2.1 实际问题的函数刻画
必备知识基础练
进阶训练第一层
知识点一
由已知变量关系刻画函数
1.据调查，某自行车存车处在某星期日的存车量为4
000辆次，其中电动车存车费是每辆一次0.3元，自行车存车费是每辆一次0.2元．若自行车存车量为x辆次，存车总收入为y元，则y关于x的函数关系式是( )
A．y＝0.1x＋800(0≤x≤4
000)
B．y＝0.1x＋1
200(0≤x≤4
000)
C．y＝－0.1x＋800(0≤x≤4
000)
D．y＝－0.1x＋1
200(0≤x≤4
000)
2．目前我国一些高耗能产业的产能过剩，严重影响生态文明建设，“去产能”将是一项重大任务．某行业计划从2019年开始，每年的年产能比上一年的年产能减少的百分比为x(0＜x＜1)．
(1)设第n(n∈N
)年(2019年记为第1年)的年产能为2018年的a倍，请用a，n表示x；
(2)若x＝10%，则至少要到哪一年才能使年产能不超过2018年的年产能的25%?
参考数据：lg
2≈0.301，lg
3≈0.477
知识点二
由图表信息刻画函数
3.向一杯子中匀速注水时，杯中水面高度h随时间t变化的函数h＝f(t)的大致图象如图所示，则杯子的形状可能是( )
4．某地区不同身高的未成年男性的体重平均值如下表：
身高/cm
体重/kg
60
6.13
70
7.90
80
9.99
90
12.15
100
15.02
110
17.50
120
20.92
130
26.86
140
31.11
150
38.85
160
47.25
170
55.05
(1)根据表中提供的数据，能否建立恰当的函数关系，使它能比较近似地反映这个地区未成年男性体重y
kg与身高x
cm的关系？试写出这个函数的解析式；
(2)若体重超过相同身高男性体重平均值的1.2倍为偏胖，低于0.8倍为偏瘦，那么这个地区一名身高为175
cm，体重为78
kg的在校男生的体重是否正常？
关键能力综合练
进阶训练第二层
1．某公司市场营销人员的个人月收入y(元)与其每月的销售量x(万件)成一次函数关系，其图象如图所示，由图中给出的信息可知，营销人员没有销售量时的月收入是( )
A．3
100元
B．3
000元
C．2
900元
D．2
800元
2．下列函数关系中，可以看作是指数型函数y＝kax(k∈R，a＞0且a≠1)的是( )
A．竖直向上发射的信号弹，从发射到落回地面，信号弹的高度与时间的关系(不计空气阻力)
B．我国人口年自然增长率为1%，这样我国人口总数随年份的变化关系
C．如果某人t
s内骑车行进了1
km，那么此人骑车的平均速度v与时间t的函数关系
D．信件的邮资与其重量间的函数关系
3．下表是某次测量中两个变量x，y的一组数据，若将y表示为关于x的函数，则最可能的函数关系是( )
x
2
3
4
5
6
7
8
9
y
0.63
1.01
1.26
1.46
1.63
1.77
1.89
1.99
A.一次函数关系
B．二次函数关系
C．指数函数关系
D．对数函数关系
4．某公司生产一批产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式是y＝0.1x2－11x＋3
000，若每台产品的售价为25万元，则利润取最大值时，产量x为( )
A．55台
B．120台
C．150台
D．180台
5．小明的父亲饭后出去散步，从家中走20分钟到一个离家900米的报亭看10分钟报纸后，用20分钟返回家里，下面图形中能表示小明的父亲离开家的时间与距离之间的关系的是( )
6．如图，开始时桶(1)中有a升水，t分钟后剩余的水符合指数衰减曲线y1＝ae－nt，那么桶(2)中水就是y2＝a－ae－nt，假设过5分钟时桶(1)和桶(2)中的水相等，则再过________桶(1)中的水只有.( )
A．7分钟
B．8分钟
C．9分钟
D．10分钟
7．某化工厂2019年的年产量是2016年年产量的n倍，则该化工厂这几年的年平均增长率是________．
8．已知某工厂生产某种产品的月产量y与月份x满足关系y＝a·(0.5)x＋b，现已知该厂今年1月、2月生产该产品分别为1万件、1.5万件．则此厂3月份该产品的产量为________万件．
9．(探究题)李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%.
