的实数根x1，x2(x1＜x2)
有两个相等的实数根x1＝x2＝－
没有实数根
画函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图像
解不等式y＞0或y＜0的步骤
不等式的解集
y＞0
{x|x＜x1_或x＞x2}
R
y＜0
{x|x1＜x＜x2}
思考2：若一元二次不等式ax2＋x－1>0的解集为R，则实数a应满足什么条件？
[提示] 结合二次函数图像可知，若一元二次不等式ax2＋x－1>0的解集为R，则解得a∈，所以不存在a使不等式ax2＋x－1>0的解集为R.
3．图像法解一元二次不等式的步骤
(1)解一元二次不等式对应的一元二次方程；
(2)求出其对应的二次函数的零点；
(3)画出二次函数的图像；
(4)结合图像写出一元二次不等式的解集．
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数的零点就是函数的图像与x轴的交点．
( )
(2)一次函数y＝kx＋b(k≠0)只有一个零点．
( )
(3)一次不等式的解集不可能为，也不可能为R.
( )
(4)对于二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，当Δ＝0时，此函数有两个零点，对应的方程有两个相等的实数根．
( )
[答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)×
2．函数y＝1＋的零点是( )
A．(－1，0)
B．x＝－1
C．x＝1
D．x＝0
B [令1＋＝0解得x＝－1，故选B.]
3．若f(x)＝－x2＋mx－1的函数值有正值，则m的取值范围是( )
A．m＜－2或m＞2
B．－2＜m＜2
C．m≠±2
D．1＜m＜3
A [∵f(x)＝－x2＋mx－1有正值，
∴Δ＝m2－4＞0，∴m＞2或m＜－2.故选A.]
4．不等式≥0的解集为________．
[－1，1) [原不等式等价于(x＋1)(x－1)≤0，且x－1≠0，∴－1≤x＜1.]
函数的零点及求法
【例1】 求函数f(x)＝x3－7x＋6的零点．
[解] 令f(x)＝0，即x3－7x＋6＝0，
∴(x3－x)－(6x－6)＝0，
∴x(x－1)(x＋1)－6(x－1)＝(x－1)·(x2＋x－6)＝(x－1)(x－2)(x＋3)＝0，解得x1＝1，x2＝2，x3＝－3，
∴函数f(x)＝x3－7x＋6的零点是1，2，－3.
求函数y＝f(x)的零点通常有两种方法：一是令y＝0，根据解方程f(x)＝0的根求得函数的零点；二是画出函数y＝f(x)的图像，图像与x轴的交点的横坐标即为函数的零点．
1．如图所示，是一个二次函数y＝f(x)的图像．
(1)写出这个二次函数的零点；
(2)试比较f(－4)·f(－1)，f(0)·f(2)与0的大小关系．
[解] (1)由图像可知，函数f(x)的两个零点分别是－3，1.
(2)根据图像可知，f(－4)·f(－1)＜0，f(0)·f(2)＜0.
二次函数的零点及其与对应方程、不等式的关系
【例2】 利用函数求下列不等式的解集：
(1)x2－5x－6＞0；(2)(2－x)(x＋3)＜0；
(3)4(2x2－2x＋1)＞x(4－x).
[解] (1)方程x2－5x－6＝0的两根为x1＝－1，x2＝6.
结合二次函数y＝x2－5x－6的图像知，
原不等式的解集为(－∞，－1)∪(6，＋∞).
(2)原不等式可化为(x－2)(x＋3)＞0.
方程(x－2)(x＋3)＝0的两根为x1＝2，x2＝－3.
结合二次函数y＝(x－2)(x＋3)的图像知，
原不等式的解集为(－∞，－3)∪(2，＋∞).
(3)由原不等式得8x2－8x＋4＞4x－x2，
即9x2－12x＋4＞0.
解方程9x2－12x＋4＝0，解得x1＝x2＝.
结合二次函数y＝9x2－12x＋4的图像知，
原不等式的解集为∪.
由一元二次不等式与对应的方程、函数之间的关系可知，求一元二次不等式的解集的步骤如下：
2．利用函数求下列不等式的解集：
(1)2x2＋7x＋3＞0；
(2)－x2＋8x－3＞0；
(3)x2－4x－5＜0；
(4)－4x2＋18x－＞0.
[解] (1)对于方程2x2＋7x＋3＝0，因为Δ＝72－4×2×3＝25＞0，
所以方程2x2＋7x＋3＝0有两个不相等的实数根，x1＝－3，x2＝－.
又因为二次函数y＝2x2＋7x＋3的图像开口向上，
所以原不等式的解集为(－∞，－3)∪.
(2)对于方程－x2＋8x－3＝0，因为Δ＝82－4×(－1)×(－3)＝52＞0，
所以方程－x2＋8x－3＝0有两个不相等的实数根，
x1＝4－，x2＝4＋.
又因为二次函数y＝－x2＋8x－3的图像开口向下，
所以原不等式的解集为(4－，4＋).
(3)原不等式可化为(x－5)(x＋1)＜0，
所以原不等式的解集为(－1，5).
(4)原不等式可化为＜0，
所以原不等式的解集为.
用函数零点法求一元高次不等式的解集
【例3】 (教材P114例5改编)求函数f(x)＝(x－1)(x－2)(x＋3)的零点，并作出函数图像的示意图，写出不等式f(x)≥0和f(x)＜0的解集．
[解] 函数的零点为－3，1，2.
函数的定义域被这三个点分成四部分，每一部分的符号如下表所示．
x
(－∞，－3)
(－3，1)
(1，2)
(2，＋∞)
f(x)
－
＋
－
＋
由此可以画出此函数的示意图如图．
由图可知，f(x)≥0的解集为[－3，1]∪[2，＋∞)，f(x)＜0的解集为(－∞，－3)∪(1，2).
