第2课时 函数奇偶性的应用
必备知识基础练
进阶训练第一层
知识点一
利用奇偶性求函数解析式
1.函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝－x＋1，则当x<0时，f(x)的解析式为( )
A．f(x)＝－x＋1
B．f(x)＝－x－1
C．f(x)＝x＋1
D．f(x)＝x－1
2．已知函数f(x)为偶函数，且当x<0时，f(x)＝x＋1，则x>0时，f(x)＝________.
知识点二
利用奇偶性求函数值
3.已知f(x)为奇函数，g(x)＝f(x)＋9，g(－2)＝3，则f(2)＝________.
4．设函数f(x)＝的最大值为M，最小值为m，则M＋m＝________.
知识点三
函数的奇偶性与单调性
5.已知f(x)是定义在(－∞，＋∞)上的奇函数，且f(x)在[0，＋∞)上是减函数，则下列关系式中，正确的是( )
A．f(5)>f(－5)
B．f(4)>f(3)
C．f(－2)>f(2)
D．f(－8)＝f(8)
6．已知偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f(2x－1)
A.
B.
C.
D.
7．若奇函数f(x)在区间[2,5]上的最小值是6，那么f(x)在区间[－5，－2]上有( )
A．最小值6
B．最小值－6
C．最大值－6
D．最大值6
8．已知偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递减，f(2)＝0.若f(x－1)＞0，则x的取值范围是________．
关键能力综合练
进阶训练第二层
1．下列各函数在其定义域中，既是奇函数，又是增函数的是( )
A．y＝x＋1
B．y＝－x3
C．y＝－
D．y＝x|x|
2．对于定义域为R的奇函数f(x)，下列结论成立的是( )
A．f(x)－f(－x)＞0
B．f(x)－f(－x)≤0
C．f(x)·f(－x)≤0
D．f(x)·f(－x)＞0
3．已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2－2x，则f(x)在R上的表达式是( )
A．y＝x(x－2)
B．y＝x(|x|＋2)
C．y＝|x|(x－2)
D．y＝x(|x|－2)
4．若函数f(x)＝ax2＋(2＋a)x＋1是偶函数，则函数f(x)的单调递增区间为( )
A．(－∞，0]
B．[0，＋∞)
C．(－∞，＋∞)
D．[1，＋∞)
5．f(x)是定义在R上的奇函数且单调递减，若f(2－a)＋f(4－a)<0，则a的取值范围是( )
A．a<1
B．a<3
C．a>1
D．a>3
6．设f(x)是R上的偶函数，且在[0，＋∞)上单调递增，则f(－2)，f(－π)，f(3)的大小顺序是( )
A．f(－π)＞f(3)＞f(－2)
B．f(－π)＞f(－2)＞f(3)
C．f(3)＞f(－2)＞f(－π)
D．f(3)＞f(－π)＞f(－2)
7．已知函数f(x)(x∈R)是奇函数，且当x>0时，f(x)＝x2－2x－1，则函数f(x)的解析式为________．
8.如果定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的奇函数f(x)在(0，＋∞)内是减函数，又有f(3)＝0，则x·f(x)<0的解集为________．
9．(探究题)已知函数f(x)＝是奇函数，且f(2)＝－，则函数f(x)的解析式f(x)＝________.
10．(易错题)已知函数y＝f(x)在定义域[－1,1]上是奇函数，又是减函数，若f(1－a2)＋f(1－a)<0，求实数a的取值范围．
学科素养升级练
进阶训练第三层
1．(多选题)已知函数f(x)＝x2－2x－3，则下列结论正确的是( )
A．函数f(x)的最小值为－4
B．函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增
C．函数f(|x|)为偶函数
D．若方程f(|x－1|)＝a在R上有4个不等实根x1，x2，x3，x4，则x1＋x2＋x3＋x4＝4
2．已知定义在R上的函数f(x)满足f(1－x)＝f(1＋x)，且f(x)在[1，＋∞)上为单调减函数，则当x＝________时，f(x)取得最大值；若不等式f(0)3．(学科素养－数学抽象)设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意a，b∈R，当a＋b≠0时，都有>0.
(1)若a>b，试比较f(a)与f(b)的大小关系；
(2)若f(1＋m)＋f(3－2m)≥0，求实数m的取值范围．
第2课时 函数奇偶性的应用
必备知识基础练
1．解析：设x<0，则－x>0.