(1)当x＝10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付________元；
(2)在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x的最大值为________．
10．某地上年度电的价格为0.8元/度，年用电量为1亿度．本年度计划将电的价格调至0.55元/度～0.75元/度(包含0.55元/度和0.75元/度)，经测算，若电的价格调至x元/度，则本年度新增用电量y(亿度)与(x－0.4)(元/度)成反比，且当x＝0.65时，y＝0.8.
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)若电的成本价为0.3元/度，则电的价格调至多少时，电力部门本年度的收益将比上一年增加20%?
(收益＝用电量×(实际电的价格－成本价))
学科素养升级练
进阶训练第三层
1．(多选题)如图，下面的四个容器高度都相同，将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中，注满为止．用下面对应的图象显示该容器中水面的高度h和时间t之间的关系，其中正确的有( )
2．已知A，B两地相距150千米，某人开汽车以每小时60千米的速度由A地到达B地，在B地停留一小时后再以每小时50千米的速度返回A地，把汽车离开A地的距离x表示为时间t的函数，表达式是______________．
3．(情境命题—生活情境)某种商品进价为每个80元，零售价为每个100元，为了促销，采用买一个这种商品赠送一个小礼品的办法．实践表明：礼品的价格为1元时，销售量增加10%，且在一定范围内，礼品价格为(n＋1)元时，比礼品价格为n(n∈N＋)元时的销售量增加10%.设未赠送礼品时的销售量为m件．
(1)写出礼品价格为n元时，利润yn(单位：元)与n(单位：元)的函数关系式；
(2)请你设计礼品的价格，以使商店获得最大利润．
§2 实际问题中的函数模型
2．1 实际问题的函数刻画
必备知识基础练
1．解析：根据题意可知，存车总收入y(元)与x的函数关系式是y＝0.2x＋(4000－x)×0.3＝－0.1x＋1200(0≤x≤4000)，故选D.
答案：D
2．解析：(1)依题意得(1－x)n＝a，则1－x＝，
所以x＝1－(n∈N
)．
(2)设第n年的年产能不超过2018年的年产能的25%，则
(1－10%)n≤25%，
即n≤，nlg≤lg，n(2lg
3－1)≤－2lg
2，
n≥.
因为≈＝，所以n≥.
因为13＜＜14，且n∈N
，所以n的最小值为14.
所以至少要到2032年才能使年产能不超过2018年的年产能的25%.
3．解析：从题图看出，在时间段[0，t1]，[t1，t2]内水面高度是匀速上升的，因此几何体应为两柱体组合，在[0，t1]时间段内上升慢，在[t1，t2]时间段内上升快，所以得下面的柱体横截面面积大，上面的柱体横截面面积小，故选A.
答案：A
4．解析：(1)以身高为横坐标，体重为纵坐标，画出已知数据对应的点，根据点的分布特征，可考虑以y＝a·bx刻画这个地区未成年男性的体重与身高关系．
不妨取其中的两组数据(70,7.90)，(160,47.25)，代入y＝a·bx，得用计算器算得a≈2，b≈1.02.
这样，我们就得到一个函数模型：y＝2×1.02x.
将其他数据代入上述函数解析式，或作出上述函数的图象，可以发现，这个函数模型能较好地反映这个地区未成年男性体重与身高的关系．
(2)将x＝175代入y＝2×1.02x，得y＝2×1.02175，
由计算器算得y≈63.98，
由于78÷63.98≈1.22＞1.2，所以，这个男生偏胖．
关键能力综合练
1．解析：设函数解析式为y＝kx＋b(k≠0)，
∵函数图象过点(1,8
000)，(2,13
000)，
∴解得
∴y＝5
000x＋3
000，当x＝0时，y＝3
000，
∴营销人员没有销售量时的月收入是3
000元．
答案：B
2．解析：A：竖直向上发射的信号弹，从发射到落回地面，信号弹的高度与时间的关系是二次函数关系；
B：我国人口年自然增长率为1%，这样我国人口总数随年份的变化关系是指数型函数关系；
C：如果某人t
s内骑车行进了1
km，那么此人骑车的平均速度v与时间t的函数关系是反比例函数关系；
D：信件的邮资与其重量间的函数关系是一次函数关系．故选B.
