第1课时 基本不等式
必备知识基础练
进阶训练第一层
知识点一
对基本不等式的理解
1.设0＜a＜b，则下列不等式中正确的是( )
A．a＜b＜＜
B．a＜＜＜b
C．a＜＜b＜
D.＜a＜＜b
2．给出下面三个推导过程：
①因为a，b∈(0，＋∞)，所以＋≥2＝2；
②因为a∈R，a≠0，所以＋a≥2＝4；
③因为x，y∈R，xy<0，所以＋＝－≤－2＝－2.
其中正确的推导过程为( )
A．①②
B．②③
C．②
D．①③
3．已知a，b∈R，且ab>0，则下列结论恒成立的是( )
A．a2＋b2>2ab
B．a＋b≥2
C.＋>
D.＋≥2
4．不等式x2＋1≥2|x|(x∈R)中等号成立的条件是________.
知识点二
利用基本不等式证明不等式
5.已知a，b，c为不全相等的正实数，求证：a＋b＋c>＋＋.
6．已知a>0，b>0，a＋b＝1，求证：＋＋≥8.
关键能力综合练
进阶训练第二层
1．不等式a2＋1≥2a中等号成立的条件是( )
A．a＝±1
B．a＝1
C．a＝－1
D．a＝0
2．对x∈R且x≠0都成立的不等式是( )
A．x＋≥2
B．x＋≤－2
C.≥
D.≥2
3．若0
A.
B．a2＋b2
C．2ab
D．a
4．已知a>0，b>0，求证：a＋b＋1≥＋＋.
5．已知0A．a2＋b2
B．2
C．2ab
D．a＋b
6．(探究题)已知a>1，则，，三个数的大小顺序是( )
A.<<
B.<<
C.<<
D.<≤
7.＋≥2成立的条件是________．
8．已知a＞b＞c，则与的大小关系是________．
9．(易错题)给出下列结论：
①若a＞0，则a2＋1＞a；
②若a＞0，b＞0，则≥4；
③若a＞0，b＞0，则(a＋b)≥4；
④若a∈R且a≠0，则＋a≥6.
其中恒成立的是________．
10．已知a，b，c均为正数，a，b，c不全相等．求证：＋＋>a＋b＋c.
学科素养升级练
进阶训练第三层
1．(多选题)设a＞0，b＞0，给出下列不等式恒成立的是( )
A．a2＋1＞a
B．a2＋9＞6a
C．(a＋b)≥4
D.≥4
2．若a>0，b>0，a＋b＝2，则下列不等式①ab≤1；②＋≤；③a2＋b2≥2；④＋≥2，对满足条件的a，b恒成立的是________(填序号)．
3．已知a>0，b>0，a＋b＝1，求证≥9.
3．2 基本不等式
第1课时 基本不等式
必备知识基础练
1．解析：解法一 ∵0＜a＜b，∴a＜＜b，排除A，C.又－a＝(－)＞0，即＞a，排除D，故选B.
解法二 取a＝2，b＝8，则＝4，＝5，所以a＜＜＜b.故选B.
答案：B
2．解析：①因为a，b∈(0，＋∞)，所以，∈(0，＋∞)，符合基本不等式成立的条件，故①的推导过程正确；
②因为a∈R，a≠0不符合基本不等式成立的条件，
所以＋a≥
2＝4是错误的；
③由xy<0得，均为负数，但在推导过程中将＋看成一个整体提出负号后，，均变为正数，符合基本不等式成立的条件，故③正确．故选D.
答案：D
3．解析：当a＝b时，a2＋b2＝2ab，所以A错误；ab>0只能说明a，b同号，当a，b都小于0时，B，C错误；因为ab>0，所以>0，>0，所以＋≥2，即＋≥2恒成立，D正确．
答案：D
4．解析：x2＋1≥2|x|可化为|x|＋≥2，即|x|＋≥2，当且仅当|x|＝1，即x＝1时等号成立．
答案：x＝±1
5．证明：∵a>0，b>0，c>0，
∴a＋b≥2>0，b＋c≥2>0，c＋a≥2>0.
∴2(a＋b＋c)≥2(＋＋)，
即a＋b＋c≥＋＋.
由于a，b，c为不全相等的正实数，故等号不成立．
∴a＋b＋c>＋＋.
