1.1-3 随机现象
样本空间
随机事件
必备知识基础练
进阶训练第一层
知识点一
随机现象的概念
1.判断下列现象哪些是随机现象，哪些是确定性现象．
(1)我国东南沿海某地明年将3次受到热带气旋的侵袭；
(2)若a为实数，则|a|≥0；
(3)某人开车通过10个路口都将遇到绿灯；
(4)抛一石块，石块下落；
(5)一个正六面体的六个面分别写有数字1,2,3,4,5,6，将它抛掷两次，向上的面的数字之和大于12；
(6)一个电影院某天的上座率超过50%.
知识点二
确定试验的样本空间
2.袋中有红、白、黄、黑四个颜色不同、大小相同的小球，按下列要求分别进行试验．
(1)从中任取一个球；
(2)从中任取两个球；
(3)先后各取一个球．
分别写出上面试验的样本空间，并指出样本点的总数．
3．将数字1,2,3,4任意排成一列，试写出该试验的样本空间．
知识点三
随机事件的概念
4.在1,2,3，…，10这10个数字中，任取3个数字，那么下列事件是不可能事件的是( )
A．3个数字相邻
B．3个数字全是偶数
C．3个数字的和小于5
D．3个数字两两互质
5．从100个同类产品(其中有2个次品)中任取3个，给出下列事件：①三个正品；②两个正品，一个次品；③一个正品，两个次品；④三个次品；⑤至少一个次品；⑥至少一个正品．其中必然事件是________，不可能事件是________，随机事件是________．(填序号)
6．现有7名数理化成绩优秀者，其中A1，A2，A3数学成绩优秀，B1，B2物理成绩优秀，C1，C2化学成绩优秀，从中选出数学、物理、化学成绩优秀者各1名，组成一个小组代表学校参加竞赛．写出事件A＝{(A1，B1，C1)，(A1，B2，C1)，(A2，B1，C1)，(A2，B2，C1)，(A3，B1，C1)，(A3，B2，C1)}的含义．
关键能力综合练
进阶训练第二层
1．(多选题)下列现象是随机现象的是( )
A．从分别标有1,2,3,4,5,6的6张号签中任意抽取一张，抽到4号签
B．向水中扔一块铁块，铁块沉入水中
C．同性电荷相互排斥
D．张伟同学在下一次考试中得第一名
2．从6名男生、2名女生中任选3人，则下列事件中，必然事件是( )
A．3人都是男生
B．至少有1名男生
C．3人都是女生
D．至少有1名女生
3．一个家庭有两个小孩，则样本空间Ω是( )
A．{(男，女)，(男，男)，(女，女)}
B．{(男，女)，(女，男)}
C．{(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)}
D．{(男，男)，(女，女)}
4．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．歌德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30＝7＋23.在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的样本点个数是( )
A．3
B．6
C．10
D．45
5．小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是M，I，N中的一个字母，第二位是1,2,3,4,5中的一个数字，则小敏密码所有可能的样本点个数是( )
A．5
B．8
C．15
D．20
6．已知集合A＝{－9，－7，－5，－3，－1,0,2,4,6,8}，从集合A中选取不相同的两个数，构成平面直角坐标系上的点，观察点的位置，则事件“点落在x轴上”包含的样本点共有( )
A．7个
B．8个
C．9个
D．10个
7．抛掷两枚硬币，面朝上的样本空间有________．
8．从100个同类产品(其中有2个次品)中任取3个．
①三个正品；②两个正品，一个次品；③一个正品，两个次品；④三个次品．
以上的样本点是________．
9．从1,2,3,4中任取2个数，样本空间为______________，事件A“恰好一个奇数，一个偶数”用集合表示为________．
10．某人做试验，从一个装有标号为1,2,3,4的小球的盒子中，无放回地取两个小球，每次取一个，先取的小球的标号为x，后取的小球的标号为y，这样构成有序实数对(x，y)．
