第1课时 必要条件与充分条件
必备知识基础练
进阶训练第一层
知识点一
必要条件的判断
1.下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的q是p的必要条件？
(1)p：|x|＝|y|，q：x＝y；
(2)p：△ABC是直角三角形，q：△ABC是等腰三角形；
(3)p：x＝1，q：x－1＝；
(4)p：－2≤x≤5，q：－1≤x≤5；
(5)p：a是自然数，q：a是正整数；
知识点二
充分条件的判断
2.下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的p是q的充分条件？
(1)若x2＝y2，则x＝y；
(2)若内错角相等，则两直线平行；
(3)若整数a能被4整除，则a的个位数字为偶数；
(4)若(x－1)2＋(y－2)2＝0，则(x－1)(y－2)＝0.
知识点三
必要条件与充分条件的应用
3.设x∈R，则x>2的一个必要条件是( )
A．x>1
B．x<1
C．x>3
D．x<3
4．(多选题)下列命题中，是真命题的是( )
A．“x2>0”是“x>0”的充分条件
B．“xy＝0”是“x＝0”的必要条件
C．“|a|＝|b|”是“a＝b”的充分条件
D．“|x|>1”是“x2不小于1”的充分条件
5．若集合A＝{1，m2}，B＝(2,4)，则“m＝2”是“A∩B＝{4}”的________条件(填“充分”或“必要”)．
6．已知M＝{x|a－1
关键能力综合练
进阶训练第二层
1．若a∈R，则“a＝1”是“|a|＝1”的( )
A．充分条件
B．必要条件
C．既不是充分条件，也不是必要条件
D．无法判断
2．设集合A＝{x|0≤x≤3}，集合B＝{x|1≤x≤3}，那么“m∈A”是“m∈B”的( )
A．充分条件
B．必要条件
C．既是充分条件也是必要条件
D．既不充分又不必要条件
3．设a，b∈R，则“(a－b)·a2<0”是“aA．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．既是充分条件，也是必要条件
D．既不充分也不必要条件
4．设集合M＝{x|x≥2}，P＝{x|x>1}，则“x∈M∪P”是“x∈M∩P”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．既是充分条件，也是必要条件
D．既不充分也不必要条件
5．设x∈R，则“|x|<1”是“x3＜1”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．既是充分条件，也是必要条件
D．既不充分也不必要条件
6．(易错题)设p：实数x，y满足x>1且y>1，q：实数x，y满足x＋y>2，则p是q的( )
A．充分条件
B．必要条件
C．既是充分条件，也是必要条件
D．既不是充分条件，也不是必要条件
7．“a和b都是偶数”是“a＋b也是偶数”的________条件．
8．设p：1≤x＜4，q：x＜m，若p是q的充分条件，则实数m的取值范围为________．
9．(探究题)若a，b都是实数，试从①ab＝0；②a＋b＝0；③ab>0中分别选出适合下列条件的，用序号填空．
(1)a，b都为0的必要条件是________；
(2)使a，b都不为0的充分条件是________．
10．指出下列各题中p是q的什么条件(在“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中选一个作答)．
(1)p：x－3＝0，q：(x－2)(x－3)＝0；
(2)p：两个三角形相似，q：两个三角形全等；
(3)p：a>b，q：a＋c>b＋c；
(4)p：a>b，q：ac>bc.
学科素养升级练
进阶训练第三层
1．(多选题)若x2－x－2<0是－2A．1
B．2
C．3
D．4
2．(学科素养－逻辑推理)设甲、乙、丙是三个命题，如果甲是乙的必要条件，丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，那么( )
A．丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件
B．丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件
C．丙既是甲的充分条件，又是甲的必要条件
D．丙既不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件
3．(1)已知P＝{x|a－4(2)已知p：a≤x≤a＋1，q：0§2 常用逻辑用语
2.1 必要条件与充分条件
第1课时 必要条件与充分条件
必备知识基础练
1．解析：(1)若|x|＝|y|，则x＝y或x＝－y，
因此pq，所以q不是p的必要条件；
(2)直角三角形不一定是等腰三角形．
因此pq，所以q不是p的必要条件．
(3)当x＝1时，x－1＝＝0，
所以p?q，所以q是p的必要条件；
(4)当x＝－2时，－2≤x≤5成立，但是－1≤x≤5不成立，所以pq，所以q不是p的必要条件；
(5)0是自然数，但是0不是正整数，所以pq，
所以q不是p的必要条件．
2．解析：(1)若x2＝y2，则x＝y或x＝－y，
因此pq，所以p不是q
的充分条件．
(2)若内错角相等，则两直线平行是真命题，
所以p?q，所以p是q的充分条件．
(3)若整数a能被4整除，则a是偶数，
所以a的个位数字为偶数；
所以p?q，所以p是q的充分条件．
(4)因为(x－1)2＋(y－2)2＝0?x＝1且y＝2?(x－1)·(y－2)＝0，
所以p?q，所以p是q的充分条件．
3．解析：因为x>2?x>1，所以x>1是x>2的必要条件，故选A.
