(共16张PPT)
特殊平行四边形
3．正方形的性质与判定
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第一章
第1课时
正方形的性质
知识回顾
…………….
2
1
新知导航
…………….
3
轻松过招
…………….
正方是轴对称图形，它有 条对称轴，即经过对边中点的直线或两对角线所在直线：正方形又是中心对称图形，两对角线交点是它的对称中心
（也是对边中点的直线的交点）。
.
知识回顾
4
正方形的性质
（1）正方形既是矩形又是菱形，它具有
矩形、菱形的所有性质．
（2）正方形的四边都 ，四角都是 ，对角线
，且对角线平分每一组
．
（一）基础呈现
新知导航
平分对角
相等
直角
互相垂直平分且相等
几何语言
∵四边形ABCD是正方形
∴（边）：
.
（角）：
.
（对角线）：
.
正方形的边长、对角线、周长、面积中已知任一项，可求出另外三项
AC＝BD AC⊥BD
AB＝CD＝AD＝BC
∠A＝∠C＝∠B＝∠D＝90°
新知导航
知识点1：对角线相等、四边相等、四角直角
【例1】1.已知正方形ABCD，
（1）若边长为4，则对角线长为
，周长为 ，
面积为 ；
（2）若对角线长为2，则边长为 ，面积为 ．
（二）例题仿练
新知导航
16
16
2
4
3
2
知识点2：四边相等、四角直角应用
【例2】如图，在正方形ABCD中，E、F
分别是边CD、AD上的点，且CE＝DF，
BE、CF相交于点G.求证：BE⊥CF.
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠D＝∠BCE＝90°，BC＝CD，
∵CE＝DF，∴△BCE≌△CDF(SAS)，
∴∠CBE＝∠DCF，∵∠BCG＋∠DCF＝90°，
∴∠BCG＋∠CBG＝90°，∴∠BGC＝90°，∴BE⊥CF.
新知导航
1.已知正方形ABCD的对角线相交于点O.
（1）若周长为8，则对角线长为 ，
面积为 ；
（2）图中共有 个等腰直角三角形．
变式训练
新知导航
8
4
2
2
2.如图，过正方形ABCD的顶点B作直线l，过点A，C作l的垂线，垂足分别为E，F，若
AE＝1，CF＝3.求AB的长．
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠CBF＋∠FBA＝90°，AB＝BC，
∵CF⊥BE，∴∠CBF＋∠BCF＝90°，
∴∠BCF＝∠ABE，
∵∠AEB＝∠BFC＝90°，AB＝BC，
∴△ABE≌△BCF(AAS)，∴AE＝BF＝1，BE＝CF＝3，
∴AB＝
＝
＝
10
.
AE2＋BE2
1＋9
新知导航
第一招
1．如图正方形ABCD的对角线BD为
正方形BDEF的边，若SBDEF＝200.
求正方形ABCD的面积。
解：因为SBDEF＝200，所以BD＝10
2
∵BC2＋DC2＝BD2，且BC＝DC，∴2BC2＝200，∴BC＝10
∴正方形ABCD的面积为100.
轻松过招
第二招
2．如图，点E是正方形ABCD的边CD上一点，点F是CB的延长线上一点，且EA⊥AF.
求证：DE＝BF.
证明：∵∠BAF＋∠BAE＝90°，
且∠DAE＋∠BAE＝90°
∴∠DAE＝∠BAF
在△ADE和△ABF中，
，
∴△ADE≌△ABF，∴DE＝BF.
∠DAE＝∠BAF
AD＝AB
∠D＝∠ABF
轻松过招
3．如图，正方形ABCD中，E为CD边上一点，F为BC延长线上一点，且CE＝CF.
（1）求证：△BCE≌△DCF；
(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴BC＝DC，∠BCE＝∠DCF＝90°
在△BCE和△DCF中，
，
∴△BCE≌△DCF.