6．证明：＋＋＝＋＋＝2，
∵a＋b＝1，a>0，b>0，
∴＋＝＋＝2＋＋≥2＋2＝4，
∴＋＋≥8(当且仅当a＝b＝时等号成立)．
关键能力综合练
1．解析：a2＋1－2a＝(a－1)2≥0，
∴a＝1时，等号成立．
答案：B
2．解析：因为x∈R且x≠0，所以当x>0时，x＋≥2；当x<0时，－x>0，所以x＋＝－≤－2，所以A、B都错误；又因为x2＋1≥2|x|，所以≤，所以C错误，故选D.
答案：D
3．解析：a2＋b2＝(a＋b)2－2ab≥(a＋b)2－2·2＝.
∵a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，∴a2＋b2≥2ab，
∵0答案：B
4．证明：∵a>0，b>0，∴a＋b≥2，
a＋1≥2，b＋1≥2，
∴2(a＋b＋1)≥2＋2＋2，
∴a＋b＋1≥＋＋.
5．解析：因为0所以a2＋b2又a2＋b2>2ab(因为a≠b)，
所以2ab又因为a＋b>2(因为a≠b)，
所以a＋b最大，故选D.
答案：D
6．解析：当a，b是正数时，≤≤≤
(a，b∈R＋)，令b＝1，得≤≤.又a>1，即a≠b，故上式不能取等号，选C.
答案：C
7．解析：只要与都为正，即a、b同号即可．
答案：a与b同号
8．解析：∵a＞b＞c，∴a－b＞0，b－c＞0，
∴＝≥，当且仅当a－b＝b－c，即2b＝a＋c时，等号成立．
答案：≤
9．易错分析：易忽略不等式成立的前提是为正数而误认为④也正确．
解析：因为a>0，所以a2＋1≥2＝2a>a，故①恒成立．
因为a＞0，所以a＋≥2，
因为b＞0，所以b＋≥2，
所以当a＞0，b＞0时，≥4，故②恒成立．
因为a>0，b>0，所以＋≥2，
因为(a＋b)＝2＋＋，
所以(a＋b)≥4，故③恒成立．
因为a∈R且a≠0，＋a≥6不符合基本不等式的条件，故④错误．
答案：①②③
10．证明：∵a＞0，b＞0，c＞0，
∴＋≥2
＝2c，＋≥2
＝2a，
＋≥2
＝2b.
又a，b，c不全相等，
故上述等号至少有一个不成立．
∴＋＋＞a＋b＋c.
学科素养升级练
1．解析：设a＞0，b＞0，
a2＋1－a＝2＋＞0，A成立；
a2＋9－6a＝(a－3)2≥0，B不成立；
(a＋b)≥(1＋1)2＝4，故C成立；
a＋≥2，b＋≥2，故D成立，故选：ACD.
答案：ACD
2．解析：因为ab≤2＝1，所以①正确；因为(＋)2＝a＋b＋2＝2＋2≤2＋a＋b＝4，故②不正确；a2＋b2≥＝2，所以③正确；＋＝＝≥2，所以④正确．
答案：①③④
3．证明：证法一：因为a>0，b>0，a＋b＝1，
所以1＋＝1＋＝2＋，同理1＋＝2＋，
故＝
＝5＋2≥5＋4＝9.
所以≥9(当且仅当a＝b＝时取等号)．
证法二：因为a，b为正数，a＋b＝1.
所以＝1＋＋＋
＝1＋＋＝1＋，
ab≤2＝，于是≥4，≥8，
因此≥1＋8＝9
.第2课时 基本不等式的应用
必备知识基础练
进阶训练第一层
知识点一
利用基本不等式求最值
1.下列函数中，最小值为2的是( )
A．y＝x＋
B．y＝(4x2＋1)·
C．y＝＋
D．y＝2x2＋
2．已知0＜x＜1，则x(3－3x)取得最大值时x的值为( )
A.
B.
C.
D.
3．已知x>2，则x＋的最小值为________．
4．已知x>0，y>0，且x＋y＝4，则＋的最小值为________.