穿根法解高次不等式
穿根法实质上就是求根法的深化与提升，穿根的过程实质就是画函数图像的过程．用该方法解高次不等式时，要注意三点：
一是需要把最高次幂的系数化为正数；
二是穿根时先在数轴上把根标出来，然后从数轴的右上方开始依次穿过；
三是穿根时，偶数次重根要穿而不过，奇数次重根则要穿过．
穿根法解分式不等式的步骤
移项——通分——化成基本形式(因式的积的形式且x的系数为1)——穿根．
3．求函数f(x)＝(1－x)(x－2)(x＋2)的零点，并作出函数图像的示意图，写出不等式f(x)≥0和f(x)＜0的解集．
[解] 函数的零点为－2，1，2.
函数的定义域被这三个点分成四部分，每一部分的符号如下表所示．
x
(－∞，－2)
(－2，1)
(1，2)
(2，＋∞)
f(x)
＋
－
＋
－
由此可以画出此函数的示意图如图．
由图可知，f(x)≥0的解集为(－∞，－2]∪[1，2]，f(x)＜0的解集为(－2，1)∪(2，＋∞).
4．解不等式：＜0.
[解] 将原不等式化为＞0，
即(x＋3)(x＋2)(x－1)(x－3)＞0，
各因式所对应的根分别为－3，－2，1，3，在数轴上标根并画出示意图，如图所示．
故原不等式的解集为{x|x＜－3或－2＜x＜1或x＞3}．
知识：
1．方程f(x)＝g(x)的根是函数f(x)与g(x)的图像交点的横坐标，也是函数y＝f(x)－g(x)的图像与x轴交点的横坐标．
2．二次函数的零点及其与对应方程、不等式的关系
(1)ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的解是函数f(x)＝ax2＋bx＋c的零点．
(2)ax2＋bx＋c＞0(a≠0)的解集是使f(x)＝ax2＋bx＋c的函数值为正数的自变量x的取值集合；ax2＋bx＋c＜0(a≠0)的解集是f(x)＝ax2＋bx＋c的函数值为负数的自变量x的取值集合．
3．图像法解一元二次不等式的步骤
(1)解一元二次不等式对应的一元二次方程；
(2)求出其对应的二次函数的零点；
(3)画出二次函数的图像；
(4)结合图像写出一元二次不等式的解集．
方法：
穿根法：解简单的一元高次不等式常用穿根法．
1．下列图像表示的函数中没有零点的是( )
A [B，C，D的图像均与x轴有交点，故函数均有零点，A的图像与x轴没有交点，故函数没有零点．]
2．方程5x2－7x－1＝0的根所在的区间是( )
A.(－1，0)
B.(1，2)
C.一个根在(－1，0)上，另一个根在(1，2)上
D.一个根在(0，1)上，另一个根在(－2，－1)上
C [∵
f(－1)·
f(0)＜0,
f(1)·
f(2)＜0，∴选C.]
3．函数f(x)＝x－零点的个数是( )
A.0 B．1 C．2
D．3
C [令x－＝0，即x2－1＝0，∴x＝±1.∴f(x)＝x－的零点有两个.
]
4．不等式(x＋1)(x2－9)≥0的解集是________．
{x|－3≤x≤－1或x≥3} [原不等式可化为(x＋1)(x＋3)(x－3)≥0，则对应方程的三个实数根分别为－1，－3，3.
如图所示，在数轴上标出三个实数根，从右上方开始依次穿过．由图可知不等式(x＋1)(x2－9)≥0的解集为
{x|－3≤x≤－1或x≥3}．]
5．已知ax2＋2x＋c＞0的解集为，求实数a，c的值．
[解] 由ax2＋2x＋c＞0的解集为知a＜0，且方程ax2＋2x＋c＝0的两根为x1＝－，x2＝.
由根与系数的关系得
解得故a的值为－12，c的值为2.
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8
-第2课时 零点的存在性及其近似值的求法
学
习
目
标
核
心
素
养
1.掌握函数零点的存在性定理，并会判断函数零点的个数.
(重点)2．了解二分法是求方程近似解的常用方法，掌握二分法是求函数零点近似解的步骤．(难点)3．理解函数与方程之间的联系，并能用函数与方程思想分析问题、解决问题．(重点、难点)
1.通过存在性定理的学习，培养逻辑推理的素养．2．通过二分法的学习，提升数据分析，数学建模的学科素养．3．理解函数与方程之间的联系，提升数学抽象的学科素养．
某电视台有一个节目叫“价格猜猜猜”，就是主持人给大家展示一件新式产品，让竞猜者去猜物品的价格，主持人会提示价格“高了”还是“低了”，然后继续猜，怎样用最少的次数猜出物品的价格呢？
1．函数零点的存在性定理
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图像是连续不断的，并且f(a)f(b)＜0(即在区间两个端点处的函数值异号)，则函数y＝f(x)在区间(a，b)中至少有一个零点，即?x0∈(a，b)，f(x0)＝0.
思考：利用函数零点存在性定理能确定零点个数吗？
[提示] 不能．只能判断零点是否存在，不能确定零点的个数．
2．二分法的定义
(1)二分法的条件：函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图像连续不断且
f(a)f(b)＜0.