答案：A
4．解析：x2>0?x>0或x<0，不能推出x>0，而x>0?x2>0，故x2>0是x>0的必要条件，故A错误；xy＝0?x＝0或y＝0，不能推出x＝0，而x＝0?xy＝0，故xy＝0是x＝0的必要条件；故B正确；|a|＝|b|?a＝b或a＝－b，不能推出a＝b，而a＝b?|a|＝|b|，故|a|＝|b|是a＝b的必要条件；故C错误；|x|>1?x2不小于1，而x2不小于1不能推出|x|>1，故|x|>1是x2不小于1的充分条件，故D正确．故选B、D.
答案：BD
5．解析：当m＝2时，A＝{1,4}，所以A∩B＝{4}；若A∩B＝4，则m2＝4，所以m＝±2.故m＝2是A∩B＝{4}的充分条件．
答案：充分
6．解析：因为N是M的必要条件，所以M?N.于是从而可得－2≤a≤7.
故a的取值范围为[－2,7]．
答案：[－2,7]
关键能力综合练
1．解析：当a＝1时，|a|＝1成立，但当|a|＝1时，a＝±1，所以a＝1不一定成立，∴“a＝1”是“|a|＝1”的充分条件．故选A.
答案：A
2．解析：因为集合A＝{x|0≤x≤3}，集合B＝{x|1≤x≤3}，则由“m∈A”得不到“m∈B”，反之由“m∈B”可得到“m∈A”，故选B.
答案：B
3．解析：若(a－b)·a2<0，则必有a－b<0，即a答案：A
4．解析：因为M∪P＝{x|x＞1}，M∩P＝{x|x≥2}，所以“x∈M∪P”是“x∈M∩P”的必要不充分条件．故选B.
答案：B
5．解析：由|x|<1，得－1答案：A
6．解析：当x>1，y>1时，x＋y>2一定成立，即p?q；当x＋y>2时，可以x＝－1，y＝4，此时q推不出p.故p是q的充分条件．
答案：A
7．解析：当a和b都是偶数时，则a＋b也是偶数；当a＋b为偶数时，a，b可以都为奇数．故填“充分不必要”．
答案：充分不必要
8．解析：令A＝{x|1≤x＜4}，B＝{x|x＜m}，因为p是q的充分条件，所以A?B.所以m≥4.
答案：[4，＋∞)
9．解析：①ab＝0即为a＝0或b＝0，即a，b中至少有一个为0；②a＋b＝0即a，b互为相反数，则a，b可能均为0，也可能为一正一负；③由ab>0知a与b同号，即a，b都不为0.综上可知，“a，b都为0”能推出①②，③能推出“a，b都不为0”，所以a，b都为0的必要条件是①②，使a，b都不为0的充分条件是③.
答案：(1)①② (2)③
10．解析：(1)x－3＝0?(x－2)(x－3)＝0，但(x－2)(x－3)＝0x－3＝0，故p是q的充分不必要条件．
(2)两个三角形相似两个三角形全等，但两个三角形全等?两个三角形相似，故p是q的必要不充分条件．
(3)a>b?a＋c>b＋c，且a＋c>b＋c?a>b，故p是q的充要条件．
(4)a>bac>bc，且ac>bca>b，故p是q的既不充分也不必要条件．
学科素养升级练
1．解析：由x2－x－2<0，解得－1又x2－x－2<0是－2∴(－1,2)?(－2，a)，则a≥2.
∴实数a的值可以是2,3,4.
故选BCD.
答案：BCD
2．解析：因为甲是乙的必要条件，所以乙?甲．
又因为丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，
所以丙?乙，但乙丙，
如图．
综上，有丙?甲，但甲丙，
即丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件．
答案：A
3．解析：(1)因为“x∈P”是“x∈Q”的必要条件，所以Q?P，
所以即
所以－1≤a≤5.