CE＝CF
∠BCE＝∠DCF
BC＝DC
轻松过招
3．如图，正方形ABCD中，E为CD边上一点，F为BC延长线上一点，且CE＝CF.
（2）若∠FDC＝30°，
求∠BEF的度数．
(2)解：∵△BCE≌△DCF，
∴∠EBC＝∠FDC＝30°
∴∠BEC＝60°，∴∠BEF＝60°＋45°＝105°
轻松过招
第三招
4．如图，正方形ABCD中，G为BC边上
一点，BE⊥AG，于E，DF⊥AG于F，
连接DE.（1）求证：△ABE≌△DAF；
证明：(1)∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，
∵DF⊥AG，BE⊥AG，∴∠AEB＝∠DFA＝90°.
∴∠BAE＋∠DAF＝90°，∠DAF＋∠ADF＝90°，
∴∠BAE＝∠ADF，∴△ABE≌△DAF(AAS)；
轻松过招
第三招
4．如图，正方形ABCD中，G为BC边上一点，BE⊥AG，于E，DF⊥AG于F，连接DE.
（2）若AF＝1，EF＝4，
求四边形ABED的面积．
(2)∵△ABE≌△DAF，
∴DF＝AE＝AF＋EF＝1＋4＝5，BE＝AF＝1
∴四边形ABED的面积＝S△ABE＋S△ADE＝
×1×5＋
×5×5＝15.
1
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1
2
轻松过招
感谢聆听(共18张PPT)
特殊平行四边形
3．正方形的性质与判定
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第一章
第2课时 正方形的判定
知识回顾
…………….
2
1
新知导航
…………….
3
轻松过招
…………….
正方形的四边都 ，四角都是 ，对角线
，且对角线平分每一组
．
.
知识回顾
对角
相等
直角
互相垂直平分且相等
正方形的判定
（1）有一组邻边 的矩形是正方形
（2）对角线互相 的矩形是正方形
（3）有一个角是 的菱形是正方形
（4）对角线 的菱形是正方形．
（一）基础呈现
新知导航
相等
相等
垂直
直角
几何语言
∵
.
∴四边形ABCD是正方形
∵
.
∴四边形ABCD是正方形
∵
.
∴四边形ABCD是正方形
∵
.
∴四边形ABCD是正方形
四边形ABCD是菱形，AC＝BD
四边形ADCB是矩形．AB＝AD
四边形ADCB是矩形．AC⊥BD
四边形ABCD是菱形，∠A＝90°
新知导航
正方形判定的（常用）方法：
四边形
↗
矩形―→一组邻边相等―→正方形
↘
菱形―→一个角是直角―→正方形
新知导航
知识点1：对角线互相垂直且相等
【例1】如图，平行四边形ABCD的对角
线互相垂直，要使ABCD成为正方形，
还需添加的一个条件是
（只需添加一个即可）
（二）例题仿练
新知导航
AC＝BD或∠ABC＝90°
知识点2：邻边相等
【例2】如图，等边△AEF的顶点E，F在矩形ABCD的边BC，CD上，且∠CEF＝45°.
求证：矩形ABCD是正方形．
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝∠D＝∠C＝90°，
∵△AEF是等边三角形，
∴AE＝AF，∠AEF＝∠AFE＝60°，
∵∠CEF＝45°，∴∠CFE＝∠CEF＝45°，
∴∠AFD＝∠AEB＝180°－45°－60°＝75°，
∴△AEB≌△AFD(AAS)，∴AB＝AD，
∴矩形ABCD是正方形．
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知识点3：四边相等且有1个角是直角
【例3】已知，如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是∠ACB的平分线，CD的垂直平分线分别交AC，CD，BC于点E，O，F.
