第2课时 函数的最值
必备知识基础练
进阶训练第一层
知识点一
图象法求函数的最值
1．函数f(x)的图象如图，则f(x)在[－2,2]上的最大、最小值分别为( )
A．f，f
B．f(0)，f
C．f(0)，f
D．f(0)，f(－1)
2．已知函数f(x)＝则f(x)的最大值、最小值分别是________，________.
3．用min{a，b}表示a，b两个数中的最小值．设f(x)＝min{x＋2,10－x}(x≥0)，则f(x)的最大值为________.
知识点二
单调性法求函数的最值
4.函数y＝x＋( )
A．有最小值，无最大值
B．有最大值，无最小值
C．有最小值，有最大值2
D．无最大值，也无最小值
5．求函数f(x)＝在区间[2,5]上的最大值与最小值．
知识点三
求二次函数的最值
6.已知函数f(x)＝－x2＋4x＋a，x∈[0,1]，若f(x)有最小值－2，则f(x)的最大值为________．
7．已知函数f(x)＝x2－6x＋8，x∈[1，a]，并且f(x)的最小值为f(a)，则实数a的取值范围是________．
8．已知函数f(x)＝x2－2ax＋2，x∈[－1,1]，求函数f(x)的最小值．
关键能力综合练
进阶训练第二层
1．函数f(x)＝2－在区间[1,3]上的最大值是( )
A．2
B．3
C．－1
D．1
2．函数y＝x2－2x＋2在区间[－2,3]上的最大值、最小值分别是( )
A．10,5
B．10,1
C．5,1
D．以上都不对
3．若函数y＝ax＋1在[1,2]上的最大值与最小值的差为2，则实数a的值是( )
A．2
B．－2
C．2或－2
D．0
4．已知函数y＝(k>0)在[4,6]上的最大值为1，则k的值是( )
A．1
B．2
C．3
D．4
5．函数f(x)＝的最大值是( )
A.
B.
C.
D.
6．(易错题)若函数y＝x2－3x－4的定义域为[0，m]，值域为，则m的取值范围是
( )
A．(0,4]
B.
C.
D.
7．函数y＝－，x∈[－3，－1]的最大值与最小值的差是________．
8．函数y＝－x2＋6x＋9在区间[a，b](a＜b＜3)上有最大值9，最小值－7，则a＝________，b＝________.
9．函数g(x)＝2x－的值域为________．
10．设函数f(x)＝x2－2x＋2(其中x∈[t，t＋1]，t∈R)的最小值为g(t)，求g(t)的表达式．
学科素养升级练
进阶训练第三层
1．(多选题)关于函数f(x)＝的结论正确的是( )
A．定义域、值域分别是[－1,3]，[0，＋∞)
B．单调增区间是(－∞，1]
C．定义域、值域分别是[－1,3]，[0,2]
D．单调增区间是[－1,1]
2．已知f(x)＝x，g(x)＝x2－2x，F(x)＝则F(x)的最值情况是( )
A．最大值为3，最小值为－1
B．最小值为－1，无最大值
C．最大值为3，无最小值
D．既无最大值，又无最小值
3．(情境命题—生活情境)某公司生产一种电子仪器的固定成本为20
000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数：R(x)＝其中x是仪器的月产量．
(1)将利润表示为关于月产量的函数f(x)；
(2)当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？(总收益＝总成本＋利润)
第2课时 函数的最值
必备知识基础练
1．解析：由最大(小)值的几何意义及定义可知f(0)为最大值，f为最小值．
答案：C
2．解析：作出函数f(x)的图象(如图)．由图象可知，当x＝±1时，f(x)取最大值f(±1)＝1.当x＝0时，f(x)取最小值f(0)＝0，故f(x)的最大值为1，最小值为0.
