江苏省镇江中学2020-2021学年高二上学期期初考试数学试题 Word版含答案

江苏省镇江中学2020-2021学年度第一学期高二年级期初
数学试题
2020.9.11
一、单选题
1．抛物线false的焦点坐标是（ ）
A．false B．false C．false D．false
2．双曲线false的焦距是（ ）
A．false B．8 C．4 D．false
3．设椭圆false的左、右焦点分别为false，false上顶点为false．若false则该椭圆的方程为（ ）
A．false B．false C．false D．false
4．双曲线的方程为false，则以双曲线右准线为准线的批物线的标准方程是（ ）
A．false B．false C．false D．false
5．如图所示，正方形false中，false是false的中点，若false，则false为（ ）
A．false B．false C．false D．2
6．已知双曲线false（false，false）的右焦点为false，若过点false且倾斜角为60°的直线false与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线的离心率false的取值范围是（ ）
A．false B．false C．false D．false
7．已知椭圆false：false（false）的右焦点为false，过点false的直线交椭圆于false，false两点．若false的中点坐标为false，则false的方程为（ ）
A．false B．false C．false D．false
8．智慧的人们在进行工业设计时，巧妙地利用了圆锥曲线的光学性质，比如电影放映机利用椭圆镜面反射出聚焦光线，探照灯利用抛物线镜面反射出平行光线．如图，从双曲线右焦点false发出的光线通过双曲线镜面反射出发散光线，且反射光线的反向延长线经过左焦点false．已知双曲线的离心率为false，则当入射光线false和反射光线false互和垂直时（其中false为入射点），false的大小为（ ）
A．false B．false C．false D．false
二、多选题
9．已知椭圆false的离心率false，则false的值为（ ）
A．3 B．false C．false D．false
10．已知双曲线false过点false且渐近线为false，则下列结论正确的是（ ）
A．false的方程为false B．false的离心率为false
C．曲线false经过false的一个焦点 D．直线false与false有两个公共点
11．已知曲线false：false．（ ）
A．若false，则false是椭圆，其焦点在false轴上
B．若false，则false是圆，其半径为false
C．若false，则false是双曲线，其渐近线方程为false
D．若false，false则false是两条直线
12．已知抛物线false的焦点为false，过点false的直线false交抛物线于false，false两点，以线段false为直径的圆交false轴于false，false两点，设线段false的中点为false．若抛物线false上存在一点false到焦点false的距离等于3．则下列说法正确的是（ ）
A．抛物线的方程是false B．抛物线的准线是false
C．false的最小值是false D．线段false的最小值是6
三、填空题
13．已知复数false（false为虚数单位），则复数false的实部是_________．
14．已知false为双曲线false：false的左焦点，false，false为双曲线false同一支上的两点．若false的长等于虚轴长的2倍，点false在线段false上，则false的周长为________．
15．如图，false是椭圆false上的一点，false是椭圆的左焦点，且false，false，则点false到椭圆左准线的距高为________．
16．阿波罗尼斯（古希腊数学家，约公元前262-190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽几乎使后人没有插足的余地．他证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数false（false且false）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆．现有false，false，false，则当false的面积最大时，它的内切圆的半径为__________．
四、解答题
17．在false中，角false，false，false的对边分别为false，false，false，且false．
（1）求角false的大小；
（2）若false，false，求false的面积．
18．已知平面向量false，false，false，且false，false．
（1）求false和false：
（2）若false，false，求向量false与向量false的夹角的大小．
19．已知抛物线false
（1）求过点false与抛物线有且只有一个公共点的直线方程．
（2）过焦点false作一条斜率为false的直线与抛物线交于两点false，false，求false的长．
20．设椭圆false：false的左，右焦点分别为false，false，其离心率为false，过false的直线false与false交于false，false两点，且false的周长为false．
（1）求椭圆false的方程；
（2）设椭圆false的上顶点为false，证明：当false的斜率为false时，点false在以false为直径的圆上．
21．已知false：false．
（1）若圆false的切线在false轴和false轴上的截距和等，求此切线的方程．
（2）从圆false外一点false向该圆引一条切线，切点为false，false为坐标原点，且有false，求使得false取得最小值的点false的坐标．
22．已知抛物线false：false的内接等边三角形false的面积为false（其中false为坐标原点）．
（1）试求抛物线false的方程；
（2）已知点false，false，false两点在抛物线false上，false是以false为直角顶点的直角三角形．
①求证：直线false恒过定点；
