2020-2021学年新教材北师大版必修第一册 第一章 预备知识 单元测试（Word含答案解析）

第一章　单元质量评估卷
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分，考试时间120分钟．
第Ⅰ卷　(选择题，共60分)
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知集合A＝{1,2,3}，B＝{2,3}，则(　　)
A．A＝B B．A∩B＝?
C．A?B D．B?A
2．已知全集U＝R，集合M＝{x|0＜x≤1}，N＝{x|x≤0}，则M∩(?UN)＝(　　)
A．{x|0≤x＜1} B．{x|0＜x≤1}
C．{x|0≤x≤1} D．{x|x＜1}
3．已知集合M＝{1，a2}，P＝{－1，－a}，若M∪P有三个元素，则M∩P＝(　　)
A．{0,1} B．{0，－1}
C．{0} D．{－1}
4．命题“?x≥0，|x|＋x2≥0”的否定是(　　)
A．?x＜0，|x|＋x2＜0 B．?x≥0，|x|＋x2≤0
C．?x≥0，|x|＋x2＜0 D．?x＜0，|x|＋x2≥0
5．已知a＜0，－1＜b＜0，则(　　)
A．－a＜ab＜0 B．－a＞ab＞0
C．a＞ab＞ab2 D．ab＞a＞ab2
6．已知集合A＝{x|x2＋x－2≤0}，B＝，则A∩(?RB)＝(　　)
A．(－1,2) B．(－1,1)
C．(－1,2] D．(－1,1]
7．“关于x的不等式x2－2ax＋a＞0的解集为R”的一个必要不充分条件是(　　)
A．0＜a＜1 B．0＜a＜
C．0≤a≤1 D．a＜0或a＞
8．若正数a，b满足2a＋＝1，则＋b的最小值为(　　)
A．4 B．8
C．8 D．9
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)
9．有下列命题中，真命题有(　　)
A．?x∈N*，使x为29的约数
B．?x∈R，x2＋x＋2＞0
C．存在锐角α，sin α＝1.5
D．已知A＝{a|a＝2n}，B＝{b|b＝3m}，则对于任意的n，m∈N*，都有A∩B＝?
10．已知＜＜0，下列结论中正确的是(　　)
A．a＜b B．a＋b＜ab
C．|a|＞|b| D．ab＜b2
11．如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且对称轴为x＝1，点B坐标为(－1,0)，则下面结论中正确的是(　　)
A．2a＋b＝0 B．4a－2b＋c＜0
C．b2－4ac＞0 D．当y＜0时，x＜－1或x＞4
12．设P是一个数集，且至少含有两个元素．若对任意的a，b∈P，都有a＋b，a－b，ab，∈P(除数b≠0)，则称P是一个数域．则关于数域的理解正确的是(　　)
A．有理数集Q是一个数域
B．整数集是数域
C．若有理数集Q?M，则数集M必为数域
D．数域必为无限集
第Ⅱ卷　(非选择题，共90分)
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确答案填在题中横线上)
13．不等式－x2＋6x－8＞0的解集为________．
14．设某公司原有员工100人从事产品A的生产，平均每人每年创造产值t万元(t为正常数)．公司决定从原有员工中分流x(0＜x＜100，x∈N*)人去进行新开发的产品B的生产．分流后，继续从事产品A生产的员工平均每人每年创造产值在原有的基础上增长了1.2x%.若要保证产品A的年产值不减少，则最多能分流的人数是________．
15．若＋＝(a＞0，b＞0)，则4a＋b＋1的最小值为________．
16．已知非空集合A，B满足下列四个条件：
①A∪B＝{1,2,3,4,5,6,7}；
②A∩B＝?；
③A中的元素个数不是A中的元素；
④B中的元素个数不是B中的元素．
(1)若集合A中只有1个元素，则A＝________；
(2)若两个集合A和B按顺序组成的集合对(A，B)叫作有序集合对，则有序集合对(A，B)的个数是________．
四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知全集为实数集R，集合A＝{x|1≤x≤7}，B＝{x|－2m＋1＜x＜m}．
(1)若m＝5，求A∪B，(?RA)∩B；
(2)若A∩B＝A，求m的取值范围．
18.(本小题满分12分)已知不等式(1－a)x2－4x＋6＞0的解集为{x|－3＜x＜1}．
(1)求a的值；
(2)若不等式ax2＋mx＋3≥0的解集为R，求实数m的取值范围．
19．(本小题满分12分)已知p：x2－3x－4≤0；q：x2－6x＋9－m2≤0，若p是q的充分条件，求m的取值范围．
20．(本小题满分12分)为了保护环境，某工厂在政府部门的鼓励下进行技术改进：把二氧化碳转化为某种化工产品，经测算，该处理成本y(单位：万元)与处理量x(单位：吨)之间的函数关系可近似表示为y＝x2－40x＋1 600，x∈[30,50]，已知每处理一吨二氧化碳可获得价值20万元的某种化工产品．
(1)判断该技术改进能否获利？如果能获利，求出最大利润；如果不能获利，则国家至少需要补贴多少万元该工厂才不会亏损？
(2)当处理量为多少吨时，每吨的平均处理成本最少？
21．(本小题满分12分)若集合A＝{x|x2＋2x－8＜0}，B＝{x||x＋2|＞3}，C＝{x|x2－2mx＋m2－1＜0，m∈R}．
(1)若A∩C＝?，求实数m的取值范围．
(2)若(A∩B)?C，求实数m的取值范围．
22．(本小题满分12分)已知正实数a，b满足a＋b＝1，求2＋2的最小值．
第二部分　阶段测试
第一章　单元质量评估卷
1．解析：由真子集的概念，知B?A，故选D.