答案：1 0
3．解析：在同一平面直角坐标系内画出函数y＝x＋2和y＝10－x的图象．解方程x＋2＝10－x，得x＝4，此时y＝6，故两图象的交点为(4,6)．
根据min{x＋2,10－x}(x≥0)的含义可知，f(x)＝所以函数f(x)的图象为图中的实线部分．观察图象知，点(4,6)即f(x)的图象的最高点，故f(x)的最大值为6.
答案：6
4．解析：设y1＝x，y2＝，则y＝y1＋y2，∵y1＝x在R上为增函数，y2＝在上为增函数，∴y＝x＋在上为增函数，∴y有最小值，无最大值．
答案：A
5．解析：任取2≤x1＜x2≤5，
则f(x1)＝，f(x2)＝，
f(x2)－f(x1)＝－＝.
因为2≤x1＜x2≤5，所以x1－x2＜0，x2－1＞0，x1－1＞0.
所以f(x2)－f(x1)＜0.所以f(x2)＜f(x1)．
所以f(x)＝在区间[2,5]上是减函数．
所以f(x)max＝f(2)＝＝2，
f(x)min＝f(5)＝＝.
6．解析：函数f(x)＝－x2＋4x＋a＝－(x－2)2＋4＋a，x∈[0,1]，且函数有最小值－2.
故当x＝0时，函数有最小值，
当x＝1时，函数有最大值．
∵当x＝0时，f(0)＝a＝－2，∴f(x)＝－x2＋4x－2，
∴当x＝1时，f(1)＝－12＋4×1－2＝1.
故f(x)的最大值为1.
答案：1
7．解析：如图可知f(x)在[1，a]内是单调递减的，
又∵f(x)的单调递减区间为(－∞，3]，∴1
答案：(1,3]
8．解析：f(x)＝x2－2ax＋2＝(x－a)2＋2－a2，x∈[－1,1]．
当a≥1时，函数f(x)的图象如图(1)中实线所示，函数f(x)在区间[－1,1]上是减函数，最小值为f(1)＝3－2a；当－1当a≤－1时，函数f(x)的图象如图(3)中实线所示，函数f(x)在区间[－1,1]上是增函数，最小值为f(－1)＝3＋2a.
综上所述，f(x)min＝
关键能力综合练
1．解析：函数f(x)＝2－在[1,3]上单调递增，
∴f(x)的最大值为f(3)＝2－＝2－1＝1.
故选D.
答案：D
2．解析：因为y＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，且x∈[－2,3]，所以当x＝1时，ymin＝1，当x＝－2时，ymax＝(－2－1)2＋1＝10.故选B.
答案：B
3．解析：由题意知a≠0，当a>0时，有(2a＋1)－(a＋1)＝2，解得a＝2；当a<0时，有(a＋1)－(2a＋1)＝2，解得a＝－2.综上知a＝±2.
答案：C
4．解析：因为当k>0时，函数y＝在[4,6]上单调递减，所以函数y＝(k>0)在[4,6]上的最大值为＝1，解得k＝2.
答案：B
5．解析：因为1－x(1－x)＝x2－x＋1＝2＋≥，所以≤.故f(x)的最大值为.
答案：C
6．解析：∵f(x)＝x2－3x－4＝2－，
∴f＝－，又f(0)＝－4，故由二次函数图象可知(如图)：m的值最小为，最大为3，即m的取值范围是，故选C.
答案：C
7．解析：因为函数y＝－在[－3，－1]上为增函数，所以最大值为1，最小值为，最大值与最小值的差为.
答案：
8．解析：y＝－(x－3)2＋18，∵a∴函数y在区间[a，b]上单调递增，即－b2＋6b＋9＝9，
解得b＝0(b＝6不符合题意，舍去)．
－a2＋6a＋9＝－7，解得a＝－2(a＝8不符合题意，舍去)．
答案：－2 0
9．解析：设＝t(t≥0)，则x＋1＝t2，即x＝t2－1，
∴y＝2t2－t－2＝22－，t≥0，∴当t＝时，ymin＝－，∴函数g(x)的值域为.