(2)二分法的过程：通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点的近似值的方法，称为二分法．由函数的零点与相应方程根的关系，也可以用二分法求方程的近似解．
[拓展] (1)二分法只能求函数的变号零点(函数图像通过零点时穿过x轴，这样的零点为变号零点)的近似值．
(2)二分法的解题原理是函数零点存在定理，它是一种求近似解的具体方法，是考查“极端”“无限分割”“化整为零”“无限逼近”等数学思想方法的具体体现．
3．用二分法求函数零点近似值的步骤
给定精确度ε，用二分法求函数f(x)在[a，b]上的零点近似值的步骤是：
第一步 检查|b－a|≤2ε是否成立，如果成立，取x1＝，计算结束；如果不成立，转到第二步．
第二步 计算区间(a，b)的中点对应的函数值，若f＝0，取x1＝，计算结束；若f≠0，转到第三步．
第三步 若f(a)f＜0，将的值赋给b，回到第一步；若ff(b)＜0，将的值赋给a，回到第一步．
[拓展] 求函数零点的近似值时，所要求的精确度不同，得到的结果也不相同．精确度要求越高，零点的近似值所在的区间长度越小，计算过程越长．用二分法求函数零点的近似值一般需借助计算器计算．
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若函数y＝f(x)在[a，b]上图像连续，且f(a)f(b)＞0，则y＝f(x)在(a，b)内一定没有零点．
( )
(2)若函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，则f(a)f(b)<0.
( )
(3)若函数f(x)在[a，b]上是单调函数，则f(x)在[a，b]上至多有一个零点．
( )
(4)二分法可求所有函数的近似零点．
( )
[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)×
2．下列函数不宜用二分法求零点的是( )
A．f(x)＝x3－1
B．f(x)＝2x3＋x－5
C．f(x)＝x2＋2x＋2
D．f(x)＝－x2＋4x－1
C [因为f(x)＝x2＋2x＋2＝(x＋)2≥0，不存在小于0的函数值，所以不能用二分法求零点．]
3．用“二分法”可求近似解，对于精确度ε说法正确的是( )
A．ε越大，零点的精确度越高
B．ε越大，零点的精确度越低
C．重复计算次数就是ε
D．重复计算次数与ε无关
B [依“二分法”的具体步骤可知，ε越大，零点的精确度越低．]
4．(教材P119习题3?2A④改编)若函数f(x)的图像是连续不断的，且f(0)>0，f(1)·f(2)·f(4)<0，则下列命题正确的是________．
①函数f(x)在区间(0，1)内有零点；
②函数f(x)在区间(1，2)内有零点；
③函数f(x)在区间(0，2)内有零点；
④函数f(x)在区间(0，4)内有零点．
④ [∵f(0)>0，而由f(1)·f(2)·f(4)<0，知f(1)，f(2)，f(4)中至少有一个小于0.∴在区间(0，4)内有零点．]
判断函数零点所在的区间
【例1】 求证：方程x4－4x－2＝0在区间[－1，2]内至少有两个实数解．
[证明] 设f(x)＝x4－4x－2，其图像是连续曲线．
因为f(－1)＝3＞0，f(0)＝－2＜0，f(2)＝6＞0，
所以方程在(－1，0)，(0，2)内都有实数解．
从而证明该方程在给定的区间内至少有两个实数解．
一般而言，判断函数零点所在区间的方法是将区间端点代入函数求出函数的值，进行符号判断即可得出结论．此类问题的难点往往是函数值符号的判断，可运用函数的有关性质进行判断．
1．若函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图像为连续不断的一条曲线，则下列说法正确的是( )
A．若f(a)f(b)＞0，则不存在实数c∈(a，b)使得f(c)＝0
B．若f(a)f(b)＜0，则存在且只存在一个实数c∈(a，b)使得f(c)＝0
C．若f(a)f(b)＞0，则有可能存在实数c∈(a，b)使得f(c)＝0
D．若f(a)f(b)＜0，则有可能不存在实数c∈(a，b)使得f(c)＝0
C [对于A选项，可能存在，如y＝x2；对于B选项，必存在但不一定唯一，选项D一定存在．]
对二分法概念的理解
【例2】 下列图像与x轴均有交点，其中不能用二分法求函数零点的是( )
B [利用二分法求函数的零点必须满足零点两侧函数值异号，在选项B中，不满足零点两侧函数值异号，不能用二分法求零点．由于A、C、D中零点的两侧函数值异号，故可采用二分法求零点．]
二分法是求一般函数的零点的一种通法，使用二分法的前提条件是函数零点的存在性．对“函数在区间[a，b]上连续”的理解如下：不管函数在整个定义域内是否连续，只要找得到包含零点的区间上函数图像是连续的即可．
2．如图是函数f(x)的图像，它与x轴有4个不同的公共点．给出下列四个区间，不能用二分法求出函数f(x)的零点近似值的是( )
A．(－2.1，－1)
B．(1.9，2.3)
C．(4.1，5)
D．(5，6.1)
B [只有B中的区间所含零点是不变号零点．]
用二分法求函数零点的近似值
【例3】 求函数f(x)＝x2－5的负零点．(精确度为0.1)
[解] 由于f(－2)＝－1<0，f(－3)＝4>0，
故取区间(－3，－2)作为计算的初始区间，
用二分法逐次计算，列表如下：
区间
中点的值
中点函数近似值
(－3，－2)
－2.5
1.25
(－2.5，－2)
－2.25
0.062
5
(－2.25，－2)
－2.125
－0.484
4
(－2.25，－2.125)
－2.187
5
－0.214
8
(－2.25，－2.187
5)
－2.218
75
－0.077
1
由于|－2.25－(－2.187
5)|＝0.062
5<0.1，
所以函数的一个近似负零点可取－2.25.
利用二分法求函数零点应关注三点
(1)要选好计算的初始区间，这个区间既要包含函数的零点，又要使其长度尽量小．
(2)用列表法往往能比较清晰地表达函数零点所在的区间．
(3)根据给定的精确度，及时检验所得区间长度是否达到要求，以决定是停止计算还是继续计算．
3．证明函数f(x)＝2x＋3x－6在区间[1，2]内有唯一零点，并求出这个零点(精确度为0.1).