(1)写出这个试验的所有结果；
(2)写出“第一次取出的小球上的标号为2”这一事件．
学科素养升级练
进阶训练第三层
1．(多选题)下列事件中，是随机事件的有( )
A．连续两次抛掷同一个骰子，两次都出现2点
B．某人买彩票中奖
C．从集合{1,2,3}中任取两个不同元素，它们的和大于2
D．在标准大气压下，水加热到90
℃时会沸腾
2．已知关于x的二次函数f(x)＝ax2－bx＋1(a≠0)，设集合P＝{1,2,3}，Q＝{－1,1,2,3,4}，分别从集合P和Q中随机取一个数a和b得到样本点(a，b)，则使函数y＝f(x)有零点的样本点的个数为________．
3．(学科素养—数据处理)设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为27,9,18.现采用分层抽样的方法从这三个协会中抽取6名运动员组队参加比赛．
(1)求应从这三个协会中分别抽取的运动员的人数．
(2)将抽取的6名运动员进行编号，编号分别为A1，A2，A3，A4，A5，A6.现从这6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛．
①用所给编号列出样本空间；
②记M为事件“编号为A5和A6的两名运动员中至少有1人被抽到”，列出事件M包含的样本点．
第七章 概率
§1 随机现象与随机事件
1．1 随机现象
1．2 样本空间
1．3 随机事件
必备知识基础练
1．答案：(1)(3)(6)为随机现象，(2)(4)(5)为确定性现象．
2．解析：(1)Ω＝{红，白，黄，黑}，样本点的总数为4.
(2)一次取两个球，若记(红，白)代表一次取出红球、白球各一个，则样本空间Ω＝{(红，白)，(红，黄)，(红，黑)，(白，黄)，(白，黑)，(黄，黑)}，样本点的总数为6.
(3)先后取两个球，如记(红，白)代表第一次取出一个红球，第二次取出一个白球．
列表如下：
第一次第二次
红
白
黄
黑
红
(白，红)
(黄，红)
(黑，红)
白
(红，白)
(黄，白)
(黑，白)
黄
(红，黄)
(白，黄)
(黑，黄)
黑
(红，黑)
(白，黑)
(黄，黑)
则样本空间为Ω＝{(红，白)，(白，红)，(红，黄)，(黄，红)，(红，黑)，(黑，红)，(黄，黑)，(黑，黄)，(黄，白)，(白，黄)，(白，黑)，(黑，白)}，样本点的总数为12.
3．解析：这个试验的样本点实质是由1,2,3,4这四个数字组成的没有重复数字的四位数，所作树状图如图．
这个试验的样本空间Ω＝{1234,1243,1324,1342,1432,1423,2134,2143,2341,2314,2431,2413,3124,3142,3214,3241,3421,3412,4123,4132,4213,4231,4312,4321}．
4．解析：从10个数字中任取3个数字，这3个数字的和大于或等于6，小于5的情况不可能发生，故“这3个数字的和小于5”这一事件是不可能事件．
答案：C
5．解析：从100个同类产品(其中有2个次品)中任取3个，可能的结果是“三个全是正品”“两个正品，一个次品”“一个正品，两个次品”．因此，“至少一个正品”是必然事件；“三个次品”是不可能事件；其余的是随机事件．
答案：⑥ ④ ①②③⑤
6．解析：从7人中选出数学、物理、化学成绩优秀者各1名，其一切可能的结果组成的样本空间Ω＝{(A1，B1，C1)，(A1，B1，C2)，(A1，B2，C1)，(A1，B2，C2)，(A2，B1，C1)，(A2，B1，C2)，(A2，B2，C1)，(A2，B2，C2)，(A3，B1，C1)，(A3，B1，C2)，(A3，B2，C1)，(A3，B2，C2)}，由事件A中的样本点可看出，任一样本点出现都有C1被选中，事件A发生，而事件A发生必有其中一样本点出现，因此事件A的意义为从各组中任选一人，C1被选中．
关键能力综合练
1．解析：B，C为确定性现象，A，D为随机现象．
答案：AD
2．解析：由于女生只有2人，而现在选择3人，故至少要有1名男生．
答案：B
3．解析：因为两个小孩有大小之分，所以(男，女)与(女，男)是不同的样本点．故选C.
