第21章
二次函数与反比例函数
一、选择题(本题10小题,每小题3分,满分30分)
1.若二次函数y=x2+4x+n的图象与x轴只有一个公共点,则实数n的值是( )
A.1
B.3
C.4
D.6
2.关于抛物线y=(x+1)2﹣2,下列结论中正确的是( )
A.对称轴为直线x=1
B.当x<﹣3时,y随x的增大而减小
C.与x轴没有交点
D.与y轴交于点(0,﹣2)
3.小兰画了函数y=x2+ax+b的图象如图,则关于x的方程x2+ax+b=0的解是( )
A.无解
B.x=1
C.x=﹣4
D.x1=﹣1
x2=4
4.已知抛物线y=x2﹣x﹣1,与x轴的一个交点为(m,0),则代数式m2﹣m+2020的值为( )
A.2018
B.2019
C.2020
D.2021
5.如图,点A(2.18,﹣0.51),B(2.68,0.54),在二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象上,则方程ax2+bx+c=0的一个近似值可能是( )
A.2.18
B.2.68
C.﹣0.51
D.2.45
6.心理学家发现:学生对提出概念的接受能力y与提出概念的时间x(min)之间满足二次函数关系y=﹣0.1x2+2.6x+43.则使学生对概念的接受能力最大.则提出概念的时间应为( )
A.13min
B.26min
C.52min
D.59.9min
7.二次函数y=ax2+bx+c的值永远为负值的条件是( )
A.a>0,b2﹣4ac<0
B.a<0,b2﹣4ac>0
C.a>0,b2﹣4ac>0
D.a<0,b2﹣4ac<0
8.如图,抛物线y=ax2+bx+c与两坐标轴的交点分别为A、B、C,且OA=OC=1,则下列关系中正确的是( )
A.a+b=﹣1
B.a﹣b=﹣1
C.b<2a
D.ac<0
9.某企业是一家专门生产季节性产品的企业,当产品无利润时,企业会自动停产,经过调研预测,它一年中每月获得的利润y(万元)和月份n之间满足函数关系式y=﹣n2+14n﹣24,则企业停产的月份为( )
A.2月和12月
B.2月至12月
C.1月
D.1月、2月和12月
10.如图,点G,D,C在直线a上,点E,F,A,B在直线b上,若a∥b,Rt△GEF从如图所示的位置出发,沿直线b向右匀速运动,直到EG与BC重合.运动过程中△GEF与矩形ABCD重合部分的面积(S)随时间(t)变化的图象大致是( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题(每小题4分,满分20分)
11.已知二次函数y=x2﹣6x﹣c的图象与x轴的一个交点坐标为(2,0),则它与x轴的另一个交点的坐标为
.
12.抛物线y=ax2﹣2ax﹣3与x轴交于两点,分别是(m,0),(n,0),则m+n的值为
.
13.直线y=x+m和抛物线y=x2+bx+c都经过点A(1,0),B(3,2).观察图象直接写出不等式x2+bx+c<x+m的解集.
.
14.如图,一抛物线型拱桥,当拱顶到水面的距离为2米时,水面宽度为4米;那么当水位下降1米后,水面的宽度为
米.
15.二次函数y=x2+bx的图象如图所示,对称轴为x=1.若关于x的方程x2+bx﹣t=0(t为实数)在﹣1<x≤4范围内有实数解,则t的取值范围是
.
三、解答题(共5小题,每小题10分,满分50分)
16.(10分)已知抛物线y=﹣x2+5x﹣6与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧),抛物线的顶点记为C.
(1)分别求出点A、B、C的坐标;
(2)计算△ABC的面积.
17.(10分)如图,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象的顶点C的坐标为(﹣1,﹣3),与x轴交于A(﹣3,0)、B(1,0),根据图象回答下列问题:
(1)写出方程ax2+bx+c=0的根;
(2)写出不等式ax2+bx+c>0的解集;
(3)写出y随x的增大而减少时自变量x的取值范围;
(4)若方程ax2+bx+c=k有实数根,写出实数k的取值范围.
18.(10分)如图,用一段长为30米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形苗圃园,已知墙长为18米,设这个苗圃园垂直于墙的一边长为x米.
(1)若苗圃园的面积为72平方米,求x的值.
(2)若平行于墙的一边长不小于8米,当x取何值时,这个苗圃园的面积有最大值,最大值是多少?
19.(10分)绿色植物销售公司打算销售某品种的“赏叶植物”,在针对这种“赏叶植物”进行市场调查后,绘制了以下两张函数图象.其中图象①为一条直线,图象②为一条抛物线,且抛物线顶点为(6,1),请根据图象解答下列问题:
(1)如果公司在3月份销售这种“赏叶植物”,单株获利多少元;
(2)请直接写出图象①中直线的解析式;
(3)请你求出公司在哪个月销售这种“赏叶植物”,单株获利最大?(备注:单株获利=单株售价﹣单株成本)
20.(10分)小明同学利用寒假30天时间贩卖草莓,了解到某品种草莓成本为10元/千克,在第x天的销售量与销售单价如下(每天内单价和销售量保持一致):
销售量m(千克)
m=40﹣x
销售单价n(元/千克)
当1≤x≤15时,n=20+x
当16≤x≤30时,n=10+
设第x天的利润w元.
