2020-2021学年新教材北师大版必修第一册 第五章 函数应用 单元测试（Word含答案解析）

第五章　单元质量评估卷
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分，考试时间120分钟．
第Ⅰ卷　(选择题，共60分)
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列函数中没有零点的是(　　)
A．f(x)＝log2x－7 B．f(x)＝－1
C．f(x)＝ D．f(x)＝x2＋x
2．方程ln x＋x－4＝0的实根所在的区间为(　　)
A．(1,2) B．(2,3)
C．(3,4) D．(4,5)
3．函数f(x)＝－ln x的零点个数为(　　)
A．0 B．1
C．2 D．3
4．某家具的标价为132元，若降价以九折出售(即优惠10%)，仍可获利10%(相对进货价)，则该家具的进货价是(　　)
A．118元 B．105元
C．106元 D．108元
5．用二分法求方程f(x)＝0在区间(1,2)内的唯一实数解x0时，经计算得f(1)＝，f(2)＝－5，f＝9，则下列结论正确的是(　　)
A．x0∈ B．x0＝－
C．x0∈ D．x0＝1
6．关于x的方程ax＋a－1＝0在(0,1)内有实根，则实数a的取值范围是(　　)
A．a>1 B．a<
C.1
7．函数f(x)＝|x2－6x＋8|－k只有两个零点，则(　　)
A．k＝0 B．k>1
C．0≤k<1 D．k>1或k＝0
8．设函数f(x)＝若f(－4)＝f(0)，f(－2)＝－2，则关于x的方程f(x)＝x的解的个数为(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)
9．若函数f(x)唯一的一个零点同时在区间[0,16]，[0,8]，[0,4]，[0,2]内，那么下列说法中正确的是(　　)
A．函数f(x)在区间[0,1]内有零点
B．函数f(x)在区间[0,1]或[1,2]内有零点
C．函数f(x)在区间(2,16]内无零点
D．函数f(x)在区间[1,16]内无零点
10.
如图表示一位骑自行车者和一位骑摩托车者在相距80 km的两城镇间旅行的函数图象．根据这个函数图象，关于这两个旅行者的信息正确的是(　　)
A．骑自行车者比骑摩托车者早出发了3小时，晚到1小时
B．骑自行车者是变速运动，骑摩托车者是匀速运动
C．骑摩托车者在出发了1.5小时后，追上了骑自行车者
D．骑自行车者实际骑行的时间为6小时
11．已知每生产100克饼干的原材料加工费为1.8元．某食品加工厂对饼干采用两种包装，包装费用、销售价格如表所示：
型号 小包装 大包装
重量 100克 300克
包装费用 0.5元 0.7元
销售价格 3.00元 8.40元
则下列说法中正确的是(　　)
A．买小包装实惠 B．买大包装实惠
C．卖3小包比卖1大包盈利多 D．卖1大包比卖3小包盈利多
12．已知函数f(x)＝则使函数g(x)＝f(x)＋x－m有零点的实数m的取值范围可以是(　　)
A．[2，＋∞) B．(1，＋∞)
C．(－∞，0] D．(－∞，1]
第Ⅱ卷　(非选择题，共90分)
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确答案填在题中横线上)
13．已知函数f(x)＝x2－1，则函数f(x－2)的零点是________．
14．放射性物质衰变过程中其剩余质量随时间按指数函数关系变化．常把它的剩余质量变为原来的一半所经历的时间称为它的半衰期，记为T.现测得某种放射性元素的剩余质量A随时间t变化的6组数据如下：
t(单位时间) 0 3 6 9 12 15
A(t) 320 226 160 113 80 57
从以上记录可知这种元素的半衰期约为______个单位时间，剩余质量随时间变化的衰变公式为A(t)＝______.