答案：C
4．解析：不超过30的素数有2,3,5,7,11,13,17,19,23,29，从中选2个不同数之和等于30的有(7,23)，(11,19)，(13,17)，共3种．
答案：A
5．解析：∵Ω＝{(M,1)，(M,2)，(M,3)，(M,4)，(M,5)，(I,1)，(I,2)，(I,3)，(I,4)，(I,5)，(N,1)，(N,2)，(N,3)，(N,4)，(N,5)}，共有15种．
答案：C
6．解析：“点落在x轴上”这一事件记为M，则M＝{(－9,0)，(－7,0)，(－5,0)，(－3,0)，(－1,0)，(2,0)，(4,0)，(6,0)，(8,0)}，包含9个样本点．
答案：C
7．解析：每枚硬币都有可能正面朝上、反面朝上，则样本空间为{(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)}．
答案：{(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)}
8．解析：从100个产品(其中2个次品)中任取3个可能结果是：“三个全是正品”，“两个正品一个次品”，“一个正品两个次品”．
答案：①②③
9．答案：{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)}，A＝{(1,2)，(1,4)，(2,3)，(3,4)}．
10．解析：(1)当x＝1时，y＝2,3,4；当x＝2时，y＝1,3,4；当x＝3时，y＝1,2,4；当x＝4时，y＝1,2,3.因此，这个试验的所有结果是(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)．
(2)记“第一次取出的小球上的标号为2”为事件A，则A＝{(2,1)，(2,3)，(2,4)}．
学科素养升级练
1．解析：A、B是随机事件，C是必然事件，D是不可能事件，故选AB.
答案：AB
2．解析：(a，b)的情况有(1，－1)，(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2，－1)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3，－1)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，共15种．函数y＝f(x)有零点等价于Δ＝b2－4a≥0，符合条件的有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，共6个样本点．
答案：6
3．解析：(1)甲、乙、丙三个乒乓球协会共有运动员27＋9＋18＝54(人)，则应从甲协会抽取27×＝3(人)，应从乙协会抽取9×＝1(人)，应从丙协会抽取18×＝2(人)．
故从甲、乙、丙三个乒乓球协会中抽取的运动员人数分别为3,1,2.
(2)①从6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛的样本空间为Ω＝{(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，A4)，(A1，A5)，(A1，A6)，(A2，A3)，(A2，A4)，(A2，A5)，(A2，A6)，(A3，A4)，(A3，A5)，(A3，A6)，(A4，A5)，(A4，A6)，(A5，A6)}．
②事件M包含的样本点为(A1，A5)，(A1，A6)，(A2，A5)，(A2，A6)，(A3，A5)，(A3，A6)，(A4，A5)，(A4，A6)，(A5，A6)．1.4 随机事件的运算
必备知识基础练
进阶训练第一层
知识点一
交事件与并事件的概念
1.某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名学生参加演讲比赛，事件A表示“一名男生一名女生”，事件B表示“2名男生”，事件C表示“至少一名女生”，事件D表示“性别相同”．
(1)A∩D，B∩D，C∩D分别指什么事件？
(2)A∪B，A∪D分别指什么事件？
