第2课时 指数函数的图象和性质的应用
必备知识基础练
进阶训练第一层
知识点一
指数函数的定义域和值域
1.函数y＝的定义域是( )
A．(－∞，0)
B．(－∞，0]
C．[0，＋∞)
D．(0，＋∞)
2．函数y＝的值域是( )
A.
B．(－∞，0)
C．(0,1)
D．(1，＋∞)
3．求下列函数的定义域和值域：
(1)y＝3；(2)y＝；
(3)y＝4x－2x＋1
知识点二
指数型不等式的解法
4.若0.72x－1≤0.7，则x的取值范围是( )
A．[－1,3]
B．(－∞，－1]∪[3，＋∞)
C．[－3,1]
D．(－∞，－3]∪[1，＋∞)
5．(1)解不等式：3x－1≤2；
(2)已知a
0，且a≠1)，求x的取值范围．
知识点三
指数型函数的单调性
6.若函数f(x)＝|x－2|，则f(x)的单调递减区间是( )
A．(－∞，2]
B．[2，＋∞)
C．[－2，＋∞)
D．(－∞，－2]
7．若函数y＝2在区间(－∞，3)上单调递增，则实数a的取值范围是________．
8．已知定义域为R的函数f(x)＝a－(a∈R)是奇函数．
(1)求a的值；
(2)判断函数f(x)在R上的单调性，并证明你的结论；
(3)求函数f(x)在R上的值域．
关键能力综合练
进阶训练第二层
1．函数f(x)＝＋的定义域为( )
A．(－3,0]
B．(－3,1]
C．(－∞，－3)∪(－3,0]
D．(－∞，－3)∪(－3,1]
2．已知函数f(x)＝3－x－1，则f(x)的( )
A．定义域是(0，＋∞)，值域是R
B．定义域是R，值域是(0，＋∞)
C．定义域是R，值域是(－1，＋∞)
D．定义域、值域都是R
3．函数f(x)＝在区间[1,2]上是减函数，则实数a的取值范围是( )
A．a≤－4
B．a≤－2
C．a≥－2
D．a>－4
4．已知函数f(x)＝a2－x(a>0且a≠1)，当x>2时，f(x)>1，则f(x)在R上( )
A．是增函数
B．是减函数
C．当x>2时是增函数，当x<2时是减函数
D．当x>2时是减函数，当x<2时是增函数
5．函数f(x)＝|x＋2|的部分图象大致为( )
6．(易错题)函数y＝x＋x＋1的值域为( )
A.
B.
C．(1，＋∞)
D．[1，＋∞)
7．不等式x－4>3－2x的解集是________．
8．若函数y＝|2x－1|在(－∞，m]上单调递减，则m的取值范围是________．
9．(探究题)若不等式(m2－m)2x－x<1对任意x∈(－∞，－1]恒成立，则实数m的取值范围是________．
10．已知函数f(x)＝
(a∈R)．
(1)若a＝－1，求f(x)的单调区间；
(2)若f(x)的最大值为3，求a的值；
(3)若f(x)的值域为(0，＋∞)，求a的值．
学科素养升级练
进阶训练第三层
1．(多选题)已知函数f(x)＝3x－x，则f(x)( )
A．是奇函数
B．是偶函数
C．在R上是增函数
D．在R上是减函数
2．已知－1≤x≤2，则函数f(x)＝3＋2·3x＋1－9x的值域为________．
3．(学科素养—逻辑推理与数学运算)设函数f(x)＝ax－(k－1)a－x(a>0，且a≠1)是定义域为R的奇函数．
(1)求实数k的值；
(2)若f(1)<0，求使不等式f(x2＋tx)＋f(4－x)<0恒成立的实数t的取值范围；
(3)若f(1)＝，g(x)＝a2x＋a－2x－2mf(x)，且g(x)在[1，＋∞)上的最小值为－2，求实数m的值．
第2课时 指数函数的图象和性质的应用
必备知识基础练
1．解析：由2x－1≥0，得2x≥1，∴x≥0.选C.
