人教版
初二数学上册
12.2
三角形全等的判定
培优训练
一、选择题（本大题共10道小题）
1.
如图，要用“HL”判定Rt△ABC和Rt△A′B′C′全等，所需的条件是( )
A．AC＝A′C′，BC＝B′C′
B．∠A＝∠A′，AB＝A′B′
C．AC＝A′C′，AB＝A′B′
D．∠B＝∠B′，BC＝B′C′
【答案】C
2.
如图，AB＝DE，AC＝DF，BC＝EF，则∠D的度数为( )
A．30°
B．50°
C．60°
D．100°
【答案】D [解析]
在△ABC和△DEF中，
∴△ABC≌△DEF.∴∠A＝∠D.
∵∠A＝180°－∠B－∠C＝100°，∴∠D＝100°.
3.
如图，小强画了一个与已知△ABC全等的△DEF，他画图的步骤是：(1)画DE＝AB；(2)在DE的同旁画∠HDE＝∠A，∠GED＝∠B，DH，EG相交于点F，小强画图的依据是( )
A．ASA
B．SAS
C．SSS
D．AAS
【答案】A
4.
如图，要用“SAS”证明△ABC≌△ADE，若已知AB＝AD，AC＝AE，则还需添加条件( )
A．∠B＝∠D
B．∠C＝∠E
C．∠1＝∠2
D．∠3＝∠4
【答案】C [解析]
还需添加条件∠1＝∠2.
理由：∵∠1＝∠2，∴∠1＋∠EAC＝∠2＋∠EAC，即∠BAC＝∠DAE.
在△ABC和△ADE中，
∴△ABC≌△ADE(SAS)．
5.
如图所示，在△ABC和△ABD中，∠C=∠D=90°，要利用“HL”判定Rt△ABC≌Rt△ABD成立，还需要添加的条件是
( )
A.∠BAC=∠BAD
B.BC=BD或AC=AD
C.∠ABC=∠ABD
D.AC=BD
【答案】B [解析]
要添加的条件为BC=BD或AC=AD.理由:若添加的条件为BC=BD，
在Rt△ABC和Rt△ABD中，
∴Rt△ABC≌Rt△ABD(HL);
若添加的条件为AC=AD，
在Rt△ABC和Rt△ABD中，
∴Rt△ABC≌Rt△ABD(HL).
6.
根据下列条件，能画出唯一的△ABC的是( )
A．AB＝3，BC＝4，AC＝8
B．AB＝4，BC＝3，∠A＝30°
C．AB＝5，AC＝6，∠A＝50°
D．∠A＝30°，∠B＝70°，∠C＝80°
【答案】C [解析]
对于选项A来说，AB＋BC
7.
如图，AB⊥CD，且AB＝CD.E，F是AD上两点，CE⊥AD，BF⊥AD.若CE＝a，BF＝b，EF＝c，则AD的长为( )
A．a＋c
B．b＋c
C．a－b＋c
D．a＋b－c
【答案】D [解析]
∵AB⊥CD，CE⊥AD，BF⊥AD，∴∠CED＝∠AFB＝90°，∠A＝∠C.又∵AB＝CD，∴△CED≌△AFB.∴AF＝CE＝a，DE＝BF＝b，DF＝DE－EF＝b－c.∴AD＝AF＋DF＝a＋b－c.故选D.
8.
如图，在等腰直角△ABC中，∠C＝90°，点O是AB的中点，且AB＝，将一块直角三角板的直角顶点放在点O处，始终保持该直角三角板的两直角边分别与AC、BC相交，交点分别为D、E，则CD＋CE等于( )
A.
B.
C.
2
D.
【答案】B 【解析】如解图，连接OC，由已知条件易得∠A＝∠OCE，CO＝AO，∠DOE＝∠COA，∴∠DOE－∠COD＝∠COA－∠COD，即∠AOD＝∠COE，∴△AOD≌△COE(ASA)，∴AD＝CE，进而得CD＋CE＝CD＋AD＝AC＝AB＝，故选B.
9.
如图，有一张三角形纸片ABC，已知∠B=∠C=x°，按下列方案用剪刀沿着箭头方向剪开，可能得不到全等三角形纸片的是
( )
【答案】C [解析]
选项A中由全等三角形的判定定理“SAS”证得图中两个小三角形全等.
选项B中由全等三角形的判定定理“SAS”证得图中两个小三角形全等.
选项C中，如图①，∵∠DEC=∠B+∠BDE，
∴x°+∠FEC=x°+∠BDE.
∴∠FEC=∠BDE.
这两个角所对的边是BE和CF，而已知条件给的是BD=CF=3，故不能判定两个小三角形全等.
选项D中，如图②，∵∠DEC=∠B+∠BDE，∴x°+∠FEC=x°+∠BDE.
∴∠FEC=∠BDE.
又∵BD=CE=2，∠B=∠C，
∴△BDE≌△CEF.
故能判定两个小三角形全等.
10.
如图，∠AOB＝120°，OP平分∠AOB，且OP＝2.若点M，N分别在OA，OB上，且△PMN为等边三角形，则满足上述条件的△PMN有( )
A.
