民族实验中学数学预习导学案
课时： 课型：新授课 主备人：温廷凤
授课人： 备课时间： 2011.5.22 上课时间：
课题 11.4.1三角形内角和定理
学 习目 标 【知识与能力】（1）掌握三角形内角和定理的证明。（2）初步体会添加辅助线证题，培养学生观察、猜想和论证的能力【过程与方法】经历探索三角形内角和定理的过程，初步体会思维的多样性，给学生渗透化归的数学思想。【情感态度与价值观】通过师生的共同活动，培养学生的逻辑思维能力，进而激发学生的求知欲和学习的积极主动性。使学生主动探索，敢于实验，勇于发现，合作交流。
重点 能从基本事实出发证实曾探索得到的三角形内角和定理及推论的结论的正确性，并能简单应用这些结论；
难点 辅助线的的添加；
【预习导学】1、什么是平角？2、平行线的性质： 平行线的判定: ___________________________. _________________________.___________________________. _________________________.___________________________. _________________________.3、回忆证明一个命题的步骤：(1)________________(2)________________(3)________________【展示交流】（问题汇总）【重难点突破】三角形内角和定理证明方法的探索 已知： 求证： 证明 ：作BC的延长线CD，在△ABC的外部，以CA为一边，作∠1=∠A. ∵∠1=∠A（ ）∴CE∥AB( ) ∴∠B=∠ECD( ) ∵∠ACB+∠1+∠ECD=180°（ ） ∴∠ACB+∠A+∠B=180°( )你还有其他添加辅助线的方法吗？并证明这一定理。 由此我们可以得到：三角形内角和定理：_____________________________. 巩固练习：1、填空：在△ABC中（1）∠A=80°，∠B=60°，则∠C=_______°.（2）∠A=40°，∠B=∠C，则∠B=_______°.（3）∠A=∠B=∠C，则∠A =_______°.（4）∠A=90°，则∠B与∠C______2、证明：直角三角形两个锐角互余。【拓展延伸】（二）三角形内角和定理两个推论证明的探索 由上图及三角形内角和定理，你发现三角形的一个外角与它不相邻的内角怎样的关系？由∠ACE=∠A, ∠ECD=∠B可知等量关系：∠ACD=∠A+∠B不等关系：∠ACD>∠A, ∠ACD>∠B推论1: 三角形的一个外角等于_____________________________.推论2:三角形的一个外角大于_____________________________.小结：今天我们学到了很多的知识，相信同学们的收获一定不小，哪位同学能跟大家交流一下你都有什么收获？【达标测评】已知：四边形ABCD是一个任意四边形，求证：∠A+∠B+∠C+∠D=360° 布置作业:1、必做题：课本128页习题11.4 A 组 1、2题；2、选做题：练习册55页 5 题。 互 动让学生在课下先自主完成。学生分组进行讨论、探究，请不同画法的学生板演，根据学生辅助线的作法，让学生写出证明过程。让学生口答让学生黑板板演过程让学生观察图形，通过思考总结得出内角和定理的两个推论学生谈收获学生黑板板演
课堂反思：
A
B
C
D
E
1
图1
A
B
C
D
E
1
图1
PAGE
4(共18张PPT)
民族实验中学
温廷凤
11.4三角形内角和定理
回顾和思考
三角形三个内角和是多少
你是怎么知道的
三角形三个内角的和等于180°
命题：
证明： 三角形三个内角的和等于1800 .
已知：如图， △ABC的三个内角 ∠Ａ、∠Ｂ、∠Ｃ
A
B
C
请你先走出“前两步”！（条件？结论？）
①凑平角，②两平行线间的同旁内角。
求证：∠Ａ+∠Ｂ+∠Ｃ＝180°
证明：
观察下列拼角过程，你能把三角形的三个内角转化为平角或两平行线间的同旁内角吗？
想一想，你能行！
A
B
C
D
E
在这里，为了证明的需要，在原来的图形上添画的线叫做辅助线。在平面几何里，辅助线通常画成虚线。
A
证明：
在△ABC的外部，以CA为一边，
作∠1=∠A，
E
作BC的延长线CD，
∴CE∥BA
(内错角相等，两直线平行).
