1.2 集合的基本关系
必备知识基础练
进阶训练第一层
知识点一
集合关系的判断
1.判断下列两个集合之间的关系：
(1)A＝{－1,1}，B＝{x|x2＝1}；
(2)A＝{x|x是等边三角形}，B＝{x|x是等腰三角形}；
(3)A＝{x|－1
(4)M＝{x|x＝2n－1，n∈N
}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈N
}．
知识点二
确定集合的子集、真子集及其个数
2.下列四个命题：
①空集没有子集；
②空集是任何一个集合的真子集；
③?＝{0}；
④任何一个集合必有两个或两个以上的子集．
其中正确命题的个数为( )
A．0
B．1
C．2
D．3
3．已知集合M＝{x∈Z|1≤x≤m}，若集合M有4个子集，则实数m＝( )
A．1
B．2
C．3
D．4
4．已知集合B＝{a，b，c}，C＝{a，b，d}，集合A满足A?B，A?C，则满足条件的集合A的个数是________.
知识点三
利用集合间的关系求参数值或范围
5.设集合A＝{1,3，a}，B＝{1，a2－a＋1}，且B?A，求a的值．
6．已知集合A＝{x|－3关键能力综合练
进阶训练第二层
1．(多选题)已知集合M＝{x|x2－1＝0}，则下列式子表示正确的有( )
A．{1}∈M
B．－1?M
C．??M
D．{1，－1}?M
2．集合A＝{x|－1≤x<2，x∈N}的真子集的个数为( )
A．3
B．7
C．8
D．16
3．集合M＝，N＝，则( )
A．M＝N
B．M?N
C．N?M
D．无法判断
4．已知集合A＝{3，－1}，集合B＝{|x－1|，－1}，且A＝B，则实数x等于( )
A．4
B．－2
C．4或－2
D．2
5．已知集合A?{0,1,2}，且集合A中至少含有一个偶数，则这样的集合A的个数为( )
A．6
B．5
C．4
D．3
6．(易错题)已知集合P＝{x|x2＝1}，Q＝{x|ax＝1}，若Q?P，则a的值是( )
A．1
B．－1
C．1或－1
D．0,1或－1
7．设x，y∈R，A＝{(x，y)|y＝x}，B＝，则A，B的关系是________．
8．已知集合A＝{x|x≥4或x<－5}，B＝{x|a＋1≤x≤a＋3，a∈R}，若B?A，则a的取值范围为________．
9．已知??{x|x2－x＋a＝0}，则实数a的取值范围是________．
10．(探究题)设集合A＝{x|－1≤x＋1≤6}，B＝{x|m－1(1)当x∈Z时，求A的非空真子集的个数；
(2)若A?B，求实数m的取值范围．
学科素养升级练
进阶训练第三层
1．(多选题)已知集合A＝{x|ax≤2}，B＝{2，}，若B?A，则实数a的值可能是( )
A．－1
B．1
C．－2
D．2
2．已知集合A＝{x|ax2＋2x＋a＝0，a∈R}，若集合A有且仅有两个子集，则a的值是________．
3．(学科素养—教学抽象)已知集合P＝{x∈R|x2－3x＋m＝0}，集合Q＝{x∈R|x2＋3x－4＝0}，集合P能否成为集合Q的一个子集？若能，求出m的取值范围，若不能，请说明理由．
1．1.2 集合的基本关系
必备知识基础练
1．解析：(1)用列举法表示集合B＝{－1,1}，故A＝B.
(2)等边三角形是三边相等的三角形，等腰三角形是两边相等的三角形，故A?B.
(3)集合B＝{x|x<5}，用数轴表示集合A，B，如图所示，由图可知A?B.
(4)解法一：两个集合都表示正奇数组成的集合，但由于n∈N
，因此集合M含有元素“1”，而集合N不含元素“1”，故N?M.
解法二：由列举法知M＝{1,3,5,7，…}，N＝{3,5,7,9，…}，所以N?M.
2．解析：因为空集是其本身的子集，故①错误；空集只有本身一个子集，故②④错误；空集没有元素，而集合{0}含有一个元素0，故③错误．故正确命题个数为0.
答案：A
3．解析：根据题意，集合M有4个子集，则M中有2个元素，又由M＝{x∈Z|1≤x≤m}，其元素为大于等于1而小于等于m的全部整数，则m＝2.
答案：B
4．解析：若集合A＝?，满足A?B，A?C；若集合A≠?，集合A可能是{a}，{b}，{a，b}．故集合A共4个．
答案：4
5．解析：∵B?A，∴a2－a＋1＝3或a2－a＋1＝a.
①当a2－a＋1＝3时，解得a＝－1或a＝2.
经检验，满足题意．
②当a2－a＋1＝a时，解得a＝1，此时集合A中的元素1重复，与元素互异性矛盾，故a＝1不合题意．
综上所述，a＝－1或a＝2为所求．
6．解析：∵B?A，∴当B＝?时，1－m≥2m－1，解得m≤；
当B≠?时，将集合A，B分别表示在数轴上，如图
有
解得综上可知，m的取值范围是m<.
关键能力综合练
1．解析：由x2－1＝0，得x＝±1，所以M＝{x|x2－1＝0}＝{1，－1}．{1}?M，－1∈M.故A、B错误；?是任何集合的子集，故C正确；任何集合都是它本身的子集，故D正确．故选C、D.
答案：CD
2．解析：A＝{0,1}，其真子集为?，{0}，{1}，共有22－1＝3(个)．
答案：A
3．解析：∵M中：x＝＋＝
N中：x＝k＋＝n＋，k＝n∈Z，∴N?M.