(1)请计算第几天该品种草莓的销售单价为25元/千克?
(2)这30天中,该同学第几天获得的利润最大?最大利润是多少?注:利润=(售价﹣成本)×销售量
(3)在实际销售的前15天中,草莓生产基地为刺激销售,鼓励销售商批发草莓,每多批发1千克就发给a(a≥2)元奖励.通过销售记录发现,前8天中,每天获得奖励后的利润随时间x(天)的增大而增大,试求a的取值范围.
参考答案
一、选择题(本题10小题,每小题3分,满分30分)
1.
C.
2.
B.
3.
D.
4.
D.
5.
D.
6.
A.
7.
D.
8.
B.
9.
D.
10.
B.
二、填空题(每小题4分,满分20分)
11.(4,0).
12.
2.
13.1<x<3.
14.
2米.
15.﹣1≤t≤8.
三、解答题(共5小题,每小题10分,满分50分)
16.解:(1)当y=0时,﹣x2+5x﹣6=0,解得x1=2,x2=3,
∴A点坐标为(2,0),B点坐标为(3,0);
∵y=﹣x2+5x﹣6=﹣(x﹣)2+,
∴顶点C的坐标为(,);
(2)△ABC的面积=×(3﹣2)×=.
17.解:(1)∵二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于A(﹣3,0)、B(1,0),
∴ax2+bx+c=0的根为:x1=﹣3,x2=1.
(2)因为二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于A(﹣3,0)、B(1,0),
观察图象可知:当x<﹣3或x>1时,图象总在x轴的上方.
所以不等式ax2+bx+c>0的解集为:x<﹣3或x>1.
(3)因为二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于A(﹣3,0)、B(1,0),
所以该图象的对称轴为直线x=﹣1
由于图象开口向上
所以当x<﹣1时,y随x的增大而减小.
即y随x的增大而减少时x<﹣1.
(4)抛物线的顶点C的坐标为(﹣1,﹣3),且过A(﹣3,0)、B(1,0),
所以
解得
所以抛物线的解析式为y=.
∵方程ax2+bx+c=k有实数根,
即=k有实数根.
∴△=﹣4××(﹣﹣k)
=++3k
=3k+9≥0,
∴k≥﹣3.
即当k≥﹣3时,方程ax2+bx+c=k有实数根.
18.解:(1)由题意可得,
x(30﹣2x)=72,
即x2﹣15x+36=0,
解得,x1=3,x2=12,
当x=3时,30﹣2x=24>18,故舍去;
当x=12时,30﹣2x=6,
由上可得,x的值是12;
(2)设这个苗圃园的面积为S平方米,
由题意可得,
S=x(30﹣2x)=﹣2(x﹣)2+,
∵平行于墙的一边长不小于8米,且不大于18米,
∴8≤30﹣2x≤18,
解得,6≤x≤11,
∴当x=时,S取得最大值,此时S=,
答:当x=时,这个苗圃园的面积有最大值,最大值是平方米.
19.解:(1)从左图看,3月份售价为5元,从右图看,3月份的成本为4元,则每株获利为5﹣4=1(元),
故答案为:1;
(2)设直线的表达式为:y1=kx+b(k≠0),
把点(3,5)、(6,3)代入上式得:
,解得:,
∴直线的表达式为:y1=﹣x+7;
(3)设:抛物线的表达式为:y2=a(x﹣m)2+n,
∵顶点为(6,1),则函数表达式为:y2=a(x﹣6)2+1,
把点(3,4)代入上式得:
4=a(3﹣6)2+1,解得:a=,
则抛物线的表达式为:y2=(x﹣6)2+1,
故答案为:y1=﹣x+7;y2=(x﹣6)2+1,
(3)y1﹣y2=﹣x+7﹣(x﹣6)2﹣1=﹣(x﹣5)2+,
∵a=﹣<0,
∴x=5时,函数取得最大值,
故:5月销售这种植物,单株获利最大.
20.解:(1)当当1≤x≤15时,把n=25代入得,
20+x=25,
解得x=10;
当16≤x≤30时,把n=25代入得,
10+=25,
解得x=20;
答:第10、20天该品种草莓的销售单价为25元/千克;
(2)当当1≤x≤15时,w=(20+x﹣10)(40﹣x)=﹣(x﹣10)2+450;
∵﹣<0,当x=10时,w有最大值为450,
当16≤x≤30时,w=(10+﹣10)(40﹣x)=﹣300,
∵12000>0,当16≤x≤30时,w随x的增大而减小,
∴当x=16时,w有最大值为450.
∴第10天或16天时获得的利润最大,最大利润为450元
(3)设实际销售中前15天的销售利润为G
G=(20+x+a﹣10)(40﹣x)=﹣x2﹣(a﹣10)x+400+20a
由题意可知,该函数的对称轴x=﹣=10﹣a≥8,
解得:a≤4,
又∵a≥2,
则a的取值范围为:2≤a≤4.