答案：
10．解析：f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，其对称轴为直线x＝1.
①当t＋1≤1，即t≤0时，由图(1)知，[t，t＋1]为函数的减区间，所以g(t)＝f(t＋1)＝t2＋1；
②当t≤1③当t>1时，由图(3)知，[t，t＋1]为函数的增区间，所以g(t)＝f(t)＝t2－2t＋2.
综上，g(t)＝
学科素养升级练
1．解析：由－x2＋2x＋3≥0可得，x2－2x－3≤0，
解可得，－1≤x≤3，即函数的定义域[－1,3]，
由二次函数的性质可知，y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4∈[0,4]，
∴函数的值域[0,2]，
结合二次函数的性质可知，函数在[－1,1]上单调递增．在[1,3]上单调递减．故选：CD.
答案：CD
2．解析：由f(x)≥g(x)得0≤x≤3；
由f(x)3，
所以F(x)＝
作出函数F(x)的图象(图略)，可得F(x)无最大值，无最小值．
答案：D
3．解析：(1)月产量为x台，则总成本为(20
000＋100x)元，
从而f(x)＝
(2)当0≤x≤400时，f(x)＝－(x－300)2＋25
000，
当x＝300时，f(x)max＝25
000；
当x>400时，f(x)＝60
000－100x是减函数，f(x)<60
000－100×400＝20
000<25
000.
∴当x＝300时，f(x)max＝25
000.
即每月生产300台仪器时公司所获利润最大，最大利润为25
000元．第1课时 函数的单调性
必备知识基础练
进阶训练第一层
知识点一
函数单调性的判断与证明
1.设(a，b)，(c，d)都是f(x)的单调递增区间，且x1∈(a，b)，x2∈(c，d)，x1＜x2，则f(x1)与f(x2)的大小关系为( )
A．f(x1)＜f(x2)
B．f(x1)＞f(x2)
C．f(x1)＝f(x2)
D．不能确定
2．已知函数f(x)的定义域为A，如果对于属于定义域内某个区间I上的任意两个不同的自变量x1，x2，都有＞0，则( )
A．f(x)在这个区间上为增函数
B．f(x)在这个区间上为减函数
C．f(x)在这个区间上的增减性不确定
D．f(x)在这个区间上为常函数
3．证明：函数f(x)＝x＋在(－∞，－2)上是增函数．
知识点二
求函数的单调区间
4.如图所示，函数y＝f(x)在下列哪个区间上是增函数( )
A．[－4,4]
B．[－4，－3]∪[1,4]
C．[－3,1]
D．[－3,4]
5．函数y＝x2＋x＋1(x∈R)的单调递减区间是( )
A.
B．[－1，＋∞)
C.
D．(－∞，＋∞)
6．求下列函数的单调区间：
(1)f(x)＝；
(2)f(x)＝|x2－3x＋2|.
知识点三
函数单调性的应用
7.若函数f(x)在区间(－∞，＋∞)上是减函数，则下列关系式一定成立的是( )
A．f(a)>f(2a)
B．f(a2)C．f(a2＋a)D．f(a2＋1)8．已知函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，4]上是减函数，则实数a的取值范围为________．
9．若函数y＝f(x)的定义域为R，且为增函数，f(1－a)关键能力综合练
进阶训练第二层
1．下列函数中，在区间(0,2)上为增函数的是( )
A．y＝5－x
B．y＝x2＋2
C．y＝
D．y＝－|x|
2．若函数f(x)＝(2a－1)x＋b是R上的减函数，则实数a的取值范围是( )
A.
B.
C.
D.
