北师大版七年级数学上册第三章3.5探索与表达规律
同步测试
一.选择题
1.下列数字的排列：2，12，36，80，那么下一个数是（
）
A
100
B.
125
C.
150
D.175
1.C
解析：∵2=1+1=13+12，
12=8+4=23+22，
36=27+9=33+32，
80=64+16=43+42，
∴下一个数是53+52=125+25=150．
（第n个数为n3+n2）．
故选C
2．观察图中的“品”字形中个数之间的规律，根据观察到的规律得出a的值为（ ）
2．A．
A．75
B．89
C．103
D．139
2．A．
解析：左边的数为21，22，23，…，
∴b=26=64，
∵上边的数与左边的数的和正好等于右边的数，
∴a=11+64=75，
故选A．．观察如图所示的一组图形，其中图形①中共有2颗星，图形②中共有6颗星，图形③中共有11颗星，图形④中共有17颗星，…，按此规律，图形⑧中星星的颗数是( )
A．43
B．45
C．51
D．53
C
解析:
图形①中星星的颗数为2；
图形②中星星的颗数为6＝2＋4；
图形③中星星的颗数为11＝2＋4＋5；
图形④中星星的颗数为17＝2＋4＋5＋6；
图形⑤中星星的颗数为24＝2＋4＋5＋6＋7；
…
图形⑧中星星的颗数为51＝2＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋10.
4.
一组数1，1，2，x，5，y…满足“从第三个数起，每个数都等于它前面的两个数之和”，那么这组数中y表示的数为（
）
A．8
B．9
C．13
D．15
4.A
解析：∵每个数都等于它前面的两个数之和，
∴x=1+2=3，
∴y=x+5=3+5=8，
即这组数中y表示的数为8．
故选：A
5．观察下列各式：(1)1＝12；(2)2＋3＋4＝32；(3)3＋4＋5＋6＋7＝52；(4)4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝72；….请你根据观察得到的规律判断下列各式中正确的是( )5．C
A．1005＋1006＋1007＋…＋3016＝20112
B．1005＋1006＋1007＋…＋3017＝20112
C．1006＋1007＋1008＋…＋3016＝20112
D．1007＋1008＋1009＋…＋3017＝20112
5．C
解析：解：根据(1)1＝12；(2)2+3+4＝32；(3)3+4+5+6+7＝52；(4)4+5+6+7+8+9+10＝77
可得出：a+(a+1)+(a+2)+…+(a+n)＝(a+n-a+1)2，
依次判断各选项，只有C符合要求，
故选C．
6．把所有正偶数从小到大排列，并按如下规律分组：
第一组：2，4；
第二组：6，8，10，12；
第三组：14，16，18，20，22，24
第四组：26，28，30，32，34，36，38，40
……
则现有等式Am=（i，j）表示正偶数m是第i组第j个数（从左到又数），如A10=（2，3），则A2018=（ ）6．B．
（31，63）
B．（32，17）
C．（33，16）
D．（34，2）
B
解析：2018是第1009个数，设2018在第n组，由2+4+6+8+…+2n=n（n+1），当n=31时，n（n+1）=992；当n=32时，n（n+1）=1056；故第1009个数在第32组，第32组的第一个数为2×992+2=1986，则2018是（+1）=17个数．则A2016=（32，17）．故选B．
?
7.四个小朋友站成一排，老师按图中的规则数数，数到2015时对应的小朋友可得一朵红花．那么得红花的小朋友是（
）
A．小沈
B．小叶
C．小李
D．小王
7.A
解析：
去掉第一个数，每6个数一循环，
（2015-1）÷6
=2014÷6
=335…4，
则2015时对应的小朋友与5对应的小朋友是同一个．
选：C．
8.将正整数依次按下表规律排成4列，根据表中的排列规律，数2018应在( )
第1列
第2列
第3列
第4列
第1行
1
2
3
第2行
6
5
4
第3行
7
8
9
第4行
12
11
10
…
A．第672行第2列
B．第672行第3列
C．第673行第2列
D．第673行第3列
8．C
解析：
因为2018÷3＝672……2，所以数2018排在第673行第2列．故选C.