15．方程x2－lg x＝2的实数根的个数为________．
16．若关于x的方程x2－x－(m＋1)＝0在[－1,1]上有解，则m的取值范围是________．
四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)若函数f(x)＝ax－b(b≠0)有一个零点3，求函数g(x)＝bx2＋3ax的零点．
18.(本小题满分12分)在泰山早晨观日出气温较低，为方便游客，一家旅馆备有120件棉衣提供出租，每件日租金50元，每天都客满．五一假期即将来临，该旅馆准备提高租金．经调查，如果每件的日租金每增加5元，则每天出租会减少6件，不考虑其他因素，棉衣日租金提到多少元时，棉衣日租金的总收入最高？
19．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝2x2－8x＋m＋3为R上的连续函数．
(1)若m＝－4，试判断f(x)＝0在(－1,1)内是否有根存在？若没有，请说明理由；若有，请在精确度为0.2(即根所在区间长度小于0.2)的条件下，用二分法求出使这个根x0存在的区间．
(2)若函数f(x)在区间[－1,1]内存在零点，求实数m的取值范围．
20．(本小题满分12分)有时可用函数f(x)＝描述学习某学科知识的掌握程度，其中x表示某学科知识的学习次数(x∈N*)，f(x)表示对该学科知识的掌握程度，正实数a与学科知识有关．
(1)证明：当x≥7时，掌握程度的增长量f(x＋1)－f(x)总是下降的；
(2)根据经验，学科甲、乙、丙对应的a的取值区间分别为(115,121]，(121,127]，(127,133]．当学习某学科知识6次时，掌握程度是85%，请确定相应的学科(参考数据：e0.05≈1.0512)．
21．(本小题满分12分)已知函数y＝f(x)是定义在R上的奇函数，且x>0时，f(x)＝log2.
(1)求f(x)的解析式；
(2)若M＝{m|函数g(x)＝|f(x)|－m(m∈R)有两个零点}，求集合M.
22．(本小题满分12分)
如图，将宽和长都分别为x，y(x(1)求y关于x的函数解析式；
(2)当x，y取何值时，该正十字形的外接圆面积最小？并求出其最小值．
第五章　单元质量评估卷
1．解析：由于函数f(x)＝中，对任意自变量x的值，均有≠0，故该函数不存在零点．
答案：C
2．解析：设函数f(x)＝ln x＋x－4(x>0)，故f(x)是(0，＋∞)上的单调递增函数．因为f(2)×f(3)＝(ln 2－2)×(ln 3－1)<0，故函数f(x)在区间(2,3)上有零点，即方程ln x＋x－4＝0在区间(2,3)上有实根，故选B.
答案：B
3．解析：
如图，在同一坐标系中作出y＝与y＝ln x的图象：
可知f(x)＝－ln x只有一个零点．
答案：B
4．解析：设该家具的进货价是x元，由题意得132(1－10%)－x＝x·10%，解得x＝108元．
答案：D
5．解析：由于f·f(2)<0，则x0∈.
答案：C
6．解析：只需f(0)f(1)<0即可，即解得答案：C
7．解析：令y1＝|x2－6x＋8|，y2＝k，由题意函数f(x)只有两个零点，即这两个函数图象只有两个交点，利用数形结合思想，作出两函数图象(如图)，可得选D.
答案：D
8．解析：依题意x＝－2是y＝x2＋bx＋c的对称轴，
∴b＝4.∵f(－2)＝－2，∴c＝2，
故f(x)＝令f(x)＝x，解得x＝－1，－2,2，
∴方程f(x)＝x的解的个数为3.选C.
答案：C
9．解析：由题意可得，函数在[0,2]内有零点，在(2,16]内无零点，故选BC.
答案：BC
10．解析：由图象可得，骑自行车者比骑摩托车者早出发了3小时，晚到1小时，A正确；骑自行车者是变速运动，骑摩托车者是匀速运动，B正确；骑摩托车者在出发了1.5小时后，追上了骑自行车者，C正确；骑自行车者实际骑行的时间为5小时，D错误．故选ABC.
答案：ABC
11．解析：买小包装时每克费用为元，买大包装时每克费用为＝(元)，>，所以买大包装实惠．卖3小包的利润为3×(3－1.8－0.5)＝2.1(元)，卖1大包的利润是8.4－1.8×3－0.7＝2.3(元)，2.3>2.1，所以卖1大包比卖3小包盈利多．因此BD正确，故选BD.