(2)令M＝{x|a≤x≤a＋1}，N＝{x|0∵p是q的充分条件但不是必要条件，∴M?N，
∴解得0必备知识基础练
进阶训练第一层
知识点一
充要条件的判断
1.在下列各题中，试判断p是q的什么条件．
(1)p：a＋5是无理数，q：a是无理数；
(2)若a，b∈R，p：a2＋b2＝0，q：a＝b＝0；
(3)p：A∩B＝A，q：?UB??UA.
2．已知p是q的充分条件，q是r的必要条件，也是s的充分条件，r是s的必要条件，问：
(1)p是r的什么条件？
(2)s是q的什么条件？
(3)p，q，r，s中哪几对互为充要条件？
知识点二
充要条件的证明
3.求证：一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象过原点(0,0)的充要条件是b＝0.
4．求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1的充要条件是a＋b＋c＝0.
知识点三
充要条件的应用
5.“x＝1”是“x2－2x＋1＝0”的( )
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
6．a，b中至少有一个不为零的充要条件是( )
A．ab＝0
B．ab＞0
C．a2＋b2＝0
D．a2＋b2＞0
7．已知集合A＝{x|a－2关键能力综合练
进阶训练第二层
1．设x∈R，则“x＝1”是“x3＝x”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
2．设x∈R，则“x>”是“2x2＋x－1>0”的( )
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
3．函数y＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是( )
A．m＝－2
B．m＝2
C．m＝－1
D．m＝1
4．集合“M∩N＝N”是“M∪N＝M”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
5．已知p：x≤－1或x≥3，q：x>5，则p是q的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
6．若非空集合A，B，C满足A∪B＝C，且B不是A的子集，则( )
A．“x∈C”是“x∈A”的充分不必要条件
B．“x∈C”是“x∈A”的必要不充分条件
C．“x∈C”是“x∈A”的充要条件
D．“x∈C”是“x∈A”的既不充分又不必要条件
7．“x2－1＝0”是“|x|－1＝0”的________条件．(从“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”中选一个合适的填空)
8．(易错题)如果不等式x≤m成立的充分不必要条件是1≤x≤2，则m的最小值为________．
9．设m∈N
，一元二次方程x2－4x＋m＝0有整数根的充要条件是m＝________.
10．(探究题)已知集合M＝{x|x<－3或x>5}，P＝{x|(x－a)(x－8)≤0}．
(1)求M∩P＝{x|5(2)求实数a的一个值，使它成为M∩P＝{x|5学科素养升级练
进阶训练第三层
1．(多选题)下列命题中是真命题的是( )
A．x>2且y>3是x＋y>5的充要条件
B．“x>1”是“|x|>0”的充分不必要条件
C．b2－4ac<0是ax2＋bx＋c<0(a≠0)的解集为R的充要条件
D．三角形的三边满足勾股定理的充要条件是此三角形为直角三角形
2．设条件p：|x|≤m(m＞0)，q：－1≤x≤4，若p是q的充分条件，则m的最大值为________，若p是q的必要条件，则m的最小值为________．
3．(情境命题—学术情境)设a，b，c为△ABC的三边，求证：方程x2＋2ax＋b2＝0与x2＋2cx－b2＝0有公共根的充要条件是A＝90°.
第2课时 充要条件必
备知识基础练
1．解析：(1)因为a＋5是无理数?a是无理数，并且a是无理数?a＋5是无理数，所以p是q的充要条件．
(2)因为a2＋b2＝0?a＝b＝0，并且a＝b＝0?a2＋b2＝0，所以p是q的充要条件．
(3)因为A∩B＝A?A?B??UA??UB，并且?UB??UA?B?A?A∩B＝A，所以p是q的充要条件．
2．解析：
作出“?”图，如右图所示，
可知：p?q，r?q，q?s，s?r.
(1)p?q?s?r，且r?q，q能否推出p未知，∴p是r的充分条件．
(2)∵s?r?q，q?s，∴s是q的充要条件．
(3)共有三对充要条件，q?s；s?r；r?q.
3．证明：①充分性：如果b＝0，那么y＝kx.
当x＝0时，y＝0.
所以一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象过原点(0,0)．
②必要性：因为一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象过原点(0,0)，
所以0＝0＋b，所以b＝0.
综上，一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象过原点(0,0)的充要条件是b＝0.
4．证明：①充分性：∵a＋b＋c＝0，
∴c＝－a－b，代入方程ax2＋bx＋c＝0中可得ax2＋bx－a－b＝0，
即(x－1)(ax＋a＋b)＝0.
故关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1.
②必要性：∵关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1，
∴x＝1满足方程ax2＋bx＋c＝0，
∴a·12＋b·1＋c＝0，即a＋b＋c＝0.
由①②可得，关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1的充要条件是a＋b＋c＝0.