答案：B
3．解析：观察图表中函数值y随自变量x变化的规律可知，随着自变量x增大，函数值也在增大，但是增加的幅度越来越小，因此它最可能的函数模型为对数函数．故选D.
答案：D
4．解析：设利润为z万元，则z＝25x－y＝25x－(0.1x2－11x＋3
000)＝－0.1x2＋36x－3
000＝－0.1·(x－180)2＋240.当x＝180时，利润z取最大值，选D.
答案：D
5．解析：20至30分钟时距离没有变化，故选D.
答案：D
6．解析：由题意得ae－5n＝a－ae－5n，e－n＝.设再经过t分钟，桶(1)中的水只有，得ae－n(t＋5)＝，则＝3，解得t＝10.
答案：D
7．解析：设2016年年产量是a，则2019年年产量是na，设年平均增长率为x，则na＝a(1＋x)3，解得x＝－1.
答案：－1
8．解析：∵y＝a·(0.5)x＋b，且当x＝1时，y＝1，当x＝2时，y＝1.5，则有解得
∴y＝－2×(0.5)x＋2.
当x＝3时，y＝－2×0.125＋2＝1.75(万件)．
答案：1.75
9．解析：(1)顾客一次购买草莓和西瓜各1盒时，
总价为60＋80＝140(元)，达到120元，
又∵x＝10，∴顾客需要支付140－10＝130(元)．
(2)解法一：当单笔订单的总价达不到120元时，顾客不少付，则李明得到总价的80%；
当单笔订单的总价达到120元时，顾客少付x元，设总价为a元(a≥120)，则李明每笔订单得到的金额与总价的比为
＝0.8，
∴当a越小时，此比值越小．
又a最小为120元(即买两盒草莓)，
∴0.8(120－x)≥120×0.7，解得x≤15.
∴x的最大值为15.
解法二：购买水果总价刚好达到120元时，顾客少付x元，这时x占全部付款的比例最高，此时如果满足李明所得金额是促销前总价的70%，那么其x值最大．由此列式得(120－x)×0.8＝120×0.7，解得x＝15.∴x的最大值为15.
答案：(1)130 (2)15
10．解析：(1)因为y与(x－0.4)成反比，所以可设y＝(k≠0)，把x＝0.65，y＝0.8代入上式，得0.8＝，解得k＝0.2，
所以y＝＝，
所以y与x之间的函数关系式为y＝(0.55≤x≤0.75)．
(2)根据题意，得(x－0.3)＝1×(0.8－0.3)×(1＋20%)，
整理得x2－1.1x＋0.3＝0，解得x1＝0.5(舍去)或x2＝0.6，
所以当电的价格调至0.6元/度时，电力部门本年度的收益将比上一年增加20%.
学科素养升级练
1．解析：因为正方体的底面积是定值，故水面高度的增加是均匀的，即图象是直线型的．故A错误；
因几何体下面窄上面宽，且相同的时间内注入的水量相同，所以下面的高度增加得快，上面的高度增加得慢，即图象应越来越缓．故B正确；
球是对称的几何体，下半球因下面窄上面宽，所以水的高度增加得越来越慢；上半球恰好相反，所以水的高度增加得越来越快，即图象先平缓再变陡．故C正确；
图中几何体两头宽，中间窄，所以水的高度增加，下半体越来越快，上半体越来越慢，即图象先变陡再变平缓．故D正确．故选B、C、D.
答案：BCD
2．解析：由题意可得该函数为分段函数，由A地到B地需2.5小时，在B地停留一小时时，汽车离开A地的距离x不变，为150千米，之后以每小时50千米的速度返回A地需3小时，故所求表达式为
x＝
即x＝
答案：x＝
3．解析：(1)当礼品价格为n元时，销售量为m(1＋10%)n件，故利润yn＝(100－80－n)·m·(1＋10%)n＝(20－n)·m·1.1n(0＜n＜20，n∈N＋)．
(2)令yn＋1－yn≥0，即(19－n)·m·1.1n＋1－(20－n)·m·1.1n≥0，解得n≤9.