知识点二
基本不等式的实际应用
5.某商场的某种商品的年进货量为1万件，分若干次进货，每次进货的量相同，且需运费100元，运来的货物除出售外，还需租仓库存放，一年的租金按一次进货量的一半来计算，每件2元，为使一年的运费和租金最省，每次进货量应为( )
A．200件
B．5
000件
C．2
500件
D．1
000件
6．某工厂生产某种产品，第一年产量为A，第二年的增长率为a，第三年的增长率为b，这两年的平均增长率为x(a，b，x均大于零)，则( )
A．x＝
B．x≤
C．x>
D．x≥
7．如图，要设计一张矩形广告牌，该广告牌含有大小相等的左、右两个矩形栏目(如图中阴影部分)，这两栏的面积之和为18
000
cm2，四周空白的宽度为10
cm，两栏之间的空白的宽度为5
cm，怎样设计广告牌的高与宽的尺寸(单位：cm)，能使矩形广告牌面积最小？
关键能力综合练
进阶训练第二层
1．当x>0时，y＝＋4x的最小值为( )
A．4
B．8
C．8
D．16
2．已知正数x，y满足＋＝1，则x＋2y的最小值是( )
A．18
B．16
C．8
D．10
3．已知x＞0，y＞0，且x＋y＝8，则(1＋x)(1＋y)的最大值为( )
A．16
B．25
C．9
D．36
4．函数y＝的最大值为( )
A.
B.
C.
D．1
5．已知p>0，q>0，p＋q＝1，且x＝p＋，y＝q＋，则x＋y的最小值为( )
A．6
B．5
C．4
D．3
6．已知a，b，c都是正数，且a＋2b＋c＝1，则＋＋的最小值是( )
A．3＋2
B．3－2
C．6－4
D．6＋4
7．当x＜时，函数y＝4x－2＋的最大值为________．
8．(易错题)若正实数x，y满足x＋y＝1，则＋的最小值为________．
9．建造一个容积为8
m3，深为2
m的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价分别为每平方米120元和80元，那么水池的最低总造价为________元．
10．(探究题)若对任意x＞0，≤a恒成立，求a的取值范围．
学科素养升级练
进阶训练第三层
1．(多选题)若正实数a，b满足a＋b＝1，则下列选项中正确的是( )
A．ab有最大值
B.＋有最小值
C.＋有最小值4
D．a2＋b2有最小值
2．已知正实数x，y满足4x2＋y2＝1＋2xy，则当x＝________时，＋＋的最小值是________．
3．(命题情境—生活情境)某厂家拟在2021年举行某产品的促销活动，经调查，该产品的年销售量(即该产品的年产量)x(单位：万件)与年促销费用m(m≥0)(单位：万元)满足x＝3－(k为常数)，如果不举行促销活动，该产品的年销量是1万件．已知2021年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金，不包括促销费用)．那么该厂家2021年的促销费用为多少万元时，厂家的利润最大？最大利润为多少？
第2课时 基本不等式的应用
必备知识基础练
1．解析：A中，函数y＝x＋，当x>0时，x＋≥2
＝2，当x<0时，y＝x＋＝－≤－2
＝－2，不符合题意；B中，当x<0时，函数值为负数，不符合题意；C中，函数y＝＋≥2，但＝无解，即等号不成立，不符合题意；D中，函数y＝2x2＋≥2＝2，当且仅当2x2＝时等号成立，故选D.
答案：D
2．解析：由x(3－3x)＝×3x(3－3x)≤×2＝×＝，当且仅当3x＝3－3x，即x＝时等号成立．
答案：B
3．解析：x＋＝x－2＋＋2，
∵x－2>0，∴x－2＋＋2≥2＋2＝4＋2＝6.
当且仅当x－2＝，即x＝4时取“＝”．
答案：6
4．解析：∵x>0，y>0，
∴(x＋y)＝4＋≥4＋2，
当且仅当＝，
即x＝2(－1)，y＝2(3－)时取“＝”号，
又x＋y＝4，
∴＋≥1＋，
故＋的最小值为1＋.
答案：1＋
5．解析：设进货n次，则每次的进货量为，一年的运费和租金为y元．
根据题意得y＝100n＋≥2
000，当且仅当n＝10时取等号，此时每次进货量应为1
000件．故选D.
答案：D
6．解析：第二年产量为A＋A·a＝A(1＋a)，
第三年产量为A(1＋a)＋A(1＋a)·b＝A(1＋a)(1＋b)．
若平均增长率为x，则第三年产量为A(1＋x)2.
依题意有A(1＋x)2＝A(1＋a)(1＋b)，
∵a>0，b>0，x>0，
∴(1＋x)2＝(1＋a)(1＋b)≤2，
∴1＋x≤＝1＋，∴x≤.
