2.1 简单随机抽样
必备知识基础练
进阶训练第一层
知识点一
简单随机抽样的概念
1.(多选题)关于简单随机抽样的特点，有以下几种说法，其中正确的是( )
A．要求总体中的个体数有限
B．从总体中逐个抽取
C．这是一种不放回抽样
D．每个个体被抽到的机会不一样，与先后顺序有关
2．下面的抽样方法是简单随机抽样吗？为什么？
(1)某班45名同学，指定个子最高的5名同学参加学校组织的某项活动；
(2)从20个零件中一次性抽出3个进行质量检验；
(3)一儿童从玩具箱中的20件玩具中随意拿出1件来玩，玩后放回再拿出1件，连续拿了5件．
知识点二
抽签法抽取样本
3.下列抽样试验中，适合用抽签法的是( )
A．从某厂生产的3
000件产品中抽取600件进行质量检验
B．从某厂生产的两箱(每箱15件)产品中抽取6件进行质量检验
C．从甲、乙两厂生产的两箱(每箱15件)产品中抽取6件进行质量检验
D．从某厂生产的3
000件产品中抽取10件进行质量检验
4．某班有50名学生，现选取6名学生参加一个讨论会，每名学生被选到的机会相等，请用抽签法设计一个选取方案．
知识点三
随机数法抽取样本
5.总体由编号为01,02，…，19,20的20个个体组成，利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法：从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右一次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为( )
7816
6572
0802
6314
0702
4369
9728
0198
3204
9234
4935
8200
3623
4869
6938
7481
A.08
B．07
C．02
D．01
6．(1)要考察某种品牌的850颗种子的发芽率，从中抽取50颗种子进行实验，利用随机数表法抽取种子，先将850颗种子按001,002，…，850进行编号，如果从随机数表第2行第6列的数开始向右读，请依次写出最先检验的4颗种子的编号________(下面抽取了随机数表第1行至第8行)
7
8
16 6
5
7
2 0
8
0
2 6
3
1
4 0
7
0
2 4
3
6
9 9
7
2
8 0
1
9
8
3
2
0
4 9
2
4
3 4
9
3
5 8
2
0
0 3
6
2
3 4
8
6
9 6
9
3
8 7
4
8
1
2
9
7
6 3
4
1
3 2
8
4
1 4
2
4
1 2
4
2
4 1
9
8
5 9
3
1
3 2
3
2
2
8
3
0
3 9
8
2
2 5
8
8
8 2
4
1
0 1
1
5
8 2
7
2
9 6
4
4
3 2
9
4
3
5
5
5
6 8
5
2
6 6
1
6
6 8
2
3
1 2
4
3
8 8
4
5
5 4
6
1
8 4
4
4
5
2
6
3
5 7
9
0
0 3
3
7
0 9
1
6
0 1
6
2
0 3
8
8
2 7
7
5
7 4
9
5
0
3
2
1
1 4
9
1
9 7
3
0
6 4
9
1
6 7
6
7
7 8
7
3
3 9
9
7
4 6
7
3
2
2
7
4
8 6
1
9
8 7
1
6
4 4
1
4
8 7
0
8
6 2
8
8
8 8
5
1
9 1
6
2
0
(2)现有一批零件，其编号为600,601,602，…，999.利用原有的编号从中抽取一个容量为10的样本进行质量检查，若用随机数表法，怎样设计方案？
关键能力综合练
进阶训练第二层
1．下列问题中，最适合用简单随机抽样法抽样的是( )
A．某电影院有32排座位，每排有40个座位，座位号是1～40，有一次报告会坐满了听众，报告会结束以后为听取意见，需留下32名听众进行座谈
B．从10台冰箱中抽出3台进行质量检查
C．某学校有在编人员160人，其中行政人员16人，教师112人，后勤人员32人，教育部为了了解学校机构改革意见，要从中抽取一个容量为20的样本
D．某乡有山地8
000
km2，丘陵12
000
km2，平地24
000
km2，洼地4
000
km2，现抽取480
km2估计全乡农田的平均产量
2．用随机数法从100名学生(男生25人)中抽取20人进行某项活动，某男生被抽到的可能性是( )
A.