∴f(－x)＝x＋1，又函数f(x)是奇函数．
∴f(－x)＝－f(x)＝x＋1，
∴f(x)＝－x－1(x<0)．
答案：B
2．解析：当x>0时，－x<0，∴f(－x)＝－x＋1，
又f(x)为偶函数，∴f(x)＝－x＋1.
答案：－x＋1
3．解析：g(2)＋g(－2)＝2×9，则g(2)＝15，于是f(2)＝6.
答案：6
4．解析：f(x)＝＝＝＋1，其中g(x)＝为奇函数，根据其图象的对称性，函数f(x)最大值与最小值的和M＋m＝2×1＝2.
答案：2
5．解析：∵f(x)为奇函数，且在[0，＋∞)上是减函数，
∴f(x)在(－∞，0)上是减函数，∴f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数，又－2<2，∴f(－2)>f(2)，故选C.
答案：C
6．解析：由于f(x)为偶函数，且在[0，＋∞)上单调递增，则不等式f(2x－1)答案：A
7．解析：因为奇函数f(x)在[2,5]上有最小值6，所以可设a∈[2,5]，有f(a)＝6.由奇函数的性质，f(x)在[－5，－2]上必有最大值，且最大值为f(－a)＝－f(a)＝－6.
答案：C
8．解析：∵f(2)＝0，f(x－1)＞0，∴f(x－1)＞f(2)．
又∵f(x)是偶函数，且在[0，＋∞)上单调递减，
∴f(|x－1|)＞f(2)，
∴|x－1|＜2，∴－2＜x－1＜2，∴－1＜x＜3，
∴x∈(－1,3)．
答案：(－1,3)
关键能力综合练
1．解析：A中函数不具有奇偶性；B中函数在定义域内为减函数；C中函数在定义域内不具有单调性．故选D.
答案：D
2．解析：∵f(－x)＝－f(x)，∴f(x)·f(－x)＝－f2(x)≤0.
答案：C
3．解析：由x≥0时，f(x)＝x2－2x，
f(x)是定义在R上的奇函数得，
当x<0时，－x>0，f(x)＝－f(－x)＝－(x2＋2x)＝x(－x－2)．
∴f(x)＝即f(x)＝x(|x|－2)．
答案：D
4．解析：因为函数为偶函数，所以a＋2＝0，a＝－2，即该函数f(x)＝－2x2＋1，所以函数f(x)在(－∞，0]上单调递增．
答案：A
5．解析：∵f(x)在R上为奇函数，
∴f(2－a)＋f(4－a)<0转化为f(2－a)<－f(4－a)＝f(a－4)．
又f(x)在R上单调递减，
∴2－a>a－4，得a<3.
答案：B
6．解析：∵f(x)是R上的偶函数，
∴f(－2)＝f(2)，f(－π)＝f(π)，
又f(x)在[0，＋∞)上单调递增，且2＜3＜π，
∴f(π)＞f(3)＞f(2)，即f(－π)＞f(3)＞f(－2)．
答案：A
7．解析：当x<0时，－x>0，∴f(－x)＝(－x)2＋2x－1.
∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，
∴f(x)＝－x2－2x＋1，
∵f(x)(x∈R)是奇函数，∴f(0)＝0.
∴所求函数的解析式为f(x)＝
答案：f(x)＝
8.
解析：由题意可画出函数f(x)的草图．当x>0时，f(x)<0，所以x>3；当x<0时，f(x)>0，所以x<－3.综上x>3或x<－3.
答案：{x|x<－3或x>3}
9．解析：f(x)的定义域为∪，若f(x)是奇函数，则＝0，得q＝0.故f(x)＝，又f(2)＝－，得＝－，得p＝2，因此f(x)＝＝－.