答案：BD
12．解析：函数g(x)＝f(x)＋x－m的零点就是方程f(x)＋x＝m的根，
作出h(x)＝的图象，如图所示，
观察它与直线y＝m的交点，
得知当m≤0或m>1时有交点，
即函数g(x)＝f(x)＋x－m有零点的实数m的取值范围是(－∞，0]∪(1，＋∞)．故选BC.
答案：BC
13．解析：f(x－2)＝(x－2)2－1＝x2－4x＋3＝0，x＝1或x＝3.
答案：1或3
14．解析：从题表中数据易知半衰期为6个单位时间，初始质量为A0＝320，则经过时间t的剩余质量为A(t)＝A0＝320·2－(t≥0)．
答案：6　320·2－(t≥0)
15．解析：分别画出y＝x2－2与y＝lg x的图象，有2个交点．
答案：2
16．解析：依题意m＝x2－x－1＝2－，当x＝时，m的最小值为－；当x＝－1时，m的最大值为1.所以m∈.
答案：
17．解析：函数f(x)＝ax－b的一个零点是3.
∴f(3)＝0，即b＝3a，g(x)＝3ax2＋3ax，
令g(x)＝0得x＝0或x＝－1，
∴g(x)的零点是x＝0或x＝－1.
18．解析：设每件棉衣日租金提高x个5元，即提高5x元，则每天棉衣减少出租6x件，又设棉衣日租金的总收入为y元．
∴y＝(50＋5x)×(120－6x)，
∴y＝－30(x－5)2＋6 750
∴当x＝5时，ymax＝6 750，这时每件棉衣日租金为50＋5x＝50＋5×5＝75(元)，
∴棉衣日租金提到75元时，棉衣日租金的总收入最高，最高为6 750元．
19．解析：(1)当m＝－4时，f(x)＝0，即f(x)＝2x2－8x－1＝0.
可以求出f(－1)＝9，f(1)＝－7，则f(－1)f(1)<0.
又f(x)为R上的连续函数，
∴f(x)＝0在(－1,1)内必有根存在．
取中点0，计算得f(0)＝－1<0，f(－1)f(0)<0，
∴x0∈(－1,0)，取其中点－，计算得f＝>0，
∴x0∈，取其中点－，计算得f＝>0，
∴x0∈，取其中点－，计算得f＝>0.
∴x0∈，又<0.2，∴x0存在的区间为.
(2)∵函数f(x)＝2x2－8x＋m＋3的对称轴为x＝2.
∴函数f(x)在[－1,1]内存在零点的条件为即解得－13≤m≤3.
∴m的取值范围是[－13,3]．
20．解析：(1)证明：当x≥7时，f(x＋1)－f(x)＝，
设g(x)＝，h(x)＝(x－3)(x－4)，
易知h(x)的图象是抛物线的一部分，在[7，＋∞)上单调递增，故g(x)在[7，＋∞)上单调递减，
所以当x≥7时，掌握程度的增长量f(x＋1)－f(x)总是下降的．
(2)由f(6)＝0.85，可知0.1＋15ln＝0.85，
整理得＝e0.05，解得a＝≈123.
又123∈(121,127]，所以该学科是乙学科．
21．解析：(1)∵f(x)是R上的奇函数，∴f(0)＝0.
设x<0，则－x>0，
∴f(－x)＝log2，
∵f(－x)＝－f(x)，
∴f(x)＝－f(－x)＝－log2，
所以f(x)的解析式为
f(x)＝
(2)画出函数y＝|f(x)|的图象如下图：
由图可得m≥1，∴M＝{m|m≥1}．
22．解析：(1)由题意可得2xy－x2＝，则y＝，
∵y>x，∴>x，解得0∴y关于x的解析式为y＝，0(2)设正十字形的外接圆的直径为d，由图可知d2＝x2＋y2＝x2＋2＝＋＋≥＋，当且仅当x＝1，y＝时，正十字形的外接圆直径d最小，最小值为 ＝，则半径的最小值为，∴正十字形的外接圆面积的最小值为π×2＝π.