B.
C.
D.
3．抽签法中确保样本具有代表性的关键是( )
A．制签
B．搅拌均匀
C．逐一抽取
D．抽取不放回
4．某工厂的质检人员对生产的100件产品，采用随机数法抽取10件检查，对100件产品采用下面的编号方法
①1,2,3，…，100；②001,002，…，100；
③00,01,02，…，99；④01,02,03，…，100.
其中正确的序号是( )
A．②③④
B．③④
C．②③
D．①②
5．下列抽取样本的方式属于简单随机抽样的是( )
(1)从无限多个个体中抽取50个个体作为样本；
(2)一儿童从玩具箱中的20件玩具中随意拿出一件来玩，玩后放回再拿出一件，连续玩了5件；
(3)从8台电脑中不放回地随机抽取2台进行质量检验(假设8台电脑已编好号，用编号随机抽取)．
A．(1)
B．(2)
C．(3)
D．以上都不对
6．在简单随机抽样中，某一个个体被抽中的可能性是( )
A．与第几次抽样有关，第一次抽中的可能性要大些
B．与第几次抽样无关，每次抽中的可能性都相等
C．与第几次抽样有关，最后一次抽中的可能性大些
D．与第几次抽样无关，每次都是等可能抽取，但各次抽取的可能性不一样
7．从10个篮球中任取2个，检验其质量，适合采用的简单随机抽样方法为________．
8．福利彩票“双色球”中红色球的号码由编号为01,02，…，33的33个个体组成，某彩民利用下面的随机数表选取6组数作为6个红色球的编号，选取方法是从随机数表第1行的第6列和第7列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第6个红色球的编号为________．
9．(易错题)对于下列抽样方法：①运动员从8个跑道中随机抽取1个跑道；②从20个零件中一次性拿出3个来检验质量；③某班50名学生，指定其中成绩优异的2名学生参加一次学科竞赛；④为了保证食品安全，从某厂提供的一批月饼中，拿出一个检查后放回，再拿一个检查，反复5次，拿了5个月饼进行检查．其中，属于简单随机抽样的是________．(把正确的序号都填上)
10．(探究题)选择合适的抽样方法进行抽样，并写出抽样过程：从甲厂生产的30个篮球(其中一箱20个，另一箱10个)中抽取3个．
学科素养升级练
进阶训练第三层
1．(多选题)关于简单随机抽样，下列说法正确的是( )
A．当总体中个体数不多时，可以采用简单随机抽样
B．采用简单随机抽样不会产生任何代表性差的样本
C．利用随机数法抽取样本时，读数的方向可以向右，也可以向左、向下、向上等
D．用抽签法抽取样本对每个个体来说都是公平的
2．一个布袋中有6个同样质地的小球，从中不放回地抽取3个小球，则某一特定小球入样的可能性是________；第三次抽取时，每个小球入样的可能性是________．
3．(情境命题—生活情境)上海某中学从40名学生中选1人作为上海男篮拉拉队的成员，采用下面两种选法：
选法一：将这40名学生从1～40进行编号，相应地制作1～40的40个号签，把这40个号签放在一个暗箱中搅匀，最后随机地从中抽取1个号签，与这个号签编号一致的学生幸运入选；
选法二：将形状、大小完全一样的39个白球与1个红球混合放在一个暗箱中搅匀，让40名学生逐一从中摸取一球，摸到红球的学生成为拉拉队成员．
试问这两种选法是否都是抽签法？为什么？这两种选法有何异同？
§2 抽样的基本方法
2．1 简单随机抽样
必备知识基础练
1．解析：简单随机抽样，除具有选项A，B，C中的三个特点外，还具有等可能性的特点，即在整个抽样过程中，各个个体被抽取的机会相等，与先后顺序无关．
答案：ABC
2．解析：(1)不是简单随机抽样，因为不是等可能抽样．
(2)不是简单随机抽样，因为这是“一次性”抽取，而不是“逐个”抽取．
(3)不是简单随机抽样，因为这是有放回抽样．
3．解析：A中总体容量较大，样本量也较大，不适宜用抽签法；B中总体容量较小，样本量也较小，可用抽签法；C中甲、乙两厂生产的两箱产品有明显区别，不能用抽签法；D中虽然样本量较小，但总体容量较大，不适宜用抽签法．故选B.
