2.2 换底公式
必备知识基础练
进阶训练第一层
知识点一
利用换底公式求值
1.若logax＝2，logbx＝3，logcx＝6，则logabcx＝( )
A．1
B．2
C．3
D．5
2．若log34·log48·log8m＝log416，则m＝________.
3．设3x＝4y＝36，求＋的值．
知识点二
利用换底公式计算
4.(log4)·(log227)等于( )
A.
B.
C．6
D．－6
5．计算：
(1)log927；
(2)log2×log3×log5；
(3)(log43＋log83)(log32＋log92)
知识点三
利用换底公式证明
6.证明：loganbm＝logab(a>0，且a≠1；m≠0)．
7．已知2x＝3y＝6z≠1，求证：＋＝.
关键能力综合练
进阶训练第二层
1.＝( )
A.
B．2
C.
D.
2．已知log23＝a，log37＝b，则log27＝( )
A．a＋b
B．a－b
C．ab
D.
3．设2a＝5b＝m，且＋＝2，则m＝( )
A.
B．10
C．20
D．100
4.＋等于( )
A．lg
3
B．－lg
3
C.
D．－
5．计算：1＋lg
2·lg
5－lg
2·lg
50－log35·log259·lg
5＝( )
A．1
B．0
C．2
D．4
6．(探究题)若实数a，b，c满足25a＝404b＝2
020c＝2
019，则下列式子正确的是( )
A.＋＝
B.＋＝
C.＋＝
D.＋＝
7．若logab·log3a＝4，则b的值为________．
8．已知log32＝m，则log3218＝________.(用m表示)
9．(易错题)计算：(log2125＋log425＋log85)(log52＋log254＋log1258)．
10．计算：
(1)(log43＋log83)×；
(2)＋log4(－)2.
学科素养升级练
进阶训练第三层
1．(多选题)下列式子中与logab(a，b均为不等于1的正数)一定相等的是( )
A.
B.
C．log
D．loganbn
2．已知x，y，z都是大于1的实数，m>0且logxm＝24，logym＝40，logxyzm＝12，则logzm的值为________．
3．(学科素养—逻辑推理)已知a，b，c是不等于1的正数，且ax＝by＝cz，＋＋＝0，求abc的值．
2．2 换底公式
必备知识基础练
1．解析：∵logax＝＝2，∴logxa＝.
同理logxc＝，logxb＝.
∴logabcx＝＝＝1.
答案：A
2．解析：由换底公式，得××＝＝log416＝2，∴lg
m＝2lg
3＝lg
9，∴m＝9.
答案：9
3．解析：∵3x＝36,4y＝36，∴x＝log336，y＝log436，由换底公式，得
x＝＝，y＝＝，
∴＝log363，＝log364，
∴＋＝2log363＋log364＝log36(32×4)
＝log3636＝1.
4．解析：(log4)·(log227)＝(log22)·＝(2log2)·＝－6··＝－6.
答案：D
5．解析：(1)log927＝＝＝＝.
(2)log2×log3×log5
＝log25－3×log32－5×log53－1
＝－3log25×(－5log32)×(－log53)
＝－15×××＝－15.
(3)原式＝
＝
＝＋＋＋＝.
6．解析：证明：loganbm＝＝＝logab.
7．解析：证明：设2x＝3y＝6z＝k(k≠1)，
∴x＝log2k，y＝log3k，z＝log6k，
∴＝logk2，＝logk3，＝logk6＝logk2＋logk3，
∴＝＋.
关键能力综合练
1．解析：由换底公式得log39＝，又∵log39＝2，∴＝2.
答案：B
2．解析：log27＝log23×log37＝ab.
答案：C
3．解析：∵2a＝5b＝m，∴a＝log2m，b＝log5m.＋＝logm2＋logm5＝logm10＝2，∴m2＝10.又m>0，∴m＝，选A.
答案：A
4．解析：原式＝log＋log＝log＋log＝log＝log310＝.选C.
答案：C
5．解析：原式＝1＋lg
2·lg
5－lg
2(1＋lg
5)－··lg
5＝1＋lg
2·lg
5－lg
2－lg
2·lg
5－lg
5＝1－(lg
2＋lg
5)＝1－lg
10＝1－1＝0.
答案：B
6．解析：由已知，得52a＝404b＝2
020c＝2
019，得2a＝log5
2
019，b＝log4042
019，c＝log2
0202
019，所以＝log2
0195，＝log2
019404，＝log2
0192
020，而5×404＝2
020，所以＋＝，即＋＝，故选A.
答案：A
7．解析：logab·log3a＝·＝＝4，所以lg
b＝4lg
3＝lg
34，所以b＝34＝81.
答案：81
8．解析：log23＝＝，log3218＝＝＝＋log23＝＋＝.
答案：
9．解析：解法一：原式＝＝＝log25·(3log52)＝13log25·＝13.
解法二：原式＝＝＝·＝13.