？
∴∠B=∠2
？
(两直线平行，同位角相等).
）
1
）
。
。
2
×
×
又∵∠1+∠2+∠ACB=180°
(平角的定义)
∴∠A+∠B+∠ACB=180°
？
？
(等量代换)
B
C
D
证明：过A作AE∥BC，
∵ AE∥BC
∴∠B=∠1(两直线平行,内错角相等)
∴∠1+∠BAC+∠C=180°(两直线平行,同旁内角互补)
∴∠B+∠C+∠BAC=180°（等量代换）
C
B
E
A
转化为两平行线间的同旁内角）
1
还有其它办法来凑出“平角”吗？
A
A
B
A
C
B
C
B
C
思路总结
为了证明三角形三个内角的和为1800，转化为一个平角或同旁内角互补, 这种转化思想是数学中的常用方法.
：三角形三个内角的和等于1800.
三角形内角和定理
命题
这里的结论,以后可以直接运用
1、填空：在△ABC中
（1）∠A=80°，∠B=60°，则∠C=_____°
（2）∠A=40°，∠B=∠C，则∠B=______°
（3）∠A=∠B=∠C，则∠A =_____°
（4）∠A=90°，则∠B+∠C=_____ °
2、求证：直角三角形的两个锐角互余。
40
70
60
90
由上图及三角形内角和定理，
思考三角形的一个外角与内角有什么关系？a
A
B
C
D
E
∠ACE=∠A, ∠ECD=∠B,知
等量关系：∠ACD= ∠A+ ∠B,
不等关系：∠ACD> ∠A, ∠ACD> ∠B
三角形的外角
不相邻的内角
相邻的内角
推论1：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。
推论2：三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角。
推论1 ： 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和
符号语言：
∵ ∠ACD是△ABC的外角
∴ ∠ACD= ∠A+ ∠B,
推论2 三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角
符号语言：
∵ ∠ACD是△ABC的外角
∴∠ACD> ∠A, ∠ACD> ∠B
A
B
C
E
D
1.证明三角形内角和定理的方法
2.三角形的外角与内角的关系
已知：四边形ABCD是一个任意四边形，
求证：∠A+∠B+∠C+∠D=360°
教材P129 A组2题、3题
证法3：
过A作EF∥BC，
A
B
C
E
F
∴∠B=∠BAE
(两直线平行,内错角相等)
∠C=∠CAF
(两直线平行,内错角相等)
∵∠BAE+∠CAF+∠BAC=180°
∴∠B+∠C+∠BAC=180°
(平角的定义)
(等量代换)11.4.1三角形内角和定理教案
民族实验中学 温廷凤
【 教学目标 】
1.知识与技能 ：
（1）掌握三角形内角和定理的证明。
（2）初步体会添加辅助线证题，培养学生观察、猜想和论证的能力
2.过程与方法 ：经历探索三角形内角和定理的过程，初步体会思维的多样性，给学生渗透化归的数学思想。
3.情感态度与价值观：
通过师生的共同活动，培养学生的逻辑思维能力，进而激发学生的求知欲和学习的积极主动性。使学生主动探索，敢于实验，勇于发现，合作交流。
【教学重、难点 】
重点：能从基本事实出发证实曾探索得到的三角形内角和定理及推论的结论的正确性，并能简单应用这些结论；
难点：辅助线的的添加；
【 教学方法】
实验、讨论法.