答案：－
10．解析：由f(1－a2)＋f(1－a)<0，
得f(1－a2)<－f(1－a)．
∵y＝f(x)在[－1,1]上是奇函数，
∴－f(1－a)＝f(a－1)，∴f(1－a2)又f(x)在[－1,1]上单调递减，
∴解得
∴0≤a<1.∴a的取值范围是[0,1)．
学科素养升级练
1．解析：二次函数f(x)在对称轴x＝1处取得最小值，且最小值f(1)＝－4，故选项A正确；二次函数f(x)的对称轴为x＝1，其在(0，＋∞)上有增有减，故选项B错误；由f(x)得，f(|x|)＝|x|2－2|x|－3，显然f(|x|)为偶函数，故选项C正确；令h(x)＝f(|x－1|)＝|x－1|2－2|x－1|－3，方程f(|x－1|)＝a的零点转化为y＝h(x)与y＝a
的交点，作出h(x)图象如下图所示：图象关于x＝1对称，当y＝h(x)与y＝a有四个交点时，两两分别关于x＝1对称，所以x1＋x2＋x3＋x4＝4，故选项D正确．故选ACD.
答案：ACD
2．解析：由f(1－x)＝f(1＋x)知，f(x)的图象关于直线x＝1对称，又f(x)在(1，＋∞)上单调递减，则f(x)在(－∞，1]上单调递增，所以当x＝1时f(x)取到最大值．由对称性可知f(0)＝f(2)，所以f(0)答案：1 (0,2)
3．解析：(1)因为a>b，所以a－b>0，
由题意得>0，
所以f(a)＋f(－b)>0.
又f(x)是定义在R上的奇函数，
所以f(－b)＝－f(b)，
所以f(a)－f(b)>0，即f(a)>f(b)．
(2)由(1)知f(x)为R上的单调递增函数，
因为f(1＋m)＋f(3－2m)≥0，所以f(1＋m)≥－f(3－2m)，
即f(1＋m)≥f(2m－3)，
所以1＋m≥2m－3，所以m≤4.
所以实数m的取值范围为(－∞，4]．第1课时 函数奇偶性的概念
必备知识基础练
进阶训练第一层
知识点一
函数奇偶性的判断
1.判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝2－|x|；
(2)f(x)＝＋；
(3)f(x)＝；
(4)f(x)＝
知识点二
奇函数和偶函数的图象及应用
2.函数f(x)＝－x的图象( )
A．关于y轴对称
B．关于直线y＝x对称
C．关于坐标原点对称
D．关于直线y＝－x对称
3．已知奇函数f(x)的定义域为[－5,5]，且在区间[0,5]上的图象如图所示．
(1)画出在区间[－5,0]上的图象．
(2)写出使f(x)<0的x的取值集合．
知识点三
利用函数的奇偶性求值
4.若函数f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，定义域为[a－1,2a]，则a＝________，b＝________；
5．若函数f(x)＝为奇函数，则a＝________.
6．已知f(x)＝ax5＋bx3＋cx－8，且f(d)＝10，则f(－d)＝________.
关键能力综合练
进阶训练第二层
1．下列函数为奇函数的是( )
A．y＝－|x|
B．y＝2－x
C．y＝
D．y＝－x2＋8
2．已知函数y＝f(x)是偶函数，且图象与x轴有四个交点，则方程f(x)＝0的所有实根之和是( )
A．4
B．2
C．1
D．0
3．函数f(x)＝＋x3的图象( )
A．关于y轴对称
B．关于直线y＝x对称
C．关于坐标原点对称
D．关于直线y＝－x对称
4．若f(x)＝ax2＋bx＋c(c≠0)是偶函数，则g(x)＝ax3＋bx2＋cx( )
A．是奇函数但不是偶函数
B．是偶函数但不是奇函数
C．既是奇函数又是偶函数
D．既不是奇函数又不是偶函数
5．已知y＝f(x)，x∈(－a，a)，F(x)＝f(x)＋f(－x)，则F(x)是( )
A．奇函数
B．偶函数
C．既是奇函数又是偶函数
D．非奇非偶函数
6．已知定义在R上的偶函数f(x)满足：当x∈[0，＋∞)时，f(x)＝则f[f(－2)]的值为( )
A．1
B．3
C．－2
D．－3
7．设f(x)是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f(x)＝x2＋1，则f(－2)＋f(0)＝________.
8．函数f(x)＝的定义域为______，为________函数(填“奇”或“偶”)．
9．(探究题)已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1，则f(1)＋g(1)＝________.
10．已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f(x)＝x2＋2x.