[解] 由于f(1)＝－1<0，f(2)＝4>0，又函数f(x)在[1，2]内是增函数，所以函数在区间[1，2]内有唯一零点，不妨设为x0，则x0∈[1，2].下面用二分法求解．
(a，b)
(a，b)的中点
f(a)
f(b)
f
(1，2)
1.5
f(1)<0
f(2)>0
f(1.5)>0
(1，1.5)
1.25
f(1)<0
f(1.5)>0
f(1.25)>0
(1，1.25)
1.125
f(1)<0
f(1.25)>0
f(1.125)<0
(1.125，1.25)
1.187
5
f(1.125)<0
f(1.25)>0
f(1.187
5)<0
因为|1.187
5－1.25|＝0.062
5<0.1，所以函数f(x)＝2x＋3x－6的精确度为0.1的近似零点可取为1.25.
一元二次方程根的分布问题
【例4】 已知关于x的方程7x2－(m＋13)x－m－2＝0的一个根在区间(0，1)内，另一个根在区间(1，2)内，则实数m的取值范围为( )
A．(－4，－2)
B．(－3，－2)
C．(－4，0)
D．(－3，1)
[思路点拨] →→
A [设函数f(x)＝7x2－(m＋13)x－m－2，则由题意可画出函数f(x)的草图如图所示，由图可得
解得－4＜m＜－2.
故实数m的取值范围为(－4，－2).]
二次函数的零点问题，一般需要考虑以下四个方面：①判别式；②端点函数值的正负；③对称轴与区间的位置关系；④根与系数的关系．
4．关于x的一元二次方程x2＋(m－1)x＋1＝0在区间[0，2]上有实数解，求实数m的取值范围．
[解] 设f(x)＝x2＋(m－1)x＋1，x∈[0，2]，
若f(x)＝0在区间[0，2]上有一个实数解，
∵f(0)＝1＞0，∴f(2)＜0或
又f(2)＝22＋(m－1)×2＋1，∴m＜－.
若f(x)＝0在区间[0，2]上有两个实数解，
则即
∴∴－≤m≤－1.
综上，实数m的取值范围为{m|m≤－1}．
知识：
1．二分法就是通过不断地将所选区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，直至找到零点附近足够小的区间，根据所要求的精确度，用此区间的某个数值近似地表示真正的零点．
2．并非所有函数都可以用二分法求其零点，只有满足：
(1)在区间[a，b]上的图像连续不断；
(2)f(a)·f(b)<0，
上述两条的函数方可采用二分法求得零点的近似值．
方法：
二分法：求函数零点近似值的一种常用方法．
1．函数y＝－x2＋8x－16在区间[3，5]上( )
A．没有零点
B．有一个零点
C．有两个零点
D．有无数个零点
B [令－x2＋8x－16＝0，得x＝4，故函数y＝－x2＋8x－16在[3，5]上有一个零点．故选B.]
2．已知函数f(x)＝3ax－1－2a在区间(－1，1)上存在零点，则( )
A．＜a＜1
B．a＞
C．a＜－或a＞1
D．a＜－
C [∵f(x)＝3ax－1－2a在区间(－1，1)上单调且存在零点，
∴f(－1)·f(1)＝(－3a－1－2a)·(3a－1－2a)
＝(－5a－1)·(a－1)＜0，
∴a＞1或a＜－.故选C.]
3．下列函数图像与x轴均有交点，但不宜用二分法求交点横坐标的是( )
[答案] B
4．用二分法求函数零点，函数的零点总位于区间[an，bn]上，
当|an－bn|＜ε时，函数的近似零点与真正零点的误差不超过( )
A．ε
B．ε
C．2ε
D．ε
B [根据用“二分法”求函数近似零点的步骤知，当|an－bn|＜ε时，区间[an，bn]的中点xn＝(an＋bn)就是函数的近似零点，这时计算终止，从而函数的近似零点与真正零点的误差不超过ε.故选B.]
5．求证：函数f(x)＝x3＋x2＋1在区间[－2，－1]上存在零点．
[证明] 因为f(－2)＝(－2)3＋(－2)2＋1＝－3＜0，
f(－1)＝(－1)3＋(－1)2＋1＝1＞0，
所以f(－2)·f(－1)＜0.
又函数f(x)的图像在区间[－2，－1]上是连续不间断的，所以函数f(x)在区间[－2，－1]上存在零点．
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5
-3.3 函数的应用(一)
学
习
目
标
核
心
素
养
1.了解函数模型(如一次函数、二次函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用．2．能够利用给定的函数模型或建立确定的函数模型解决实际问题．(重点、难点)
1.
通过建立函数模型解决实际问题，培养数学建模素养．2．借助实际问题中的最值问题，提升数学运算素养．
随着经济和社会的发展，汽车已逐步成为人们外出的代步工具．下面是某地一汽车销售公司对近三年的汽车销售量的统计表：
年份
2016
2017
2018
销量/万辆
8
18
30
结合以上三年的销量及人们生活的需要，2019年初，该汽车销售公司的经理提出全年预售43万辆汽车的远大目标，经过全体员工的共同努力，2019年实际销售44万辆，圆满完成销售目标．
问题 (1)在实际生产生活中，对已收集到的样本数据常采用什么方式获取直观信息？
(2)如果我们分别将2016，2017，2018，2019年定义为第一、二、三、四年，现在有两个函数模型：二次函数型f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，一次函数模型g(x)＝ax＋b(a≠0)，哪个模型能更好地反映该公司年销量y与第x年的关系？
(3)依照目前的形势分析，你能预测一下2020年，该公司预销售多少辆汽车吗？
常见的几类函数模型
函数模型
函数解析式
一次函数模型
f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)
二次函数模型
f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)
分段函数模型
f(x)＝
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
甲、乙两人在一次赛跑中，路程s与时间t的函数关系如图所示，判断下列说法的对错．
(1)甲比乙先出发．
( )
(2)乙比甲跑的路程多．
( )
(3)甲、乙两人的速度相同．
( )
(4)甲先到达终点．
( )
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√
2．某物体一天中的温度T与时间t满足函数关系：T(t)＝t3－3t＋60，时间单位是小时，温度单位是℃，t＝0表示中午12：00，其前t值为负，其后t值为正，则上午8时的温度是( )
A．8
℃
B．12
℃
C．58
℃
D．18
℃
A [求上午8时的温度，即求t＝－4时的值，所以T(－4)＝(－4)3－3×(－4)＋60＝8.
