1.2 利用二分法求方程的近似解
必备知识基础练
进阶训练第一层
知识点一
二分法的概念
1.下列函数f(x)的图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求方程f(x)＝0近似解的是( )
2．若函数f(x)在[a，b]上的图象为一条连续不断的曲线，且同时满足f(a)·f(b)＜0，f(a)·f＞0，则( )
A．方程f(x)＝0在上有解
B．方程f(x)＝0在上有解
C．方程f(x)＝0在上无解
D．方程f(x)＝0在上无解
知识点二
二分法求方程的近似解
3.设f(x)＝3x＋3x－8，用二分法求方程3x＋3x－8＝0在(1,1.5)内的近似解的过程中，有f(1)＜0，f(1.5)＞0，f(1.25)＜0，则该方程的根所在的区间为( )
A．(1,1.25)
B．(1.25,1.5)
C．(1.5,2)
D．不能确定
4．在用二分法求方程f(x)＝0有[0,1]上的近似解时，经计算，f(0.625)＜0，f(0.75)＞0，f(0.687
5)＜0，即可得出方程的一个近似解为________(精确度为0.1)．
5．用二分法求2x＋x＝4在[1,2]内的近似解(精确度为0.2)．参考数据：
x
1.125
1.25
1.375
1.5
1.625
1.75
1.875
2x
2.18
2.38
2.59
2.83
3.08
3.36
3.67
知识点三
二分法的实际应用
6.在一个风雨交加的夜里，从某水库闸房到防洪指挥部的电话线发生故障．这是一条10
km长的线路，如何迅速查出故障所在？
如果沿着线路一小段一小段查找，困难很多，每查找一个点就要爬一次电线杆，这条线路有200多根电线杆呢！
想一想，维修线路的工人师傅怎样工作最合理．
关键能力综合练
进阶训练第二层
1．用二分法求方程x3＋5＝0的近似解可以取的初始区间是( )
A．[－2,1]
B．[－1,0]
C．[0,1]
D．[1,2]
2．连续函数f(x)的部分函数值数据如下表所示：
x
1
1.5
1.625
1.75
1.8125
1.875
2
f(x)
－6
－2.625
－1.459
－0.14
0.5793
1.3418
3
当精确度为0.1时，方程f(x)＝0的近似解可取为( )
A.1.6
B．1.7
C．1.8
D．1.9
3．已知函数f(x)＝x2＋6x＋c有零点，但不能用二分法求出，则c的值是( )
A．9
B．8
C．7
D．6
4．用二分法求方程ln(2x＋6)＋2＝3x的根的近似值时，令f(x)＝ln(2x＋6)＋2－3x，并用计算器得到下表：
x
1.00
1.25
1.375
1.50
f(x)
1.0794
0.1918
－0.3604
－0.9989
则由表中的数据，可得方程ln(2x＋6)＋2＝3x的一个近似解(精确度为0.1)为( )
A．1.125
B．1.3125
C．1.4375
D．1.46875
5．用二分法求函数f(x)的一个正实数零点时，经计算f(0.64)<0，f(0.72)>0，f(0.68)<0，则函数的一个精确度为0.1的正实数零点的近似值为( )
A．0.9
B．0.7
C．0.5
D．0.4
6．若用二分法求函数f(x)的近似零点时，精确度为0.001，则结束计算时零点所在区间(a，b)需满足的条件是________．
7．用二分法求方程x3－2x－5＝0在区间[2,3]内的实根，取区间中点x0＝，那么下一个有根的区间是________．
8．在26枚崭新的金币中，有一枚外表与真金币完全相同的假币(质量小一点)，现在只有一架天平，则应用二分法的思想，最多称________次就可以发现这枚假币．
9．(探究题)若a＞3，则方程x2－ax＋1＝0在区间(0,2)上有________个实根．
10．(易错题)用二分法求方程x2－5＝0的一个近似正解(精确度为0.1)．
学科素养升级练
进阶训练第三层
1．(多选题)在用“二分法”求函数f(x)零点近似值时，第一次所取的区间[－2,4]，则第三次所取的区间可能是( )
A．[1,4]
B．[－2,1]
C.
D.