5．解析：解x2－2x＋1＝0得x＝1，所以“x＝1”是“x2－2x＋1＝0”的充要条件．
答案：A
6．解析：a2＋b2＞0，则a，b不同时为零；a，b中至少有一个不为零，则a2＋b2＞0.故选D.
答案：D
7．解析：A∩B＝???0≤a≤2.
答案：0≤a≤2
关键能力综合练
1．解析：当x＝1时，x3＝x成立．若x3＝x，x(x2－1)＝0，得x＝－1,0,1；不一定得到x＝1.
答案：A
2．解析：不等式2x2＋x－1>0，即(x＋1)(2x－1)>0，解得x>或x<－1，所以由x>可以得到不等式2x2＋x－1>0成立，但由2x2＋x－1>0不一定得到x>，所以“x>”是“2x2＋x－1>0”的充分而不必要条件．
答案：A
3．解析：函数y＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是－＝1，即m＝－2，故选A.
答案：A
4．解析：M∩N＝N?N?M?M∪N＝M.
答案：C
5．解析：由{x|x>5}是{x|x≤－1或x≥3}的真子集，可知p是q的必要不充分条件．
答案：B
6．解析：由A∪B＝C知，x∈A?x∈C，x∈CD??x∈A.
所以x∈C是x∈A的必要不充分条件．
答案：B
7．答案：充要
8．解析：由题意可知：1≤x≤2?x≤m，反之不成立，所以m≥2，即m的最小值为2.
答案：2
9．解析：x＝＝2±，因为x是整数，即2±为整数，所以为整数，且m≤4，又m∈N
，取m＝1,2,3,4.验证可得m＝3,4符合题意，所以m＝3,4时可以推出一元二次方程x2－4x＋m＝0有整数根．
答案：3或4
10．解析：(1)由M∩P＝{x|5因此M∩P＝{x|5(2)求实数a的一个值，使它成为M∩P＝{x|5学科素养升级练
1．解析：因为由x>2且y>3?x＋y>5，但由x＋y>5不能推出x>2且y>3，所以x>2且y>3是x＋y>5的充分不必要条件．故A错误；因为由x>1?|x|>0，而由|x|>0不能推出x>1，所以x>1是|x|>0的充分不必要条件．故B正确；因为由b2－4ac<0不能推出ax2＋bx＋c<0(a≠0)的解集为R(a>0时解集为?)，而由ax2＋bx＋c<0(a≠0)的解集为R?b2－4ac<0，所以b2－4ac<0是ax2＋bx＋c<0(a≠0)的解集为R的必要不充分条件．故C错误；由三角形的三边满足勾股定理?此三角形为直角三角形，由三角形为直角三角形?该三角形的三边满足勾股定理，故D正确．
答案：BD
2．解析：条件p：|x|≤m，可得：－m≤x≤m.条件q：－1≤x≤4，
若p是q的充分条件，则－m≥－1，且m≤4，解得0＜m≤1，
则m最大值为1，
p是q的必要条件，则－m≤－1且m≥4，解得m≥4，
则m的最小值为4，
故答案为：1,4
答案：1 4
3．证明：①必要性：设方程x2＋2ax＋b2＝0与x2＋2cx－b2＝0有公共根x0，
则x＋2ax0＋b2＝0，x＋2cx0－b2＝0，
两式相减，可得x0＝，
将此式代入x＋2ax0＋b2＝0整理得b2＋c2＝a2，
故A＝90°.
②充分性：∵A＝90°，∴b2＋c2＝a2，∴b2＝a2－c2.
将此式代入方程x2＋2ax＋b2＝0，
可得x2＋2ax＋a2－c2＝0，
即(x＋a－c)(x＋a＋c)＝0，
将b2＝a2－c2代入方程x2＋2cx－b2＝0，
可得x2＋2cx＋c2－a2＝0，
即(x＋c－a)(x＋c＋a)＝0，
故两方程有公共根x＝－(a＋c)．
∴方程x2＋2ax＋b2＝0与x2＋2cx－b2＝0有公共根的充要条件是A＝90°.第1课时 全称量词命题与存在量词命题
必备知识基础练
进阶训练第一层
知识点一
全称量词与全称量词命题
1.下列命题中全称量词命题的个数为( )
①平行四边形的对角线互相平分；
②梯形有两边平行；
③存在一个菱形，它的四条边不相等．
A．0
B．1
C．2
D．3
2．试判断下列全称量词命题的真假：
(1)?x∈R，x2＋2＞0；
(2)?x∈N，x4≥1；
(3)?x∈R，x2＋1≥2.