故选A.]
3．甲、乙、丙、丁四辆玩具赛车同时从起点出发并做匀速直线运动，丙车最先到达终点，丁车最后到达终点．若甲、乙两车的s
?t图像如图所示，则对于丙、丁两车的图像所在区域，判断正确的是( )
A.丙在Ⅲ区域，丁在Ⅰ区域
B.丙在Ⅰ区城，丁在Ⅲ区域
C.丙在Ⅱ区域，丁在Ⅰ区域
D.丙在Ⅲ区域，丁在Ⅱ区域
A [由图像，可得相同时间内丙车行驶路程最远，丁车行驶路程最近，即丙在Ⅲ区域，丁在Ⅰ区域，故选A.]
4．(教材P122例3改编)某商店进货单价为45元，若按50元一个销售，能卖出50个；若销售单价每涨1元，其销售量就减少2个，为了获得最大利润，此商品的最佳售价应为每个______元．
60 [设涨价x元，销售的利润为y元，
则y＝(50＋x－45)(50－2x)＝－2x2＋40x＋250
＝－2(x－10)2＋450，
所以当x＝10，即销售价为60元时，y取得最大值．]
一次函数模型的应用
【例1】 某厂日生产文具盒的总成本y(元)与日产量x(套)之间的关系为y＝6x＋30
000，而出厂价格为每套12元，要使该厂不亏本，至少日生产文具盒( )
A.2
000套
B．3
000套
C.4
000套
D．5
000套
D [因利润z＝12x－(6x＋30
000)，所以z＝6x－30
000，由z≥0解得x≥5
000，故至少日生产文具盒5
000套．]
1．一次函数模型的实际应用
一次函数模型应用时，本着“问什么，设什么，列什么”这一原则．
2．一次函数的最值求解
一次函数求最值，常转化为求解不等式ax＋b≥0(或≤0)，解答时，注意系数a的正负，也可以结合函数图像或其单调性来求最值．
1.如图所示，这是某通讯公司规定的打某国际长途电话所需要付的电话费y(元)与通话时间t(分钟)之间的函数关系图像，根据图像填空：
(1)通话2分钟，需要付电话费________元；
(2)通话5分钟，需要付电话费________元；
(3)如果t≥3，则电话费y(元)与通话时间t(分钟)之间的函数关系式为________．
(1)3.6 (2)6 (3)y＝1.2t(t≥3) [(1)由图像可知，当t≤3时，电话费都是3.6元．
(2)由图像可知，当t＝5时，y＝6，需付电话费6元．
(3)易知当t≥3时，图像过点(3，3.6)，(5，6)，求得y＝1.2t(t≥3).]
二次函数模型的应用
【例2】 某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，假设每箱售价不得低于50元且不得高于55元．市场调查发现，若每箱以50元的价格销售，平均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱．
(1)求平均每天的销售量y(箱)与销售单价x(元/箱)之间的函数关系式；
(2)求该批发商平均每天的销售利润w(元)与销售单价x(元/箱)之间的函数关系式；
(3)当每箱苹果的售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少？
[思路点拨] 本题中平均每天的销售量y(箱)与销售单价x(元/箱)是一个一次函数关系，虽然x∈[50，55]，x∈N，但仍可把问题看成一次函数模型的应用问题；平均每天的销售利润w(元)与销售单价x(元/箱)是一个二次函数关系，可看成是一个二次函数模型的应用题．
[解] (1)根据题意，得y＝90－3(x－50)，
化简，得y＝－3x＋240(50≤x≤55，x∈N).
(2)因为该批发商平均每天的销售利润＝平均每天的销售量×每箱销售利润．
所以w＝(x－40)(－3x＋240)＝－3x2＋360x－9
600(50≤x≤55，x∈N).
(3)因为w＝－3x2＋360x－9
600＝－3(x－60)2＋1
200，
所以当x<60时，w随x的增大而增大．
又50≤x≤55，x∈N，所以当x＝55时，w有最大值，最大值为1
125.
所以当每箱苹果的售价为55元时，可以获得最大利润，且最大利润为1
125元．
二次函数模型的解析式为g（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0）.在函数建模中，它占有重要的地位．在根据实际问题建立函数解析式后，可利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等方法来求函数的最值，从而解决实际问题中的最值问题．二次函数求最值最好结合二次函数的图像来解答．
2．A，B两城相距100
km，在两地之间距A城x
km处D地建一核电站给A，B两城供电，为保证城市安全，核电站距城市距离不得少于10
km，已知每个城市的供电费用与供电距离的平方和供电量之积成正比，比例系数λ＝0.25.若A城供电量为20亿度/月，B城为10亿度/月．
(1)把A，B两城月供电总费用y(万元)表示成x(km)的函数，并求定义域；
(2)核电站建在距A城多远，才能使供电总费用最小．
[解] (1)由题意设A城的月供电费用为y1，
则y1＝λ×20x2.