(3)A∪B∩C表示什么事件？
知识点二
互斥事件与对立事件的判断
2.把红、黑、白、蓝4张纸牌随机地分给甲、乙、丙、丁4个人，每个人分得1张，事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是( )
A．对立事件
B．不可能事件
C．互斥但不对立事件
D．以上均不对
3．一个人连续射击三次，则事件“至少击中两次”的对立事件是( )
A．恰有一次击中
B．三次都没击中
C．三次都击中
D．至多击中一次
4．判断下列给出的每对事件，是否为互斥事件，是否为对立事件，并说明理由，从40张扑克牌(红桃、黑桃、方块、梅花点数从1～10各10张)中，任取一张．
(1)“抽出红桃”与“抽出黑桃”；
(2)“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”；
(3)“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”．
知识点三
随机事件的运算
5.在试验“连续抛掷一枚硬币3次，观察落地后正面、反面出现的情况”中，设事件A表示随机事件“第一次出现正面”，事件B表示随机事件“3次出现同一面”，事件C表示随机事件“至少1次出现正面”．
(1)试用样本点表示事件A∪B，A∩B，A∪C，A∩C；
(2)试用样本点表示事件∪B，∩B，A∪，A∩；
(3)试判断事件A与B，A与C，B与C是否为互斥事件．
关键能力综合练
进阶训练第二层
1．一个人打靶时连续射击两次，事件“至多有一次中靶”的互斥事件是( )
A．两次都中靶
B．至少有一次中靶
C．两次都不中靶
D．只有一次中靶
2．抛掷一枚均匀的色子，事件A表示“向上的点数是奇数”，事件B表示“向上的点数不超过4”．则下列叙述正确的是( )
A．A∩B中有3个样本点
B．A∪B中有8个样本点
C．事件A与B不互斥也不对立
D．事件A与B互斥但不对立
3．产品中有正品4件，次品3件，从中任取2件：
①恰有一件次品和恰有2件次品；
②至少有一件次品和全都是次品；
③至少有一件正品和至少有一件次品；
④至少有一件次品和全是正品．
上述四组事件中，互为互斥事件的组数是( )
A．1
B．2
C．3
D．4
4．如果事件A与B是互斥事件，则( )
A．A∪B是必然事件
B.与一定是互斥事件
C.与一定不是互斥事件
D.∪是必然事件
5．对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设事件A＝{两弹都击中飞机}，事件B＝{两弹都没击中飞机}，事件C＝{恰有一弹击中飞机)，事件D＝{至少有一弹击中飞机}，下列关系不正确的是( )
A．A?D
B．B∩D＝?
C．A∪C＝D
D．A∪B＝B∪D
6．(易错题)已知100件产品中有5件次品，从这100件产品中任意取出3件，设E表示事件“3件产品全不是次品”，F表示事件“3件产品全是次品”，G表示事件“3件产品中至少有1件次品”，则下列结论正确的是( )
A．F与G互斥
B．E与G互斥但不对立
C．E，F，G任意两个事件均互斥
D．E与G对立
7．抛掷一颗质地均匀的骰子，事件A为点数不小于4，事件B为点数不大于4，则A∩B＝________.
8．在抛掷一颗骰子的试验中，事件A表示“不大于4的偶数点出现”，事件B表示“小于5的点数出现”，则事件A∪包含的样本点有________．
9．一个袋子中有大小和质地相同的4个球，红色2个(标号1和2)白色2个(标号3和4)从袋中随机摸出2个球，设事件R1＝“第一次摸到红球”，R2＝“第二次摸到红球”，R＝“两次都摸到红球”．则R1，R2，R三个事件的关系为________．
10．盒子里有6个红球、4个白球，现从中任取3个球，设事件A＝{取得的3个球有1个红球、2个白球}，事件B＝{取得的3个球有2个红球、1个白球}，事件C＝{取得的3个球至少有1个红球}，事件D＝{取得的3个球既有红球又有白球}．问：
(1)事件D与A，B是什么样的运算关系？
(2)事件C与A的交事件是什么事件？
学科素养升级练
进阶训练第三层
1．(多选题)口袋内装有红色、绿色和蓝色卡片各3张，一次取出3张卡片，则与事件“3件卡片都为红色”互斥而非对立的事件是( )