答案：B
7．解析：设每个矩形栏目的高为a
cm，宽为b
cm，广告牌的面积为S
cm2，则ab＝9
000，其中a>0，b>0.
易知广告牌的高为(a＋20)cm，宽为(2b＋25)cm.广告牌的面积S＝(a＋20)(2b＋25)＝2ab＋40b＋25a＋500＝18
500＋25a＋40b≥18
500＋2＝24
500，
当且仅当25a＝40b时等号成立，此时b＝a，代入ab＝9
000得a＝120，b＝75.
即当a＝120，b＝75时，S取得最小值24
500.
故当广告牌的高为140
cm，宽为175
cm时，可使矩形广告牌的面积最小．
关键能力综合练
1．解析：∵x>0，∴>0,4x>0.∴y＝＋4x≥2＝8.当且仅当＝4x，即x＝时取最小值8，∴当x>0时，y的最小值为8.
答案：C
2．解析：x＋2y＝(x＋2y)＝10＋＋≥10＋2＝18，当且仅当＝，即x＝4y时，等号成立．
答案：A
3．解析：(1＋x)(1＋y)≤2＝2＝2＝25，当且仅当1＋x＝1＋y即x＝y＝4时，(1＋x)(1＋y)取最大值25.故选B.
答案：B
4．解析：令t＝(t≥0)，则x＝t2，∴y＝＝.
当t＝0时，y＝0；
当t＞0时，y＝＝.
∵t＋≥2，∴0＜≤，当且仅当t＝1时，等号成立．
∴y的最大值为.
答案：B
5．解析：由p＋q＝1，
∴x＋y＝p＋＋q＋＝1＋＋＝1＋(p＋q)
＝1＋2＋＋≥3＋2
＝5，
当且仅当＝即p＝q＝时取等号，
所以B选项是正确的．
答案：B
6．解析：＋＋＝(a＋2b＋c)＝4＋＋＋＋＋＋≥4＋2
＋2
＋2
＝6＋4，
当且仅当＝，＝，＝时，等号成立，
即a2＝c2＝2b2时，等号成立．
答案：D
7．解析：∵x＜，∴4x－5＜0，
∴y＝4x－5＋＋3＝－＋3
≤－2
＋3＝1，
当且仅当5－4x＝，即x＝1时，等号成立．
答案：1
8．解析：∵x>0，y>0，x＋y＝1，∴x＋1＋y＝2，∴＋＝·＝≥(5＋2)＝，当且仅当x＝，y＝时取等号．
答案：
9．解析：设水池池底的一边长为x
m，则其邻边长为
m，总造价为：
y＝480＋80××2＝480＋320
≥480＋320×2＝1
760.当且仅当x＝即x＝2时，y取最小值1
760，所以水池的最低总造价位为1
760元．
答案：1
760
10．解析：设y＝＝，
∵x＞0，∴x＋≥2，当且仅当x＝1时，等号成立．
∴y≤，即ymax＝.∴a≥.
学科素养升级练
1．解析：∵a＞0，b＞0，且a＋b＝1；∴a＋b≥2；∴ab≤；∴ab有最大值，∴选项A正确；＋≥2，2≤1，∴＋的最小值不是，∴B错误；＋＝＝≥4，∴＋有最小值4，∴C正确；a2＋b2≥2ab,2ab≤，∴a2＋b2的最小值不是，∴D错误．故选：AC.
答案：AC
2．解析：依题意，1＋2xy＝4x2＋y2≥4xy，即xy≤，当且仅当“x＝＝”时取等号，
∴＋＋≥2＋＝＋2＝2－2≥(＋)2－2＝6，当且仅当“x＝＝”时取等号，故答案为：，6.
答案： 6
3．解析：设2021年该产品利润为y，
由题意，可知当m＝0时，x＝1，
∴1＝3－k，解得k＝2，∴x＝3－，
又每件产品的销售价格为1.5×元，
∴y＝x－(8＋16x＋m)
＝4＋8x－m＝4＋8－m
＝－＋29，
∵m≥0，＋(m＋1)≥2＝8，
当且仅当＝m＋1，即m＝3时等号成立，
∴y≤－8＋29＝21，∴ymax＝21.