9．如图，下列各图形中的三个数之间均具有相同的规律．根据此规律，图形中M与m、n的关系是（ ）
A．M=mn
B．M=m（n+1）
C．M=mn+1
D．M=n（m+1）
9．B．
解析：试题分析：寻找规律：
∵
3＝（2＋1）×1，
15＝（4＋1）×3，35＝（6＋1）×5，
∴根据数的特点，上边的数与比左边的数大1的数的积正好等于右边的数。
∴M=m(n+1)。故选B．
10.两列数如下：
7，10，13，16，19，22，25，28，31，…
7，11，15，19，23，27，31，35，39，…
第1个相同的数是7，第10个相同的数是（
）
A．115
B．127
C．139
D．151
10.A
解析：解答:
第一组数7，10，13，16，19，22，25，28，31，…
第m个数为：3m+4，
第二组数7，11，15，19，23，27，31，35，39，…
第n个数为：4n+3，
∵3与4的最小公倍数为12，
∴这两组数中相同的数组成的数列中两个相邻的数的差值为12，
∵第一个相同的数为7，
∴相同的数的组成的数列的通式为12a-5，
第10个相同的数是：12×10-5=120-1=115．
选：A．
11.观察下列各数：1，
，
，
，…．则这列数的第6个数为（
）
A．
B．
C．
D．
11.C
解析：因为1=
，所以这些数的分子分别是1，4，9，16，…，则第n个数的分子是n2；这些数的分母分别为1，3，7，15，…，则第n个数的分母是2n-1（注：分母数据还具备的规律特征是前一个数的2倍加1就是后一个数），即第n个数为，故第6个数为=
．故选C．
12.下面每个表格中的四个数都是按相同规律填写的：根据此规律确定x的值为（
）
A．135
B．170
C．209
D．252
12.C
解析：解答:
∵a+（a+2）=20，
∴a=9，
∵b=a+1，
∴b=a+1=9+1=10，
∴x=20b+a
=20×10+9
=200+9
=209
选：C．
二.填空题
13．宁宁设计了一个计算程序，如下表：
输入数据
1
2
3
4
5
…
输出数据
a
…
根据表格中的数据的对应关系，可得a的值是________．
13.
解析：有题意分析得出，各个式子中分子是输入数据的2倍，分母是在分子的基础上加1，故当输入数据是5时，a=
14．如图是一组有规律的图案，它们是由边长相同的小正方形组成的，其中部分小正方形涂有阴影，依此规律，第n个图案中有________个涂有阴影的小正方形(用含n的代数式表示)．
14．(4n＋1)
解析：第1个图案中涂有阴影的小正方形的个数为5；
第2个图案中涂有阴影的小正方形的个数为5×2－1＝9；
第3个图案中涂有阴影的小正方形的个数为5×3－2＝13；
…
第n个图案中涂有阴影的小正方形的个数为5n－(n－1)＝4n＋1.
按一定顺序排列的一列数叫做数列，如数列：，，，，…，则这个数列前2018个数的和为
．
15．．
16.有依次排列的3个数：3，9，8，对任意相邻的两个数，都用右边的数减去左边的数，所得之差在这两个数之间，可产生一个新数串：3，6，9，-1，8，这称为第一次操作；做第二次同样的操作后也可以产生一个新数串：3，3，6，3，9，-10，9，8，依此类推，则从数串，开始操作第100次以后所产生的那个新数串的所有数之和是___
16.答案:520
解析：一个依次排列的n个数组成一个数串：a1，a2，a3，…，an，
依题设操作方法可得新增的数为：a2-
a1，a3-
a2，a4-
a3，an-
an
-1，
所以，新增数之和为：（a2-
a1）+（a3-
a2）+（a4-
a3）+…+（an
-
an
-1）=
an
-
a1，
原数串为3个数：3，9，8，
第1次操作后所得数串为：3，6，9，-1，8，
根据（
）可知，新增2项之和为：6+（-1）=5=8-3，
第2次操作后所得数串为：
3，3，6，3，9，-10，-1，9，8，
根据（
）可知，新增2项之和为：3+3+（-10）+9=5=8-3，
按这个规律下去，第100次操作后所得新数串所有数的和为：
（3+9+8）+100×（8-3）=520，
答案为：520．
17．如图，将边长分别为1，2，3，5，…的若干个正方形按照一定的规律拼成不同的长方形，依次记作长方形①，长方形②，长方形③，长方形④，…，据此回答下列问题：
(1)组成长方形的正方形的个数为________；
(2)求长方形⑥的周长．
17．解析:
(1)结合图形分析得到正方形的个数；
(2)根据长方形的周长计算公式，找出第个长方形与前一个长方形的长、宽之间的关系，然后计算结果．
解：(1)第①个长方形中，正方形的个数为2；
第②个长方形中，正方形的个数为3；
第③个长方形中，正方形的个数为4；
…
第个长方形中，正方形的个数为n＋1.