设B城的月供电费用为y2，则y2＝λ×10×(100－x)2，
∴A、B两城月供电总费用y＝λ×20x2＋λ×10×(100－x)2.
∵λ＝0.25，
∴y＝5x2＋(100－x)2(10≤x≤90).
(2)由y＝5x2＋(100－x)2＝x2－500x＋25
000
＝＋，
则当x＝时，y最小．
故当核电站建在距A城
km处，才能使供电总费用最小．
分段函数模型的应用
【例3】 某公司生产一种产品，每年投入固定成本0.5万元，此外每生产100件这种产品还需要增加投资0.25万元，经预测可知，市场对这种产品的年需求量为500件，当出售的这种产品的数量为t(单位：百件)时，销售所得的收入约为5t－t2(万元).
(1)若该公司的年产量为x(单位：百件)，试把该公司生产并销售这种产品所得的年利润表示为年产量x的函数；
(2)当这种产品的年产量为多少时，当年所得利润最大？
[解] (1)当05时，产品只能售出500件．
所以f(x)＝
即f(x)＝
(2)当0f(x)有最大值，
f(x)max＝10.781
25(万元).
当x>5时，f(x)＝12－0.25x<12－0.25×5＝10.75(万元).
故当年产量为475件时，当年所得利润最大．
1．分段函数的“段”一定要分得合理，不重不漏．
2．分段函数的定义域为对应每一段自变量取值范围的并集．
3．分段函数的值域求法：逐段求函数值的范围，最后比较再下结论．
3．某市居民自来水收费标准如下：每户每月用水不超过4吨时，每吨为1.80元，当用水超过4吨时，超过部分每吨3.00元．某月甲、乙两户共交水费y元，已知甲、乙两户该月用水量分别为5x吨，3x吨．
(1)求y关于x的函数；
(2)若甲、乙两户该月共交水费26.4元，分别求出甲、乙两户该月的用水量和水费．
[解] (1)当甲的用水量不超过4吨时，即5x≤4，乙的用水量也不超过4吨，y＝1.8(5x＋3x)＝14.4x；
当甲的用水量超过4吨，乙的用水量不超过4吨时，
即3x≤4，且5x>4时，
y＝4×1.8＋3x×1.8＋3(5x－4)＝20.4x－4.8.
当乙的用水量超过4吨，即3x>4时，
y＝2×4×1.8＋3×[(3x－4)＋(5x－4)]＝24x－9.6.
所以y＝
20.4x－4.8，
\f(4,5)24x－9.6，x>\f(4,3)．))
(2)由于y＝f(x)在各段区间上均单调递增；
当x∈时，y≤f<26.4；
当x∈时，y≤f<26.4；
当x∈时，令24x－9.6＝26.4，
解得x＝1.5.
所以甲户用水量为5x＝5×1.5＝7.5(吨)，
付费S1＝4×1.8＋3.5×3＝17.70(元)；
乙户用水量为3x＝4.5(吨)，
付费S2＝4×1.8＋0.5×3＝8.70(元).
知识：
1．解有关函数的应用题，首先应考虑选择哪一种函数作为模型，然后建立其解析式．求解析式时，一般利用待定系数法，要充分挖掘题目的隐含条件，充分利用函数图形的直观性．
2．数学建模的过程图示如下：
方法：
建立函数模型时，求解函数解析式的方法
(1)待定系数法．已知条件中给出了含参数的函数解析式或根据已知条件可确定函数模型，此种情形下应用待定系数法求出函数解析式中的相关参数(未知系数)的值，就可以确定函数的解析式．
(2)归纳法．先让自变量x取一些特殊值，计算出相对应的函数值，从中发现规律，再推广到一般情形，从而得到函数的解析式．
(3)方程法．用x表示自变量或其他相关的量．根据问题的实际意义，运用已掌握的数学、物理等方面的知识，列出函数的解析式，此种方法形式上和列方程解应用题相仿，故称为方程法．实际上函数的解析式就是含x，y的二元方程．
1．某商场将彩电的售价先按进价提高40%，然后按“八折优惠”卖出，结果每台彩电利润为360元，那么彩电的进价是( )
A.2
000元
B．2
500元
C.3
000元
D．3
500元
C [设彩电的进价为x元，得1.4x×0.8－x＝360，解得x＝3
000，故选C.]
2．向高为H的水瓶中注水，注满为止．如果注水量V与水深h的函数关系的图像如图所示，那么水瓶的形状是( )
A B C D
B [题图反映随着水深h的增加，注水量V增长速度越来越慢，这反映水瓶中水上升的液面越来越小．故选B.]
3．有一批材料可以建成360
m长的围墙，如果用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样材料隔成三个面积相等的小矩形(如图所示)，则围成场地的最大面积为________m2(围墙厚度不计).
8
100 [设每个小矩形与墙垂直的一边长为a
m，则与它相邻的另一边长为b＝(360－4a)m，记围成场地的面积为S
m2，
则S＝3ab＝a·(360－4a)＝－4a2＋360a(0＜a＜90)，
∴当a＝45时，Smax＝8
100(m2)，
∴所围矩形面积的最大值为8
100
m2.]
4．某人从A地出发，开汽车以80千米/小时的速度经2小时到达B地，在B地停留2小时，则汽车离开A地的距离y(单位：千米)是时间t(单位：小时)的函数，该函数的解析式是________．
[答案] y＝
5.