所以y1＜y2＜y3＜…＜y9＝y10.
令yn＋1－yn＋2≥0，即(19－n)·m·1.1n＋1－(18－n)·m·1.1n＋2≥0，解得n≥8.
所以y9＝y10＞y11＞y12＞y13＞…＞y19.
所以礼品价格为9元或10元时，商店获得最大利润．2.2 用函数模型解决实际问题
必备知识基础练
进阶训练第一层
知识点一
已知函数模型的实际应用
1.商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y＝＋10(6－x)，其中3＜x＜6，a为常数，已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克．
(1)求a的值；
(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定当销售价格x为多少时，商场每日销售该商品所获得的利润最大．
知识点二
未知函数模型的实际应用
2.我国古代著名的思想家庄子在《庄子·天下篇》中说：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”．用现代语言叙述为：一尺长的木棒，每天取其一半，永远也取不完．这样，每天剩下的部分都是前一天的一半，如果把“一尺之棰”看成单位“1”，那么x天后剩下的部分y与x的函数关系式为( )
A．y＝x(x∈N
)
B．y＝x
(x∈N
)
C．y＝2x(x∈N
)
D．y＝(x∈N
)
3．有l米长的钢材，要做成如图所示的窗框：上半部分为半圆，下半部分为四个全等的小矩形组成的矩形，则小矩形的长与宽之比为多少时，窗户所通过的光线最多？并求出窗户面积的最大值．
知识点三
分段函数模型的实际应用
4．某种热饮需用开水冲泡，其基本操作流程如下：①先将水加热到100
℃，水温y(单位：℃)与时间t(单位：min)近似满足一次函数关系(图象为图中的直线)；②用开水将热饮冲泡后在室温下放置，温度y(单位：℃)与时间t(单位：min)近似满足函数的关系式为y＝80＋b(a，b为常数)(图象为图中的曲线)，通常这种热饮在40
℃时口感最佳．某天室温为20
℃时，冲泡热饮的部分数据如图所示．那么按上述流程冲泡一杯热饮，并在口感最佳时饮用，最少需要的时间为________．
5．某公司共有60位员工，为提高员工的业务技术水平，公司拟聘请专业培训机构进行培训．培训的总费用由两部分组成：一部分是给每位参加培训的员工支付400元的培训材料费；另一部分是给培训机构缴纳的培训费．若参加培训的员工人数不超过30人，则每人收取培训费1
000元；若参加培训的员工人数超过30人，则每超过1人，人均培训费减少20元．设公司参加培训的员工人数为x人，此次培训的总费用为y元．
(1)求出y与x之间的函数关系式；
(2)请你预算：公司此次培训的总费用最多需要多少元．
关键能力综合练
进阶训练第二层
1．某地区植被被破坏，土地沙漠化越来越严重，最近三年测得沙漠增加值分别为0.2万公顷、0.4万公顷和0.76万公顷，则沙漠增加值y万公顷关于年数x的函数关系较为近似的是( )
A．y＝0.2x
B．y＝(x2＋2x)
C．y＝
D．y＝0.2＋log16x
2．把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是T1(单位：℃)，空气的温度是T0(单位：℃)，经过t分钟后物体的温度T(单位：℃)可由公式T＝T0＋(T1－T0)·e－0.25t求得．把温度是90
℃的物体放在10
℃的空气中冷却t分钟后，物体的温度是50
℃，那么t的值约等于(参考数据：ln
3≈1.099，ln
2≈0.693)( )
A．1.78
B．2.77
C．2.89
D．4.40
3．某种商品进价为4元/件，当日均零售价为6元/件时，日均销售100件，当单价每增加1元/件时，日均销售量减少10件，该商品在销售过程中，每天固定成本为20元，则预计单价为多少时，利润最大( )
A．8元/件
B．10元/件
C．12元/件
D．14元/件
4．如图，有一直角墙角，两边的长度足够长，若P处有一棵树与两墙的距离分别是4
m和a
m(0＜a＜12)，不考虑树的粗细．现用16