知识点二
存在量词与存在量词命题
3.下列命题中，存在量词命题的个数是( )
①有些自然数是偶数；②正方形是菱形；③能被6整除的数也能被3整除；④任意x∈R，y∈R，都有x2＋|y|>0.
A．0
B．1
C．2
D．3
4．判断下列存在量词命题的真假：
(1)有的集合中不含有任何元素．
(2)存在对角线不互相垂直的菱形．
(3)?x∈R，满足3x2＋2>0.
(4)有些整数只有两个正因数．
知识点三
全称量词命题与存在量词命题的应用
5.已知命题p：“?x∈R，mx2≥0”是真命题，则实数m的取值范围是________．
6．已知命题p：?≤x≤2,2x－a≥0，命题q：?x∈R，x2＋2ax＋2＝0.若p和q都是真命题，求实数a的取值范围．
关键能力综合练
进阶训练第二层
1．下列命题中，不是全称量词命题的是( )
A．任何一个实数乘0都等于0
B．自然数都是正整数
C．对于任意x∈Z,2x＋1是奇数
D．一定存在没有最大值的二次函数
2．下列命题中，是真命题且是全称量词命题的是( )
A．对任意的a，b∈R，都有a2＋b2－2a－2b＋2＜0
B．菱形的两条对角线相等
C．存在x∈R，使得x2＝x
D．二次函数y＝x2－ax－1的图象与x轴恒有交点
3．既是存在量词命题，又是真命题的是( )
A．斜三角形的内角是锐角或钝角
B．至少有一个x∈R，使x2≤0
C．两个无理数的和是无理数
D．存在一个负数x，使＞2
4．下列四个命题：
①没有一个无理数不是实数；
②空集是任何一个非空集合的真子集；
③1＋1<2；
④至少存在一个整数x，使得x2－x＋1是整数．
其中是真命题的为( )
A．①②③④
B．①②③
C．①②④
D．②③④
5．下面四个命题：
①?x∈R，x2－3x＋2>0；②?x∈Q，x2＝2；③?x∈R，x2＋1＝0；④?x∈R,4x2>2x－1＋3x2.
其中真命题的个数为( )
A．3
B．2
C．1
D．0
6．(易错题)已知命题p：?x∈R，x2＋x＋a＝0，若命题p是假命题，则实数a的取值范围是( )
A．a>
B．a≤
C．a<
D．a≥
7．命题“有些负数满足不等式(1＋x)(1－9x2)>0”用“?”写成存在量词命题为_________________________________．
8．下列命题：
①偶数都可以被2整除；②角平分线上的任一点到这个角的两边的距离相等；③有的实数是无限不循环小数；④有的菱形是正方形；⑤存在三角形其内角和大于180°.
既是全称量词命题又是真命题的是________，既是存在量词命题又是真命题的是________(填上所有满足要求的序号)．
9．已知命题“?x∈R，函数y＝2x2＋x＋a的函数值恒大于0”是真命题，则实数a的取值范围是________．
10．(探究题)若存在一个实数x，使不等式m－(x2－2x＋5)>0成立，求实数m的取值范围．
学科素养升级练
进阶训练第三层
1．(多选题)已知A＝{x|1≤x≤2}，命题“?x∈A，x2－a≤0”是真命题的一个充分不必要条件可以是( )
A．a≥3
B．a≥4
C．a≥5
D．a≥6
2．若对于任意x∈R，都有ax2＋2x＋a<0，则实数a的取值范围是________．
3．(学科素养—逻辑推理)已知函数y1＝x，y2＝－2x2－m，若对?x1∈{x|－1≤x≤3}，?x2∈{x|0≤x≤2}，使得y1≥y2，求实数m的取值范围．
2．2 全称量词与存在量词
第1课时 全称量词命题与存在量词命题
必备知识基础练
1．解析：①②是全称量词命题，③是存在量词命题．
答案：C
2．解析：(1)由于?x∈R，都有x2≥0.因而有x2＋2≥2＞0.即x2＋2＞0，所以命题“?x∈R，x2＋2＞0”是真命题．
(2)由于0∈N，当x＝0时，x4≥1不成立，所以命题“?x∈N，x4≥1”是假命题．
(3)由于0∈R，当x＝0时，x2＋1≥2不成立，所以“?x∈R，x2＋1≥2”是假命题．
3．解析：命题①含有存在量词；命题②可以叙述为“所有的正方形都是菱形”，故为全称量词命题；命题③可以叙述为“一切能被6整除的数也能被3整除”，是全称量词命题；命题④是全称量词命题，故有1个存在量词命题．
答案：B
4．解析：(1)由于空集中不含有任何元素．因此“有的集合中不含有任何元素”为真命题．
(2)由于所有菱形的对角线都互相垂直．所以不存在对角线不垂直的菱形．因此存在量词命题“存在对角线不互相垂直的菱形”为假命题．
(3)?x∈R，有3x2＋2>0，因此存在量词命题“?x∈R,3x2＋2>0”是真命题．
(4)由于存在整数3只有正因数1和3.所以存在量词命题“有些整数只有两个正因数”为真命题．
5．解析：由“?x∈R，mx2≥0”成立，得m≥0.