答案：B
4．解析：第一步：给50名学生编号，号码依次为1,2,3，…，50.
第二步：将50名学生的编号写在形状、大小相同的小纸片上，并揉成小球，制成号签．
第三步：将得到的号签放在一个不透明的容器中，搅拌均匀．
第四步：从容器中逐个抽取6个号签，并记录上面的编号．
对应这6个编号的学生，即为所选取的学生．
5．解析：从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右一次选取两个数字开始向右读，第一个数为65，不符合条件，第二个数为72，不符合条件，第三个数为08，符合条件，以下符合条件的数字依次为02,14,07,01，故第5个数为01.故选D.
答案：D
6．解析：(1)从随机数表第2行第6列的数2开始向右读，第一个小于850的数字是243，第二个数字是493，第三个数字是582，第四个数字是003，符合题意．
(2)第一步，在随机数表中任选一数字作为开始数字，任选一方向作为读数方向，比如：选第4行第6列数“8”，向右读；
第二步，从“8”开始向右每次读取三位，凡在600～999中的数保留，否则跳过去不读，依次得822,824,964,943,685,823,844,635,790,709；
第三步，以上号码对应的10个零件就是要抽取的对象．(答案不唯一)
答案：(1)243,493,582,003 (2)见解析
关键能力综合练
1．解析：选项A的总体容量较大，用简单随机抽样法比较麻烦；选项B的总体容量较小，用简单随机抽样法比较方便；选项C由于学校各类人员对这一问题的看法可能差异很大，不宜用简单随机抽样法；选项D总体容量较大，且各类田地的产量差别很大，也不宜用简单随机抽样法，故选B.
答案：B
2．解析：简单随机抽样是从个体总数为N的总体中抽取一个容量为n的样本，每个个体被抽到的可能性均为，＝.故选C.
答案：C
3．解析：要确保样本具有代表性，用抽签法时，最重要的是要使总体“搅拌均匀”，使每个个体被抽到的可能性相等．使用抽签法制作号签后一定要搅拌均匀．
答案：B
4．解析：根据随机数法的编号方法可知，①④编号位数不统一，不符合要求．
答案：C
5．解析：(1)总体的个数无限多；(2)放回抽样，不满足简单随机抽样的特征；(3)简单随机抽样．
答案：C
6．解析：简单随机抽样是一种随机抽样，每个个体都有相同的机会被抽到，并且每次抽样都是独立的，每次抽样的结果既不影响其他各次的结果，也不受其他各次抽样结果的影响，与第几次抽样无关．
答案：B
7．解析：总体个数较少，且抽取样本的个数较少，宜采用抽签法．
答案：抽签法
8．解析：从随机数表第1行的第6列和第7列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出的6个红色球的编号依次为21,32,09,16,17,02，故选出的第6个红色球的编号为02.
答案：02
9．易错分析：对简单随机抽样的概念理解不透彻．
解析：对于②，一次性拿出3个来检验质量，违背简单随机抽样特征中的“逐个”抽取；对于③，指定其中成绩优异的2名学生，不满足等可能抽样的要求；对于④，不满足不放回抽样的要求．故填①.
答案：①
10．解析：总体容量较小，用抽签法．
第一步：将30个篮球随机编号，编号分别为00,01，…，29.
笫二步：将以上30个编号分别写在大小和形状完全相同的小纸条上，揉成小球，制成号签，
第三步：把号签放到一个不透明的盒子中，充分搅拌．
第四步：从盒子中逐个抽取三个号签，并记录上面的号码．
第五步：找出与号码对应的篮球，即可得到样本．
学科素养升级练
1．解析：简单随机抽样可能产生代表性差的样本，B不正确；ACD正确．
答案：ACD
2．解析：因为简单随机抽样中，每个个体入样的可能性均为，所以某一特定小球入样的可能性是.此抽样是不放回抽样，所以第一次抽取时，每个小球入样的可能性均为；第二次抽取时，剩余5个小球中每个小球入样的可能性均为；第三次抽取时，剩余4个小球中每个小球入样的可能性均为.