某游乐场每天的盈利额y元与售出的门票张数x之间的函数关系如图所示，试由图像解决下列问题：
(1)求y与x的函数解析式；
(2)要使该游乐场每天的盈利额超过1
000元，每天至少卖出多少张门票？
[解] (1)由图像知，可设y＝kx＋b(k≠0)，x∈[0，200]时，过点(0，－1
000)和(200，1
000)，解得k＝10，b＝－1
000，从而y＝10x－1
000；x∈(200，300]时，过点(200，500)和(300，2
000)，解得k＝15，b＝－2
500，
从而y＝15x－2
500，
所以y＝
(2)每天的盈利额超过1
000元，则x∈(200，300]，由15x－2
500>1
000得，x>，故每天至少需要卖出234张门票．
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1
-3.4 数学建模活动：决定苹果的最佳出售时间点
学
习
目
标
核
心
素
养
1.理解几种常见函数模型的概念及性质．(难点)2．会分析具体的实际问题，建模解决实际问题．(重点、难点)
1.通过几种函数模型的学习，培养数学抽象的素养．2．理解几种函数模型的应用，培养数学建模的素养．
牛顿(1642～1727)是英国著名的物理学家、数学家和天文学家，是17世纪最伟大的科学巨匠．然而，对于一些在自然科学上一知半解的人来说，牛顿的赫赫有名与其说来自于他的科学发现，毋宁说是来自于那个妇孺皆知的苹果落地的传说．那是1666年夏末的一个傍晚，在英格兰林肯郡乌尔斯索普，一个腋下夹着一本书的年轻人走进了他母亲家的花园，坐在一棵树下，开始埋头读他的书．正在他翻动书页时，他头顶上的树枝被风吹得晃动了起来．突然，“啪”的一声，一只历史上最著名的苹果落了下来，恰好打在了这位青年的头上．这位青年不是别人，正是牛顿．据说，牛顿当时正在苦苦思索着一个问题：是什么力量使月球保持在环绕地球运行的轨道上，又是什么力量使行星保持在其环绕太阳运行的轨道上？掉下来的苹果打断了他的思索，“为什么这只苹果会坠落到地上呢？”牛顿转而考虑起这个使他感到困惑不解的问题．有人说正是从这一问题的思考中，他找到了答案，并提出了万有引力定律．
问题 (1)你认为牛顿是从“苹果从树上落下”这一问题的思考中很简单的提出的万有引力吗？
(2)你能想象一下牛顿发现万有引力的过程吗？
1．对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学方法构建模型解决问题就是数学建模．
2．数学建模过程主要包括：在实际情境中从数学的视角发现问题、提出问题，分析问题、建立模型，确定参数、计算求解，验证结果、改进模型，最终解决实际问题．
1．一辆汽车在某段路程中的行驶路程s关于时间t变化的图像如图所示，那么图像所对应的函数模型是( )
A．分段函数
B．一次函数
C．二次函数
D．反函数
A [根据图像知，在不同的时间段内，行驶路程关于时间变化的图像不同，故对应函数模型应为分段函数．]
2．在x克a%的盐水中，加入y克b%的盐水，浓度变为c%，则x与y的函数关系式为( )
A．y＝·x
B．y＝·x
C．y＝·x
D．y＝·x
B [据题意有＝c%，
所以＝c，即ax＋by＝cx＋cy，
所以(b－c)y＝(c－a)x，所以y＝·x.]
3．某车主每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油的情况：
加油时间
加油量(升)
加油时的累计里程(公里)
2019年11月16日
12
32
000
2019年11月21日
48
32
600
(注：“累计里程”是汽车出厂后行驶的总路程)
则16日－21日这段时间内汽车每百公里的平均油耗为( )
A．6升
B．8升
C．10升
D．12升
B [由表格信息，得到该车加了48升的汽油，跑了600千米，所以该车每100千米平均耗油量为48÷6＝8(升)，故选B.]
4．某家具的标价为132元，若降价以九折出售
(即优惠10%)，仍可获利10%(相对进货价)，则该家具的进货价是________元．
108 [设进货价为a元，由题意知132×(1－10%)－a＝10%·a，解得a＝108.]
建模过程描述与介绍
(1)发现问题
当市面上的苹果比较多时，苹果的价格就会降低．这时，如果将苹果利用一定的技术手段进行保鲜存储，等到市面上的苹果变少、价格上升之后再出售，则同样多的苹果就可以获得比较高的销售收入．不过，需要注意的是，保鲜存储是有成本的，而且成本会随着时间的延长而增大．
(2)提出问题
针对上述这种日常生活中的现象，我们可以探讨的问题很多．例如，为什么会发生这些现象？什么情况下不会发生这样的现象？能够利用哪些技术手段进行保鲜存储？哪种保鲜存储的成本最低？等等．
(3)用数学观点对问题分析
①类似的这些问题，因为不仅仅涉及量的关系，所以如果只用数学手段研究，将是十分困难的．
②上述现象中，涉及了量的增大与减少的问题，这可以用数学符号和语言进行描述．
(4)用数学知识描述问题，建立模型
①定性描述，确立初步模型
设市面上苹果的量为x万吨，苹果的单价为y元．上述现象说明，y会随着x的增大而减少，且y也会随着x的减少而增大——也就是说，如果y是x的函数并记作y＝f(x)的话，f(x)是减函数．
同样地，如果设保鲜存储的时间为t天，单位数量的保鲜存储成本为C元，且C是t的函数并记作C＝g(t)的话，g(t)是一个增函数．
由于市面上的苹果的量x会随着时间t的变化而变化，因此可以认为x是t的函数，并记作x＝h(t).
从上面这些描述不难看出，在第t天出售苹果时，单位数量的苹果所获得的收益z元可以用t表示出来，即z＝y－C＝f(x)－g(t)＝f(h(t))－g(t).