答案：C
2．解析：y＝＝1－，∵3x>0，∴3x＋1>1.∴0<<1.∴0<1－<1.即原函数的值域为(0,1)．
答案：C
3．解析：(1)由5x－1≥0，得x≥，
所以所求函数的定义域为x≥.
由≥0，得y≥1，
所以所求函数的值域为[1，＋∞)．
(2)定义域为R.
∵x2－2x－3＝(x－1)2－4≥－4，
∴≤－4＝16.
又∵>0，
∴函数y＝的值域为(0,16]．
(3)函数的定义域为R.
y＝(2x)2－2x＋1＝2＋，
∵2x>0，∴当2x＝，即x＝－1时，y取最小值，
∴函数的值域为.
4．解析：∵函数y＝0.7x在R上为减函数，
且0.72x－1≤0.7，
∴2x－1≥x2－4，即x2－2x－3≤0.
解得－1≤x≤3，故选A.
答案：A
5．解析：(1)∵2＝－1，
∴原不等式可以转化为3x－1≤－1.
∵y＝x在R上是减函数，
∴3x－1≥－1，∴x≥0.
故原不等式的解集是{x|x≥0}．
(2)分情况讨论：
①当00，且a≠1)在R上是减函数，∴x2－3x＋1>x＋6，∴x2－4x－5>0，解得x<－1或x>5；②当a>1时，函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)在R上是增函数，∴x2－3x＋15；当a>1时，－16．解析：因为f(x)＝|x－2|为复合函数，则f(u)＝u，u(x)＝|x－2|，f(u)对u是减函数，u(x)在[2，＋∞)为增函数，在(－∞，2]为减函数，由复合函数知，f(x)的单调递减区间是[2，＋∞)．
答案：B
7．解析：y＝2在(－∞，3)上单调递增，即二次函数y＝－x2＋ax－1在(－∞，3)上单调递增，因此需要对称轴x＝≥3，解得a≥6.
答案：a≥6
8．解析：(1)若存在实数a使函数f(x)为R上的奇函数，则f(0)＝0，得a＝1.
当a＝1时，f(x)＝1－.
∵f(－x)＝1－＝1－＝1－＝－1＋＝－f(x)，
∴f(x)为R上的奇函数．
∴存在实数a＝1，使函数f(x)为R上的奇函数．
(2)f(x)在R上是增函数．
证明如下：设x1，x2∈R且x1∵y＝3x在R上是增函数，且x1∴3x1<3x2且(3x1＋1)(3x2＋1)>0.
∴f(x1)－f(x2)<0，∴f(x1)∴f(x)是R上的增函数．
(3)f(x)＝1－中，3x＋1∈(1，＋∞)，
∴∈(0,2)．
∴f(x)的值域为(－1,1)．
关键能力综合练
1．解析：由题意知解得－3答案：A
2．解析：f(x)＝3－x－1的定义域是R，∵y＝3－x的值域是(0，＋∞)，∴f(x)的值域是(－1，＋∞)．
答案：C
3．解析：记u(x)＝x2＋ax＝2－，其图象为抛物线，开口向上，对称轴为直线x＝－.∵函数f(x)＝在区间[1,2]上是减函数，
∴函数u(x)在区间[1,2]上是增函数．
而u(x)在上单调递增，
∴－≤1，解得a≥－2，故选C.
答案：C
4．解析：令2－x＝t，则t＝2－x是减函数，因为当x>2时，f(x)>1，所以当t<0时，at>1，所以0答案：A
5．解析：令x＝－2，得f(－2)＝1，排除C、D；令x＝0，得f(0)＝，排除A.故选B.
答案：B
6．易错分析：用换元法解答本题，易忽视中间变量的范围致误．
解析：令t＝x，t∈(0，＋∞)，则原函数可化为y＝t2＋t＋1＝2＋.