答案：D
2．解析：∵?UN＝{x|x＞0}，∴M∩(?UN)＝{x|0＜x≤1}．故选B.
答案：B
3．解析：由题意知a2＝－a，解得a＝0或a＝－1.①当a＝0时，M＝{1,0}，P＝{－1,0}，M∪P＝{－1,0,1}，满足条件，此时M∩P＝{0}；②当a＝－1时，a2＝1，与集合M中元素的互异性矛盾，舍去，故选C.
答案：C
4．解析：“?x≥0，|x|＋x2≥0”的否定是“?x≥0，|x|＋x2＜0”．
答案：C
5．解析：∵a＜0，－1＜b＜0，∴ab＞0，a＜ab2＜0，故A，C，D都不正确，正确答案为B.
答案：B
6．解析：由x2＋x－2≤0，得－2≤x≤1，∴A＝[－2,1]．由≥0，得x≤－1或x＞2，∴B＝(－∞，－1]∪(2，＋∞)．则?RB＝(－1,2]，∴A∩(?RB)＝(－1,1]．故选D.
答案：D
7．解析：因为关于x的不等式x2－2ax＋a＞0的解集为R，所以函数f(x)＝x2－2ax＋a的图象始终落在x轴的上方，即Δ＝4a2－4a＜0，解得0＜a＜1，因为要找其必要不充分条件，从而得到(0,1)是对应集合的真子集，故选C.
答案：C
8．解析：∵a＞0，b＞0，且2a＋＝1，则＋b＝＝5＋＋2ab≥5＋4＝9，当且仅当＝2ab即a＝，b＝3时取等号，故选D.
答案：D
9．解析：A中命题为真命题．当x＝1时，x为29的约数成立；B中命题是真命题．x2＋x＋2＝2＋＞0恒成立；C中命题为假命题．根据锐角三角函数的定义可知，对于锐角α，总有0＜sin α＜1；D中命题为假命题．易知6∈A,6∈B，故A∩B≠?.
答案：AB
10．解析：因为＜＜0，所以b＜a＜0，故A错误；因为b＜a＜0，所以a＋b＜0，ab＞0，所以a＋b＜ab，故B正确；因为b＜a＜0，所以|a|＞|b|不成立，故C错误；ab－b2＝b(a－b)，因为b＜a＜0，所以a－b＞0，即ab－b2＝b(a－b)＜0，所以ab＜b2成立，故D正确．故选BD.
答案：BD
11．解析：∵二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)图象的对称轴为x＝1，∴－＝1，得2a＋b＝0，故A正确；当x＝－2时，y＝4a－2b＋c＜0，故B正确；该函数图象与x轴有两个交点，则b2－4ac＞0，故C正确；∵二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象的对称轴为x＝1，点B的坐标为(－1,0)，∴点A的坐标为(3,0)，∴当y＜0时，x＜－1或x＞3，故D错误，故选ABC.
答案：ABC
12．解析：若a，b∈Q，则a＋b∈Q，a－b∈Q，ab∈Q，∈Q(b≠0)，所以有理数Q是一个数域，故A正确；因为1∈Z,2∈Z，?Z，所以整数集不是数域，B不正确；令数集M＝Q∪{}，则1∈M，∈M，但1＋?M，所以C不正确；根据定义，如果a，b(b≠0)在数域中，那么a＋b，a＋2b，…，a＋kb(k为整数)，…都在数域中，故数域必为无限集，D正确．故选AD.