此时，如果f(x)，g(t)，h(t)都是已知的，则能得到z与t的具体关系式．有了关系式之后，就能解决如下问题：z是否有最大值？如果z有最大值，那么t为多少时z取最大值？
②合理假设，确立模型
怎样才能确定上述f(x)，g(t)，h(t)呢？这可以通过合理假设来完成．
例如，为了简单起见，我们可以假设f(x)和g(t)都是一次函数，且f(x)＝k1x＋l1，g(t)＝k2t＋l2；
并假设h(t)是一个二次函数，且h(t)＝at2＋bt＋c.
则有z＝f(h(t))－g(t)＝k1at2＋(k1b－k2)t＋k1c＋l1－l2，其中k1＜0，k2＞0，a≠0.
③收集数据确定参数
上述各参数可以通过收集实际数据来确定．例如，如果我们收集到了如下实际数据．
x/万吨
8.4
7.6
y/元
0.8
1.2
t/天
1
2
C/天
0.11
0.12
t/天
1
2
3
x/万吨
9.462
9.328
9.198
利用待定系数法，根据前面的假设就可以确定出
y＝f(x)＝－0.5x＋5，
C＝g(t)＝0.01t＋0.1，
x＝h(t)＝0.002t2－0.14t＋9.6，
因此z＝－0.001t2＋0.06t＋0.1.
④问题解决与总结
注意到上式可以改写成z＝－0.001(t－30)2＋1，所以此时在t＝30时，z取最大值1.也就是说，在上述情况下，保鲜存储30天时，单位商品所获得的利润最大，为1元．
以上我们用叙述的方式，让大家经历了一个简单的数学建模全过程．
在实际的数学建模过程中，为了向别人介绍数学建模的成果，给别人提供参考，我们还需要将建模结果整理成论文的形式．一般来说，数学建模论文的结构可以按照建模过程来确定．
数学建模—建立函数模型解决实际问题
【例】 某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比．已知投资1万元时两类产品的收益分别为0.125万元和0.5万元．
(1)分别写出两类产品的收益与投资额的函数关系；
(2)该家庭有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎么分配资金能使投资获得最大收益，其最大收益是多少万元？
[解] (1)设两类产品的收益与投资的函数分别为f(x)＝k1x，g(x)＝k2.
由已知得f(1)＝＝k1，g(1)＝＝k2，
所以f(x)＝x(x≥0)，g(x)＝(x≥0).
(2)设投资债券类产品为x万元，则投资股票类产品为(20－x)万元，依题意得
y＝f(x)＋g(20－x)＝x＋(0≤x≤20).
令t＝(0≤t≤2)，
则y＝＋t＝－(t－2)2＋3，
所以当t＝2，即x＝16时，收益最大，即投资债券16万元，投资股票4万元时获得最大收益，最大收益为3万元．
解决此类问题过程：如下图所示．
某商场经营一批进价是每件30元的商品，在市场销售中发现，此商品的销售单价x(元)与日销售量y件之间有如下关系(见下表)：
销售单价x(元)
…
30
40
45
50
…
日销售量y(件)
…
60
30
15
0
…
(1)在所给的坐标系中，根据表中提供的数据描出实数对(x，y)对应的点，并确定y与x的一个函数关系式y＝f(x)；
(2)设经营此商品的日销售利润为P元，根据上述关系式写出P关于x的函数关系式，并指出销售单价x为多少元时，才能获得最大日销售利润？
[解] (1)根据题干中所给表作图，如图，点(30，60)、(40，30)、(45，15)、(50，0)在同一条直线上，设此直线为y＝kx＋b，
∴解得
∴y＝－3x＋150(30≤x≤50).
经检验，点(30，60)、(40，30)也在此直线上，故所求函数关系式为y＝－3x＋150(30≤x≤50).
(2)依题意有P＝y(x－30)
＝(－3x＋150)(x－30)
＝－3(x－40)2＋300，
∴当x＝40时，P有最大值300.
故销售单价为40元时，才能获得最大日销售利润.
1．已知A、B两地相距150千米，某人开汽车以60千米/时的速度从A地到达B地，在B地停留1小时后再以50千米/时的速度返回A地，把汽车离开A地的距离x表示为时间t(时)的函数表达式是( )
A．x＝60t＋50t(0≤t≤6.5)
B．x＝
C．x＝
D．x＝
D [根据题意，函数为分段函数，求出每一段上的解析式即可．]
2．甲、乙两人连续6年对某县农村甲鱼养殖业的规模(产量)进行调查，提供了两个方面的信息，如图．
甲调查表明：每个甲鱼池平均产量从第1年1万只甲鱼上升到第6年2万只．
乙调查表明：甲鱼池个数由第1年30个减少到第6年10个．
请你根据提供的信息说明：
(1)第2年甲鱼池的个数及全县出产甲鱼总数；
(2)第6年这个县的甲鱼养殖业的规模比第1年是扩大了还是缩小了？说明理由；
(3)第几年的养殖规模最大？最大养殖量是多少？
[解] (1)由题图可知，直线y甲＝kx＋b经过(1，1)和
(6，2)，可求得k＝0.2，b＝0.8.
∴y甲＝0.2(x＋4).
同理可得y乙＝4.
当x＝2时，y甲＝1.2，y乙＝26，
故第2年甲鱼池的个数为26个，全县出产甲鱼的总数为26×1.2＝31.2(万只).
(2)规模缩小了．原因是：第一年出产甲鱼总数30万只，而第6年出产甲鱼总数为20万只．
(3)设第x年规模最大，即求y甲·y乙＝0.2(x＋4)·4(－x＋)＝－0.8x2＋3.6x＋27.2的最大值．
函数图像的对称轴为x＝－＝2，
因为x∈N＋，∴当x＝2时，y甲·y乙＝31.2最大，
即第二年规模最大，为31.2万只．
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