2．下列说法中，正确的是________(填序号)．
①用二分法可求所有函数零点的近似值；
②用二分法求方程的近似解时，可以精确到小数点后的任一位；
③二分法有规律可循，可以在计算机上完成；
④二分法求方程的近似解的思想源于零点存在定理．
3．(学科素养—逻辑推理)已知函数f(x)＝x3－x2＋1.
(1)证明方程f(x)＝0在区间(0,2)内有实数解；
(2)使用二分法，取区间的中点三次，指出方程f(x)＝0(x∈[0,2])的实数解x0在哪个较小的区间内．
1．2 利用二分法求方程的近似解
必备知识基础练
1．解析：根据二分法的适用条件，函数f(x)在区间[a，b]上的图象连续不断，且f(a)·f(b)＜0，即函数的零点是变号零点，才能将区间[a，b]一分为二，逐步得到零点的近似值．对各图象分析可知，选项A，B，C都符合条件，而选项D不符合，由于零点左右两侧的函数值不变号，因此不能用二分法求方程f(x)＝0的近似解，故选D.
答案：D
2．解析：由f(a)·f(b)＜0，f(a)·f＞0可知f·f(b)＜0，根据零点存在性定理可知方程f(x)＝0在上有解．
答案：B
3．解析：∵f(1.25)·f(1.5)＜0，∴该方程的根所在的区间为(1.25,1.5)．故选B.
答案：B
4．解析：因为|0.75－0.625|＝0.125＞0.1，|0.75－0.687
5|＝0.062
5＜0.1，所以方程的近似解可以是0.75.
答案：0.75(区间[0.687
5,0.75]内任意一个值均可)
5．解析：令f(x)＝2x＋x－4，则f(1)＝2＋1－4＜0，f(2)＝22＋2－4＞0.
区间
区间中点值xn
f(xn)的值及符号
(1,2)
x1＝1.5
f(x1)＝0.33＞0
(1,1.5)
x2＝1.25
f(x2)＝－0.37＜0
(1.25,1.5)
x3＝1.375
f(x3)＝－0.035＜0
∵|1.375－1.5|＝0.125＜0.2，
∴2x＋x＝4在[1,2]内的近似解可取为1.375.
6．解析：如图，如果他首先从线段AB的中点C查找，用随身带的话机向两端测试，若发现AC段正常，则断定故障在BC段；再查线段BC的中点D，发现BD段正常，则故障在CD段；再查线段CD的中点E……以此类推．每查一次，可以把待查的线路长度缩短一半，所以要把故障范围缩小到50
m～100
m，即一两根电线杆附近，只要查7次就够了．
关键能力综合练
1．解析：设f(x)＝x3＋5，
∵f(－2)＝－3，f(1)＝6，∴f(－2)·f(1)＜0.∴初始区间可取[－2,1]，选A.
答案：A
2．解析：由f(1.75)＜0，f(1.8125)＞0，且|1.75－1.8125|＜0.1.所以1.8125可作为方程f(x)＝0的近似解．故选C.
答案：C
3．解析：由题意可知，函数f(x)的零点为不变号零点，所以Δ＝36－4c＝0，得c＝9.
答案：A
4．解析：因为f(1.25)·f(1.375)＜0，故根据二分法的思想，知函数f(x)的零点在区间(1.25,1.375)内，但区间(1.25,1.375)的长度为0.125＞0.1，因此需要取(1.25,1.375)的中点1.312
5，两个区间(1.25,1.312
5)和(1.312
5,1.375)中必有一个满足区间端点的函数值符号相异，又区间的长度为0.062
5＜0.1，因此1.312
5是一个近似解，故选B.
答案：B
5．解析：∵f(0.72)>0，f(0.68)<0，∴f(0.72)×f(0.68)<0，∴存在x0∈(0.68,0.72)使x0为函数的零点，而0.7∈(0.68,0.72)，∴选B.
答案：B
6．解析：根据二分法的步骤，知当区间长度|a－b|小于精确度0.001时，便可结束计算．
答案：|a－b|<0.001
7．解析：令f(x)＝x3－2x－5.因为f(2)＝23－4－5＝－1＜0，f＝3－5－5＝＞0，f(3)＝33－11＝16＞0，故下一个有根区间为.