(1)现已画出函数f(x)在y轴及y轴左侧的图象，如图所示，请把函数f(x)的图象补充完整，并根据图象写出函数f(x)的单调递增区间；
(2)写出函数f(x)的值域．
学科素养升级练
进阶训练第三层
1．(多选题)对于定义在R上的函数f(x)，下面结论正确的是( )
A．若f(x)是偶函数，则f(－2)＝f(2)
B．若f(－2)＝f(2)，则函数f(x)是偶函数
C．若f(－2)≠f(2)，则函数f(x)不是偶函数
D．若f(－2)＝f(2)，则函数f(x)不是奇函数
2．设函数f(x)和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是( )
A．|f(x)|－g(x)是奇函数
B．f(x)－|g(x)|是奇函数
C．|f(x)|＋g(x)是偶函数
D．f(x)＋|g(x)|是偶函数
3．(学科素养—数学抽象)已知函数f(x)对一切x、y都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)．
(1)求证：f(x)是奇函数；
(2)若f(－3)＝a，试用a表示f(12)．
§4 函数的奇偶性与简单的幂函数
4．1 函数的奇偶性
第1课时 函数奇偶性的概念
必备知识基础练
1．解析：(1)∵函数f(x)的定义域为R，关于原点对称，
又f(－x)＝2－|－x|＝2－|x|＝f(x)，
∴f(x)为偶函数．
(2)∵函数f(x)的定义域为{－1,1}，关于原点对称，且f(x)＝0，
又∵f(－x)＝－f(x)，f(－x)＝f(x)，
∴f(x)既是奇函数又是偶函数．
(3)∵函数f(x)的定义域为{x|x≠1}，不关于原点对称，
∴f(x)是非奇非偶函数．
(4)f(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．
当x>0时，－x<0，
f(－x)＝1－(－2x)＝1＋2x＝f(x)；
当x<0时，－x>0，
f(－x)＝1＋(－2x)＝1－2x＝f(x)．
综上可知，对于x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，都有f(－x)＝f(x)，f(x)为偶函数．
2．解析：函数f(x)＝－x的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，且f(－x)＝－－(－x)＝x－＝－f(x)，所以f(x)是奇函数，图象关于原点对称．
答案：C
3．解析：(1)因为函数f(x)是奇函数，所以y＝f(x)在[－5,5]上的图象关于原点对称．由y＝f(x)在[0,5]上的图象，可知它在[－5,0]上的图象，如图所示．
(2)由图象知，使f(x)<0的x的取值集合为(－2,0)∪(2,5)．
4．解析：∵函数f(x)在[a－1,2a]上是偶函数，
∴a－1＋2a＝0，得a＝.
又f(－x)＝f(x)，即x2－bx＋1＋b＝x2＋bx＋1＋b
对x∈均成立，∴b＝0.
答案： 0
5．解析：∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，
即＝－.
显然x≠0，整理得x2－(a＋1)x＋a＝x2＋(a＋1)x＋a，
故a＋1＝0，得a＝－1.
答案：－1
6．解析：令g(x)＝ax5＋bx3＋cx，则g(x)为奇函数．
f(d)＝g(d)－8＝10，∴g(d)＝18，
f(－d)＝g(－d)－8＝－g(d)－8＝－26.
答案：－26
关键能力综合练
1．解析：A、D两项，函数均为偶函数，B项中函数为非奇非偶，而C项中函数为奇函数．
答案：C
2．解析：因为f(x)是偶函数，且图象与x轴四个交点，所以这四个交点每组两个关于y轴一定是对称的，故所有实根之和为0.选D.
答案：D
3．解析：∵f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，且f(－x)＝－－x3＝－f(x)，∴f(x)是奇函数，图象关于原点对称．
答案：C
4．解析：∵f(x)＝ax2＋bx＋c(c≠0)是偶函数，∴b＝0，
∴g(x)＝ax3＋cx，∴g(－x)＝－g(x)，∴g(x)是奇函数，故选A.
答案：A
5．解析：F(－x)＝f(－x)＋f(x)＝F(x)．
又x∈(－a，a)关于原点对称，
∴F(x)是偶函数．
答案：B
6．解析：∵函数f(x)是定义在R上的偶函数，∴f(－2)＝f(2)＝2－2＝0，f(0)＝0＋1＝1.∴f[f(－2)]＝f(0)＝1.故选A.