答案：
3．解析：选法一是抽签法，选法二不是抽签法．因为抽签法要求所有的号签编号互不相同，而选法二中39个白球无法相互区分．这两种选法相同之处在于每名学生被选中的可能性都相等，等于.不同的是选法一简单易行，选法二过程比较麻烦，不易操作．2.2 分层随机抽样
必备知识基础练
进阶训练第一层
知识点一
分层随机抽样的概念
1.下列问题中，最适合用分层随机抽样抽取样本的是( )
A．从10名同学中抽取3人参加座谈会
B．某社区有500个家庭，其中高收入的家庭125个，中等收入的家庭280个，低收入的家庭95个，为了了解生活购买力的某项指标，要从中抽取一个容量为100的样本
C．从1
000名工人中，抽取100名调查上班途中所用时间
D．从生产流水线上，抽取样本检查产品质量
2．某中学有老年教师20人，中年教师65人，青年教师95人．为了调查他们的健康状况，需从他们中抽取一个容量为36的样本，则合适的抽样方法是( )
A．抽签法
B．简单随机抽样
C．分层抽样
D．随机数法
知识点二
分层随机抽样的应用
3.甲校有3
600名学生，乙校有5
400名学生，丙校有1
800名学生，为统计三校学生某方面的情况，计划采用分层抽样法抽取一个样本量为90的样本，应在这三校分别抽取学生( )
A．30人、30人、30人
B．30人、45人、15人
C．20人、30人、40人
D．30人、50人、10人
4．山东某高中针对学生发展要求，开设了富有地方特色的“泥塑”与“剪纸”两个社团，已知报名参加这两个社团的学生共有800人，按照要求每人只能参加一个社团，各年级参加社团的人数情况如下表：
高一年级
高二年级
高三年级
泥塑
a
b
c
剪纸
x
y
z
其中x:y:z＝5:3:2，且“泥塑”社团的人数占两个社团总人数的，为了了解学生对这两个社团活动的满意程度，从中抽取一个50人的样本进行调查，则从高二年级“剪纸”社团的学生中应抽取________人．
5．某家电视台在因特网上征集某电视节目现场参与的观众，报名的总人数为12
000人，分别来自4个城区，其中东城区2
400人，西城区4
600人，南城区3
800人，北城区1
200人，从中抽取60人参加现场的节目，应当如何抽取？写出抽取过程．
关键能力综合练
进阶训练第二层
1．交通管理部门为了解机动车驾驶员(简称驾驶员)对某新法规的知晓情况，对甲、乙、丙、丁四个社区作分层抽样调查．假设四个社区驾驶员的总人数为N，其中甲社区有驾驶员96人．若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为12,21,25,43，则这四个社区驾驶员的总人数N为( )
A．101
B．808
C．1
212
D．2
012
2．某地区高中分三类，A类学校共有学生4
000人，B类学校共有学生2
000人，C类学校共有学生3
000人，现欲抽样分析某次考试的情况，若抽取900份试卷进行分析，则从A类学校抽取的试卷份数为( )
A．450
B．400
C．300
D．200
3．当前，国家正分批修建经济适用房以解决低收入家庭住房紧张的问题．已知甲、乙、丙三个社区现分别有低收入家庭360户、270户、180户，若第一批经济适用房中有90套住房用于解决这三个社区中90户低收入家庭的住房问题，先采用分层抽样的方法决定各社区户数，则应从甲社区中抽取低收入家庭的户数为( )
A．40
B．30
C．20
D．36
4．为了解某地区中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查．事先已经了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大．在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是( )
A．抽签法抽样
B．按性别分层抽样
C．按学段分层抽样
D．随机数法抽样
5．从某地区15
000位老人中按性别分层随机抽取一个容量为500的样本，调查其生活能否自理的情况如下表所示．