因为函数y＝2＋在(0，＋∞)上是增函数，
所以y>2＋＝1，
即原函数的值域是(1，＋∞)．故选C
答案：C
7．解析：∵3－2x＝2x，∴x－4>2x.又函数y＝x是单调递减函数，∴x－4<2x，∴x>－4.故不等式的解集为(－4，＋∞)．
答案：(－4，＋∞)
8．解析：在平面直角坐标系中作出y＝2x的图象，把图象沿y轴向下平移1个单位得到y＝2x－1的图象，再把y＝2x－1的图象在x轴下方的部分关于x轴翻折，其余部分不变，如图实线部分，得到y＝|2x－1|的图象．由图可知y＝|2x－1|在(－∞，0]上单调递减，∴m∈(－∞，0]．
答案：(－∞，0]
9．解析：(m2－m)2x－x<1对任意x∈(－∞，－1]恒成立等价于(m2－m)2x答案：(－2,3)
10．解析：(1)当a＝－1时，f(x)＝，
令h(x)＝－x2－4x＋3，
由于h(x)在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，＋∞)上单调递减，而y＝t在R上单调递减，
所以f(x)在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递增，
即函数f(x)的单调递增区间是(－2，＋∞)，单调递减区间是(－∞，－2)．
(2)令g(x)＝ax2－4x＋3，则f(x)＝g(x)，
由于f(x)的最大值为3，所以g(x)的最小值为－1，
当a＝0时，f(x)＝()－4x＋3，无最大值；
当a≠0时，有，解得a＝1，
所以当f(x)的最大值为3时，a的值为1.
(3)由指数函数的性质，知要使y＝g(x)的值域为(0，＋∞)．
应使g(x)＝ax2－4x＋3的值域为R，
当a＝0时，g(x)＝－4x＋3，值域为R，符合题意．
当a≠0时，g(x)为二次函数，其值域不为R，不符合题意．
故f(x)的值域是(0，＋∞)时，a的值为0.
学科素养升级练
1．解析：∵f(x)＝3x－x，x∈R，
∴f(－x)＝3－x－3x＝－f(x)，因此函数f(x)为奇函数．又y1＝3x，y2＝－x均为R上的增函数，∴函数f(x)＝3x－x在R上是增函数．故选AC.
答案：AC
2．解析：f(x)＝3＋2·3x＋1－9x＝－(3x)2＋6·3x＋3.令3x＝t，则－(3x)2＋6·3x＋3＝－t2＋6t＋3＝－(t－3)2＋12.∵－1≤x≤2，∴≤t≤9.∴当t＝3，即x＝1时，f(x)取得最大值12；当t＝9，即x＝2时，f(x)取得最小值－24，∴函数f(x)的值域为[－24,12]．
答案：[－24,12]
3．解析：(1)∵f(x)为奇函数，∴f(0)＝0，
∴k＝2此时f(x)＝ax－a－x为奇函数，
∴k＝2符合题意．
(2)由(1)得f(x)＝ax－a－x，
∵f(1)<0，∴a－<0，∴0∴f(x)在R上为减函数．
又∵f(x2＋tx)＋f(4－x)<0在R上恒成立，
即f(x2＋tx)∴x2＋tx>x－4在R上恒成立，
∴x2＋(t－1)x＋4>0在R上恒成立，
∴Δ<0，即(t－1)2－4×1×4<0，解得－3∴t的取值范围为(－3,5)．
(3)∵f(1)＝，∴a＝2，∴g(x)＝22x＋2－2x－2m(2x－2－x)．令t＝2x－2－x，则h(t)＝t2－2mt＋2，∵x≥1，∴t≥.函数g(x)在[1，＋∞)上的最小值为－2，可转化为函数h(t)＝t2－2mt＋2在区间上的最小值为－2，当m≤时，h(t)在区间上单调递增，∴h(t)min＝h＝－2，解得m＝，舍去；当m>时，h(t)在区间上单调递减，在区间[m，＋∞)上单调递增，∴h(t)min＝h(m)＝－2，解得m＝2.综上所述，m＝2.第1课时 指数函数的概念、图象和性质
必备知识基础练
进阶训练第一层
知识点一
指数函数的概念
1.下列各函数中，是指数函数的为( )
A．y＝x3
B．y＝(－4)x
C．y＝5x＋1
D．y＝52x
2．若函数y＝(2a－1)x(x是自变量)是指数函数，则a的取值范围是( )
A．(0,1)∪(1，＋∞)
B．[0,1)∪(1，＋∞)
C.∪(1，＋∞)
D.