解法三：原式＝(log2
53＋log
2252＋log2351)(log52＋log52
22＋log53
23)＝(log5
2＋log5
2＋log5
2)＝log2
5·3log5
2＝3×＝13.
10．解析：(1)原式＝×
＝×＋×
＝＋＝.
(2)原式＝×＋log4(－)2
＝log×log9＋log4(3＋＋3－－2)
＝×＋log4(6－2×2)
＝×＋log42
＝－＋log22
＝－＋＝－1.
学科素养升级练
1．解析：＝logab，＝logba，log＝logba，loganbn＝logab，故选A、D.
答案：AD
2．解析：∵logxm＝24，logym＝40，logxyzm＝12，∴logmx＝，logmy＝，logmxyz＝，∴＋＋logmz＝，解得logmz＝，故logzm＝60.
答案：60
3．解析：解法一：设ax＝by＝cz＝t，则x＝logat，y＝logbt，z＝logct，
∴＋＋＝＋＋＝logta＋logtb＋logtc＝logt(abc)＝0，
∴abc＝t0＝1，即abc＝1.
解法二：设ax＝by＝cz＝t，
∵a，b，c是不等于1的正数，
∴t>0且t≠1，∴x＝，y＝，z＝，
∴＋＋＝＋＋
＝，
∵＋＋＝0，且lg
t≠0，
∴lg
a＋lg
b＋lg
c＝lg
(abc)＝0，∴abc＝1.2.1 对数的运算性质
必备知识基础练
进阶训练第一层
知识点一
对数的运算性质
1.对a>0，且a≠1，M>0，N>0，下列说法正确的是( )
A．logaM·logaN＝loga(M＋N)
B.＝loga(M－N)
C．loga＝logaM
D．logaM＝
2．若ab>0，给出下列三个等式：
①lg(ab)＝lg
a＋lg
b；
②lg
＝lg
a－lg
b；
③lg
2＝lg
.
其中一定成立的等式的序号是( )
A．①②③
B．①②
C．①③
D．③
知识点二
利用对数的运算性质求值
3.2log510＋log50.25＝( )
A．0
B．1
C．2
D．4
4．log3＋log3＋log22＝________.
5．计算(1)log535－2log5＋log57－log51.8；
(2)log2＋log212－log242－1；
(3)lg－lg＋lg.
知识点三
条件等式求值
6.若lg
x－lg
y＝a，则lg3－lg3＝( )
A．3a
B.a
C．a
D.
7．已知4x＝3，log4＝y，则x＋y等于( )
A．2
B．8
C．4
D．log43
8．已知log32＝a,3b＝5，则log3用a，b表示为________．
关键能力综合练
进阶训练第二层
1．已知x，y为正实数，则下列式子一定成立的是( )
A．2lg
x＋lg
y＝2lg
x＋2lg
y
B．2lg(x＋y)＝2lg
x·2lg
y
C．2lg
x·lg
y＝2lg
x＋2lg
y
D．2lg(xy)＝2lg
x·2lg
y
2．化简log612－2log6的结果为( )
A．6
B．12
C．log6
D.
3．已知log3x＝m，log3y＝n，则log3用m，n可表示为( )
A.m－n
B.m－n
C.－
D.m－n
4．在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m2－m1＝lg，其中星等为mk的星的亮度为Ek(k＝1,2)．已知太阳的星等是－26.7，天狼星的星等是－1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为( )
A．1010.1
B．10.1
C．lg10.1
D．10－10.1
5．设a＝log32，则log38－2log36用a表示的形式是( )
A．a－2
B．3a－(1＋a)2
C．5a－2
D．－a2＋3a－1
6．(探究题)已知lg
a，lg
b是方程2x2－4x＋1＝0的两个实根，则lg
(ab)·2＝( )
A．2
B．4
C．6
D．8
7．计算log2＋log2＝________.
8．已知log35＝m,3n＝7，则m，n表示log3245为________．
9．(易错题)设lg
x＋lg
y＝2lg(x－2y)，则log4的值为________．
10．计算下列各式的值：
(1)4lg
2＋3lg
5－lg；
(2)；
(3)4；
(4)log2(1＋＋)＋log2(1＋－)．
学科素养升级练
进阶训练第三层
1．(多选题)若a>0，且a≠1，则下列说法错误的是( )
A．若M＝N，则logaM＝logaN
B．若logaM＝logaN，则M＝N
C．若logaM2＝logaN2，则M＝N
D．若M＝N，则logaM2＝logaN2
2．若10x＝2y，则＝________.
3．(情境命题—运算推理)甲、乙两人解关于x的方程(log2x)2＋blog2x＋c＝0，甲写错了常数b，得到根，；乙写错了常数c，得到根，64.求原方程的根．
§2 对数的运算
2.1 对数的运算性质
必备知识基础练
1．解析：由对数的运算性质知A，B错误；对于C，loga＝loga(M)＝logaM，∴C正确．D中(－2)不能做底数，∴D错误，故选C.
答案：C
2．解析：①②当a<0，b<0时不成立，∴选D.