性别人数生活能否自理
男
女
能
178
278
不能
23
21
则该地区生活不能自理的老人中男性比女性多的人数约为( )
A．60
B．100
C．1
500
D．2
000
6．某单位老年人、中年人、青年人的人数分布如下表，用分层随机抽样的方法抽取17人进行单位管理问卷调查，若抽到3位老年人，则抽到的中年人的人数为( )
类别
人数
老年人
15
中年人
？
青年人
40
A.9
B．8
C．6
D．3
7．某单位共有老、中、青职工430人，其中有青年职工160人，中年职工人数是老年职工人数的2倍，为了解职工的身体状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有青年职工32人，则该样本中的老年职工人数为________．
8．甲、乙两套设备生产的同类型产品共4
800件，采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为80的样本进行质量检测，若样本中有50件产品由甲设备生产，则乙设备生产的产品总数为________件．
9．(易错题)某工厂生产A，B，C，D四种不同型号的产品，产品的数量之比依次为2∶3∶5∶1，现用分层随机抽样的方法抽取一个容量为n的样本，若样本中A型号有16件，那么此样本的容量n为________．
10．(探究题)在100件产品中，一等品20件，二等品30件，三等品50件，现要抽取一个容量为30的样本，请说明抽样过程，并说明抽样的公正性和合理性．
学科素养升级练
进阶训练第三层
1．(多选题)为了保证分层随机抽样时，每个个体等可能地被抽取，必须要求( )
A．每层的个体数必须一样多
B．每层抽取的个体数不一定相等
C．每层抽取的个体可以不一样多，但必须满足抽取ni＝n·(i＝1,2，…，k)个个体，其中k是层数，n是抽取的样本容量，Ni是第i层所包含的个体数，N是总体容量
D．只要抽取的样本容量一定，每层抽取的个体数有限制
2．某企业三月中旬生产A，B，C三种产品共3
000件，根据分层随机抽样的结果，该企业统计员制作了如下的统计表：
由于不小心，表格中A，C产品的有关数据已被污染看不清楚，统计员记得A产品的样本量比C产品的样本量多10.根据以上信息，可得C产品的数量是________件．
3．(情境命题—生活情境)某单位最近组织了一次健身活动，活动分为登山组和游泳组，且每个职工至多参加其中一组．在参加活动的职工中，青年人占42.5%，中年人占47.5%，老年人占10%，登山组的职工占参加活动总人数的，且该组中，青年人占50%，中年人占40%，老年人占10%.为了了解各组不同的年龄层的职工对本次活动的满意程度，现用分层随机抽样的方法从参加活动的全体职工中抽取容量为200的样本．试求：
(1)游泳组中，青年人、中年人、老年人分别所占的比例；
(2)游泳组中，青年人、中年人、老年人分别应抽取的人数．
2．2 分层随机抽样
必备知识基础练
1．解析：A中总体个体无明显差异且个数较少，适合用简单随机抽样；C和D中总体个体无明显差异且个数较多，适合用系统抽样；B中总体个体差异明显，适合用分层随机抽样．
答案：B
2．解析：各部分之间有明显的差异是分层抽样的依据．
答案：C
3．解析：根据各校人数比例为3
600:5
400:1
800＝2:3:1，样本量为90，可求出从甲校应抽取30人，从乙校应抽取45人，从丙校应抽取15人．
答案：B
4．解析：方法一 因为“泥塑”社团的人数占两个社团总人数的，所以“剪纸”社团的人数占两个社团总人数的，
所以“剪纸”社团的人数为800×＝320.
因为“剪纸”社团中高二年级人数比例为＝＝，
所以“剪纸”社团中高二年级人数为320×＝96.
由题意知，抽样比为＝，所以从高二年级“剪纸”社团中抽取的人数为96×＝6.
方法二 因为“泥塑”社团的人数占两个社团总人数的，所以“剪纸”社团的人数占两个社团总人数的，
所以抽取的50人的样本中，“剪纸”社团中的人数为50×＝20.