故该厂家2021年的促销费用为3万元时，厂家的利润最大，最大利润为21万元．第1课时 不等式的性质
必备知识基础练
进阶训练第一层
知识点一
用不等式(组)表示不等关系
1.完成一项装修工程，请木工需支付工资每人400元，请瓦工需支付工资每人500元，要求工人工资预算不超过20
000元．设木工x人，瓦工y人，则下列关系式正确的是( )
A．4x＋5y≤200
B．4x＋5y<200
C．5x＋4y≤200
D．5x＋4y<200
2．某校对高一美术生划定录取分数线，专业成绩x不低于95分，文化课总分y高于380分，体育成绩z超过45分，用不等式表示就是( )
A.
B.
C.
D.
3．某车工计划在15天里加工零件408个，最初三天中，每天加工24个，则以后平均每天至少需加工多少个，才能在规定的时间内超额完成任务？(只列关系式)
知识点二
比较大小
4.比较下列各组中两个代数式的大小：
(1)x2＋3与3x；
(2)已知a，b均为正数，且a≠b，比较a3＋b3与a2b＋ab2的大小．
知识点三
利用不等式的性质判断命题的真假
5.下列命题正确的是( )
A．若ac＞bc，则a＞b
B．若a2＞b2，则a＞b
C．若＞，则a＜b
D．若＜，则a＜b
6．已知a，b，c∈R，且c≠0，则下列命题中是真命题的是( )
A．如果a>b，那么>
B．如果acC．如果a>b，那么<
D．如果a>b，那么<
7．给出下列命题：
①若ab>0，a>b，则<；
②若a>b，c>d，则a－c>b－d；
③对于正数a，b，m，若a关键能力综合练
进阶训练第二层
1．按照神州十一号飞船环境控制与生命保障系统的设计指标，要求神州六号飞船返回舱的温度在(21±4)
℃之间(包含端点)，则该返回舱中温度t(单位：℃)的取值范围是( )
A．t≤25
B．t≥17
C．17≤t≤25
D．172．“东京奥运会”期间，中国球迷一行56人从旅馆乘出租车到球场为中国队加油，现有A，B两个出租车队，A队比B队少3辆车．若全部安排乘A队的车，每辆车坐5人，车不够，每辆车坐6人，有的车未坐满；若全部安排乘B队的车，每辆车坐4人，车不够，每辆车坐5人，有的车未坐满．则A队有出租车( )
A．11辆
B．10辆
C．9辆
D．8辆
3．已知a＋b>0，b<0，那么a，b，－a，－b的大小关系是( )
A．a>b>－b>－a
B．a>－b>－a>b
C．a>－b>b>－a
D．a>b>－a>－b
4．设a，b为非零实数，若aA．a2B．ab2C.<
D.<
5．下列命题中正确的个数是( )
①若a>b，b≠0，则>1；
②若a>b，且a＋c>b＋d，则c>d；
③若a>b，且ac>bd，则c>d.
A．0
B．1
C．2
D．3
6．(易错题)已知a，b∈(0,1)，记M＝ab，N＝a＋b－1，则M与N的大小关系是( )
A．M＜N
B．M＞N
C．M＝N
D．不确定
7．一辆汽车原来每天行驶x
km，如果该辆汽车每天行驶的路程比原来多19
km，那么在8天内它的行程就超过2
200
km，写出不等式为________；如果它每天行驶的路程比原来少12
km，那么它原来行驶8天的路程就得花9天多的时间，用不等式表示为________．
8．(探究题)若x∈R，则与的大小关系为________．
9．给出下列命题：①a>b?ac2>bc2；②a>|b|?a2>b2；③a>b?a3>b3；④|a|>b?a2>b2.其中正确的命题序号是________．
10．(1)已知x>y>0，试比较x3－2y3与xy2－2x2y的大小．
(2)已知a>0，试比较a与的大小．
学科素养升级练
进阶训练第三层
1．(多选题)若<<0，正确的不等式有( )
A．|a|>|b|
B．aC．a＋bD．a3>b3
2．已知a，b，c为不全相等的实数，P＝a2＋b2＋c2＋3，Q＝2(a＋b＋c)，那么P与Q的大小关系是( )
A．P>Q
B．P≥Q
C．PD．P≤Q
3．(情境命题—生活情境)甲、乙两人同时从寝室到教室，甲一半路程步行，一半路程跑步，乙一半时间步行，一半时间跑步，如果两人步行速度、跑步速度均相同，试探究谁先到达教室？
§3 不等式
3．1 不等式的性质
第1课时 不等式的性质
必备知识基础练
1．解析：请木工共需支付400x元，请瓦工共需支付500y元，可得共需支付工资(400x＋500y)元．
又工人工资预算不超过20
000元，故400x＋500y≤20
000，
化简可得4x＋5y≤200.