答案：
8．解析：将26枚金币平均分成两份，分别放在天平两端，则假币一定在质量小的那13枚金币里面．从这13枚金币中拿出1枚，然后将剩下的12枚金币平均分成两份，分别放在天平两端，若天平平衡，则假币一定是拿出的那一枚；若不平衡，则假币一定在质量小的那6枚金币里面，将这6枚金币平均分成两份，分别放在天平两端，则假币一定在质量小的那3枚金币里面，从这3枚金币中任拿出2枚，分别放在天平两端，若天平平衡，则剩下的那一枚是假币，若不平衡，则质量小的那一枚是假币，综上可知，最多称4次就可以发现这枚假币．
答案：4
9．解析：设f(x)＝x2－ax＋1，
由于f(0)＝1，＞1，f(2)＝5－2a＜0，则函数f(x)的大致图象如图所示，故f(x)＝0在(0,2)上有1个实根．
答案：1
10．易错分析：本题错解的原因是对精确度的理解不正确，精确度ε满足的关系式为|a－b|＜ε，而在解题中会误认为是|f(a)－f(b)|＜ε而致错．
解析：令f(x)＝x2－5，
因为f(2.2)＝－0.16＜0，f(2.4)＝0.76＞0，
所以f(2.2)×f(2.4)＜0，说明这个函数在区间(2.2,2.4)内有零点x0.
取区间(2.2,2.4)的中点x1＝2.3，f(2.3)＝0.29＞0，
因为f(2.2)·f(2.3)＜0，所以x0∈(2.2,2.3)．
再取区间(2.2,2.3)的中点x2＝2.25，f(2.25)＝0.0625＞0，
因为f(2.2)·f(2.25)＜0，所以x0∈(2.2,2.25)．
由于|2.25－2.2|＝0.05＜0.1，
所以原方程的近似正解可取为2.25.
学科素养升级练
1．解析：由于第一次所取的区间为[－2,4]，
∴第二次所取区间为[－2,1]或[1,4]，
第三次所取区间为
，，或.故选C、D.
答案：CD
2．解析：用二分法求函数零点的近似值，需要有端点函数值符号相反的区间，故①错误；二分法求方程近似解时，可以精确到小数点后任一位，故②正确；二分法是一种程序化的运算，可以在计算机上完成，故③正确；二分法求方程近似解的思想源于零点存在性定理，故④正确．
答案：②③④
3．解析：(1)证明：因为f(0)＝1＞0，f(2)＝－＜0，所以f(0)f(2)＜0，由函数的零点存在性定理可得方程f(x)＝0在区间(0,2)内有实数解．
(2)取x1＝×(0＋2)＝1，得f(1)＝＞0，
所以f(1)f(2)＜0，下一个有解区间为(1,2)．
再取x2＝×(1＋2)＝，得f＝－＜0，
所以f(1)f＜0，下一个有解区间为.
再取x3＝×＝，得f＝＞0，
所以ff＜0，下一个有解区间为.
综上所述，得所求的实数解x0在区间内．1.1 利用函数性质判定方程解的存在性
必备知识基础练
进阶训练第一层
知识点一
函数零点的概念
1.下列图象表示的函数中没有零点的是( )
2．已知函数f(x)＝则函数f(x)的零点为( )
A.，0
B．－2,0
C.
D．0
3．若2是函数f(x)＝x2－m的一个零点，则m＝________.
知识点二
利用零点存在性定理判断方程的根所在区间
4.对于函数f(x)，若f(－1)·f(3)<0，则( )
A．方程f(x)＝0一定有实数解
B．方程f(x)＝0一定无实数解
C．方程f(x)＝0一定有两实数解
D．方程f(x)＝0可能无实数解
5．方程ex＋4x－3＝0的根所在的区间为( )
A.
B.
C.
D.