答案：[0，＋∞)
6．解析：若p为真命题，则a≤2x对于≤x≤2恒成立，所以a≤1.
若q为真命题，则关于x的方程x2＋2ax＋2＝0有实数根，所以Δ＝4a2－8≥0，即a≥或a≤－.
综上，实数a的取值范围为{a|a≤－}．
关键能力综合练
1．解析：D选项中的命题是存在量词命题，故选D.
答案：D
2．解析：A中含有全称量词“任意的”，故是全称量词命题．由于a2＋b2－2a－2b＋2＝(a－1)2＋(b－1)2≥0，故A是假命题．B，D中在叙述上没有全称量词，但实际上是指“所有的”，菱形的两条对角线不一定相等，所以B是假命题．C是存在量词命题．故选D.
答案：D
3．解析：A，C为全称量词命题．B是存在量词命题，当x＝0时，x2＝0，此命题正确．D显然是假命题．故选B.
答案：B
4．解析：①中表述的为所有无理数都是实数，正确；②空集是任何一个非空集合的真子集，正确；③1＋1＝2，故1＋1＜2为假命题；④当x为整数时，x2－x＋1即为整数，正确．故选C.
答案：C
5．解析：当x＝1时，x2－3x＋2＝0，故①为假命题；因为x＝±时，x2＝2，而±为无理数，故②为假命题；因为x2＋1＞0(x∈R)恒成立，故③为假命题；原不等式可化为x2－2x＋1＞0，即(x－1)2＞0，当x＝1时，(x－1)2＝0，故④为假命题．故选D.
答案：D
6．解析：假设命题p为真，则?x∈R，x2＋x＋a＝0，即关于x的一元二次方程x2＋x＋a＝0有解，所以Δ＝12－4a≥0.解得a≤.因为命题p是假命题，所以a>.故选A.
答案：A
7．解析：命题可分两部分，条件“有些负数”写为“?x<0”，结论“不等式(1＋x)(1－9x2)>0”写为“(1＋x)(1－9x2)>0”．
答案：?x＜0，(1＋x)(1－9x2)＞0
8．解析：①是全称量词命题，是真命题；②是全称量词命题，是真命题；③含存在量词“有的”，是存在量词命题，是真命题；④是存在量词命题，是真命题；⑤是存在量词命题，是假命题，因为任意三角形内角和为180°.
答案：①② ③④
9．解析：由题意可得Δ＝12－4×2×a<0，解得a>.
答案：
10．解析：不等式m－(x2－2x＋5)>0可化为m>x2－2x＋5.
令t＝x2－2x＋5，若存在一个实数x使不等式m>x2－2x＋5成立，只需m>tmin.
又t＝(x－1)2＋4，∴tmin＝4，∴m>4.
所以所求实数m的取值范围是{m|m>4}．
学科素养升级练
1．解析：当该命题是真命题时，只需a≥(x2)max，x∈A＝{x|1≤x≤2}．又y＝x2在1≤x≤2上的最大值是4，所以a≥4.因为a≥4D??a≥5，a≥5?a≥4，故C正确，同理D正确．故选CD.
答案：CD
2．解析：依题意，得
即∴a<－1.
答案：{a|a<－1}
3．解析：因为x1∈{x|－1≤x≤3}，x2∈{x|0≤x≤2}，
所以y1∈{y|0≤y≤9}，y2∈{y|－4－m≤y≤－m}，
又因为对?x1∈{x|－1≤x≤3}，?x2∈{x|0≤x≤2}，使得y1≥y2，
即y1的最小值大于等于y2的最小值，
即－4－m≤0，
所以m≥－4.第2课时 全称量词命题与存在量词命题的否定
必备知识基础练
进阶训练第一层
知识点一
全称量词命题的否定
1.写出下列全称量词命题的否定：
(1)每一个四边形的四个顶点共圆；
(2)所有自然数的平方都是正数；
(3)任何实数x都是方程5x－12＝0的根；
(4)对任意实数x，x2＋1≥0.