②过点false作直线false的垂线交false于点false，求点false的轨迹方程，并说明其轨迹是何种曲线．
江苏省镇江中学2020-2021学年度第一学期高二年级期初
数学试题参考答案
2020.9.11
一、单选题
1．D 2．B 3．A 4．B 5．C
6．A 【解析】己知双曲线false（false，false）的右焦点为false，若有且只有一个交点，则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率false，∴false，离心率false，∴false．
7．D 【解析】设false，false，则false，两式相减并化简得false，
即false，
由于false且false，由此可解得false，false，故椭圆false的方程为false．
8．D 【解析】因为false，所以false，false．不妨设双曲线的标准方程为false，false，
则false．所以false，解得false（false已舍去）．所以false，所以false．
二、多选题
9．AB 【解析】由题意知false，当false时，false，false，false，
所以false，解得false；当false时，false，false，false，
所以false，解得false．
10．AC 【解析】由已知false，可得false，从而设所求双曲线方程为false，又由双曲线false过点false，从而false，即false，从而选项正确；由双曲线方程可知false，false，false，从而离心率为false，所以错误；双曲线的右焦点坐标为false，满足false正确；联立false，整理，得false，由false，知直线与双曲线false只有一个交点，错误．
11．ACD 【解析】若false，则false可化为false，
因为false，所以false，即曲线false表示焦点在false轴上的椭圆，正确；
若false，则false可化为false，此时曲线false表示圆心在原点，半径为false的圆，正确；
若false，则false可化为false，此时曲线false表示双曲线，由false可得false，正确；
若false，false则false可化为false，false，此时曲线false表示平行于false轴的两条直线，正确．
12．BC 【解析】抛物线false：false的焦点为false，得抛物线的准线方程为false，点false到焦点false的距离等于3，可得false，解得false，则抛物线false的方程为false，准线为false，由题知直线false的斜率存在，false．设false，false，直线false的方程为false，由false，消去false得false，所以false，false，所以false，所以false的中点false的坐标为false，false，故线段false的最小值是4；所以圆false的半径为false，在等腰false中，false，当且仅当false时取等号，所以false的最小值为false，即正确．
三、填空题
13．21 14．32 15．false
16．false 【解析】∵false，∴false为非零常数，故点false的轨迹是圆．
以线段false中点为原点，false所在直线为false轴建立直角坐标系，则false，false，设false，∵false，false，false，整理得false，因此，当false面积最大时，false边上的高为圆的半径4．此时false，false，设内切圆的半径为false，则false，解得false．
四、解答题
17．【解析】（1）false．
∴false∴false
（2）由余弦定理可得，false，从而false．
18．【解析】（1）∵false，false，false，且false，false，∴false解得false，因此，false，false；
（2）∵false，false，
则false，∴false，false，
设false与false的夹角为false，∴false，∵false，
则false，因此，向量false与向量false的夹角为false．
19．略解：（1）false，false，false （2）false
20．【解析】（1）false的周长等于false，
所以false，从而false．因为false，所以false，即false，椭圆false的方程为false．
（2）由（1）得false，false．设false，false，依题意，false的方程为false，将false的方程代入false并整理，可得false，所以false，false，false．falsefalse，所以false，综上，点false在以false为直径的圆上．
21．【解析】（1）圆false：false的标准方程为false
半径false．设圆的切线在false轴和false轴上的截距分别为false，false．当false时，切线方程可设为false，由点到直线的距离公式得：false解得：false或false，所以切线方程为：false，false．所求方程为false，false或false
（2）连接false，则false，因为：false
所以false，即：false整理得：false
false
当false时，false最小，此时：false，所以false
22．【解析】（1）解：依题意，设false，false则由false得false
即false，
因为false，false，所以false，故false，false
则false，false关于false轴对称，false，所以false．所以false，
故false，false．
（2）①证明 由题意可设直线false的方程为false
false，false由false，消去false，得false．
故false，false，false．
因为false，即false
整理得false，即false．
解得false，所以false或false．
当即false时，直线false的方程为false，过定点false
当false时，直线false的方程为，false过定点false不合题意舍去
故直线false恒过定点false．
②设false，则false，
得false，即false，
即轨迹是以false为直径的圆（除去点false）．