3．下列说法中，正确的有( )
①若任意x1，x2∈I，当x1＜x2时，＜0，则y＝f(x)在I上是减函数；
②函数y＝x2在R上是增函数；
③函数y＝－在定义域上是增函数；
④函数y＝的单调区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个
4．当y＝x2＋bx＋c(x∈(－∞，1))是单调函数时，b的取值范围是( )
A．[－2，＋∞)
B．(－∞，－2]
C．(－2，＋∞)
D．(－∞，－2)
5．若f(x)＝－x2＋2ax与g(x)＝在区间[1,2]上都是减函数，则a的取值范围是( )
A．(－1,0)∪(0,1)
B．(－1,1)
C．(0,1)
D．(0,1]
6．(易错题)已知f(x)＝是定义在R上的减函数，那么a的取值范围是( )
A.
B.
C.
D.∪
7．已知函数f(x)＝则f(x)的单调递减区间是________，单调递增区间是________．
8．已知函数f(x)＝|x＋a|在区间(－∞，1]上单调递减，则a的取值范围是________．
9．函数y＝f(x)在(－2,2)上为增函数，且f(2m)>f(－m＋1)，则实数m的取值范围是________．
10．(探究题)已知函数f(x)＝.
(1)求f(x)的定义域；
(2)判断函数f(x)在(1，＋∞)上的单调性，并用单调性的定义加以证明．
学科素养升级练
进阶训练第三层
1．(多选题)已知函数f(x)＝－x2＋2x＋1的定义域为(－2,3)，则函数f(|x|)的单调递增区间是( )
A．(－∞，－1)
B．(－3，－1)
C．(0,1)
D．(1,3)
2．已知函数f(x)＝x2＋ax＋b在区间(－∞，1]上单调递减，在[1，＋∞)上单调递增，且f(m＋2)3．(学科素养—数学抽象)函数f(x)对任意的a，b∈R，都有f(a＋b)＝f(a)＋f(b)－1，并且当x>0时，f(x)＞1.
(1)求证：f(x)在R上是增函数；
(2)若f(4)＝5，解不等式f(3m－2)<3.
§3 函数的单调性和最值
第1课时 函数的单调性
必备知识基础练
1．解析：由函数单调性的定义，知所取两个自变量必须是同一单调区间内的值，才能由该区间上函数的单调性来比较函数值的大小，而本题中的x1，x2不在同一单调区间内，所以f(x1)与f(x2)的大小关系不能确定．故选D.
答案：D
2．解析：①当x1＞x2时，x1－x2＞0，则f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)，
∴f(x)在区间I上是增函数．
②当x1＜x2时，x1－x2＜0，则f(x1)－f(x2)＜0，
即f(x1)＜f(x2)，
∴f(x)在区间I上是增函数．
综合①②可知，f(x)在区间I上是增函数．故选A.
答案：A
3．证明：?x1，x2∈(－∞，－2)，且x1则f(x1)－f(x2)＝x1＋－x2－
＝(x1－x2)＋
＝.
∵x14，
x1x2－4>0.
∴f(x1)－f(x2)<0，
即f(x1)∴函数f(x)＝x＋在(－∞，－2)上是增函数．
4．解析：观察题中图象知，函数在[－3,1]上是增函数．
答案：C
5．解析：y＝x2＋x＋1＝2＋，其对称轴为x＝－，在对称轴左侧单调递减，∴当x≤－时单调递减．
答案：C
6．解析：(1)函数f(x)＝的定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)，
?x1，x2∈(－∞，1)，且x1f(x1)－f(x2)＝－
＝.
因为x10，x1－1<0，x2－1<0，
所以f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)．
所以函数f(x)在(－∞，1)上单调递减，同理函数f(x)在(1，＋∞)上单调递减．
综上，函数f(x)的单调递减区间是(－∞，1)，(1，＋∞)．
(2)f(x)＝|x2－3x＋2|
＝
作出函数的图象，如图所示．
根据图象，可知
单调递增区间是和[2，＋∞)；
单调递减区间是(－∞，1]和.