又“剪纸”社团中高二年级人数比例为＝＝，
所以从高二年级“剪纸”社团中抽取的人数为20×＝6.
答案：6
5．解析：采用分层抽样的方式抽取参加现场节目的观众，步骤如下：
第一步，分层．按城区分为四层：东城区、西城区、南城区、北城区．
第二步，确定抽样比．样本容量n＝60，总体容量N＝12
000，故抽样比k＝＝＝.
第三步，按比例确定每层抽取个体数．在东城区抽取2
400×＝12(人)，在西城区抽取4
600×＝23(人)，在南城区抽取3
800×＝19(人)，在北城区抽取1
200×＝6(人)．
第四步，在各层分别用简单随机抽样法抽取样本．将各城区抽取的观众合在一起组成样本．
关键能力综合练
1．解析：由题意知抽样比为，而四个社区一共抽取的驾驶员人数为12＋21＋25＋43＝101，故有＝，解得N＝808.
答案：B
2．解析：应采取分层抽样(因为学校间差异大)，抽取的比例为4
000:2
000:3
000，即4:2:3，所以A类学校应抽取900×＝400(份)．
答案：B
3．解析：抽样比为＝，则应从甲社区中抽取低收入家庭的户数为360×＝40.
答案：A
4．解析：因为三个学段学生的视力情况有较大差异，而男、女生视力情况差异不大，所以适合按学段分层抽样．
答案：C
5．解析：由分层随机抽样方法知所求人数为×15
000＝60.
答案：A
6．解析：设该单位的中年人的人数为x，则由表可知，＝，解得x＝30.因此在抽取的17人中，中年人的人数为30×＝6，故选C.
答案：C
7．解析：设该单位老年职工人数为x，由题意得3x＝430－160，解得x＝90.则样本中的老年职工人数为90×＝18.
答案：18
8．解析：设乙设备生产的产品总数为x件，由已知得：＝，解得x＝1
800.
答案：1
800
9．解析：依题意得，＝，∴＝，解得n＝88，所以样本容量为88.
答案：88
10．解析：第一步：将产品按等级分成三层．第一层，一等品20件；第二层，二等品30件；第三层，三等品50件．
第二步：确定每一层抽取的样品容量．因为20?30?50
＝2?3?5，所以应在第一层中抽取产品6件，在第二层中抽取产品9件，在第三层中抽取产品15件．分别给这100件产品编号并贴上标签，用抽签法或随机数法分层抽取样本，得到一等品6件，二等品9件，三等品15件．这样我们就通过分层抽样的方法得到了一个容量为30的样本．
在100件产品中抽取30件，因此总体中每个个体入样的可能性均为＝，
在第一层中每个个体入样的可能性为＝，
在第二层中每个个体入样的可能性为＝，
在第三层中每个个体入样的可能性为＝.
因此，可以说明每个个体被抽到的可能性是相同的，即抽样方法是合理的、公平的．
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1．解析：每层的个体数不一定都一样多，故A错误；由于每层的容量不一定相等，若每层抽取同样多的个体，从整个总体来看，各层之间的个体被抽取的可能性显然就不一样了，所以每层抽取的个体数不一定相等，故B正确；对于第i层的每个个体，它被抽到的可能性与层数i无关，即对于每个个体来说，被抽入样本的可能性是相同的，故C正确；每层抽取的个体数是有限的，故D正确．
答案：BCD
2．解析：设C产品的数量为x，则A产品的数量为3
000－1
300－x＝1
700－x.设C产品的样本量为a，则A产品的样本量为10＋a.由分层随机抽样的定义，可得＝＝，解得x＝800.
答案：800
3．解析：(1)设登山组人数为x，游泳组中，青年人、中年人、老年人各占比例分别为a，b，c，则有
＝47.5%，＝10%.解得b＝50%，c＝10%.
故a＝1－50%－10%＝40%.即游泳组中，青年人、中年人、老年人各占比例分别为40%、50%、10%.
(2)游泳组中，抽取的青年人人数为200××40%＝60；
抽取的中年人人数为200××50%＝75；
抽取的老年人人数为200××10%＝15.