3．若函数y＝(a2－3a＋3)·ax是指数函数，则a的值为________．
4．若函数f(x)是指数函数，且f(2)＝9，则f(－2)＝________，f(1)＝________.
知识点二
指数函数的图象
5．函数f(x)＝ax－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是( )
A．a>1，b<0
B．a>1，b>0
C．00
D．06．函数y＝ax－3＋3(a>0，且a≠1)的图象过定点________．
知识点三
指数函数的单调性
7.若π2m－1>π3－m，则实数m的取值范围是( )
A．(4，＋∞)
B.
C．(－∞，4)
D.
8．比较下列各组数的大小：
(1)0.7－0.3与0.7－0.4；
(2)2.51.4与1.21.4；
(3)1.90.4与0.92.4.
关键能力综合练
进阶训练第二层
1．若函数f(x)＝·ax是指数函数，则f的值为( )
A．2
B．2
C．－2
D．－2
2．已知集合M＝{－1,1}，N＝{x|<2x＋1<4，x∈Z}，则M∩N＝( )
A．{－1,1}
B．{－1}
C．{0}
D．{－1,0}
3．已知a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系是( )
A．cB．aC．bD．c4．若函数y＝ax＋b－1(a>0，且a≠1)的图象经过第二、三、四象限，则一定有( )
A．00
B．a>1，且b>0
C．0D．a>1，且b<0
5．已知函数f(x)＝若f(a)<1，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，－3)
B．(1，＋∞)
C．(－3,1)
D．(－∞，－3)∪(1，＋∞)
6．(探究题)二次函数y＝ax2＋bx与指数函数y＝x的图象可能为( )
7．已知函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)，f(2)＝4，则函数f(x)的解析式为________．
8．当a>0，且a≠1时，函数f(x)＝a2x＋1－1的图象一定过点________．
9．已知指数函数f(x)的图象经过点，则f(3.14)与f(π)的大小关系为________(用“<”连接)．
10．(易错题)某林区2019年木材蓄积量为200万立方米，由于采取了封山育林、严禁采伐等措施，使木材蓄积量的年平均递增率能达到5%.
(1)若经过x年后，该林区的木材蓄积量为y万立方米，求y＝f(x)的表达式，并求此函数的定义域；
(2)求经过多少年后，林区的木材蓄积量能达到300万立方米．(1.058≈1.48,1.059≈1.55)．
学科素养升级练
进阶训练第三层
1．(多选题)已知函数f(x)＝则下列判断中正确的是( )
A．f(x)的值域为[0，＋∞)
B．f(x)的图象与直线y＝2有两个交点
C．f(x)在其定义域上不具有单调性
D．f(x)是偶函数
2．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝1－2－x，则不等式f(x)<－的解集是________．
3．(情境命题—学术情境)已知四个函数f(x)＝2x，g(x)＝x，h(x)＝3x，p(x)＝x，其中y＝f(x)，y＝g(x)的图象如图所示．
(1)请在坐标系中画出y＝h(x)，y＝p(x)的图象，并根据这四个函数的图象总结出指数函数具有哪些性质？
(2)举出在实际情境中能够抽象出指数函数的一个例子并说明理由．
§3 指数函数
3．1 指数函数的概念
3．2 指数函数的图象和性质
第1课时 指数函数的概念、图象和性质
必备知识基础练
1．解析：y＝52x＝(52)x＝25x，是指数函数，选D.
答案：D
2．解析：由得a>，且a≠1，选C.
答案：C
3．解析：由指数函数的定义知，
由①得a＝1或2，结合②得a＝2.
答案：2
4．解析：设f(x)＝ax(a>0，且a≠1)，
∵f(2)＝9，
∴a2＝9，a＝3，即f(x)＝3x.
∴f(－2)＝3－2＝，f(1)＝3.
答案： 3
5．解析：从曲线的变化趋势，可以得到函数f(x)为减函数，从而有00，即b<0.故选D.