答案：A
2．解析：“不低于”即“≥”，“高于”即“>”，“超过”即“>”，∴x≥95，y>380，z>45.
答案：D
3．解析：设该车工3天后平均每天需加工x(x∈N)个零件，才能在规定时间内超额完成任务．加工(15－3)天共加工12x个零件，15天里共加工(3×24＋12x)个零件，则3×24＋12x>408.
4．解析：(1)(x2＋3)－3x＝x2－3x＋3＝2＋≥>0，
∴x2＋3>3x.
(2)(a3＋b3)－(a2b＋ab2)＝a3＋b3－a2b－ab2
＝a2(a－b)－b2(a－b)
＝(a－b)(a2－b2)
＝(a－b)2(a＋b)．
∵a>0，b>0且a≠b，
∴(a－b)2>0，a＋b>0.
∴(a3＋b3)－(a2b＋ab2)>0，
即a3＋b3>a2b＋ab2.
5．解析：对于A，若c＜0，其不成立；对于B，若a，b均小于0或a＜0，其不成立；对于C，若a＞0，b＜0，其不成立；对于D，其中a≥0，b＞0，平方后显然有a＜b.
答案：D
6．解析：取a＝2，b＝－1，c＝－1，满足选项A，B，C中的条件．对于选项A，有<，故是假命题；对于选项B，有a>b，故是假命题；对于选项C，有>，故是假命题；∵c≠0，∴>0，由不等式的性质4知，D是真命题．
答案：D
7．解析：对于①，若ab>0，则>0，
又a>b，所以>，所以<，所以①正确；
对于②，若a＝7，b＝6，c＝0，d＝－10，
则7－0<6－(－10)，②错误；
对于③，对于正数a，b，m，
若a所以am＋ab所以0又>0，所以<，③正确．
综上，真命题的序号是①③.
答案：①③
关键能力综合练
1．解析：由题意知21－4≤t≤21＋4，即17≤t≤25.
答案：C
2．解析：设A队有出租车x辆，则B队有出租车(x＋3)辆，
由题意得解得
∴9答案：B
3．解析：解法一 ∵a＋b>0，∴a>－b，
又b<0，∴a>0，且|a|>|b|，
∴a>－b>b>－a.
解法二 设a＝3，b＝－2，则a>－b>b>－a.
答案：C
4．解析：用a＝－1，b＝1，试之，易排除A，D.再取a＝1，b＝2，易排除B.
答案：C
5．解析：①若a＝2，b＝－1，则不符合；②取a＝10，b＝2，c＝1，d＝3，虽然满足a>b且a＋c>b＋d，但不满足c>d，故错；③当a＝－2，b＝－3，取c＝－1，d＝2，则不成立．
答案：A
6．解析：M－N＝ab－(a＋b－1)＝ab－a－b＋1＝(a－1)(b－1)．
∵a，b∈(0,1)，∴a－1<0，b－1<0，
∴M－N>0，∴M>N.
答案：B
7．解析：由题意知，汽车原来每天行驶x
km,8天内它的行程超过2
200
km，则8(x＋19)＞2
200.若每天行驶的路程比原来少12
km，则原来行驶8天的路程就要用9天多，即＞9(x≠12)．
答案：8(x＋19)＞2
200 ＞9(x≠12)
8．解析：∵－＝＝≤0.
∴≤.
答案：≤
9．解析：①当c2＝0时不成立．
②一定成立．
③当a>b时，a3－b3＝(a－b)(a2＋ab＋b2)＝(a－b)·＞0成立．
④当b<0时，不一定成立．如：|2|>－3，但22<(－3)2.
答案：②③
10．解析：(1)由题意，知(x3－2y3)－(xy2－2x2y)＝x3－xy2＋2x2y－2y3＝x(x2－y2)＋2y(x2－y2)＝(x2－y2)(x＋2y)＝(x－y)(x＋y)(x＋2y)，
∵x>y>0，∴x－y>0，x＋y>0，x＋2y>0，
∴(x3－2y3)－(xy2－2x2y)>0，
即x3－2y3>xy2－2x2y.
(2)因为a－＝＝，a>0，
所以当a>1时，>0，有a>；
当a＝1时，＝0，有a＝；
当0综上，当a>1时，a>；
当a＝1时，a＝；
当0学科素养升级练
1．解析：由<<0可得b0，则a＋bb3，D正确．故选C、D.