1个
B.
2个
C.
3个
D.
3个以上
【答案】D 【解析】如解图，①当OM1＝2时，点N1与点O重合，△PMN是等边三角形；②当ON2＝2时，点M2与点O重合，△PMN是等边三角形；③当点M3，N3分别是OM1，ON2的中点时，△PMN是等边三角形；④当取∠M1PM4＝∠OPN4时，易证△M1PM4≌△OPN4(SAS)，∴PM4＝PN4，又∵∠M4PN4＝60°，∴△PMN是等边三角形，此时点M，N有无数个，综上所述，故选D.
二、填空题（本大题共5道小题）
11.
如图，已知AD＝BC，AB＝CD，若∠C＝40°，则∠A＝________°.
【答案】40 [解析]
如图，连接DB.
在△ADB和△CBD中，
∴△ADB≌△CBD(SSS)．
∴∠A＝∠C＝40°.
12.
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=20°，以点A为圆心，小于AC的长为半径画弧与AB，AC分别交于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧相交于点P，连接AP并延长交BC
于点D，则∠ADB= °.?
【答案】125 [解析]
由题意可得AD平分∠CAB.∵∠C=90°，∠B=20°，∴∠CAB=70°.
∴∠CAD=∠BAD=35°.∴∠ADB=180°-20°-35°=125°.
13.
在平面直角坐标系xOy中，已知点A，B的坐标分别为(2，0)，(2，4)，若以A，B，P为顶点的三角形与△ABO全等，则点P的坐标为________________________．
【答案】(4，0)或(4，4)或(0，4)
14.
如图所示，已知AD∥BC，则∠1＝∠2，理由是________________；又知AD＝CB，AC为公共边，则△ADC≌△CBA，理由是______，则∠DCA＝∠BAC，理由是__________________，则AB∥DC，理由是________________________________．
【答案】两直线平行，内错角相等 SAS 全等三角形的对应角相等 内错角相等，两直线平行
15.
如图，∠C＝90°，AC＝10，BC＝5，AX⊥AC，点P和点Q是线段AC与射线AX上的两个动点，且AB＝PQ，当AP＝________时，△ABC与△APQ全等．
【答案】5或10 [解析]
∵AX⊥AC，∴∠PAQ＝90°.∴∠C＝∠PAQ＝90°.
分两种情况：①当AP＝BC＝5时，
在Rt△ABC和Rt△QPA中，
∴Rt△ABC≌Rt△QPA(HL)；
②当AP＝CA＝10时，
在Rt△ABC和Rt△PQA中，
∴Rt△ABC≌Rt△PQA(HL)．
综上所述，当AP＝5或10时，△ABC与△APQ全等．
三、解答题（本大题共3道小题）
16.
如图，AB＝AD，AC＝AE，∠BAG＝∠DAF.
求证：BC＝DE.
【答案】
证明：∵∠BAG＝∠DAF，
∴∠BAG＋∠CAE＝∠DAF＋∠CAE，
即∠CAB＝∠EAD.
在△ABC和△ADE中，
∴△ABC≌△ADE(SAS)．
∴BC＝DE.
17.
如图所示，在一条笔直的海岸线上有A，B两个观测点，点B在点A的正东方，海岛C在观测点A的正北方，海岛D在观测点B的正北方，从观测点A看海岛C，D的视角∠CAD与从观测点B看海岛C，D的视角∠CBD相等，那么海岛C，D到观测点A，B所在海岸线的距离相等吗?为什么?
【答案】
解:相等.理由:设AD，BC相交于点O.
∵∠CAD=∠CBD，∠COA=∠DOB，
∴由三角形内角和定理，得∠C=∠D.
由已知得∠CAB=∠DBA=90°.
在△CAB和△DBA中，
∴△CAB≌△DBA.
∴CA=DB.
∴海岛C，D到观测点A，B所在海岸线的距离相等.
18.
操作探究如果将四根木条首尾相连，在相连处用螺钉连接，就能构成一个平面图形．
(1)若固定三根木条AB，BC，AD不动，AB＝AD＝2
cm，BC＝5
cm，如图K－10－17，量得第四根木条DC＝5
cm，判断此时∠B与∠D是否相等，并说明理由．
(2)若固定一根木条AB不动，AB＝2
cm，量得木条CD＝5
cm，如果木条AD，BC的长度不变，当点D移到BA的延长线上时，点C也在BA的延长线上；当点C移到AB的延长线上时，点A，C，D能构成周长为30
cm的三角形，求出木条AD，BC的长度．
【答案】
解：(1)相等．
理由：如图，连接AC.
在△ACD和△ACB中，
∴△ACD≌△ACB(SSS)．
∴∠B＝∠D.
(2)设AD＝x
cm，BC＝y
cm.
当点C，D均在BA的延长线上且点C在点D右侧时，由题意，得
解得
此时AD＝13
cm，BC＝10
cm.
经检验，符合题意．
当点C，D均在BA的延长线上且点C在点D左侧时，由题意，得
解得
此时AD＝8
cm，BC＝15
cm.