(2)第①个长方形的周长为2×(1＋2)；
第②个长方形的周长为2×(2＋3)；
第③个长方形的周长为2×(3＋5)；
第④个长方形的周长为2×(5＋8)；
…
第个长方形的宽为前一个长方形的长，
第个长方形的长为前一个长方形长与宽的和．
故第⑤个长方形的周长为2×(8＋13)，第⑥个长方形的周长为2×(13＋21)＝68.
18.观察下列等式：1=12；1+3=22；1+3+5=32；1+3+5+7=42，…，则1+3+5+7+…+2015=
_________
答案：1016064
解析：因为1=12；1+3=22；1+3+5=32；1+3+5+7=42；…，
所以1+3+5+…+2015
=1+3+5+…+（2×1008-1）
=10082
=1016064
答案为：1016064．
将数1个1，2个，3个，…，n个（n为正整数）顺次排成一列：1，，…，记a1=1，a2=，a3=，…，S1=a1，S2=a1+a2，S3=a1+a2+a3，…，Sn=a1+a2+…+an，则S2018=
．
19．63．
20．一列数a1，a2，a3，…，其中a1＝，an＝(n为不小于2的整数)，则a2018的值为________．
20．2
解析：
由a1＝，an＝依次求出a2＝2，a3＝－1，a4＝，a5＝2，a6＝－1，…，可见每三个数为一个循环，2018÷3＝672……2，则a2018的值为2.
21．观察下列等式：
12×231＝132×21，
13×341＝143×31，
23×352＝253×32，
34×473＝374×43，
62×286＝682×26，
……
以上每个等式中两边数字是分别对称的，且每个等式中组成两位数与三位数的数字之间具有相同规律，我们称这类等式为“数字对称等式”．
(1)根据上述各式反映的规律填空，使式子称为“数字对称等式”：
①52×________＝________×25；
②________×396＝693×________．
(2)设这类等式左边两位数的十位上的数字为a，个位上的数字为b，且2≤a＋b≤9，写出表示“数字对称等式”一般规律的式子，并证明．
21．解：(1)①因为5＋2＝7，
所以左边的三位数是275，右边的三位数是572，
即52×275＝572×25；
②因为左边的三位数是396，
所以左边的两位数是63，右边的两位数是36，
即63×396＝693×36.
故答案为①275，572；②63，36.
(2)因为左边两位数的十位上的数字为a，个位上的数字为b，
所以左边的两位数是10a＋b，三位数是100b＋10(a＋b)＋a，
右边的两位数是10b＋a，三位数是100a＋10(a＋b)＋b，
所以一般规律的式子为(10a＋b)×[100b＋10(a＋b)＋a]＝[100a＋10(a＋b)＋b]×(10b＋a)．
证明：因为左边＝(10a＋b)×[100b＋10(a＋b)＋a]
＝(10a＋b)(100b＋10a＋10b＋a)
＝(10a＋b)(110b＋11a)
＝11(10a＋b)(10b＋a)，
右边＝[100a＋10(a＋b)＋b]×(10b＋a)
＝(100a＋10a＋10b＋b)(10b＋a)
＝(110a＋11b)(10b＋a)
＝11(10a＋b)(10b＋a)，
所以左边＝右边，
所以“数字对称等式”一般规律的式子为(10a＋b)×[100b＋10(a＋b)＋a]＝[100a＋10(a＋b)＋b]×(10b＋a)．
22．如图，将连续的奇数1，3，5，7…按图1中的方式排成一个数表，用一个十字框框住5个数，这样框出的任意5个数（如图2）分别用a，b，c，d，x表示．
（1）若x=17，则a+b+c+d=
．
（2）移动十字框，用x表示a+b+c+d=
．
（3）设M=a+b+c+d+x，判断M的值能否等于2020，请说明理由．
22．解：(观察图1，可知：a=x﹣12，b=x﹣2，c=x+2，d=x+12．
（1）当x=17时，a=5，b=15，c=19，d=29，
∴a+b+c+d=5+15+19+29=68．
故答案为：68．
（2）∵a=x﹣12，b=x﹣2，c=x+2，d=x+12，