答案：A
7．解析：∵f(x)是定义在R上的奇函数，∴f(－x)＝－f(x)且f(0)＝0，∴f(－2)＝－f(2)＝－5，∴f(－2)＋f(0)＝－5.
答案：－5
8．解析：依题意有
解得－2≤x≤2且x≠0，
∴f(x)的定义域为[－2,0)∪(0,2]．
∵f(x)＝＝＝－，定义域关于原点对称，
∴f(－x)＝＝－f(x)，
∴f(x)为奇函数．
答案：[－2,0)∪(0,2] 奇
9．解析：在f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1中，令x＝－1，得f(－1)－g(－1)＝1，又f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，所以f(1)＋g(1)＝1.
答案：1
10．解析：(1)由f(x)为偶函数可知，其图象关于y轴对称，如图，作出已知图象关于y轴对称的图象，即得该函数的完整图象．
由图可知，函数f(x)在(－∞，－1)上单调递减，在(－1,0)上单调递增，在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增．所以函数f(x)的单调递增区间是(－1,0)，(1，＋∞)．
(2)由题意知，当x≤0时，f(x)的最小值为f(－1)＝(－1)2＋2×(－1)＝－1.由偶函数的性质可得f(x)≥－1，即函数f(x)的值域为[－1，＋∞)．
学科素养升级练
1．解析：A正确；B错误，仅两个特殊的函数值相等不足以确定函数的奇偶性，需要满足“任意”；C正确；D错误，反例：f(x)＝0满足条件，该函数既是奇函数，又是偶函数．
答案：AC
2．解析：∵函数f(x)和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数，
∴f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)．
对于选项A，|f(－x)|－g(－x)＝|f(x)|＋g(x)≠±(|f(x)|－g(x))，故其不具有奇偶性；
对于选项B，f(－x)－|g(－x)|＝f(x)－|g(x)|，故函数为偶函数；
对于选项C，|f(－x)|＋g(－x)＝|f(x)|－g(x)≠±(|f(x)|＋g(x))，故其不具有奇偶性；
对于选项D，f(－x)＋|g(－x)|＝f(x)＋|g(x)|，故函数为偶函数．
综上，选D.
答案：D
3．解析：(1)证明：由已知f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，
令y＝－x得f(0)＝f(x)＋f(－x)，
令x＝y＝0得f(0)＝2f(0)，所以f(0)＝0.
所以f(x)＋f(－x)＝0，即f(－x)＝－f(x)，
故f(x)是奇函数．
(2)因为f(x)为奇函数．
所以f(－3)＝－f(3)＝a，所以f(3)＝－a.
又f(12)＝f(6)＋f(6)＝2f(3)＋2f(3)＝4f(3)，
所以f(12)＝－4a.4.2 简单幂函数的图象和性质
必备知识基础练
进阶训练第一层
知识点一
幂函数的概念
1.下列函数为幂函数的是( )
①y＝－x2；②y＝2x；③y＝xn(n为常数)；④y＝(x－1)3；⑤y＝；⑥y＝x2＋.
A．①③⑤
B．①②⑤
C．③⑤
D．只有⑤
2．已知f(x)＝ax2a＋1－b＋1是幂函数，则a＋b等于( )
A．2
B．1
C.
D．0
3．如果幂函数y＝(m2－3m＋3)x的图象不过原点，则m的取值范围为( )
A．－1≤m≤2
B．m＝－1或m＝2
C．m＝1
D．m＝1或m＝2
知识点二
幂函数的图象及应用
4．如图，图中曲线是幂函数y＝xα在第一象限的大致图象，已知α取－2，－，，2四个值，则相应于曲线C1，C2，C3，C4的α的值依次为( )
A．－2，－，，2
B．2，，－，－2
C．－，－2,2，
D．2，，－2，－
5．如图是幂函数y＝xm与y＝xn在第一象限内的图象，则( )
A．－1B．n<－1,0C．－11
D．n<－1，m>1
6．在同一坐标系内，函数y＝xa(a≠0)和y＝ax－的图象可能是( )
知识点三
幂函数的性质及应用
7.函数y＝x－2在区间上的最大值是( )
A.
B.