2．写出下列全称量词命题的否定，并判断其真假．
(1)不论m取何实数，方程x2＋x－m＝0必有实数根；
(2)每个三角形至少有两个锐角；
(3)?x∈R，|x|≥x；
(4)?x∈R＋，为正数．
知识点二
存在量词命题的否定
3.写出下列存在量词命题p的否定：
(1)p：?x>1，x2－2x－3＝0；
(2)p：有些自然数是奇数；
(3)p：有些平行四边形不是矩形．
4．写出下列存在量词命题的否定，并判断其真假．
(1)有的素数是偶数；
(2)?x∈R，使x2＋x＋<0；
(3)至少有一个实数x，使x3＋1＝0.
知识点三
根据全称(存在)量词命题的否定求参数
5.已知命题“?x≥3，使得2x－16．已知命题“?x∈R，ax2＋2x＋1≠0”为假命题，求实数a的取值范围．
关键能力综合练
进阶训练第二层
1．命题“?x∈R，x2－2x－3≤0”的否定是( )
A．?x∈R，x2－2x－3≤0
B．?x∈R，x2－2x－3≥0
C．?x0∈R，x2－2x－3>0
D．?x∈R，x2－2x－3>0
2．全称量词命题“所有能被5整除的整数都是奇数”的否定是( )
A．所有能被5整除的整数都不是奇数
B．所有奇数都不能被5整除
C．存在一个能被5整除的整数不是奇数
D．存在一个奇数，不能被5整除
3．命题“?x∈?RQ，x3∈Q”的否定是( )
A．?x??RQ，x3∈Q
B．?x∈?RQ，x3?Q
C．?x??RQ，x3∈Q
D．?x∈?RQ，x3?Q
4．已知命题p：实数的平方是非负数，则下列结论正确的是( )
A．命题綈p是真命题
B．命题p是存在量词命题
C．命题p是全称量词命题
D．命题p既不是全称量词命题也不是存在量词命题
5．给出下列命题：
①?x∈R，－x2<0；②?x∈Q，x2＝5；③?x∈R，x2－x－1＝0；④若p：?x∈N，x2≥1，则綈p：?x∈N，x2<1.其中是真命题的是( )
A．①③
B．②④
C．②③
D．③④
6．(易错题)对下列命题的否定说法错误的是( )
A．p：能被2整除的数是偶数；綈p：存在一个能被2整除的数不是偶数
B．p：有些矩形是正方形；綈p：所有的矩形都不是正方形
C．p：有的三角形为正三角形；綈p：所有的三角形不都是正三角形
D．p：?n∈N,2n≤100；綈p：?n∈N,2n>100.
7．命题?x∈R，x2－x＋3>0的否定是________________________________________________________________________，
命题?x∈R，x2＋1<0的否定是________________________________________________________________________．
8．已知命题p：?x>0，x＋a－1＝0.若p为假命题，则a的取值范围是________．
9．(探究题)已知p(x)：x2＋2x－m＞0，如果p(1)是假命题，p(2)是真命题，则实数m的取值范围是________．
10．写出下列命题的否定，并判断它们的真假：
(1)关于x的方程ax＝b都有实数根；
(2)有些正整数没有1和它本身以外的约数；
(3)对任意实数x1，x2，若x1(4)?x>1，使x2－2x－3＝0.
学科素养升级练
进阶训练第三层
1．(多选题)已知命题“?x∈R，使4x2＋(a－2)x＋≤0”是假命题，则实数a的取值范围可以是( )
A．a<1
B．0≤a≤4
C．1≤a≤3
D．02．给出下列命题：
①?x∈R，x2>0；
②?x∈R，x2＋x＋1≤0；
③?x<3，函数y＝有意义；
④?a∈?RQ，b∈?RQ，使得a＋b∈Q.
其中是真命题的个数为________．
3．(情境命题—学术情境)已知命题p：?x∈R，x2－2x＋a≥0，命题q：?x∈R，x2＋x＋2a－1＝0，若p为真命题，q为假命题，求实数a的取值范围．
第2课时 全称量词命题与存在量词命题的否定
必备知识基础练
1．解析：(1)綈p：存在一个四边形，它的四个顶点不共圆．
(2)綈p：有些自然数的平方不是正数．
(3)綈p：存在实数x不是方程5x－12＝0的根．
(4)綈p：存在实数x，使得x2＋1＜0.