答案：C
4．解析：∵A＝B，∴|x－1|＝3，解得x＝4或x＝－2.
答案：C
5．解析：集合{0,1,2}的子集为?，{0}，{1}，{2}，{0,1}，{0,2}，{1,2}，{0,1,2}．其中含有偶数的子集有{0}，{2}，{0,1}，{0,2}，{1,2}，{0,1,2}，所以集合A的个数为6.故选A.
答案：A
6．解析：∵P＝{x|x2＝1}＝{1，－1}，Q＝{x|ax＝1}，Q?P，∴当Q是空集时，有a＝0显然成立；当Q＝{1}时，有a＝1，与题意相符；当Q＝{－1}时，有a＝－1，与题意相符．故满足条件的a的值为1，－1,0.故选D.
答案：D
7．解析：A中(x，y)，x∈R，y∈R，所以A表示直线y＝x上所有点构成的集合．B中的x≠0，所以B表示直线y＝x上所有点构成的集合，但除去原点．∴B?A.
答案：B?A
8．解析：利用数轴法表示B?A，如图所示，
则a＋3<－5或a＋1≥4，解得a<－8或a≥3.
答案：{a|a<－8或a≥3}
9．解析：由题意可知{x|x2－x＋a＝0}为非空集合，即方程x2－x＋a＝0有解，所以Δ＝1－4a≥0，解得a≤.
答案：
10．解析：A＝{x|－1≤x＋1≤6}＝{x|－2≤x≤5}．
(1)∵x∈Z，∴A＝{－2，－1,0,1,2,3,4,5}，
∴A中含有8个元素，
∴A的非空真子集的个数为28－2＝254.
(2)①当m≤－2时，B＝??A；
②当m>－2时，B＝{x|m－1因此，要使B?A，只要∴－1≤m≤2.
综上所述，实数m的取值范围是{m|－1≤m≤2，或m≤－2}．
学科素养升级练
1．解析：因为集合A＝{x|ax≤2}，B＝{2，}，B?A，
若a＝－1，A＝[－2，＋∞)，符合题意，A正确；
若a＝1，A＝(－∞，2]，符合题意，B正确；
若a＝－2，A＝[－1，＋∞)，符合题意，C正确；
若a＝2，A＝(－∞，1]，不符合题意，D错误．
故选ABC.
答案：ABC
2．解析：因为A有且仅有两个子集，所以A仅有一个元素，即方程ax2＋2x＋a＝0仅有一根，当a＝0时，方程化为2x＝0，A＝{0}，符合题意；当a≠0时，Δ＝4－4a2＝0，解得a＝±1，此时A＝{－1}或{1}，符合题意．综上所述a＝0或a＝±1.
答案：0或±1
3．解析：(1)当P＝?时，集合P是集合Q的一个子集，此时方程x2－3x＋m＝0无实数根，即Δ＝9－4m<0，所以m>.
(2)当P≠?时，由x2＋3x－4＝0，得x＝－4或x＝1，
所以Q＝{－4,1}．
①当－4∈P时，－4是方程x2－3x＋m＝0的一个根，
所以m＝－28，得P＝{－4,7}，不是集合Q的一个子集；
②当1∈P时，1是方程x2－3x＋m＝0的一个根，所以m＝2，得P＝{1,2}，不是集合Q的一个子集．
综上可知，集合P能成为集合Q的一个子集，m的取值范围是m>.第2课时 全集与补集
必备知识基础练
进阶训练第一层
知识点一
补集的运算
1.已知全集U＝{x|x≤5}，集合A＝{x|－3≤x<5}，则?UA＝________.
2．已知全集U，集合A＝{1,3,5,7}，?UA＝{2,4,6}，?UB＝{1,4,6}，则集合B＝________.
知识点二
集合交、并、补的综合运算
3.设集合S＝{x|x>－2}，T＝{x|－4≤x≤1}，则(?RS)∪T等于( )
A．{x|－2B．{x|x≤－4}
C．{x|x≤1}
D．{x|x≥1}
4．已知全集U＝{1,2,3,4,5}，M＝{1,2}，N＝{2,5}，则如图所示，阴影部分表示的集合是( )
A．{3,4,5}
B．{1,3,4}
C．{1,2,5}
D．{3,4}
5．设全集为R，A＝{x|3≤x<7}，B＝{x|2知识点三
利用集合的运算求参数
6.已知集合A＝{x|x(1)若A∪(?RB)＝R，求实数a的取值范围；
(2)若A?(?RB)，求实数a的取值范围．
关键能力综合练
进阶训练第二层
1．设集合U＝R，M＝{x|x>2或x<－2}，则?UM＝( )
A．{x|－2≤x≤2}
B．{x|－2C．{x|x<－2或x>2}
D．{x|x≤－2或x≥2}
2．已知集合U＝{1,2,3,4,5,6,7}，A＝{2,3,4,5}，B＝{2,3,6,7}，则B∩(?UA)＝( )
A．{1,6}
B．{1,7}
C．{6,7}
D．{1,6,7}
3．已知全集U＝{－1,1,3}，集合A＝{a＋2，a2＋2}，且?UA＝{－1}，则a的值是( )
A．－1
B．1
C．3
D．±1
4．已知集合A，B均为全集U＝{1,2,3,4}的子集，且?U(A∪B)＝{4}，B＝{1,2}，则A∩(?UB)等于( )
A．{3}
B．{4}
C．{3,4}
D．?