C．4
D．－4
8．幂函数的图象过点，则它的单调递增区间是________．
9．比较下列各题中两个值的大小：
(1)2.3，2.4；
(2)()，()；
(3)(－0.31)，0.35.
关键能力综合练
进阶训练第二层
1．下列函数中，其定义域和值域不同的函数是( )
A．y＝x
B．y＝x
C．y＝x
D．y＝x
2．设a＝，b＝，c＝2，则a，b，c的大小关系是( )
A．a>b>c
B．c>a>b
C．aD．b>c>a
3．函数y＝x的图象大致是图中的( )
4．下列结论中，正确的是( )
A．幂函数的图象都经过点(0,0)，(1,1)
B．幂函数的图象可以出现在第四象限
C．当幂指数α取1,3，时，幂函数y＝xα是增函数
D．当α＝－1时，幂函数y＝xα在其整个定义域上是减函数
5．(易错题)已知y＝(m2－3m－3)x是幂函数，则m的值为( )
A．4
B．－1
C．－1或4
D．3
6．已知幂函数f(x)＝xn的图象过点，且f(a＋1)A．(－3,1)
B．(－∞，－3)∪(1，＋∞)
C．(－∞，1)
D．(1，＋∞)
7．已知幂函数f(x)＝x
(m∈Z)为偶函数，且在区间(0，＋∞)上是增函数，则函数f(x)的解析式为________．
8．已知幂函数f(x)的图象过点(9,3)，则f＝______，函数f的定义域为________．
9．(探究题)已知函数f(x)＝若f(a)>1，则实数a的取值范围是________．
10．已知幂函数y＝f(x)＝x，其中m∈{x|－2①是区间(0，＋∞)上的增函数；
②对任意的x∈R，都有f(－x)＋f(x)＝0.
求同时满足①，②的幂函数f(x)的解析式，并求x∈[0,3]时f(x)的值域．
学科素养升级练
进阶训练第三层
1．(多选题)下面关于幂函数的性质，描述错误的是( )
A．当α＝0时，函数y＝xα的图象是一条直线
B．幂函数的图象都经过(0,0)，(1,1)两点
C．若幂函数y＝xα的图象关于原点对称，则y＝xα在定义域内y随x的增大而增大
D．幂函数的图象不可能在第四象限，但可能在第二象限
2．若(a＋1)
<(3－2a)
，则实数a的取值范围是________．
3．(学科素养—逻辑推理)已知幂函数y＝f(x)＝x
(m∈N
)．
(1)试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性；
(2)若该函数还经过点(2，)，试确定m的值，并求满足条件f(2－a)>f(a－1)的实数a的取值范围．
4．2 简单幂函数的图象和性质
必备知识基础练
1．解析：①y＝－x2的系数是－1而不是1，故不是幂函数；②y＝2x是指数函数；④y＝(x－1)3的底数是
x－1
而不是x，故不是幂函数；⑥y＝x2＋是两个幂函数和的形式，也不是幂函数．很明显③⑤是幂函数．
答案：C
2．解析：因为f(x)＝ax2a＋1－b＋1是幂函数，
所以a＝1，－b＋1＝0，
即a＝1，b＝1，则a＋b＝2.
答案：A
3．解析：依幂函数为y＝xα的形式知m2－3m＋3＝1.
又其图象不过原点，则指数m2－m－2≤0.
由可得得
故m＝1或m＝2.
答案：D
4．解析：令x＝2，则22>2>2>2－2，故相应于曲线C1，C2，C3，C4的α值依次为2，，－，－2.故选B.
答案：B
5．解析：在(0,1)内取x0，作直线x＝x0，与各图象有交点，则“点低指数大”．如图，0答案：B
6．解析：选项A中，幂函数的指数a<0，则直线y＝ax－应为减函数，A错误；选项B中，幂函数的指数a>1，则直线y＝ax－应为增函数，B错误；选项D中，幂函数的指数a<0，则－>0，直线y＝ax－在y轴上的截距为正，D错误．
答案：C
7．解析：易知y＝x－2在上单调递减，所以当x＝时，函数y＝x－2的最大值是－2＝4.
答案：C
8．解析：设f(x)＝xα，由2α＝，得α＝－2，即f(x)＝x－2，∴f(x)的单调递增区间为(－∞，0)．
答案：(－∞，0)
9．解析：(1)∵y＝x为[0，＋∞)上的增函数，且2.3<2.4，
∴2.3<2.4.