求证：四边形CEDF是正方形．
证明：∵CD的垂直平分线分别交AC，CD，
BC于点E，O，F，∴EC＝ED，FC＝FD，
∵∠ACB＝90°，CD平分∠ACB，
∴∠ACD＝∠BCD＝45°，又CD⊥EF
∴△CEF为等腰直角三角形，∴CE＝CF
∴ED＝EC＝CF＝FD，∴四边形CEDF为菱形，
∵∠ACB＝90°，∴四边形CEDF为正方形．
新知导航
1．如图，若使菱形ABCD是正方形，则需添加的条件是
.
．（填上一个符合题目要求的条件即可）
变式训练
新知导航
∠ABC＝90°或∠DAB＝90°或∠ADC＝90°或∠BCD＝90°或AC＝BD
2.如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B的平分线交于点D，DE⊥BC于点E，DF⊥AC于点F.
求证：四边形CFDE是正方形．
证明：如图，过点D作DN⊥AB于点N，
∵∠C＝90°，DE⊥BC于点E，DF⊥AC于点F，
∴∠C＝∠DEC＝∠DFC＝90°，∴四边形CFDE是矩形，
∵∠A、∠B的平分线交于点D，DE⊥BC于点E，DF⊥AC于点F，DN⊥AB于点N，
∴DE＝DN，DN＝DF，∴DF＝DE，
∴矩形CFDE是正方形．
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3.如图，已知：AD是△ABC的角平分线，DE∥
AC，交AB于E，DF∥AB，交AC于F，∠B＋
∠C＝90°.求证：四边形AEDF是正方形．
证明：∵DE∥AC，DF∥AB，即DE∥AF，DF∥AE
∴四边形AEDF是平行四边形
又∵AD是△ABC的角平分线，∴∠EAD＝∠FAD
又由DE∥AF知∠FAD＝∠EDA
∴∠EAD＝∠EDA.∴AE＝DE.∴?AEDF是菱形．
又∵∠B＋∠C＝90°
∴∠BAC＝180°－(∠B＋∠C)＝180°－90°＝90°
∴菱形AEDF是正方形
新知导航
第一招
1．如图，四边形ABCD是矩形，对角线AC、BD相交于点O，如果再添加一个条件，即可推出该四边形是正方形，这个条件可以是
．
AB＝AD
轻松过招
2．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，CD平分
∠ACB，DE⊥BC于E，DF⊥AC于F.
求证：四边形CFDE是正方形．
证明：∵DE⊥BC，DF⊥AC，∠ACB＝90°
∴∠CFD＝∠DEC＝∠FCE＝90°
∴四边形CFDE是矩形
又∵CD平分∠ACB，DF⊥AC，DE⊥BC
∴DF＝DE，∴矩形CFDE是正方形
轻松过招
第二招
3．在△ABC中，AB＝AC，∠A＝90°，D、E、F分别是BC、AB、AC边上的中点．
求证：四边形AEDF是正方形．
证明：∵D，E，F分别是BC，
AB，AC的中点．∴AE∥DF，DE∥AF
∵∠BAC＝90°，∴四边形AEDF是矩形
∵D，E，F分别是BC，AB，AC的中点
∴DE＝
AC，DF＝
AB
又AB＝AC，∴DE＝DF.∴矩形AEDF是正方形．
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1
2
轻松过招
第三招
4．如图，已知AD是△ABC的角平分线，
DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F.
（1）求证：四边形AEDF是菱形；
(1)证明：∵DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F，
∴四边形AEDF是平行四边形，∠EAD＝∠ADF，
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠EAD＝∠FAD，∴∠ADF＝∠FAD，∴FA＝FD，
∴四边形AEDF是菱形(有一组邻边相等的平行四边形是菱形)；
轻松过招
4．如图，已知AD是△ABC的角平分线，
DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F.
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形
AEDF是正方形？并说明理由．
(2)解：当△ABC是直角三角形，∠BAC＝90°时，四边形AEDF是正方形，
理由：∵△ABC是直角三角形，∠BAC＝90°，
由(1)知四边形AEDF是菱形，
∴四边形AEDF是正方形(有一个角是直角的菱形是正方形)．
轻松过招
感谢聆听