m长的篱笆，借助墙角围成一个矩形花圃ABCD，设此矩形花圃的最大面积为u(单位：m2)，若将这棵树围在矩形花圃内，则函数u＝f(a)的图象大致是( )
5．科学家以里氏震级来度量地震的强度，若设I为地震时所散发出来的相对能量程度，则里氏震级r可定义为r＝0.6lg
I，若6.5级地震释放的相对能量为I1,7.4级地震释放的相对能量为I2，记n＝，则n约等于( )
A．16
B．20
C．32
D．90
6．如图，有四个平面图形分别是三角形、平面四边形、直角梯形、圆，垂直于x轴的直线l：x＝t(0≤t≤a)，经过原点O向右平行移动，l在移动过程中扫过平面图形的面积为y(图中阴影部分)，若函数y＝f(x)的大致图象如图，那么平面图形的形状不可能是( )
7．有一批材料可以建成360
m长的围墙，如果用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样的材料隔成三个面积相等的小矩形(如图所示)，则围成场地的最大面积为________m2.(围墙厚度不计)
8．某化工厂打算投入一条新的生产线，但需要经环保部门审批后方可投入生产．已知该生产线连续生产n年的累计产量为f(n)＝n(n＋1)(2n＋1)吨，但如果年产量超过150吨，将会给环境造成危害．为保护环境，环保部门应给该厂这条生产线拟定最长的生产期限是________年．
9．(探究题)如图表示一位骑自行车和一位骑摩托车的旅行者在相距80
km的甲、乙两城间从甲城到乙城所行驶的路程与时间之间的函数关系．有人根据函数图象，提出了关于这两个旅行者的如下信息：
①骑自行车者比骑摩托车者早出发3
h，晚到1
h；
②骑自行车者是变速运动，骑摩托车者是匀速运动；
③骑摩托车者在出发1.5
h后追上了骑自行车者；
④骑摩托车者在出发1.5
h后与骑自行车者速度一样．其中正确信息的序号是________．
10．(易错题)如图，有一块矩形空地，要在这块空地上开辟一个内接四边形为绿地，使其四个顶点分别落在矩形的四条边上，已知AB＝a(a＞2)，BC＝2，且AE＝AH＝CF＝CG，设AE＝x，绿地面积为y.
(1)写出y关于x的函数关系式，并指出这个函数的定义域．
(2)当AE为何值时，绿地面积y最大？
学科素养升级练
进阶训练第三层
1．(多选题)某食品的保鲜时间t(单位：小时)与储藏温度x(单位：℃)满足函数关系式t＝且该食品在4
℃的保鲜时间是16小时．已知甲在某日上午10时购买了该食品，并将其遗放在室外，且此日的室外温度随时间变化如图所示．以下结论正确的是( )
A．该食品在6
℃的保鲜时间是8小时
B．当x∈[－6,6]时，该食品的保鲜时间t随着x增大而逐渐减少
C．到了此日13时，甲所购买的食品还在保鲜时间内
D．到了此日15时，甲所购买的食品已过了保鲜时间
2．已知某种药物在血液中以每小时20%的比例衰减，现给某病人静脉注射了该药物2
500
mg，设经过x个小时后，药物在病人血液中的量为y
mg.
(1)y与x的关系式为________；
(2)当该药物在病人血液中的量保持在1
500
mg以上时，才有疗效；而低于500
mg时，病人就有危险．则要使病人没有危险，再次注射该药物的时间不能超过________小时．(精确到0.1)
(参考数据：0.20.3≈0.6,0.82.3≈0.6,0.87.2≈0.2,0.89.9≈0.1)
3．(情境命题—生活情境)某医药公司针对某种疾病开发了一种新型药物．患者单次服用指定规格的该药物质，其体内的药物浓度c(mg/L)随时间t(h)的变化情况(如图所示)：当0≤t≤1时，c与t的函数关系式为c＝m(2t－1)(m为常数)；当t≥1时，c与t的函数关系式为c＝k·t(k为常数)．服药2
h后，患者体内的药物浓度为10
mg/L.这种药物在患者体内的药物浓度不低于最低有效浓度，才有疗效；而超过最低中毒浓度，患者就会有危险．
(1)首次服药后，药物有疗效的时间是多长？
(2)首次服药1
h后，可否立即再次服用同种规格的这种药物？
(参考数据：lg
2≈0.3，lg
3≈0.477)
2．2 用函数模型解决实际问题
必备知识基础练
1．解析：(1)因为x＝5时，y＝11，所以＋10＝11，解得a＝2.