∴a+b+c+d=（x﹣12）+（x﹣2）+（x+2）+（x+12）=4x．
故答案为：4x．
（3）M的值不能等于2020，理由如下：
令M=2020，则4x+x=2020，
解得：x=404．
∵404是偶数不是奇数，
∴与题目x为奇数的要求矛盾，
∴M不能为2020．
23.观察下列各式你会发现什么规律？
1×5=5，而5=32-22
2×6=12，而12=42-22
3×7=21，而21=52-22
…
（1）求10×14的值，并写出与题目相符合的形式；
答案:
解答:
10×14=140=122-22；
（2）将你猜想的规律用只含一个字母n的等式表示出来，并说明等式的正确性．
答案:
n（n+4）=（n+2）2-22．
解答:第n个等式为n（n
+4）=（n+2）2-22．
∵
左边=
n（n
+4）=n2+4n
右边=（n
+2）2-22=n2+4n+4-4═n2+4n
左边=右边
∴
n（n+4）=（n+2）2-22．
解析：分析:
由1×5=5，而5=5=32-22；2×6=12，而12=42-22；3×7=21，而21=52-22…可以看出两个因数相差4，所得的积是大的因数减去2的差的平方再减去2的平方，由此规律计算
24.观察：4×6=24，14×16=224，24×26=624，34×36=1224…，
（1）上面两数相乘后，其末尾的两位数有什么规律？
答案：末尾都是24；
（2）如果按照上面的规律计算：124×126（请写出计算过程）．
答案：124×126
=12×（12+1）×100+24
=15600+24
=15624；
答案：（10a+4）（10a+6）=100a2+100a+24=100a（a+1）+24．
解析：分析:本题考查了数字的变化类问题，仔细观察算式发现规律是解答本题的关键北师大版七年级数学上册第三章3.5探索与表达规律
同步测试
一.选择题
1.下列数字的排列：2，12，36，80，那么下一个数是（
）
A
100
B.
125
C.
150
D.175
观察图中的“品”字形中个数之间的规律，根据观察到的规律得出a的值为（ ）
A．75
B．89
C．103
D．139
3．观察如图所示的一组图形，其中图形①中共有2颗星，图形②中共有6颗星，图形③中共有11颗星，图形④中共有17颗星，…，按此规律，图形⑧中星星的颗数是( )
A．43
B．45
C．51
D．53
4.
一组数1，1，2，x，5，y…满足“从第三个数起，每个数都等于它前面的两个数之和”，那么这组数中y表示的数为（
）
A．8
B．9
C．13
D．15
观察下列各式：(1)1＝12；(2)2＋3＋4＝32；(3)3＋4＋5＋6＋7＝52；(4)4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝72；….请你根据观察得到的规律判断下列各式中正确的是( )
A．1005＋1006＋1007＋…＋3016＝20112
B．1005＋1006＋1007＋…＋3017＝20112
C．1006＋1007＋1008＋…＋3016＝20112
D．1007＋1008＋1009＋…＋3017＝20112
6．把所有正偶数从小到大排列，并按如下规律分组：
第一组：2，4；
第二组：6，8，10，12；
第三组：14，16，18，20，22，24
第四组：26，28，30，32，34，36，38，40
……
则现有等式Am=（i，j）表示正偶数m是第i组第j个数（从左到又数），如A10=（2，3），则A2018=（ ）
（31，63）
B．（32，17）
C．（33，16）
D．（34，2）
7.四个小朋友站成一排，老师按图中的规则数数，数到2015时对应的小朋友可得一朵红花．那么得红花的小朋友是（
）
A．小沈
B．小叶
C．小李
D．小王
8.将正整数依次按下表规律排成4列，根据表中的排列规律，数2018应在( )
第1列
第2列
第3列
第4列
第1行
1
2
3
第2行
6
5
4
第3行
7
8
9
第4行
12
11
10
…
A．第672行第2列
B．第672行第3列
C．第673行第2列