【 教具准备】
三角板，多媒体课件
【 教学过程设计 】
（一）创设情境，激情导入
师：三角形的内角和是多少度？用什么办法可以验证？
师：我们在七年级曾经把一个三角形的三个内角撕下来拼在一起得到一个平角，由此得到“三角形的内角和是180°”的结论。但这只是实验得出的命题，不能当做定理，只有经过严格的推理证明，证明命题的正确性，才能作为几何定理，今后，在几何里，常采用这种方法得到新知识。那么如何证明此命题是真命题呢？
（二）激发兴趣，初次探究
学生回忆证明一个命题的步骤：
①根据命题，画出图形；
②分析命题，根据所画图形写出已知、求证；把文字语言转化为几何语言。
③分析、探究证明方法。
师：请同学们写出根据此命题画出图形，并写出已知、求证。
（二）小组合作，再次探究
师：要证三角形三个内角和是180°，观察图形，三个角间没什么关系，能不能像前面那样，把这三个角拼在一起呢？拼成什么样的角呢？
生： ①平角，②两平行线间的同旁内角。
师：要把三角形三个内角转化为上述两种角，就要在原图形上添加一些线，这些线叫做辅助线，在平面几何里，辅助线常画成虚线，添辅助线是解决问题的重要思想方法。如何把三个角转化为平角或两平行线间的同旁内角呢？
（学生分组进行讨论、探究，请不同画法的学生板演，并口述画图方法，叙述不恰当时，同学可改正，画法4，部分学生可能想到。）
学生通过自主探究，可以得出以下几种辅助线的作法：
如图1，延长BC得到一平角∠BCD，然后以CA为一边，在△ABC的外部画∠1=∠A。
如图1，延长BC，过C作CE∥AB
如图2，过A作DE∥AB
如图3，过C作CD∥AB。
如图4，在BC边上任取一点P，作PD∥AB，PE∥AC。
学生可能还有其它画法。
（通过以上分析、研究，让不同做法的学生讲解依据。）
①根据平行线的判定及性质，利用同位角把三角形三内角转化为一个平角。
②根据平行线的性质，利用内错角和同位角，把三角形三内角转化为一个平角。
③根据平行线的性质，利用内错角，把三角形三内角转化为一个平角。
④根据平行线的性质，利用内错角把三角形三内角转化为两平行线间的同旁内角。
⑤根据平行线的性质，利用内错角、同位角或同旁内角把三角形三内角转化为一个平角。
（进一步搞清作辅助线的思路和合乎逻辑的分析方法，充分让学生表述自己的观点，这个过程对培养学生的能力极为重要，依据不充分，学生可争论。）
师： 添加完辅助线你有没有办法利用以前的知识通过严格的推理来证明呢？
（根据以上几种辅助线的作法，选择一种,师生合作，写出示范性证明过程。其余由学生自主完成证明过程。）
师：由此我们可以得到：
三角形内角和定理 三角形的内角和等于180°。
（三）观察尝试，三次探究
师：上面我们探索了三角形的内角，请大家回忆一下，我们七（下）学过的三角形的外角的定义。结合图1，你能发现三角形的一个外角与内角有怎样的关系吗？
（让学生观察图形，通过思考总结得出内角和定理的两个推论）
推论1 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和。
推论2 三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个。
（四）课堂小结：
师：今天我们学到了很多的知识，相信同学们的收获一定不小，哪位同学能跟大家交流一下你都有什么收获？（学生谈收获）
（五）达标检测：
1、填空：在△ABC中
（1）∠A=80°，∠B=60°，则∠C=_______°.
（2）∠A=40°，∠B=∠C，则∠B=_______°.
（3）∠A=∠B=∠C，则∠A =_______°.
（4）∠A=90°，则∠B与∠C______
2、证明：直角三角形两个锐角互余。
3、已知：四边形ABCD是一个任意四边形，求证：∠A+∠B+∠C+∠D=360°
（六）布置作业
1、必做题：课本128页习题11.4 A 组 1、2题；
2、选做题：练习册55页 5 题。
A
B
C
D
E
1
A
B
C
图2
D
E
图1
A
B
C
图4
E
F
P
A
B
C
图3
D
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