(2)由(1)可知，该商品每日的销售量y＝＋10(6－x)．
设商场每日销售该商品所获得的利润为f(x)元，
则f(x)＝(x－3)＝2＋10(x－3)(6－x)＝－10x2＋90x－178
＝－102＋(3＜x＜6)．
当x＝时，函数f(x)在定义域(3,6)上取得最大值，最大值为，
即当销售价格为4.5元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大．
2．解析：由题意可得，剩下的部分依次为，，，…，
因此x天后剩下的部分y与x的函数关系式为y＝(x∈N
)，故选D.
答案：D
3．解析：设小矩形的长为x，宽为y，窗户的面积为S，
则由图可得9x＋πx＋6y＝l，
所以6y＝l－(9＋π)·x，
所以S＝x2＋4xy＝x2＋x·[l－(9＋π)·x]
＝－x2＋lx＝－·2＋.
要使窗户所通过的光线最多，只需窗户的面积S最大．
由6y＞0，得0＜x＜.
因为0＜＜，
所以当x＝，y＝＝，
即＝时，窗户的面积S有最大值，且Smax＝.
4．解析：由题意知当0≤t≤5时，图象是直线，当t≥5时，图象对应的解析式为y＝80＋b，图象过点(5,100)和点(15,60)，则得即y＝80＋20，t≥5，当y＝40时，得80＋20＝40，即80＝20，得＝，得＝2，得t＝25，即最少需要的时间为25
min.
答案：25
min
5．解析：(1)当0≤x≤30，x∈N时，y＝400x＋1
000x＝1
400x；
当30＜x≤60，x∈N时，y＝400x＋[1
000－20·(x－30)]·x＝－20x2＋2
000x.
故y＝
(2)当0≤x≤30，x∈N时，y≤1
400×30＝42
000元；
当30＜x≤60，x∈N时，y≤－20×502＋2
000×50＝50
000元．
综上所述，公司此次培训的总费用最多需要50
000元．
关键能力综合练
1．解析：当x＝1时，否定B；当x＝2时，否定D；当x＝3时，否定A，故选C.
答案：C
2．解析：由题意可知50＝10＋(90－10)e－0.25t，整理得e－0.25t＝，即－0.25t＝ln＝－ln
2≈－0.693，解得t≈2.77.
答案：B
3．解析：设单价为(6＋x)元，则日均销售量为(100－10x)件，日利润y＝(6＋x－4)(100－10x)－20＝－10x2＋80x＋180＝－10(x－4)2＋340(0≤x＜10)，所以当x＝4时，ymax＝340.因此单价为10元/件时，利润最大．
答案：B
4．解析：设AD长为x，则CD长为16－x，
又∵要将点P围在矩形ABCD内，∴a≤x≤12.
则矩形ABCD的面积S＝x(16－x)＝－(x－8)2＋64.
若0＜a＜8，当且仅当x＝8时，Smax＝u＝64；
若8≤a＜12，Smax＝u＝a(16－a)．
故函数u＝f(a)的解析式为u＝画出函数图象可得其形状与B接近，故选B.
答案：B
5．解析：∵r＝0.6lg
I，∴I＝10.
当r＝6.5时，I1＝10，
当r＝7.4时，I2＝10，
∴n＝＝10÷10＝10＝10≈32.
答案：C
6．解析：由函数的图象可知，几何图形具有对称性．选项A，B，D由左向右移动过程中面积增加的先慢后快，然后相反，选项C，后面是直线增加，不满足题意，故选C.
答案：C
7．解析：如图，设每个小矩形的长为a
m，则宽为b＝(360－4a)m，记面积为S
m2.
则S＝3ab＝a(360－4a)＝－4a2＋360a(0＜a＜90)．
∴当a＝45时，Smax＝8
100(m2)．
∴围成场地的最大面积为8
100
m2.