答案：D
3．解析：2log510＋log50.25＝log5100＋log50.25＝log525＝2.
答案：C
4．解析：log3＋log3＋log22＝log3＋log22＋log2＝0＋1＋＝.
答案：
5．解析：(1)原式＝log5(5×7)－2(log57－log53)＋log57－log5＝log55＋log57－2log57＋2log53＋log57－2log53＋log55＝2.
(2)原式＝log2＋log212－log2－log22
＝log2＝log2
＝log22＝－.
(3)解法一：原式＝(5lg
2－2lg
7)－×lg
2＋(2lg
7＋lg
5)
＝lg
2－lg
7－2lg
2＋lg
7＋lg
5
＝lg
2＋lg
5＝(lg
2＋lg
5)＝lg
10＝.
解法二：原式＝lg－lg
4＋lg7＝lg
＝lg(×)＝lg＝.
6．解析：由对数的运算性质可知，原式＝3(lg
x－lg
2)－3(lg
y－lg
2)＝3(lg
x－lg
y)＝3a.
答案：A
7．解析：∵4x＝3，∴x＝log43，又log4＝y，∴x＋y＝log43＋log4＝log4＝log416＝log442＝2.故选A.
答案：A
8．解析：由a＝log32，b＝log35，得log3＝log330＝(log35＋1＋log32)＝(1＋a＋b)．
答案：(1＋a＋b)
关键能力综合练
1．解析：2lg
x＋lg
y＝2lg
x·2lg
y，选项A错误；2lg
x·2lg
y＝2lg
x＋lg
y＝2lg(xy)，选项B错误，D正确；2lg
x＋lg
y＝(2lg
x
)lg
y，选项C错误．故选D.
答案：D
2．解析：方法一：原式＝log6(6×2)－2log62＝(1＋log62)－log62＝(1－log62)＝log63＝log6.
方法二：原式＝log6－log62＝log6＝log6.
答案：C
3．解析：log3＝log3－log3＝log3x－log3(y·y)＝log3x－log3y＝m－n.
答案：D
4．解析：用m1，m2分别表示太阳、天狼星的星等，则m1＝－26.7，m2＝－1.45.
由m2－m1＝lg，得lg＝×[(－1.45)－(－26.7)]＝10.1.所以＝1010.1，即太阳与天狼星的亮度的比值为1010.1.故选A.
答案：A
5．解析：log38－2log36＝3log32－2(log32＋1)＝3a－2(a＋1)＝a－2.
答案：A
6．解析：∵lg
a，lg
b是方程2x2－4x＋1＝0的两个实根，∴lg
a＋lg
b＝lg
(ab)＝2，lg
a·lg
b＝.
∴lg
(ab)·2＝2·(lg
a－lg
b)2＝2[(lg
a＋lg
b)2－4lg
a·lg
b]＝2×(22－4×)＝4.故选B.
答案：B
7．解析：原式＝log2(·)＝log24＝2.
答案：2
8．解析：由3n＝7，得log37＝n，log3245＝log3(5×49)＝log35＋log372＝log35＋2log37＝m＋2n.
答案：m＋2n
9．解析：∵lg
x＋lg
y＝2lg(x－2y)，∴lg
xy＝lg(x－2y)2，∴xy＝(x－2y)2，∴(x－y)(x－4y)＝0，解得x＝y或x＝4y.∵x>0，y>0，x－2y>0，∴x＝y不符合题意，舍去，即x＝4y，∴＝4，∴log4＝log4
4＝1.
答案：1
10．解析：(1)原式＝lg＝lg(24×54)＝lg(2×5)4＝4.
(2)原式＝＝＝.
(3)原式＝(4)＝2＝＝.
(4)原式＝log2[(1＋＋)(1＋－)]
＝log2[(1＋)2－()2]＝log22＝.
学科素养升级练
1．解析：在A中，当M＝N≤0时，logaM与logaN均无意义，因此logaM＝logaN不成立，故A错误；在B中，当logaM＝logaN时，必有M>0，N>0，且M＝N，因此M＝N成立，故B正确；在C中，当logaM2＝logaN2时，有M≠0，N≠0，且M2＝N2，即|M|＝|N|，但未必有M＝N，例如M＝2，N＝－2时，也有logaM2＝logaN2，但M≠N，故C错误；在D中，若M＝N＝0，则
logaM2与logaN2均无意义，因此logaM2＝logaN2不成立，故D错误．故选A、C、D.
答案：ACD
2．解析：若10x＝2y，则lg
10x＝lg
2y，xlg
10＝ylg
2，＝lg
2.
答案：lg
2
3．解析：∵甲写错了常数b，得到的根为和，∴c＝log2×log2＝6.
∵乙写错了常数c，得到的根为和64，
∴b＝－(log2＋log264)＝－(－1＋6)＝－5.
故原方程为(log2x)2－5log2x＋6＝0.
得(log2x－2)(log2x－3)＝0，
∴log2x＝2或log2x＝3，即x＝4或x＝8.
∴原方程的根为4,8.