6．方程log3x＋x＝3的解所在的区间为( )
A．(0,2)
B．(1,2)
C．(2,3)
D．(3,4)
知识点三
判断函数的零点(或方程根)的个数
7.f(x)＝的零点个数为( )
A．3
B．2
C．1
D．0
8．方程log2x－x＋2＝0的根的个数为________．
关键能力综合练
进阶训练第二层
1．下列关于函数零点的说法正确的是( )
A．函数零点就是函数图象与x轴的交点
B．函数f(x)有几个零点，其图象与x轴就有几个交点
C．不存在没有零点的函数
D．若f(x)＝0有且仅有两个相等的实根，则函数f(x)有两个零点
2．已知函数f(x)的图象是连续不断的，有如下的x，f(x)对应值表
x
1
2
3
4
f(x)
136.136
15.552
－3.92
10.88
x
5
6
7
f(x)
－52.488
－232.064
11.238
由表可知方程f(x)＝0的根至少有( )
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
3．若x0是方程x＝x的根，则x0属于区间( )
A.
B.
C.
D.
4．函数f(x)＝2x|log0.5x|－1的零点个数为( )
A．1
B．2
C．3
D．4
5．已知函数f(x)＝(x－a)(x－b)－2，并且α，β是方程f(x)＝0的两个根，则a，b，α，β的大小关系可能是( )
A．a<α
B．αC．αD．a<α<β6．(探究题)已知e是自然对数的底数，函数f(x)＝ex＋x－2的零点为a，函数g(x)＝ln
x＋x－2的零点为b，则下列不等式中成立的是( )
A．a<1B．aC．1D．b<17．函数f(x)＝3x－8的零点是________．
8．若方程2x－－a＝0的一个根在区间(1,2)内，则实数a的取值范围是________．
9．(易错题)已知方程x2－2ax＋a2－4＝0的一个实根在区间(－1,0)内，另一个实根大于2，则实数a的取值范围是________．
10．求证：方程5x2－7x－1＝0的一个根在区间(－1,0)上，另一个根在区间(1,2)上．
学科素养升级练
进阶训练第三层
1．(多选题)若函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，则下列说法错误的是( )
A．若f(a)·f(b)>0，则不存在实数c∈(a，b)，使得f(c)＝0
B．若f(a)·f(b)<0，则只存在一个实数c∈(a，b)，使得f(c)＝0
C．若f(a)·f(b)>0，则有可能存在实数c∈(a，b)，使得f(c)＝0
D．若f(a)·f(b)<0，则有可能不存在实数c∈(a，b)，使得f(c)＝0
2．若方程x2＋2(m－1)x＋2m＋6＝0有两个实根x1，x2，且满足03．(学科素养—逻辑推理与数学运算)已知函数f(x)＝4x2－4ax＋a2－2a＋2在区间[0,2]上有两个零点，求实数a的取值范围．
第五章 函数应用
§1 方程解的存在性及方程的近似解
1．1 利用函数性质判定方程解的存在性
必备知识基础练
1．解析：通过函数图象与x轴的交点个数确定函数的零点，选A.
答案：A
2．解析：当x≤1时，令2x－1＝0，得x＝0.当x>1时，令1＋log2x＝0，得x＝，此时无解．综上所述，函数零点为0.选D.
答案：D
3．解析：∵2是函数f(x)＝x2－m的一个零点，∴f(2)＝0，得4－m＝0，∴m＝4.
答案：4
4．解析：因为函数f(x)的图象在(－1,3)上未必连续，所以尽管f(－1)·f(3)<0，但函数y＝f(x)在(－1,3)上未必有零点，即方程f(x)＝0可能无实数解．
答案：D
5．解析：令f(x)＝ex＋4x－3，∵f＝－2<0，
f＝－1>0，∴f·f<0，
∴方程ex＋4x－3＝0的根在上．
答案：C
6．解析：令f(x)＝log3x＋x－3，则f(2)＝log32＋2－3＝log3<0，f(3)＝log33＋3－3＝1>0，所以方程log3x＋x＝3的解所在的区间为(2,3)．
答案：C
7．解析：当x≤0时，由x2＋2x－3＝0，得x＝－3；当x>0时，由－2＋ln
x＝0，得x＝e2.
故函数f(x)有2个零点，选B.
答案：B
8．解析：log2x－x＋2＝0，即log2x＝x－2.令y1＝log2x，y2＝x－2.