答案：8
100
8．解析：由题意知，第一年产量为a1＝×1×2×3＝3，以后各年产量分别为an＝f(n)－f(n－1)＝n(n＋1)(2n＋1)－n·(n－1)(2n－1)＝3n2(n∈N
，n≥2)．令3n2≤150，得2≤n≤5，又n∈N
，得2≤n≤7，故生产期限最长为7年．
答案：7
9．解析：看时间轴易知①正确；骑摩托车者行驶的路程与时间的函数图象是直线，所以是匀速运动，而骑自行车者行驶的路程与时间的函数图象是折线，所以是变速运动，因此②正确；两条曲线的交点的横坐标对应4.5，故③正确，④错误．
答案：①②③
10．易错分析：实际问题中涉及函数的解析式中含参数的函数最值问题，求解时要注意参数对函数最值的影响．本题中的函数解析式中含参数，因此求解其最值时，应根据参数与所给区间的关系分类讨论后求最值．
解析：(1)由题可得S△AEH＝S△CFG＝x2，S△DGH＝S△BEF＝(a－x)(2－x)，
∴y＝S矩形ABCD－2S△AEH－2S△BEF
＝2a－x2－(a－x)(2－x)
＝－2x2＋(a＋2)x.
由得0＜x＜2.
当x＝2时，点H，F分别为点D，B重合，y＝2a－4，满足y＝－2x2＋(a＋2)x.综上，y＝－2x2＋(a＋2)x，定义域为(0,2]．
(2)由(1)得y＝－22＋，0＜x≤2.
当＜2，即2＜a＜6时，最大值在x＝时取得，即ymax＝；
当≥2，即a≥6时，y＝－2x2＋(a＋2)x在(0,2]上是增函数，则x＝2时，ymax＝2a－4.
综上所述，当2＜a＜6，AE＝时，绿地面积取最大值；当a≥6，AE＝2时，绿地面积取最大值2a－4.
学科素养升级练
1．解析：由题意知当x＝4时，t＝16，∴24k＋6＝16＝24，∴4k＋6＝4，∴k＝－，
∴当x＞0时，t＝2，
故当x＝6时，t＝23＝8，故A正确．
由题知当x≤0时，t＝64，故B不正确．
由题图知此日13时，室外温度为10
℃，
当x＝10时，t＝2，故此日13时甲所购买的食品已过保鲜时间，故C不正确，D正确．故选A、D.
答案：AD
2．解析：(1)由题意知，该种药物在血液中以每小时20%的比例衰减，给某病人注射了该药物2
500
mg，经过x个小时后，药物在病人血液中的量为y＝2
500×(1－20%)x＝2
500×0.8x(mg)，即y与x的关系式为y＝2
500×0.8x.
(2)当该药物在病人血液中的量保持在1
500
mg以上时，才有疗效；而低于500
mg时，病人就有危险，∴令2
500×0.8x≥500，即0.8x≥0.2.∵0.87.2≈0.2，y＝0.8x是单调递减函数，∴x≤7.2，
∴要使病人没有危险，再次注射该药物的时间不能超过7.2小时．
答案：(1)y＝2
500×0.8x (2)7.2
3．解析：(1)当t≥1时，c＝k·t，函数图象过点(2,10)，
所以k·2＝10，解得k＝40.
所以当t＝1时，c＝40×1＝20.
所以当0≤t≤1时，c＝m(2t－1)的图象过点(1,20)，
所以m＝20，所以c＝20·2t－20.
由20·2t－20≥10得2t≥，所以t≥log2＝≈＝0.59，
则首次服药后，药物有疗效的时间为2－0.59＝1.41(h)．
(2)设1
h后再次服用同等规格的药物x小时后的药物浓度为y.
当0≤x≤1时，y＝20·2x－20＋40·x＋1＝20·(2x＋2－x)－20，
此函数在[0,1]内单调递增，
所以当x＝1时，ymax＝30.
当x＞1时，y＝40·x＋40·x＋1＝60·x＜30.
因为30＜32，所以首次服药1
h后，可以立即再次服用同等规格的这种药物．