5．已知U为全集，集合M，N是U的子集．若M∩N＝N，则( )
A．(?UM)?(?UN)
B．M?(?UN)
C．(?UM)?(?UN)
D．M?(?UN)
6．(探究题)设全集U＝R，集合A＝{x|x≤1或x≥3}，集合B＝{x|kA．k＜0或k＞3
B．2＜k＜3
C．0＜k＜3
D．－1＜k＜3
7．设U＝{x|－5≤x<－2或28．设全集U＝{0,1,2,3}，集合A＝{x|x2＋mx＝0}，若?UA＝{1,2}，则实数m＝________.
9．(易错题)设U为实数集，集合M＝{x|010．设全集U＝R，集合M＝{x|3a－1学科素养升级练
进阶训练第三层
1．(多选题)已知集合A＝{x|－1A．A∩B＝?
B．A∪B＝{x|－2≤x≤3}
C．A∪(?RB)＝{x|x≤－1或x>2}
D．A∩(?RB)＝{x|22．已知R为实数集，集合A＝{x|1≤x≤2}，若B∪(?RA)＝R，B∩(?RA)＝{x|03．(学科素养—逻辑推理)对于集合A，B，我们把集合{(a，b)|a∈A，b∈B}记作A×B.例如，A＝{1,2}，B＝{3,4}，则有
A×B＝{(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)}，
B×A＝{(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)}，
A×A＝{(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)}，
B×B＝{(3,3)，(3,4)，(4,3)，(4,4)}，
据此，试回答下列问题．
(1)已知C＝{a}，D＝{1,2,3}，求C×D；
(2)已知A×B＝{(1,2)，(2,2)}，求集合A，B；
(3)A有3个元素，B有4个元素，试确定A×B有几个元素．
第2课时 全集与补集
必备知识基础练
1．解析：将集合U和集合A分别表示在数轴上，
如图所示．由补集定义可得?UA＝{x|x<－3，或x＝5}．
答案：{x|x<－3，或x＝5}
2．解析：解法一 A＝{1,3,5,7}，?UA＝{2,4,6}，
∴U＝{1,2,3,4,5,6,7}．又?UB＝{1,4,6}，∴B＝{2,3,5,7}．
解法二 借助Venn图，如图所示．
由图可知B＝{2,3,5,7}．
答案：{2,3,5,7}
3．解析：∵S＝{x|x>－2}，∴?RS＝{x|x≤－2}．
而T＝{x|－4≤x≤1}，∴(?RS)∪T＝{x|x≤－2}∪{x|－4≤x≤1}＝{x|x≤1}．
答案：C
4．解析：由图可知，阴影部分表示的集合是?U(M∪N)．
∵M∪N＝{1,2,5}，又U＝{1,2,3,4,5}，
∴?U(M∪N)＝{3,4}．
答案：D
5．解析：由题意知，A∪B＝{x|2∴?R(A∪B)＝{x|x≤2或x≥10}．
又?RA＝{x|x<3或x≥7}．
∴(?RA)∩B＝{x|2答案：{x|x≤2或x≥10} {x|26．解析：(1)∵B＝{x|1∴?RB＝{x|x≤1或x≥3}，
因而要使A∪(?RB)＝R，结合数轴分析(如图)，可得a≥3.
(2)∵A＝{x|x要使A?(?BB)，结合数轴分析(如图)，可得a≤1.
关键能力综合练
1．解析：如图，在数轴上表示出集合M，可知?UM＝{x|－2≤x≤2}．
答案：A
2．解析：依题意得?UA＝{1,6,7}，所以B∩(?UA)＝{6,7}．故选C.
答案：C
3．解析：由A∪(?UA)＝U，可知A＝{1,3}．
又∵a2＋2≥2，∴a＋2＝1且a2＋2＝3.
解得a＝－1，故选A.
答案：A
4．解析：?U(A∪B)＝{4}，∴A∪B＝{1,2,3}．∵B＝{1,2}，∴A＝{3}或{2,3}或{1,3}或{1,2,3}，且?UB＝{3,4}，∴A∩(?UB)＝{3}．
答案：A
5．解析：∵M∩N＝N，∴N?M，∴(?UM)?(?UN)．
答案：C
6．解析：∵A＝{x|x≤1或x≥3}，∴?UA＝{x|1＜x＜3}，若B∩(?UA)＝?，则k＋1≤1或k≥3，即k≤0或k≥3，所以若B∩(?UA)≠?，则0＜k＜3.
答案：C
7．解析：解法一 在集合U中，
∵x∈Z，则x的值为－5，－4，－3,3,4,5，
∴U＝{－5，－4，－3,3,4,5}．
又A＝{x|x2－2x－15＝0}＝{－3,5}，
∴?UA＝{－5，－4,3,4}，?UB＝{－5，－4,5}．
解法二 可用Venn图表示．
则?UA＝{－5，－4,3,4}，?UB＝{－5，－4,5}．
答案：{－5，－4,3,4} {－5，－4,5}
8．解析：∵U＝{0,1,2,3}，?UA＝{1,2}，∴A＝{0,3}，故m＝－3.
答案：－3
9．解析：N＝{y|y＝x2}＝{y|y≥0}，?UM＝{x|x≤0或x≥2}，则(?UM)∩N＝{x|x≥2或x＝0}．
答案：{x|x≥2或x＝0}
10．解析：根据题意可知：N≠?，又∵N?(?UM)．
①当M＝?，即3a－1≥2a时，a≥1.
此时?UM＝R，N?(?UM)显然成立．
②当M≠?，即3a－1<2a时，a<1.
由M＝{x|3a－1又∵N?(?UM)，∴结合数轴分析可知或得a≤－.