A．3张卡片都不是红色
B．3张卡片恰有一张红色
C．3张卡片至少有一张红色
D．3张卡片恰有两张红色
2．小红上学要经过三个十字路口，每个路口遇到红、绿灯的可能性都相等．事件A表示“第二个路口是红灯”，事件B表示“第三个路口是红灯”，事件C表示“至少两个绿灯”，则A∩B包含的样本点有________个，事件A∩B与C的关系是________．
3．(情境命题—生活情境)如图，转盘①的三个扇形面积相等，分别标有数字1,2,3，转盘②的四个扇形面积相等，分别标有数字1,2,3,4.转动①，②转盘各一次，当转盘停止转动时，将指针所落扇形中的两个数字记录下来(当指针落在分界线上时，重新转动转盘)．
事件A表示“两数字之积为偶数”，事件B表示“两数字之和为偶数”，事件C表示“两数字之差的绝对值大于3”．
(1)用样本点表示A∩B，A∪B；
(2)判断事件A与C，B与C的关系．
1．4 随机事件的运算
必备知识基础练
1．解析：(1)事件A与事件D不可能同时发生，所以A∩D是不可能事件，B∩D表示事件“选到2名男生”，C∩D表示事件“选到2名女生”．
(2)A∪B表示事件“至少选到一名男生”，A∪D表示必然事件．
(3)A∪B∩C表示事件“选到一名男生和一名女生”，即事件A.
2．解析：根据题意，把红、蓝、黑、白4张纸牌随机分给甲、乙、丙、丁
4个人，事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”不会同时发生，则两者是互斥事件，但除了“甲分得红牌”与“乙分得红牌”之外，还有“丙分得红牌”和“丁分得红牌”，则两者不是对立事件．
∴事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是互斥但不对立事件．
答案：C
3．解析：根据题意，一个人连续射击三次，事件“至少击中两次”包括“击中两次”和“击中三次”两个事件，其对立事件为“一次都没有击中和击中一次”，即“至多击中一次”．
答案：D
4．解析：(1)是互斥事件，不是对立事件．理由是：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出红桃”和“抽出黑桃”是不可能同时发生的，所以是互斥事件，同时，不能保证其中必有一个发生，这是由于还可能抽出“方块”或者“梅花”，因此，二者不是对立事件．
(2)既是互斥事件，又是对立事件，理由是：从40张扑克牌中，任意抽取1张，“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”两个事件不可能同时发生，且其中必有一个发生，所以它们既是互斥事件，又是对立事件．
(3)不是互斥事件，当然也不可能是对立事件．理由是：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”这两个事件可能同时发生，如抽出的牌的点数为10，因此，二者不是互斥事件，当然也不可能是对立事件．
5．解析：用H代表“出现正面”，用T代表“出现反面”．
Ω＝{HHH，HHT，HTT，HTH，THH，THT，TTH，TTT}，
A＝{HHH，HHT，HTT，HTH}，B＝{HHH，TTT}，
C＝{HHH，HHT，HTT，HTH，THH，THT，TTH}．
(1)A∪B＝{HHH，HHT，HTT，HTH，TTT}，A∩B＝{HHH}，A∪C＝{HHH，HHT，HTT，HTH，THH，THT，TTH}，
A∩C＝{HHH，HHT，HTT，HTH}．
(2)∪B＝{THH，THT，TTH，TTT，HHH}，∩B＝{TTT}，
A∪＝{HHH，HHT，HTT，HTH，TTT}，A∩＝?.
(3)∵A∩B＝{HHH}≠?，A∩C＝{HHH，HHT，HTT，HTH}≠?，B∩C＝{HHH}≠?，∴A与B不互斥，A与C不互斥，B与C不互斥．
关键能力综合练
1．解析：事件“至多有一次中靶”包含“只有一次中靶”和“两次都不中靶”，因此不会与其同时发生的事件是“两次都中靶”．
答案：A
2．解析：A∩B＝{1,3}，A∪B＝{1,2,3,4,5}，故A，B，D错误．故选C.