答案：CD
2．解析：∵P－Q＝a2＋b2＋c2＋3－2(a＋b＋c)
＝a2－2a＋1＋b2－2b＋1＋c2－2c＋1
＝(a－1)2＋(b－1)2＋(c－1)2≥0，
又∵a，b，c为不全相等的实数，∴等号取不到，
∴P>Q，故选A.
答案：A
3．解析：设寝室到教室的路程为s，步行速度为v1，跑步速度为v2，则甲用时t1＝＋，乙用时t2＝，t1－t2＝＋－＝s＝·s＝>0，
∴甲用时多．∴乙先到达教室．第2课时 不等式的性质的应用
必备知识基础练
进阶训练第一层
知识点一
利用不等式的性质比较大小
1.已知a2＋a＜0，那么a，a2，－a，－a2的大小关系是( )
A．a2＞a＞－a2＞－a
B．－a＞a2＞－a2＞a
C．－a＞a2＞a＞－a2
D．a2＞－a＞a＞－a2
2．设实数a＝－，b＝－1，c＝－，则( )
A．b>a>c
B．c>b>a
C．a>b>c
D．c>a>b
3．若x＞0，y＞0，M＝，N＝＋，则M，N的大小关系是( )
A．M＝N
B．M＜N
C．M≤N
D．M＞N
知识点二
利用不等式的性质证明不等式
4.已知a>b>0，c.
5．若a>0，b>0，求证：＋≥a＋b.
知识点三
利用不等式的性质求范围
6.已知127．已知1≤a＋b≤5，－1≤a－b≤3，求3a－2b的范围．
关键能力综合练
进阶训练第二层
1．已知a>b，c>d，且c，d不为0，那么下列不等式一定成立的是( )
A．ad>bc
B．ac>bd
C．a＋c>b＋d
D．a－c>b－d
2．如果a，b∈R，且a>|b|，那么( )
A．a<－b
B．a>b
C．a2D.>
3．如果a<0，b>0，那么下列不等式中正确的是( )
A.<
B.<
C．a2D．|a|>|b|
4．已知a，b，c均为正实数，若<<，则a，b，c的大小关系为( )
A．c＜a＜b
B．b＜c＜a
C．a＜b＜c
D．c＜b＜a
5．若P＝＋，Q＝＋(a>－5)，则P，Q的大小关系为( )
A．PB．P＝Q
C．P>Q
D．不能确定
6．(探究题)已知x＞y＞z，x＋y＋z＝0，则下列不等式中成立的是( )
A．xy＞yz
B．xz＞yz
C．xy＞xz
D．x|y|＞z|y|
7．若1＜α＜3，－4＜β＜2，则α－|β|的取值范围是________．
8．给出下列四个条件：①b＞0＞a；②0＞a＞b；③a＞0＞b；④a＞b＞0，其中能推得＜成立的是________．
9．已知a＋b＞0，则＋与＋的大小关系是________．
10．(易错题)已知实数x，y满足－4≤x－y≤－1，－1≤4x－y≤5，求9x－3y的取值范围．
学科素养升级练
进阶训练第三层
1．(多选题)已知a、b、c、d是实数，则下列一定正确的有( )
A．a2＋b2≥
B．a＋≥2
C．若＞，则a＜b
D．若a＜b＜0，c＜d＜0，则ac＞bd
2．有外表一样、重量不同的四个小球，它们的重量分别是a，b，c，d，已知a＋b＝c＋d，a＋d>b＋c，a＋cA．d>b>a>c
B．b>c>d>a
C．d>b>c>a
D．c>a>d>b
3．(学科素养—逻辑推理)(1)若bc－ad≥0，bd>0.求证：≤.
(2)已知m>0，a，b∈R，求证：2≤.
第2课时 不等式的性质的应用
必备知识基础练
1．解析：∵a2＋a＜0，∴0＜a2＜－a，∴0＞－a2＞a，
∴a＜－a2＜a2＜－a.故选B.
答案：B
2．解析：－＝，－1＝，
－＝，∵＋1<＋<＋，
∴>>，即b>a>c，故选A.
答案：A
3．解析：∵x＞0，y＞0，
∴x＋y＋1＞1＋x＞0,1＋x＋y＞1＋y＞0，
∴<，<，
故M＝＝＋<＋＝N，即M＜N.故选B.