综上可知，a的取值集合为a≥1或a≤－.
学科素养升级练
1．解析：∵A＝{x|－1∴A∩B＝{x|－1A∪B＝{x|－1∵?RB＝{x|x<－2或x>2}，
∴A∪(?RB)＝{x|－12}＝{x|x<－2或x>－1}，故C不正确；
A∩(?RB)＝{x|－12}＝{x|2∴正确的是BD.
答案：BD
2．解析：∵A＝{x|1≤x≤2}，
∴?RA＝{x|x<1或x>2}．
又B∪(?RA)＝R，A∪(?RA)＝R，可得A?B.
而B∩(?RA)＝{x|0∴{x|0借助于数轴可得B＝A∪{x|0答案：{x|03．解析：(1)C×D＝{(a,1)，(a,2)，(a,3)}．
(2)∵A×B＝{(1,2)，(2,2)}，
∴A＝{1,2}，B＝{2}．
(3)从以上解题过程中可以看出，A×B中元素的个数，与集合A和B中的元素个数有关，即集合A中的任何一个元素与B中的每一个元素对应后，得到A×B中的一个新元素．若A中有m个元素，B中有n个元素，则A×B中的元素应为(m×n)个．因此若A中有3个元素，B中有4个元素，则A×B中有3×4＝12(个)元素．第1课时 集合的概念
必备知识基础练
进阶训练第一层
知识点一
元素与集合的概念
1.下列对象能构成集合的是( )
A．高一年级全体较胖的学生
B．sin
30°，sin
45°，cos
60°，1
C．全体很大的自然数
D．平面内到△ABC三个顶点距离相等的所有点
2．下列说法中，正确的有________．(填序号)
①单词book的所有字母组成的集合的元素共有4个；
②集合M中有3个元素a，b，c，如果a，b，c是△ABC的三边长，则△ABC不可能是等腰三角形；
③将小于10的自然数按从小到大的顺序排列和按从大到小的顺序排列分别得到不同的两个集合.
知识点二
元素与集合的关系
3.已知集合M中的元素x满足x－1<，则下列各式正确的是( )
A．3∈M且－3?M
B．3∈M且－3∈M
C．3?M且－3?M
D．3?M且－3∈M
4．给出下列关系：①∈R；②?R；③|－3|∈N；
④|－|∈Q.
其中正确的个数为( )
A．1
B．2
C．3
D．4
5．集合A中含有三个元素2,4,6，若a∈A，且6－a∈A，那么a＝________.
知识点三
集合中元素的特性的应用
6.若由a2,2020a组成的集合M中有两个元素，则a的取值可以是( )
A．a＝0
B．a＝2020
C．a＝1
D．a＝0或a＝2020
7．已知集合A＝{x|ax2－3x＋2＝0}至多有一个元素，求a的取值范围．
关键能力综合练
进阶训练第二层
1．下列说法中正确的有( )
A．某学校高一(8)班比较漂亮的女生能确定一个集合
B．由1，，，，0.5组成的集合有5个元素
C．将小于100的自然数按从小到大的顺序排列和按从大到小的顺序排列分别得到两个不同的集合
D．方程x2＋1＝2x的解集中只有一个元素
2．“notebooks”中的字母构成一个集合，该集合中的元素个数是( )
A．5
B．6
C．7
D．8
3．集合A中有三个元素2,3,4，集合B中有三个元素2,4,6，若x∈A且x?B，则x等于( )
A．2
B．3
C．4
D．6
4．下列说法中，正确的个数是( )
①集合N
中最小的数是1；
②若－a?N
，则a∈N
；
③若a∈N
，b∈N
，则a＋b的最小值是2；
④x2＋4＝4x的解集中包含两个元素2,2.
A．0
B．1
C．2
D．3
5．(易错题)已知集合A中含有三个元素1，a，a－1，若－2∈A，则实数a的值为( )
A．－2
B．－1
C．－1或－2
D．－2或－3
6．由实数－a，a，|a|，所组成的集合最多含有的元素个数是( )
A．1
B．2
C．3
D．4
7．设集合B是小于的所有实数的集合，则2____B,1＋________B．(填∈或?)
8．下列说法中：①集合N与集合N
是同一个集合；②集合N中的元素都是集合Z中的元素；③集合Q中的元素都是集合Z中的元素；④集合Q中的元素都是集合R中的元素．其中正确的有________．
9．若集合A中含有三个元素a－3,2a－1，a2－4，且－3∈A，则实数a的值为________．
10．(探究题)已知集合A由0,1，x三个元素组成，且x2∈A，求实数x的值．
学科素养升级练
进阶训练第三层
1．(多选题)已知a，b是非零实数，代数式＋＋的值组成的集合是M，则下列判断正确的是( )
A．0∈M
B．－1∈M
C．3∈M
D．1∈M
2．若集合A中有三个元素1，a＋b，a；集合B中有三个元素0，，b.若集合A与集合B相等，则b－a的值为________．
3．(学科素养—逻辑推理)数集A满足条件：若a∈A，则∈A(a≠1)．
(1)若2∈A，试求出A中其他所有元素；
(2)自己设计一个数属于A，然后求出A中其他所有元素；
(3)从上面两小题的解答过程中，你能悟出什么道理？并大胆证明你发现的这个“道理”．
1．1 集合的概念与表示
第1课时 集合的概念必备知识基础练
1．解析：对于A，因为“较胖”的标准不明确，所以不满足集合元素的确定性，故A错误．对于B，sin
30°＝cos
60°＝，不满足集合元素的互异性，故B错误．对于C，因为“很大的自然数”的标准不明确，所以不满足集合元素的确定性，故C错误．对于D，平面内到△ABC三个顶点距离相等的所有点，可知这个点就是△ABC外接圆的圆心，满足集合的定义．故D正确．
答案：D
2．解析：①不正确，book的字母o有重复，共有3个不同字母，元素个数是3.②正确，集合M中有3个元素a，b，c，所以a，b，c都不相等，它们构成的三角形三边不相等，故不可能是等腰三角形．③不正确，小于10的自然数不管按哪种顺序排列，里面的元素都是0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这10个数，集合是相同的，和元素的排列顺序无关．
答案：②
3．解析：∵3－1＝2>，∴3?M；又∵－3－1＝－4<.
