(共23张PPT)
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第十二章
12.3
角的平分线的性质(一)
课堂导案
……………..…
1
课前学案
……………..…
2
3
课后练案
……………..…
4
能力培优
……………..…
5
核心目标
……………..…
核心目标
掌握角平分线的尺规作图，理解角平分线的性质．
2．角的平分线上的点到角的两边的距离________．
课前学案
1．依据下列∠AOB的平分线的作法，在图中作∠AOB的平分线．
(1)以O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N；
(2)分别以M，N为圆心，以大于________半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C；
(3)画射线OC.射线OC即为所求．
相等
课堂导案
【例题】如下图，在△ABC中，AD
平分∠BAC，点D是BC的中点，
DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F.
求证：∠B＝∠C.
【答案】证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF，∠BED＝∠CFD＝90°，∵D是BC的中点，
∴BD＝CD.
在Rt△BDE和Rt△CDF中
∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL)，∴∠B＝∠C.
课堂导案
【点拔】此题主要考查角平分线的性质和直角三角形全等的判定，根据角平分线的性质求得DE＝DF，是关键的一步．
【解析】首先根据角平分线的性质可得DE＝DF，又有BD＝CD，可证Rt△BDE≌Rt△CDF(HL)，即可得证∠B＝∠C.
课堂导案
1．如下图，OP是∠AOB的平分线，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，PE＝5cm，则PD＝________cm.
5
课堂导案
2．如上图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，且DE＝3cm，BC＝8cm，则BD＝_______cm.
5
课堂导案
3．如上图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，BC＝5，BD＝3，则点D到AB的距离为________．
2
课堂导案
4．已知：在Rt△ABC中，∠C＝90°.
(1)请在线段BC上作一点D，使点D到边AC、AB的距离相等(要求：尺规作图，不
写作法，保留作图痕迹)．
(2)在(1)的条件下，若AB＝10，
CD＝3，求△ABD的面积．
课后练案
5．如下图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上一个动点，若PA＝3，则PQ的最小值为( )
1
B.
2
C.
3
D．4
C
课后练案
6．如上图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝3，BC＝5，对角线BD平分∠ABC，则△BCD的面积为( )
A．7.5
B．8
C．15
D．无法确定
A
课后练案
7．如下图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，AB＝10，S△ABD＝15，则CD的长为( )
A．3
B．4
C．5
D．6
A
8．如上图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB交BC于点D，DE⊥AB，垂足为E，且AB＝6cm，则△DEB的周长为( )
A．4cm
B．6cm
C．8cm
D．10cm
课后练案
B
课后练案
9．如下图，∠B＝∠C，
(1)尺规作图：作出外角∠DAC的角平分线AE；
(2)求证：AE∥BC.
∵∠B＝∠C，∴∠DAC＝∠B＋∠C＝2∠B，∵AE平分∠DAC，∴∠DAC＝2∠DAE，∴∠DAE＝∠B，∴AE∥BC
课后练案
10．如下图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
(1)求证：AE＝AF；
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，
DF⊥AC，∴DE＝DF，
在Rt△ADE和Rt△ADF中，
，
∴Rt△ADE≌Rt△ADF，
∴AE＝AF.
课后练案
(2)若△ABC面积是36cm2，AB＝10cm，
AC＝8cm，求DE的长．
∵S△ABC＝S△ABD＋S△ACD＝
AB·DE＋AC·DF＝
×10×DE＋
×8×DE＝36，∴DE＝4.
课后练案
11．已知：如图，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，且BC＝DC.
(1)求证：BE＝DF；
∵AC平分∠BAD，CE⊥AB，CF⊥AD，
∴CE＝CF，在Rt△CBE和Rt△CDF中，
，
∴Rt△CBE≌Rt△CDF.
∴BE＝DF.
课后练案
(2)若DF＝1，AD＝3，求AB的长．
在Rt△ACE和Rt△ACF中，
∴Rt△ACE≌Rt△ACF，∴AE＝AF＝3＋1＝4，由(1)得Rt△CBE≌Rt△CDF，
∴BE＝DF＝1，∴AB＝AE＋EB＝5.
能力培优
12．已知：如下图，∠B＝∠C＝90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC.
(1)求证：AM平分∠BAD；
作ME⊥AD于E，∵DM平分∠ADC，
又MC⊥CD，∴EM＝CM，
∵M是BC的中点，∴CM＝BM，∴EM＝BM，
在Rt△AEM和Rt△ABM中，
，
∴Rt△AEM≌Rt△ABM，
∴∠EAM＝∠BAM，∴AM平分∠BAD.
能力培优
(2)猜想DM与AM有怎样的位置关系？并证明你的猜想；
DM⊥AM，理由：在Rt△DCM和Rt△DEM中，
，∴Rt△DCM≌Rt△DEM，
∴∠DMC＝∠DME＝
∠CME，由(1)得
Rt△AEM≌Rt△ABM，∴∠AME＝∠AMB＝∠BME，∴∠AMD＝∠DME＋∠AME＝
∠CME＋
∠BME＝
(∠CME＋∠BME)＝90°，∴AM⊥DM.
能力培优
(3)线段CD、AB、AD间有怎样的关系？直接写出结果．
AD＝CD＋AB.