答案：B
4．证明：证法一(性质法)：∵c－d>0.
∵a>b>0，∴a＋(－c)>b＋(－d)>0，
即a－c>b－d>0，∴0<<.
又e<0，∴>.
证法二(作差法)：－＝－＝＝.
∵a>b>0，c∴a＋d>b＋c，a－c>0，b－d>0，
∴[(b＋c)－(a＋d)]e>0，(a－c)(b－d)>0.
∴－>0，∴>.
证法三(作商法)：∵a>b>0，c∴a－c>0，b－d>0，∴<0，<0.
∵c－d>0.
∵a>b>0，∴a＋(－c)>b＋(－d)>0，
即a－c>b－d>0，
∴＝·＝<1，
∴<1，∴>.
5．证明：∵＋－a－b＝(a－b)＝.
∵(a－b)2≥0恒成立，且a>0，b>0，∴a＋b>0，ab>0.
∴≥0.∴＋≥a＋b.
6．解析：∵15∴12－36又<<，∴<<，即<<4.
故－247．解析：设x＝a＋b，y＝a－b，
则a＝，b＝，
∵1≤x≤5，－1≤y≤3，∴3a－2b＝x＋y.
又≤x≤，－≤y≤，
∴－2≤x＋y≤10.
即－2≤3a－2b≤10.
关键能力综合练
1．解析：由a>b，c>d得a＋c>b＋d，故选C.
答案：C
2．解析：由a>|b|得，当b≥0时，a>b，当b<0时，a>－b>b.综上可知，如果a>|b|，那么a>b成立．故选B.
答案：B
3．解析：∵a<0，b>0，∴<0，>0，∴<，故选A.
答案：A
4．解析：∵<，∴c(b＋c)＜a(a＋b)，bc＋c2＜a2＋ab，移项后因式分解得，(a－c)(a＋b＋c)＞0，∵a，b，c均为正实数，∴a＞c，同理b＞a.∴c＜a＜b，故选A.
答案：A
5．解析：P2＝2a＋13＋2，
Q2＝2a＋13＋2，
因为(a＋6)(a＋7)－(a＋5)(a＋8)＝a2＋13a＋42－(a2＋13a＋40)＝2>0，
所以>，
所以P2>Q2，所以P>Q.
答案：C
6．解析：因为x＞y＞z，x＋y＋z＝0，
所以3x＞x＋y＋z＝0,3z＜x＋y＋z＝0，
所以x＞0，z＜0.所以由可得xy＞xz.故选C.
答案：C
7．解析：∵－4＜β＜2，∴0≤|β|＜4，
∴－4＜－|β|≤0，∴－3＜α－|β|＜3.
答案：(－3,3)
8．解析：＜?＜0，∴①②④能使它成立．
答案：①②④
9．解析：＋－＝
∵a2b2＞0，所以只需判断a3＋b3－ab2－a2b的符号．
a3＋b3－ab2－a2b＝a2(a－b)＋b2(b－a)
＝(a－b)(a2－b2)＝(a－b)2(a＋b)≥0，
等号当a＝b时成立，所以＋≥＋.
答案：＋≥＋
10．解析：设9x－3y＝a(x－y)＋b(4x－y)＝(a＋4b)x－(a＋b)y，
∴?
∴9x－3y＝(x－y)＋2(4x－y)，
∵－1≤4x－y≤5，∴－2≤2(4x－y)≤10，
又－4≤x－y≤－1，∴－6≤9x－3y≤9.
学科素养升级练
1．解析：由于2(a2＋b2)－(a＋b)2＝a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，故a2＋b2≥(a＋b)2，故A正确；B中，当a＝－1时显然不成立，B错误；C中：a＝1，b＝－1显然有＞，但a＞b，C错误；D中：若a＜b＜0，c＜d＜0，则－a＞－b＞0，－c＞－d＞0，则根据不等式的性质可知ac＞bd＞0，故D正确．故选AD.
答案：AD
2．解析：∵a＋b＝c＋d，a＋d>b＋c，∴a＋d＋(a＋b)>b＋c＋(c＋d)，即a>c，∴bb>a>c.
答案：A
3．证明：(1)∵bc－ad≥0，∴ad≤bc，bd>0，
∴≤，∴＋1≤＋1，∴≤.
(2)2－＝.因为m>0，a，b∈R，所以－m(a－b)2≤0，所以2≤.