2．解析：(1)这一命题可以表述为“对所有的实数m，方程x2＋x－m＝0有实数根”，其否定形式是“存在实数m，使得x2＋x－m＝0没有实数根．”因为当Δ＝12－4×1×(－m)＝1＋4m<0，即m<－时，一元二次方程x2＋x－m＝0没有实数根，所以原命题的否定是真命题．
(2)这一命题的否定形式是“有的三角形至多有一个锐角”，由三角形的内角和为180°知原命题的否定为假命题．
(3)原命题的否定为“?x∈R，使|x|(4)原命题的否定为“?x∈R＋，使≤0”，这个命题是假命题．
3．解析：(1)綈p：?x＞1，x2－2x－3≠0.
(2)綈p：所有的自然数都不是奇数．
(3)綈p：所有的平行四边形都是矩形．
4．解析：(1)题中命题的否定为“所有的素数不是偶数”．这个命题是假命题，如2是素数也是偶数．
(2)题中命题的否定为“?x∈R，x2＋x＋≥0”．这个命题是真命题，因为当x∈R时，x2＋x＋＝2≥0.
(3)题中命题的否定为“?x∈R，x3＋1≠0”．这个命题是假命题，因为x＝－1时，x3＋1＝0.
5．解析：因为命题“?x≥3，使得2x－1答案：(－∞，5]
6．解析：该命题为全称量词命题，因为其是假命题，所以其否定“?x∈R，使ax2＋2x＋1＝0”为真命题，即关于x的方程ax2＋2x＋1＝0有实数根．
所以a＝0，或即a＝0，或a≤1且a≠0，所以a≤1.
所以实数a的取值范围是{a|a≤1}．
关键能力综合练
1．解析：存在量词命题的否定是全称量词命题，一方面要改量词即“?”改为“?”；另一方面要否定结论，即“≤”改为“>”．故选D.
答案：D
2．解析：全称量词命题的否定是存在量词命题，而选项A，B是全称量词命题，所以选项A，B错误．因为“所有能被5整除的整数都是奇数”的否定是“存在一个能被5整除的整数不是奇数”，所以选项D错误，选项C正确，故选C.
答案：C
3．解析：存在量词命题的否定是全称量词命题．因此选D.
答案：D
4．解析：命题p：实数的平方是非负数，是真命题，故綈p是假命题，命题p是全称量词命题，故选C.
答案：C
5．解析：当x＝0时，－x2＝0，所以①是假命题；x2＝5，x＝±，±是无理数，所以②是假命题；当x＝时，x2－x－1＝0，所以③是真命题；全称量词命题的否定是存在量词命题，所以④是真命题．
答案：D
6．解析：C中綈p：所有的三角形都不是正三角形，故C错误．
答案：C
7．答案：?x∈R，x2－x＋3≤0 ?x∈R，x2＋1≥0
8．解析：∵p为假命题，∴綈p为真命题，即?x>0，x＋a－1≠0，所以x≠1－a，∴1－a≤0，即a≥1.故a的取值范围是{a|a≥1}．
答案：{a|a≥1}
9．解析：∵p(1)是假命题，p(2)是真命题．
∴解得3≤m＜8.
答案：[3,8)
10．解析：(1)这个命题的否定为“有些关于x的方程ax＝b无实数根”，如0x＝1，所以这个命题为假命题，这个命题的否定为真命题．
(2)这个命题的否定为“任意正整数都有1和它本身以外的约数”，如2只有1和它本身这两个约数，所以这个命题为真命题，这个命题是否定为假命题．
(3)这个命题的否定为“存在实数x1，x2，若x1(4)这个命题的否定为“?x>1，x2－2x－3≠0”，因为当x＝3时，x2－2x－3＝0，所以这个命题是真命题，这个命题的否定为假命题．
学科素养升级练
1．解析：∵命题“?x∈R，使4x2＋(a－2)x＋≤0”是假命题，∴命题“?x∈R，使4x2＋(a－2)x＋>0”是真命题，即判别式Δ＝(a－2)2－4×4×<0，即Δ＝(a－2)2<4，则－2答案：CD
2．解析：①当x＝0时，x2＝0，是假命题；②x2＋x＋1＝2＋≥0，是假命题；③x＝0时函数没有意义，是假命题；④当a＝2－，b＝3＋时，a＋b＝5，是真命题．
答案：1
3．解析：因为x2－2x＋a＝(x－1)2＋a－1，若p是真命题，则a－1≥0，即a≥1.
若q为假命题，则Δ＝1－4×(2a－1)＝5－8a<0，
即a>，故a≥1.
所以实数a的取值范围是[1，＋∞)．