7．解析：∵f(x)在(－∞，＋∞)为减函数，且a2＋1>a2，
∴f(a2＋1)答案：D
8．解析：f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2的开口方向向上，对称轴为x＝1－a，
∵f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，4]上是减函数，
∴4≤1－a，
∴a≤－3，
∴a的取值范围是(－∞，－3]．
答案：(－∞，－3]
9．解析：因为y＝f(x)的定义域为R，且为增函数，
f(1－a)，
所以所求a的取值范围是.
答案：
关键能力综合练
1．解析：A，C，D中的函数在(0,2)上是减函数，只有函数y＝x2＋2在(0,2)上是增函数．
答案：B
2．解析：由一次函数的性质得2a－1<0，即a<.故选D.
答案：D
3．解析：①若任意x1，x2∈I，当x1答案：B
4．解析：由y＝x2＋bx＋c可知，二次函数的对称轴为
x＝－，要使函数y＝x2＋bx＋c在(－∞，1)上是单调函数，则－≥1，所以b≤－2.故选B.
答案：B
5．解析：由f(x)＝－x2＋2ax在[1,2]上是减函数，得a≤1.由函数g(x)＝在[1,2]上是减函数，得a>0，故a的取值范围为(0,1]．
答案：D
6．解析：要使f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数，必须同时满足3个条件：
①g(x)＝(3a－1)x＋4a在(－∞，1)上为减函数；
②h(x)＝－x＋1在[1，＋∞)上为减函数；
③g(1)≥h(1)．
所以
所以≤a＜.
答案：C
7．解析：当x≥1时，f(x)是增函数，当x<1时，f(x)是减函数，
所以f(x)的单调递减区间为(－∞，1)，单调递增区间为[1，＋∞)．
答案：(－∞，1) [1，＋∞)
8．解析：当x∈R时，f(x)＝|x＋a|＝
∴f(x)的递减区间为(－∞，－a]．
由题意，(－∞，1]?(－∞，－a]，
∴－a≥1，即a≤－1.
答案：(－∞，－1]
9．解析：由题意知解得答案：
10．解析：(1)由x2－1≠0，得x≠±1，
所以函数f(x)＝的定义域为{x∈R|x≠±1}．
(2)函数f(x)＝在(1，＋∞)上是减函数．
证明：任取x1，x2∈(1，＋∞)，且x1则f(x1)－f(x2)＝－＝.
因为x2>x1>1，所以x－1>0，x－1>0，x2－x1>0，x2＋x1>0，所以f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，
所以函数f(x)＝在(1，＋∞)上是减函数．
学科素养升级练
1．解析：因为函数f(x)＝－x2＋2x＋1的定义域为(－2,3)，对称轴为直线x＝1，开口向下，所以函数f(|x|)满足－2<|x|<3，所以－3又f(|x|)＝－x2＋2|x|＋1＝且y＝－x2－2x＋1图象的对称轴为直线x＝－1，所以由二次函数的图象与性质可知，函数f(|x|)的单调递增区间是(－3，－1)和(0,1)．
故选BC.
答案：BC
2．解析：∵f(x)在(－∞，1]上递减，在[1，＋∞)上递增，
∴－＝1，∴a＝－2.如图．
∵f(m＋2)∴0则实数m的取值范围为(－2,0)．
答案：(－2,0)
3．解析：(1)证明：设x1，x2∈R，且x1则x2－x1>0，f(x2－x1)＞1.
∴f(x2)－f(x1)＝f[(x2－x1)＋x1]－f(x1)
＝f(x2－x1)＋f(x1)－1－f(x1)
＝f(x2－x1)－1>0.
∴f(x2)>f(x1)．故f(x)在R上是增函数．
(2)∵f(4)＝f(2＋2)＝f(2)＋f(2)－1＝5，∴f(2)＝3.
∴原不等式可化为f(3m－2)∵f(x)在R上是增函数，∴3m－2<2，解得m＜.故不等式的解集为.