∴－3∈M.故选D.
答案：D
4．解析：①∈R，正确；②?R，错误；③|－3|∈N，正确；④|－|∈Q，错误，所以正确的个数为2，故选B.
答案：B
5．解析：若a＝2，则6－2＝4∈A；若a＝4，则6－4＝2∈A；若a＝6，则6－6＝0?A.故a＝2或4.
答案：2或4
6．解析：若集合M中有两个元素，则a2≠2020a.即a≠0，且a≠2020.故选C.
答案：C
7．解析：当a＝0时，－3x＋2＝0，即x＝，A＝，符合题意；
当a≠0时，ax2－3x＋2＝0至多有一个解，所以Δ＝9－8a≤0，解得a≥.
综上a的取值范围为：a≥或a＝0.
关键能力综合练
1．解析：A是错误的，因为“漂亮”是个模糊的概念，因此不满足集合中元素的确定性；B是错误的，＝，＝0.5，根据互异性，得由1，，，，0.5组成的集合只有3个元素：1，，0.5；C是错误的，根据集合中元素的无序性可知，小于100的自然数无论按什么顺序排列，构成的集合都是同一集合；D是正确的，方程x2＋1＝2x有两个相等解，即x1＝x2＝1，其解集中只有一个元素，故D正确．
答案：D
2．解析：根据集合中元素的互异性，“notebooks”中的不同字母为“n，o，t，e，b，k，s”，共7个，故该集合中的元素个数是7.
答案：C
3．解析：集合A中的元素3不在集合B中，且仅有这个元素符合题意．
答案：B
4．解析：N
是正整数集，最小的正整数是1，故①正确；当a＝0时，－a?N
，a?N
，故②错误；若a∈N
，则a的最小值是1，同理，b∈N
，b的最小值也是1，所以当a和b都取最小值时，a＋b取最小值2，故③正确；由集合元素的互异性，知④错误．
答案：C
5．解析：由题意可知a＝－2或a－1＝－2，即a＝－2或a＝－1，故选C.
答案：C
6．解析：当a＝0时，这四个数都是0，所组成的集合只有一个元素0.当a≠0时，＝|a|＝所以一定与a或－a中的一个一致．故组成的集合中有两个元素．故选B.
答案：B
7．解析：因为2＝>，所以2?B；
因为1＋<，所以1＋∈B.
答案：? ∈
8．解析：因为集合N
表示正整数集，N表示自然数集，Z表示整数集，Q表示有理数集，R表示实数集，所以①③中的说法不正确，②④中的说法正确．
答案：②④
9．解析：①若a－3＝－3，则a＝0，此时A中元素为－3，－1，－4，满足题意．
②若2a－1＝－3，则a＝－1，此时A中元素为－4，－3，－3，不满足元素的互异性．
③若a2－4＝－3，则a＝±1.当a＝1时，A中元素为－2，1，－3，满足题意；当a＝－1时，由②知不合题意．
综上可知，a＝0或a＝1.
答案：0或1
10．解析：因为x2∈A，
所以x2＝0或x2＝1或x2＝x.
若x2＝0，则x＝0，此时A中三个元素为0,1,0，不符合集合中元素的互异性，舍去．
若x2＝1，则x＝±1.
当x＝1时，集合A中三个元素为0,1,1，不符合集合中元素的互异性，舍去；
当x＝－1时，集合A中三个元素分别为0,1，－1，符合题意．
若x2＝x，则x＝0或x＝1，由以上可知，x＝0和x＝1都不符合题意．
综上所述，x＝－1.
学科素养升级练
1．解析：当a，b全为正数时，代数式的值是3；当a，b全是负数时，代数式的值是－1；当a，b是一正一负时，代数式的值是－1.综上可知B、C正确．
答案：BC
2．解析：由题意可知a＋b＝0且a≠0，∴a＝－b，
∴＝－1.∴a＝－1，b＝1，故b－a＝2.
答案：2
3．解析：根据已知条件“若a∈A，则∈A(a≠1)”逐步推导得出其他元素．
(1)其他所有元素为－1，.
(2)假设－2∈A，则∈A，则∈A，其他所有元素为，.
(3)A中只能有3个元素，它们分别是a，，，且三个数的乘积为－1.
证明如下：
由已知，若a∈A，则∈A知，
＝∈A，＝a∈A.
故A中只能有a，，这3个元素．
下面证明三个元素的互异性．若a＝，
则a2－a＋1＝0无解，因为Δ＝1－4＝－3<0，所以方程无实数解，故a≠.