画出两个函数的大致图象，如图所示．
由图可知，两个函数有两个不同的交点．
所以方程log2x－x＋2＝0有两个根．
答案：2
关键能力综合练
1．解析：函数零点指的是使f(x)＝0的x的值，即函数图象与x轴交点的横坐标，所以A不正确；并不是所有的函数都有零点，比如函数y＝2，故C不正确；两个相等的实根只算一个零点，所以D不正确．故选B.
答案：B
2．解析：∵f(2)f(3)<0，f(3)f(4)<0，f(4)f(5)<0，f(6)f(7)<0，∴函数f(x)至少有4个零点，即方程f(x)＝0到少有4个实根．
答案：D
3．解析：设函数f(x)＝x－x，
则函数f(x)的图象是一条连续不断的曲线．
又f(0)＝0－0＝1>0，f＝－>0，
f＝－<0，f＝－<0，f(1)＝－1＝－<0，所以f·f<0，
故函数f(x)的零点所在的区间为，
即方程x＝x的根x0属于区间.
答案：C
4．解析：令f(x)＝2x|log0.5x|－1＝0，可得|log0.5x|＝x.
设g(x)＝|log0.5x|，h(x)＝x，在同一坐标系下分别画出函数g(x)，h(x)的图象，可以发现两个函数图象一定有2个交点，因此函数f(x)有2个零点．
答案：B
5．解析：由题意得，f(a)＝f(b)<0，而f(α)＝f(β)＝0，借助图象可知(图略)，a，b，α，β的大小关系有可能是α答案：C
6．解析：令f(x)＝0，即ex＋x－2＝0，则ex＝2－x.
令g(x)＝0，即ln
x＋x－2＝0，则ln
x＝2－x，设y1＝ex，y2＝ln
x，y3＝2－x.
在同一平面直角坐标系下，作出函数y1＝ex，y2＝ln
x，y3＝2－x的图象如图．
∵函数f(x)＝ex＋x－2的零点为a，函数g(x)＝ln
x＋x－2的零点为b，
∴y1＝ex与y3＝2－x图象的交点的横坐标为a，y2＝ln
x与y3＝2－x图象的交点的横坐标为b，
由图象知a<1答案：A
7．解析：由3x－8＝0，得3x＝8，所以x＝log38，故f(x)的零点是log38.
答案：log38
8．解析：令f(x)＝2x－－a，根据指数函数和反比例函数的性质可知函数f(x)＝2x－－a在区间(1,2)内是增函数，又函数f(x)＝2x－－a的一个零点在区间(1,2)内，所以f(1)<0，且f(2)>0，求解可得0答案：(0,3)
9．解析：设f(x)＝x2－2ax＋a2－4，结合零点存在性定理，得
即解得1答案：(1,2)
10．证明：由Δ＝69>0，得方程有两个不等实根．
设f(x)＝5x2－7x－1，则f(－1)＝5＋7－1＝11，f(0)＝－1，f(1)＝5－7－1＝－3，f(2)＝20－14－1＝5.
∵f(－1)·f(0)＝－11<0，f(1)·f(2)＝－15<0，且f(x)＝5x2－7x－1的图象在R上是连续不断的，
∴f(x)在(－1,0)和(1,2)上分别有零点，
即方程5x2－7x－1＝0的一个根在区间(－1,0)上，另一个根在区间(1,2)上．
学科素养升级练
1．解析：当零点在区间(a，b)内时，f(a)·f(b)>0也可能成立，因此A不正确，C正确；若y＝f(x)满足零点存在性定理的两个条件，则在该区间内必存在零点，但个数不能确定，故B，D都不正确．选A、B、D.
答案：ABD
2．解析：设f(x)＝x2＋2(m－1)x＋2m＋6，依题意得
?
解得－故m的取值范围是.
答案：
3．解析：当x＝0时，f(0)＝a2－2a＋2＝(a－1)2＋1＞0，
因此x＝0不是f(x)的零点．
当x＝2时，f(2)＝16－8a＋a2－2a＋2＝a2－10a＋18，
由f(2)＝0，得a＝5±.
若a＝5＋，则另一根x2＝5＋－2＝3＋?[0,2]，
若a＝5－，则另一根x2＝5－－2＝3－∈[0,2]．
∴a＝5－符合题意．
若f(x)在(0,2)内有两个零点，则
解得1＜a＜5－.
综上所述，a的取值范围是(1,5－]．