感谢聆听(共20张PPT)
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第十二章
12.3
角的平分线的性质(二)
课堂导案
……………..…
1
课前学案
……………..…
2
3
课后练案
……………..…
4
能力培优
……………..…
5
核心目标
……………..…
核心目标
掌握角的平分线的判定定理；能综合应用本节两个性质解决有关问题．
课前学案
1．三角形的三条角平分线交于一点，并且到三条边的距离__________．
2．角平分线的判定定理：到角两边的距离相等的点在___________________．
角的平分线上
相等
课堂导案
【例1】如右图，CP，BP分别是
△ABC的外角∠BCM，∠CBN的平分
线，求证：AP平分∠BAC.
【答案】证明：过点P作PD⊥AN,
PE⊥AM，PF⊥CB，垂足分别为D，E，F.
∵CP平分∠MCB，PE⊥AM，PF⊥CB.
∴PE＝PF，同理，PD＝PF.∴PD＝PE，∴AP平分∠BAC.
课堂导案
【点拔】涉及证角平分线问题，常作角两边的垂线段．再推证两条垂线段相等．
【解析】要证AP平分∠BAC，只要证点P到∠BAC两边的距离相等即可．
课堂导案
1．如下图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，BE＝CF.求证：AD是△ABC的角平分线．
∵D是BC中点，∴BD＝CD，∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠DEB＝∠DFC＝90°，
在Rt△BDE和Rt△CDF中，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF，∴DE＝DF，又DE⊥AB，DF⊥AC，∴AD平分∠BAC.
课堂导案
2．如下图，△ABC中，BP、CP分别为∠ABC、∠ACB的角平分线．求证：点P在∠A的平分线上．
作PD⊥AB，PE⊥BC，PF⊥AC，
垂足分别为D、E、F.
∵PB平分∠ABC，
∴PD＝PE，同理PE＝PF，∴PD＝PF，
∴P在∠A的平分线上．
课堂导案
3．如下图，BE＝CF，DE⊥AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，且DB＝DC，求证：AD是∠BAC的平分线．
∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠BED＝∠CFD＝90°，
在Rt△BDE和Rt△CDF中，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF，∴DE＝DF，
又DE⊥AB，DF⊥AC，∴AD是∠BAC的平分线．
课后练案
4．在△ABC内部取一点P，使得点P到△ABC的三边的距离相等，则点P应是△ABC的下列哪三条线段的交点( )
A．高
B．中线
C．角平分线
D．无法确定
C
课后练案
5．如下图，点P到BE、BD、AC的距离相等，则点P的位置：①在∠B的平分线上；②在∠DAC的平分线上；③在∠ECA的平分线上；④是∠B、∠DAC、∠ECA的角平分线的交点．其中正确的结论的个数是( )
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
D
课后练案
6．如图，△ABC的三边AB，BC，CA长分别是20,
30，40，其三条角平分线将△ABC分为三个三角形，则S△ABO∶S△BCO∶S△CAO等于( )
A．1∶1∶1
B．1∶2∶3
C．2∶3∶4
D．3∶4∶5
C
课后练案
7．△ABC中，点O是△ABC内一点，且点O到△ABC
三边的距离相等；∠A＝40°，则∠BOC＝( )
A．110°
B．120°
C．130°
D．140°
A
8．如上图，DC⊥AC于C，DE⊥AB于E，并且DE＝DC，则下列结论中正确的是( )
A．∠1＝∠2
B．DE＝DF
C．BD＝FD
D．AB＝AC
课后练案
A
9．如下图，BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，BE、CF相交于D，若BD＝CD，
求证：AD平分∠BAC.
课后练案
∵CF⊥AB，BE⊥AC，
∴∠BFD＝∠CED＝90°，
在△BDF和Rt△CDE中，
，
∴△BDF≌△CDE，∴DF＝DE，又DF⊥AB，
DE⊥AC，∴AD平分∠BAC.
能力培优
10．如下图，△ABC中，E是BC边上的中点，DE⊥BC于E，DM⊥AB于M，DN⊥AC于N，BM＝CN.求证：点D在∠BAC的平分线上．
能力培优
连接DB、DC，∵DE⊥BC，∴∠DEB＝∠DEC＝90°，∵E是BC中点，∴BE＝CE，
在△BDE和△CDE中，
，
∴△BDE≌△CDE，∴DB＝DC，在Rt△DBM和Rt△DCN中，
，
∴Rt△DBM≌Rt△DCN，∴DM＝DN又DM⊥AB，
DN⊥AC，∴D在∠BAC的平分线上．
能力培优
11．如下图，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的外角的平分线相交于点P，连接AP.
(1)求证：PA平分∠BAC的外角∠CAM；
作PF⊥BN于F，PG⊥AC于G，PH⊥BM于H，
∵PB平分∠ABC，∴PF＝PH，同理PF＝PG，∴PH＝PG，∴PA平分∠CAM.
能力培优
(2)过点C作CE⊥AP，E是垂足，并延长CE交BM于点D.求证：CE＝ED.
∵AP⊥CD，∴∠AED＝∠AEC＝90°，
∵PA平分∠CAM，∴∠DAE＝∠CAE.
在△ADE和△ACE中，
∴△ADE≌△ACE，∴DE＝CE.
感谢聆听