同理可证：a≠，≠.结论得证．第1课时 交集与并集
必备知识基础练
进阶训练第一层
知识点一
交集的运算
1.设集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|0≤x≤4}，则A∩B等于( )
A．{x|0≤x≤2}
B．{x|1≤x≤2}
C．{x|0≤x≤4}
D．{x|1≤x≤4}
2．A＝{x∈N|1≤x≤10}，B＝{x∈R|x2＋x－6＝0}，则图中阴影部分表示的集合为( )
A．{2}
B．{3}
C．{－3,2}
D．{－2,3}
3．设A＝{(x，y)|x＋y＝0}，B＝{(x，y)|x－y＝4}，则A∩B＝________.
知识点二
并集的运算
4.若集合A＝{0,1,2,3}，B＝{1,2,4}，则集合A∪B等于( )
A．{0,1,2,3,4}
B．{1,2,3,4}
C．{1,2}
D．{0}
5．已知集合P＝{x|x<3}，Q＝{x|－1≤x≤4}，那么P∪Q等于( )
A．{x|－1≤x<3}
B．{x|－1≤x≤4}
C．{x|x≤4}
D．{x|x≥－1}
6．已知集合A＝{－1,1,3}，B＝{x|－3A．3
B．4
C．5
D．6
知识点三
交集与并集运算的应用
7.已知M＝{2，a2－3a＋5,5}，N＝{1，a2－6a＋10,3}，M∩N＝{2,3}，则a的值是( )
A．1或2
B．2或4
C．2
D．1
8．已知集合A＝{x|－3关键能力综合练
进阶训练第二层
1．设集合A＝{－1,0，－2}，B＝{x|x2－x－6＝0}，则A∪B等于( )
A．{－2}
B．{－2,3}
C．{－1,0，－2}
D．{－1,0，－2,3}
2．已知集合A＝{x∈R|x≤5}，B＝{x∈R|x>1}，那么A∩B等于( )
A．{1,2,3,4,5}
B．{2,3,4,5}
C．{2,3,4}
D．{x∈R|1＜x≤5}
3．已知集合M＝{x|－35}，则M∪N＝( )
A．{x|x＜－5或x＞－3}
B．{x|－5＜x＜5}
C．{x|－3＜x＜5}
D．{x|x＜－3或x＞5}
4．如图所示的Venn图中，若A＝{x|0≤x≤2}，B＝{x|x>1}，则阴影部分表示的集合为( )
A．{x|0B．{x|1C．{x|0≤x≤1，或x≥2}
D．{x|0≤x≤1，或x>2}
5．已知集合A＝{1,3，}，B＝{1，m}，A∪B＝A，则m＝( )
A．0或3
B．0或
C．1或
D．1或3
6．(易错题)设S＝{x|x<－1或x>5}，T＝{x|aA．－3B．－3≤a≤－1
C．a≤－3或a>－1
D．a<－3或a>－1
7．若集合A＝{x|－18．若集合A＝{x|－1≤x＜2}，B＝{x|x≤a}，若A∩B≠?，则实数a的取值范围是________．
9．已知集合P＝{－1，a＋b，ab}，集合Q＝，若P∪Q＝P∩Q，则a－b＝________.
10．(探究题)已知A＝{x|2a≤x≤a＋3}，B＝{x|x＜－1或x＞5}．
(1)若A∩B＝?，求a的取值范围；
(2)若A∪B＝R，求a的取值范围．
学科素养升级练
进阶训练第三层
1．设A＝{x|－3≤x≤3}，B＝{y|y＝－x2＋t}．若A∩B＝?，则实数t的取值范围是( )
A．t<－3
B．t≤－3
C．t>3
D．t≥3
2．(多填题)设集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|－13．(情境命题—生活情境)向50名学生调查对A，B两事件的态度，有如下结果：赞成A的人数是全体人数的，其余的不赞成；赞成B的比赞成A的多3人，其余的不赞成；另外对A，B都不赞成的学生人数比对A，B都赞成的学生人数的多1人，问：对A，B都赞成的学生和都不赞成的学生各有多少人？
1．3 集合的基本运算
第1课时 交集与并集
必备知识基础练
1．解析：在数轴上表示出集合A与B，如下图．
则由交集的定义可得A∩B＝{x|0≤x≤2}．选A.
答案：A
2．解析：易知A＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}，B＝{－3,2}，图中阴影部分表示的集合为A∩B＝{2}，故选A.
答案：A
3．解析：A∩B＝{(x，y)|x＋y＝0且x－y＝4}
＝，
解方程组得
∴A∩B＝{(2，－2)}．
答案：{(2，－2)}
4．解析：A∪B＝{0,1,2,3,4}，选A.
答案：A
5．解析：在数轴上表示两个集合，如图．
∴P∪Q＝{x|x≤4}．选C.
答案：C
6．解析：∵集合B＝{x|－3答案：C
7．解析：∵M∩N＝{2,3}，∴a2－3a＋5＝3，∴a＝1或2.当a＝1时，N＝{1,5,3}，M＝{2,3,5}，不合题意；当a＝2时，N＝{1,2,3}，M＝{2,3,5}，符合题意．
答案：C
8．解析：∵A∪B＝A，∴B?A.
若B＝?，则2－k>2k－1，得k<1；
若B≠?，则解得1≤k≤.
综上所述，k的取值范围是.
关键能力综合练
1．解析：因为A＝{－1,0，－2}，B＝{x|x2－x－6＝0}＝{－2,3}，所以A∪B＝{－1,0，－2,3}．故选D.
答案：D
2．解析：∵A＝{x∈R|x≤5}，B＝{x∈R|x＞1}，∴A∩B＝{x∈R|1＜x≤5}，故选D.