(2)∵y＝x为(0，＋∞)上的减函数，且<，
∴()>().
(3)∵y＝x为R上的偶函数，∴(－0.31)
＝0.31.
又函数y＝x为[0，＋∞)上的增函数，且0.31<0.35，
∴0.31<0.35，即(－0.31)
<0.35.
关键能力综合练
1．解析：y＝x＝，其定义域为R，值域为[0，＋∞)，故定义域与值域不同．
答案：D
2．解析：构造幂函数y＝x，x>0，由该函数在定义域内单调递增，知1>a>b；又c＝2>1，知aa>b.
答案：B
3．解析：∵函数y＝x是奇函数，且α＝>1，∴函数在R上单调递增．故选B.
答案：B
4．解析：当α＝－1时，幂函数不过原点，A错误；幂函数的图象不可能出现在第四象限，B错误；y＝x－1在(－∞，0)，(0，＋∞)上递减，在其整个定义域上不具有单调性，D错误，所以选C.
答案：C
5．易错分析：本题往往忽视条件m－1对m的要求而错选C.
解析：由m2－3m－3＝1得m＝4或m＝－1.
又∵m－1为幂指数，要使式子m－1有意义需m≥0，∴m＝4.
答案：A
6．解析：因为幂函数f(x)＝xn的图象过点，所以2n＝，即2n＝2－2，解得n＝－2.因此f(x)＝x－2是偶函数，且在(0，＋∞)上单调递减，在(－∞，0)上单调递增．由f(a＋1)2，解得a<－3或a>1.故选B.
答案：B
7．解析：因为幂函数f(x)＝x－m2＋2m＋3(m∈Z)为偶函数，所以－m2＋2m＋3为偶数．又f(x)在区间(0，＋∞)上是增函数，所以－m2＋2m＋3＞0，所以－1＜m＜3.又m∈Z，－m2＋2m＋3为偶数，所以m＝1，故所求解析式为f(x)＝x4.
答案：f(x)＝x4
8．解析：令f(x)＝xα，∵f(9)＝3，即9α＝3，∴α＝，
故f(x)＝x＝，∴f＝.
令－1≥0解得0故f的定义域为(0,1]．
答案： (0,1]
9．解析：若a－3>1，则a<－2.若a>1，则a>1，所以a<－2或a>1.
答案：(－∞，－2)∪(1，＋∞)
10．解析：因为m∈{x|－2所以m＝－1,0,1.
因为对任意x∈R，都有f(－x)＋f(x)＝0，
即f(－x)＝－f(x)，
所以f(x)是奇函数．
当m＝－1时，f(x)＝x2只满足条件①而不满足条件②；
当m＝1时，f(x)＝x0条件①、②都不满足．
当m＝0时，f(x)＝x3条件①、②都满足，且在区间[0,3]上是增函数．
所以x∈[0,3]时，函数f(x)的值域为[0,27]．
学科素养升级练
1．解析：当α＝0时，函数y＝xα的定义域为{x|x≠0，x∈R}，故A不正确；当α<0时，函数y＝xα的图象不过(0,0)点，故B不正确；幂函数y＝x－1的图象关于原点对称，但其在定义域内不是增函数，故C不正确．D正确．故选A、B、C.
答案：ABC
2．解析：∵(a＋1)－<(3－2a)－，
∴或或
解得故实数a的取值范围为∪(－∞，－1)．
答案：∪(－∞，－1)
3．解析：(1)∵m2＋m＝m(m＋1)，m∈N
，
∴m与m＋1中必定有一个为偶数，
∴m2＋m为偶数，
∴函数f(x)＝x
(m∈N
)的定义域为[0，＋∞)，
并且函数y＝f(x)在其定义域上为增函数．
(2)∵函数f(x)经过点(2，)，
∴＝2，即2＝2，
∴m2＋m＝2，即m2＋m－2＝0.
∴m＝1或m＝－2.
又∵m∈N
，∴m＝1.
∴f(x)＝x在[0，＋∞)上是增函数．
由f(2－a)>f(a－1)，得
解得1≤a<.
故m的值为1，满足条件f(2－a)>f(a－1)的实数a的取值范围为.