答案：D
6．解析：因为指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象过定点(0,1)，所以在函数y＝ax－3＋3中，令x－3＝0，得x＝3，此时y＝1＋3＝4，即函数y＝ax－3＋3的图象过定点(3,4)．
答案：(3,4)
7．解析：∵y＝πx在R上为增函数，且π2m－1>π3－m，
∴2m－1>3－m，得m>.选B.
答案：B
8．解析：(1)∵y＝0.7x在R上为减函数，又∵－0.3>－0.4，
∴0.7－0.3<0.7－0.4.
(2)在同一坐标系中作出函数y＝2.5x与y＝1.2x的图象，如图所示．由图象可知2.51.4>1.21.4.
(3)∵1.90.4>1.90＝1，
0．92.4<0.90＝1，
∴1.90.4>0.92.4.
关键能力综合练
1．解析：∵函数f(x)＝·ax是指数函数，
∴a－3＝1，a>1，a≠1，解得a＝8，∴f(x)＝8x，∴f＝＝2，故选B.
答案：B
2．解析：由<2x＋1<4，及函数y＝2x为增函数，得－1答案：B
3．解析：由指数函数y＝x在R为减函数，可知<；由幂函数y＝x在(0，＋∞)为减函数，可知<，所以<<，即c答案：D
4．解析：函数y＝ax＋b－1(a>0，且a≠1)的图象是由函数y＝ax的图象经过向上或向下平移而得到的，因其图象不经过第一象限，所以a∈(0,1)．若经过第二、三、四象限，则需将函数y＝ax(0答案：C
5．解析：由题意，知f(a)<1等价于或解得－3答案：C
6．解析：因为y＝x是指数函数，故有>0，即a，b同号，于是－<0，而二次函数y＝ax2＋bx图象的对称轴为直线x＝－，所以排除B、D；又由指数函数的图象，得0<<1，则0>－>－，即二次函数图象的顶点横坐标在区间内，显然C错误．故选A.
答案：A
7．解析：f(2)＝4，得a2＝4，所以a＝±2，又a>0，所以a＝2，故f(x)＝2x.
答案：f(x)＝2x
8．解析：当x＝－时，显然f(x)＝0，因此图象必过点.
答案：
9．解析：∵f(x)是指数函数，∴可设f(x)＝ax(a>0，a≠1)．由已知，得f＝，即a＝＝3，即a＝3，∴f(x)＝3x.
∵3.14<π，∴f(3.14)答案：f(3.14)10．解析：(1)由题意可知，f(x)＝200(1＋5%)x，函数的定义域为N
.
(2)由200(1＋5%)x＝300，得1.05x＝1.5，
由1.058≈1.48,1.059≈1.55可知，经过9年后，林区的木材蓄积量能达到300万立方米．
学科素养升级练
1．解析：函数f(x)的图象如图所示，由图可知，f(x)的值域为[0，＋∞)，A正确；f(x)的图象与直线y＝2有两个交点，B正确；
f(x)在R上不具有单调性，C正确；f(x)不具有奇偶性，D错误．故选A、B、C.
答案：ABC
2．解析：设x<0，则－x>0.因为f(x)是奇函数，所以f(x)＝－f(－x)＝－(1－2x)＝2x－1.当x>0时，1－2－x∈(0,1)，所以不等式f(x)<－无解，当x<0时，2x－1<－，解得x<－1.
答案：(－∞，－1)
3．解析：(1)画出y＝h(x)，y＝p(x)的图象如图所示．
4个函数都是y＝ax(a>0，且a≠1)的形式，它们的性质包括：
①定义域为R.
②值域为(0，＋∞)．
③都过定点(0,1)．
④当a>1时，函数在定义域内单调递增；
当0⑤当a>1时，若x<0，则00，则y>1；
00，则01.
⑥对于函数y＝ax(a>0，且a≠1)，y＝bx(b>0，且b≠1)，当a>b>1时，若x<0，则00，则ax>bx>1.
当0bx>1；若x＝0，则ax＝bx＝1；若x>0，则0(2)举例：细胞分裂的规则是细胞由一个分裂成2个，这两个细胞各分裂成2个…若原来有1个细胞，经过x次分裂，细胞个数为y，则y＝2x是一个指数函数．