答案：D
3．解析：在数轴上表示集合M，N，如图所示，则M∪N＝{x|x＜－5或x＞－3}．
答案：A
4．解析：因为A∩B＝{x|12}．
答案：D
5．解析：因为A∪B＝A，所以m＝3或＝m，即m＝3或m＝1(舍去)或m＝0.
答案：A
6．解析：在数轴上表示集合S，T如图所示．因为S∪T＝R，由数轴可得解得－3答案：A
7．解析：
借助数轴可知：A∪B＝R，
A∩B＝{x|4≤x<5}．
答案：R {x|4≤x<5}
8．解析：A＝{x|－1≤x＜2}，B＝{x|x≤a}，由A∩B≠?，得a≥－1.
答案：[－1，＋∞)
9．解析：由P∪Q＝P∩Q易知P＝Q，由Q集合可知a和b均不为0，因此ab≠0，于是必须a＋b＝0，所以易得＝－1，因此又必得ab＝a－b，代入b＝－a解得a＝－2.所以b＝2，因此得到a－b＝－4.
答案：－4
10．解析：(1)由A∩B＝?，知集合A分A＝?或A≠?两种情况．
①若A＝?，有2a＞a＋3，所以a＞3.
②若A≠?，如图：
所以解得－≤a≤2.
综上所述，a的取值范围是.
(2)由A∪B＝R，如图：
所以解得a∈?.
学科素养升级练
1．解析：因为B＝{y|y≤t}，又因为A∩B＝?，且A＝{x|－3≤x≤3}，所以t<－3.
答案：A
2．解析：∵B∪C＝{x|－3∴A∩(B∪C)＝A，
由题意{x|a≤x≤b}＝{x|－1≤x≤2}．
∴a＝－1，b＝2.
答案：－1 2
3.
解析：如图，50名学生为全体人数，所以赞成A的人数为50×＝30，赞成B的人数为30＋3＝33.设对A，B都赞成的学生人数为x，则对A，B都不赞成的学生人数为＋1，赞成A而不赞成B的人数为30－x，赞成B而不赞成A的人数为33－x，所以由题意得(30－x)＋(33－x)＋x＋＋1＝50，即64－＝50，x＝21.所以对A，B都赞成的学生有21人，对A，B都不赞成的学生有8人．第2课时 集合的表示
必备知识基础练
进阶训练第一层
知识点一
列举法表示集合
1.用列举法表示下列集合：
(1)方程x(x－1)＝0的所有实数根组成的集合；
(2)不大于10的非负偶数集；
(3)一次函数y＝x与y＝2x－1图象的交点组成的集合．
知识点二
描述法表示集合
2.用描述法表示下列集合：
(1)正偶数集；
(2)被3除余2的正整数的集合；
(3)平面直角坐标系中坐标轴上的点组成的集合；
(4)不等式3x－2<4的解集．
知识点三
区间的概念
3.把下列数集用区间表示：
(1){x|x≥－1}；
(2){x|x<0}；
(3){x|－1(4){x|－1知识点四
集合表示法的应用
4.用列举法表示集合A＝＝________.
5．若A＝{－2,2,3,4}，B＝{x|x＝t2，t∈A}，用列举法表示集合B为________．
6．已知A＝{x|kx＋2>0，k∈R}，若－2∈A，则k的取值范围是________．
关键能力综合练
进阶训练第二层
1．用列举法表示集合{x|x2－2x＋1＝0}为( )
A．{1,1}
B．{1}
C．{x＝1}
D．{x2－2x＋1＝0}
2．方程组的解组成的集合是( )
A．{2,1}
B．(2,1)
C．{(2,1)}
D．{－1,2}
3．下列集合的表示方法正确的是( )
A．第二、四象限内的点集可表示为{(x，y)|xy≤0，x∈R，y∈R}
B．不等式x－1<4的解集为{x<5}
C．{全体整数}
D．实数集可表示为R
4．已知M＝{x|x－1<}，那么( )
A．2∈M，－2∈M
B．2∈M，－2?M
C．2?M，－2?M
D．2?M，－2∈M
5．集合A＝中的元素个数为( )
A．4
B．5
C．10
D．12
6．(易错题)若集合A＝{x|ax2－8x＋16＝0，a∈R}中只有一个元素，则a的值为( )
A．1
B．4
C．0
D．0或1
7．已知集合A＝{(x，y)|y＝2x＋1}，B＝{(x，y)|y＝x＋3}，若a∈A，a∈B，则a为________．
8．已知集合A＝{－1,0,1}，集合B＝{y|y＝|x|，x∈A}，则B＝________.