∵5＋8＜2＋15，∴不合题意．
综上，AD＝13
cm，BC＝10
cm.人教版
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12.2
三角形全等的判定
培优训练
一、选择题（本大题共10道小题）
1.
如图，要用“HL”判定Rt△ABC和Rt△A′B′C′全等，所需的条件是( )
A．AC＝A′C′，BC＝B′C′
B．∠A＝∠A′，AB＝A′B′
C．AC＝A′C′，AB＝A′B′
D．∠B＝∠B′，BC＝B′C′
2.
如图，AB＝DE，AC＝DF，BC＝EF，则∠D的度数为( )
A．30°
B．50°
C．60°
D．100°
3.
如图，小强画了一个与已知△ABC全等的△DEF，他画图的步骤是：(1)画DE＝AB；(2)在DE的同旁画∠HDE＝∠A，∠GED＝∠B，DH，EG相交于点F，小强画图的依据是( )
A．ASA
B．SAS
C．SSS
D．AAS
4.
如图，要用“SAS”证明△ABC≌△ADE，若已知AB＝AD，AC＝AE，则还需添加条件( )
A．∠B＝∠D
B．∠C＝∠E
C．∠1＝∠2
D．∠3＝∠4
5.
如图所示，在△ABC和△ABD中，∠C=∠D=90°，要利用“HL”判定Rt△ABC≌Rt△ABD成立，还需要添加的条件是
( )
A.∠BAC=∠BAD
B.BC=BD或AC=AD
C.∠ABC=∠ABD
D.AC=BD
6.
根据下列条件，能画出唯一的△ABC的是( )
A．AB＝3，BC＝4，AC＝8
B．AB＝4，BC＝3，∠A＝30°
C．AB＝5，AC＝6，∠A＝50°
D．∠A＝30°，∠B＝70°，∠C＝80°
7.
如图，AB⊥CD，且AB＝CD.E，F是AD上两点，CE⊥AD，BF⊥AD.若CE＝a，BF＝b，EF＝c，则AD的长为( )
A．a＋c
B．b＋c
C．a－b＋c
D．a＋b－c
8.
如图，在等腰直角△ABC中，∠C＝90°，点O是AB的中点，且AB＝，将一块直角三角板的直角顶点放在点O处，始终保持该直角三角板的两直角边分别与AC、BC相交，交点分别为D、E，则CD＋CE等于( )
A.
B.
C.
2
D.
9.
如图，有一张三角形纸片ABC，已知∠B=∠C=x°，按下列方案用剪刀沿着箭头方向剪开，可能得不到全等三角形纸片的是
( )
10.
如图，∠AOB＝120°，OP平分∠AOB，且OP＝2.若点M，N分别在OA，OB上，且△PMN为等边三角形，则满足上述条件的△PMN有( )
A.
1个
B.
2个
C.
3个
D.
3个以上
二、填空题（本大题共5道小题）
11.
如图，已知AD＝BC，AB＝CD，若∠C＝40°，则∠A＝________°.
12.
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=20°，以点A为圆心，小于AC的长为半径画弧与AB，AC分别交于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧相交于点P，连接AP并延长交BC
于点D，则∠ADB= °.?
13.
在平面直角坐标系xOy中，已知点A，B的坐标分别为(2，0)，(2，4)，若以A，B，P为顶点的三角形与△ABO全等，则点P的坐标为________________________．
14.
如图所示，已知AD∥BC，则∠1＝∠2，理由是________________；又知AD＝CB，AC为公共边，则△ADC≌△CBA，理由是______，则∠DCA＝∠BAC，理由是__________________，则AB∥DC，理由是________________________________．
15.
如图，∠C＝90°，AC＝10，BC＝5，AX⊥AC，点P和点Q是线段AC与射线AX上的两个动点，且AB＝PQ，当AP＝________时，△ABC与△APQ全等．
三、解答题（本大题共3道小题）
16.
如图，AB＝AD，AC＝AE，∠BAG＝∠DAF.
求证：BC＝DE.
17.
如图所示，在一条笔直的海岸线上有A，B两个观测点，点B在点A的正东方，海岛C在观测点A的正北方，海岛D在观测点B的正北方，从观测点A看海岛C，D的视角∠CAD与从观测点B看海岛C，D的视角∠CBD相等，那么海岛C，D到观测点A，B所在海岸线的距离相等吗?为什么?
18.
操作探究如果将四根木条首尾相连，在相连处用螺钉连接，就能构成一个平面图形．
(1)若固定三根木条AB，BC，AD不动，AB＝AD＝2
cm，BC＝5
cm，如图K－10－17，量得第四根木条DC＝5
cm，判断此时∠B与∠D是否相等，并说明理由．
(2)若固定一根木条AB不动，AB＝2
cm，量得木条CD＝5
cm，如果木条AD，BC的长度不变，当点D移到BA的延长线上时，点C也在BA的延长线上；当点C移到AB的延长线上时，点A，C，D能构成周长为30
cm的三角形，求出木条AD，BC的长度．