答案：AD
13．解析：原不等式等价于x2－6x＋8＜0，
即(x－2)(x－4)＜0，得2＜x＜4.
答案：(2,4)(或写成{x|2＜x＜4})
14．解析：由题意，分流前每年创造的产值为100t(万元)，分流x人后，每年创造的产值为(100－x)(1＋1.2x%)t，
由
解得0＜x≤.因为x∈N*，所以x的最大值为16.
答案：16
15．解析：由＋＝，得＋＝1，
4a＋b＋1＝(4a＋b)＋1＝8＋2＋＋＋1≥11＋2＝19.
当且仅当＝，即a＝3，b＝6时，4a＋b＋1取得最小值19.
答案：19
16．解析：(1)若集合A中只有1个元素，则集合B中有6个元素，所以6?B，故A＝{6}．
(2)当集合A中有1个元素时，A＝{6}，B＝{1,2,3,4,5,7}，此时有序集合对(A，B)有1个；当集合A中有2个元素时，5?B,2?A，此时有序集合对(A，B)有5个；当集合A中有3个元素时，4?B,3?A，此时有序集合对(A，B)有10个；当集合A中有4个元素时，3?B,4?A，此时有序集合对(A，B)有10个；当集合A中有5个元素时，2?B,5?A，此时有序集合对(A，B)有5个；当集合A中有6个元素时，A＝{1,2,3,4,5,7}，B＝{6}，此时有序集合对(A，B)有1个．综上，可知有序集合对(A，B)的个数是1＋5＋10＋10＋5＋1＝32.
答案：(1){6}　(2)32
17．解析：(1)∵m＝5，∴B＝{x|－9＜x＜5}，又A＝{x|1≤x≤7}，
∴A∪B＝{x|－9＜x≤7}．
又?RA＝{x|x＜1，或x＞7}，
∴(?RA)∩B＝{x|－9＜x＜1}．
(2)∵A∩B＝A，∴A?B，
∴即解得m＞7.
∴m的取值范围是{m|m＞7}．
18．解析：(1)由已知，1－a＜0，且方程(1－a)x2－4x＋6＝0的两根为－3,1，
有解得a＝3.
(2)不等式3x2＋mx＋3≥0的解集为R，
则Δ＝m2－4×3×3≤0，解得－6≤m≤6，
实数m的取值范围为[－6,6]．
19．解析：由x2－3x－4≤0，解得－1≤x≤4，
由x2－6x＋9－m2≤0，
可得[x－(3＋m)][x－(3－m)]≤0，①
当m＝0时，①式的解集为{x|x＝3}；
当m＜0时，①式的解集为{x|3＋m≤x≤3－m}；
当m＞0时，①式的解集为{x|3－m≤x≤3＋m}；
若p是q的充分条件，则集合{x|－1≤x≤4}是①式解集的子集．
可得或
解得m≤－4或m≥4.
故m的取值范围是(－∞，－4]∪[4，＋∞)．
20．解析：(1)当x∈[30,50]时，设该工厂获利为S万元，
则S＝20x－(x2－40x＋1 600)＝－(x－30)2－700，所以当x∈[30,50]时，S的最大值为－700，因此该工厂不会获利，国家至少需要补贴700万元，该工厂才不会亏损．
(2)由题知，二氧化碳的平均处理成本P＝＝x＋－40，x∈[30,50]，
当x∈[30,50]时，P＝x＋－40≥2－40＝40，
当且仅当x＝，即x＝40时等号成立，所以当处理量为40吨时，每吨的平均处理成本最少．
21．解析：(1)由已知可得A＝{x|－4＜x＜2}，
B＝{x|x＜－5或x＞1}，
C＝{x|m－1＜x＜m＋1}．
若A∩C＝?，则m－1≥2或m＋1≤－4，
解得m≥3或m≤－5.
所以实数m的取值范围为{m|m≤－5或m≥3}．
(2)结合(1)可得A∩B＝{x|1＜x＜2}．
若(A∩B)?C，即{x|1＜x＜2}?{x|m－1＜x＜m＋1}，
则，解得1≤m≤2.
所以实数m的取值范围为{m|1≤m≤2}．
22．解析：2＋2＝a2＋b2＋＋＋4
＝(a2＋b2)＋4＝[(a＋b)2－2ab]＋4
＝(1－2ab)·＋4，
由a＋b＝1，得ab≤2＝
，
所以1－2ab≥1－＝，且≥16，
所以2＋2≥×(1＋16)＋4＝，
所以2＋2的最小值为.