9．(探究题)若一数集的任一元素的倒数仍在该集合中，则称该数集为可倒数集，则集合A＝{－1,1,2}________(填“是”或“不是”)可倒数集．试写出一个含三个元素的可倒数集________．(答案不唯一)
10．用适当的方法表示下列集合，并判断是有限集，还是无限集．
(1)方程x2(x＋1)＝0的解组成的集合；
(2)平面直角坐标系中，不在第一、三象限内的点组成的集合；
(3)自然数的平方组成的集合．
学科素养升级练
进阶训练第三层
1．(多选题)已知集合A＝{x|x＝2m－1，m∈Z}，B＝{x|x＝2n，n∈Z}，且x1，x2∈A，x3∈B，则下列判断正确的是( )
A．x1x2∈A
B．x2x3∈B
C．x1＋x2∈B
D．x1＋x2＋x3∈A
2．设集合A＝{2,0,1,3}，集合B＝{x|－x∈A,2－x2?A}，则集合B中所有元素的和为________．
3．(学科素养—数学运算)设集合A＝{x|x2＋ax＋1＝0}．
(1)当a＝2时，试求出集合A；
(2)a为何值时，集合A中只有一个元素；
(3)a为何值时，集合A中有两个元素．
第2课时 集合的表示
必备知识基础练
1．解析：(1)方程x(x－1)＝0的实数根为0,1，
故其实数根组成的集合为{0,1}．
(2)不大于10的非负偶数即为从0到10的偶数，故不大于10的非负偶数集为{0,2,4,6,8,10}．
(3)由，解得
故一次函数y＝x与y＝2x－1图象的交点组成的集合为{(1,1)}．
2．解析：(1)正偶数的集合表示为：{x|x＝2n，n∈N
}
(2)被3除余2的正整数集合表示为：{x|x＝3k＋2，k∈N}．
(3)平面直角坐标系中坐标轴上的点组成的集合表示为{(x，y)|xy＝0}．
(4)不等式3x－2<4的解集为
3．解析：(1){x|x≥－1}＝[－1，＋∞)．
(2){x|x<0}＝(－∞，0)．
(3){x|－1(4){x|－14．解析：∵x∈Z且∈N，∴1≤6－x≤8，－2≤x≤5.当x＝－2时，1∈N；当x＝－1时，?N；当x＝0时，?N；当x＝1时，?N；当x＝2时，2∈N；当x＝3时，?N；当x＝4时，4∈N；当x＝5时，8∈N.综上可知A＝{－2,2,4,5}．
答案：{－2,2,4,5}
5．解析：当t＝－2时，x＝4；
当t＝2时，x＝4；
当t＝3时，x＝9；
当t＝4时，x＝16；
∴B＝{4,9,16}．
答案：{4,9,16}
6．解析：∵－2∈A，∴－2k＋2>0，得k<1.
答案：(－∞，1)
关键能力综合练
1．解析：∵x2－2x＋1＝0，即(x－1)2＝0，∴x＝1，选B.
答案：B
2．解析：先求出方程组的解再写成集合的形式．注意集合的元素是有序实数对(2,1)，故选C.
答案：C
3．解析：选项A中应是xy<0；选项B的本意是想用描述法表示，但不符合描述法的规范格式，缺少了竖线和竖线前面的代表元素x；选项C的“{ }”与“全体”意思重复．
答案：D
4．解析：若x＝2，则x－1＝1<，所以2∈M；若x＝－2，则x－1＝－3<，所以－2∈M.故选A.
答案：A
5．解析：由题意，集合中的元素满足x是整数，且y是整数，由此可得x＝－15，－9，－7，－6，－5，－4，－2，－1，0,1,3,9；
此时y的值分别为－1，－2，－3，－4，－6，－12,12,6,4,3,2,1，符合条件的x共有12个．
答案：D
6．解析：①当a＝0时，原方程为16－8x＝0.
∴x＝2，此时A＝{2}；
②当a≠0时，由集合A中只有一个元素，
∴方程ax2－8x＋16＝0有两个相等实根，
则Δ＝64－64a＝0，即a＝1.
从而x1＝x2＝4，∴集合A＝{4}．
综上所述，实数a的值为0或1.故选D.
答案：D
7．解析：由题知，a∈A，a∈B，所以a是方程组的解，解得即a为(2,5)．
答案：(2,5)
8．解析：∵x∈A，∴当x＝－1时，y＝|x|＝1；
当x＝0时，y＝|x|＝0；当x＝1时，y＝|x|＝1.
∴B＝{0,1}．
答案：{0,1}
9．解析：由于2的倒数不在集合A中，故集合A不是可倒数集．若一个元素a∈A，则∈A.若集合中有三个元素，故必有一个元素a＝，即a＝±1，故可取的集合有，等．
答案：不是
10．解析：(1)由x2(x＋1)＝0，得x＝－1或x＝0，所以该集合可表示为{－1,0}．故该集合为有限集．
(2)平面直角坐标系中，不在第一、三象限内的点组成的集合可表示为{(x，y)|xy≤0，x∈R，y∈R}．故该集合为无限集．
(3)自然数的平方组成的集合用列举法可表示为{0,12,22,32，…}，用描述法可表示为{x|x＝n2，n∈N}．故该集合为无限集．
学科素养升级练
1．解析：由题意易知集合A表示奇数集，集合B表示偶数集．又由x1，x2∈A，x3∈B，则x1，x2是奇数，x3是偶数．对于A，两个奇数的积为奇数，即x1x2∈A，故A正确；对于B，一奇一偶两个数的积为偶数，即x2x3∈B，故B正确；对于C，两个奇数的和为偶数，即x1＋x2∈B，故C正确；对于D，两个奇数与一个偶数的和为偶数，即x1＋x2＋x3∈B，故D错误．
答案：ABC
2．解析：当x＝－2，－3时，2－x2＝－2，－7，有2－x2?A；而当x＝0，－1时，2－x2＝2,1，有2－x2∈A.因此，根据集合B的定义可知B＝{－2，－3}，所以集合B中所有元素的和为－5.
答案：－5
3．解析：集合A是方程x2＋ax＋1＝0的解构成的集合．
(1)当a＝2时，x2＋2x＋1＝0，即(x＋1)2＝0，x＝－1，所以A＝{－1}．
(2)A中只有一个元素，即方程x2＋ax＋1＝0有两个相等实根，由Δ＝a2－4＝0，得a＝±2.
所以a＝±2时，集合A中只有一个元素．
(3)A中有两个元素，即方程x2＋ax＋1＝0有两个不相等的实根，由Δ＝a2－4>0，得a<－2或a>2.
所以a<－2或a>2时，集合A中有两个元素．