D．第673行第3列
9．如图，下列各图形中的三个数之间均具有相同的规律．根据此规律，图形中M与m、n的关系是（ ）
A．M=mn
B．M=m（n+1）
C．M=mn+1
D．M=n（m+1）
10.两列数如下：
7，10，13，16，19，22，25，28，31，…
7，11，15，19，23，27，31，35，39，…
第1个相同的数是7，第10个相同的数是（
）
A．115
B．127
C．139
D．151
11.观察下列各数：1，
，
，
，…．则这列数的第6个数为（
）
A．
B．
C．
D．
12.下面每个表格中的四个数都是按相同规律填写的：根据此规律确定x的值为（
）
A．135
B．170
C．209
D．252
二.填空题
13．宁宁设计了一个计算程序，如下表：
输入数据
1
2
3
4
5
…
输出数据
a
…
根据表格中的数据的对应关系，可得a的值是________．
14．如图是一组有规律的图案，它们是由边长相同的小正方形组成的，其中部分小正方形涂有阴影，依此规律，第n个图案中有________个涂有阴影的小正方形(用含n的代数式表示)．
15．按一定顺序排列的一列数叫做数列，如数列：，，，，…，则这个数列前2018个数的和为
．
16.有依次排列的3个数：3，9，8，对任意相邻的两个数，都用右边的数减去左边的数，所得之差在这两个数之间，可产生一个新数串：3，6，9，-1，8，这称为第一次操作；做第二次同样的操作后也可以产生一个新数串：3，3，6，3，9，-10，9，8，依此类推，则从数串，开始操作第100次以后所产生的那个新数串的所有数之和是___
17．如图，将边长分别为1，2，3，5，…的若干个正方形按照一定的规律拼成不同的长方形，依次记作长方形①，长方形②，长方形③，长方形④，…，据此回答下列问题：
(1)组成长方形的正方形的个数为________；
(2)求长方形⑥的周长．
18.观察下列等式：1=12；1+3=22；1+3+5=32；1+3+5+7=42，…，则1+3+5+7+…+2015=
_________
19．将数1个1，2个，3个，…，n个（n为正整数）顺次排成一列：1，，…，记a1=1，a2=，a3=，…，S1=a1，S2=a1+a2，S3=a1+a2+a3，…，Sn=a1+a2+…+an，则S2018=
．
20．一列数a1，a2，a3，…，其中a1＝，an＝(n为不小于2的整数)，则a2018的值为________．
21．观察下列等式：
12×231＝132×21，
13×341＝143×31，
23×352＝253×32，
34×473＝374×43，
62×286＝682×26，
……
以上每个等式中两边数字是分别对称的，且每个等式中组成两位数与三位数的数字之间具有相同规律，我们称这类等式为“数字对称等式”．
(1)根据上述各式反映的规律填空，使式子称为“数字对称等式”：
①52×________＝________×25；
②________×396＝693×________．
(2)设这类等式左边两位数的十位上的数字为a，个位上的数字为b，且2≤a＋b≤9，写出表示“数字对称等式”一般规律的式子，并证明．
22．如图，将连续的奇数1，3，5，7…按图1中的方式排成一个数表，用一个十字框框住5个数，这样框出的任意5个数（如图2）分别用a，b，c，d，x表示．
（1）若x=17，则a+b+c+d=
．
（2）移动十字框，用x表示a+b+c+d=
．
（3）设M=a+b+c+d+x，判断M的值能否等于2020，请说明理由．
23.观察下列各式你会发现什么规律？
1×5=5，而5=32-22
2×6=12，而12=42-22
3×7=21，而21=52-22
…
（1）求10×14的值，并写出与题目相符合的形式；
（2）将你猜想的规律用只含一个字母n的等式表示出来，并说明等式的正确性．
24.观察：4×6=24，14×16=224，24×26=624，34×36=1224…，
（1）上面两数相乘后，其末尾的两位数有什么规律？
（2）如果按照上面的规律计算：124×126（请写出计算过程）．