答案：C
3．解析：产品中有正品4件，次品3件，从中任取2件：在①中，恰有一件次品和恰有2件次品不能同时发生，故①是互斥事件；在②中，至少有一件次品和全都是次品能同时发生，故②不是互斥事件；在③中，至少有一件正品和至少有一件次品能同时发生，故③不是互斥事件；④至少有一件次品和全是正品不能同时发生，故④是互斥事件．
答案：B
4．解析：由互斥事件的意义可知，互斥事件是不能同时发生的事件，它与对立事件不同，它们的补集的和事件一定是必然事件，故选D.
答案：D
5．解析：“恰有一弹击中飞机”指第一枚击中第二枚没中或第一枚没中第二枚击中，“至少有一弹击中”包含两种情况：一种是恰有一弹击中，一种是两弹都击中，∴A∪B≠B∪D.
答案：D
6．易错分析：
解答本题易出现两个错误．一是对互斥事件与对立事件的概念模糊不清，理解不透；二是对“全是、全不是、至多、至少”搞不太清楚，而导致错误．
解析：由题意得事件E与事件F不可能同时发生，是互斥事件；事件E与事件G不可能同时发生，是互斥事件；当事件F发生时，事件G一定发生，所以事件F与事件G不是互斥事件，故A，C不正确．事件E与事件G中必有一个发生，所以事件E与事件G对立，所以B不正确，D正确．
答案：D
7．解析：事件A点数不小于4，则样本点为4,5,6，
事件B点数不大于4，则样本点为1,2,3,4.∴A∩B＝{4}．
答案：{4}
8．解析：A＝{2,4}，B＝{1,2,3,4}，＝{5,6}，A∪＝{2,4,5,6}．
答案：{2,4,5,6}
9．解析：试验的样本空间为Ω＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)}，R1＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,3)，(2,4)}，R2＝{(2,1)，(3,1)，(4,1)，(1,2)，(3,2)，(4,2)}．由此可知，R1∩R2＝R，即R是R1与R2的交事件．
答案：R1∩R2＝R
10．解析：(1)对于事件D，可能的结果为1个红球、2个白球或2个红球、1个白球，故D＝A∪B.
(2)对于事件C，可能的结果是1个红球、2个白球或2个红球、1个白球或3个均为红球，故C∩A＝A.
学科素养升级练
1．解析：∵口袋内装有红色、绿色和蓝色卡片各3张，一次取出3张卡片，则A事件“3张卡片都不是红色”与事件“3张卡片都为红色”是互斥不对立事件；B事件“3张卡片恰有一张红色”与事件“3张卡片都为红色”是互斥不对立事件；C事件“3张卡片至少有一张红色”与事件“3张卡片都为红色”不是互斥事件；D事件“3张卡片恰有两张红色”与事件“3张卡片都为红色”是互斥不对立事件．故选A、B、D.
答案：ABD
2．解析：根据题意，可画出如图所示的树状图，
A∩B＝{红红红，绿红红}，包含2个样本点，C＝{红绿绿，绿红绿，绿绿红，绿绿绿}，(A∩B)∩C＝?，故事件A∩B与C互斥．
答案：2 互斥
3．解析：列表如下：
转盘②转盘①
1
2
3
4
1
(1,1)
(1,2)
(1,3)
(1,4)
2
(2,1)
(2,2)
(2,3)
(2,4)
3
(3,1)
(3,2)
(3,3)
(3,4)
由上表可知，共有12种等可能的结果．
(1)A＝{(1,2)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,2)，(3,4)}，
B＝{(1,1)，(1,3)，(2,2)，(2,4)，(3,1)，(3,3)}，
A∩B＝{(2,2)，(2,4)}，
A∪B＝{(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)}．
(2)C＝{(1,4)}，A∩C＝{(1,4)}，故A与C能同时发生，不互斥更不对立．
B∩C＝?，B∪C≠Ω，故B与C互斥但不对立．
