人教版八年级上册数学13.1.2垂直平分线的证明课件(共36张PPT)
文档属性
| 名称 | 人教版八年级上册数学13.1.2垂直平分线的证明课件(共36张PPT) |  | |
| 格式 | ppt | ||
| 文件大小 | 371.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2020-09-22 08:21:09 | ||
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文档简介
哈五中
线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等.
定理
(线段垂直平分线的性质定理)
直线MN?AB，垂足是C，且AC=CB.点P在MN上.
已知：
PA=PB
求证：
A
B
C
N
?
M
P
A
B
C
M
N
?
P
当点P与点C重合时,上述证明有什么缺陷?
?PCA与?PCB将不存在.
PA与PB还相等吗?
相等!
此时,PA=CA,PB=CB
已知AC=CB ∴PA=PB
已知线段AB,有一点P,并且PA=PB.那么,点P是否一定在AB的垂直平分线上?
P
A
B
M
N
?
?
C
?
P /
这样的点P /不存在
A
B
P
C
?
已知:
线段AB,且PA=PB
求证:
点P在线段AB的垂直
平分线MN上.
过点P作PC?AB垂足为C.
∵ PA=PB(已知)
∴ ?PAB是等腰三角形(等腰三角 形的定义)
∴AC=BC(等腰三角形底边上的高是底边上的中线)
∴PC是线段AB的垂直平分线.
即点P在线段AB的垂直
平分线MN上.
证明:
和一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上.
逆定理
和线段两个端点距离相等的所有点的集合.
线段的垂直平分线可以看作是
例 已知:如图?ABC中,边AB、BC的垂直平分线相交于点P.
求证:PA=PB=PC.
∴ PA=PB(线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点距离相等)
证明: ∵ 点A在线段AB的垂直平分线上(已知)
同理 PB=PC
∴ PA=PB=PC.
A
C
B
M
P
N
M/
N/
作图题:如图,在直线 l 上求一点P,使PA=PB
l
?
?
B
A
P
点P为所求作的点
线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等.
定理
线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等.
定理
线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等.
定理
线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等.
定理
证明:
∵MN?AB（已知）
∴?PCA=?PCB(垂直的定义)
在?PCA和?PCB中,
AC=CB(已知),
?PCA=?PCB(已证)
PC=PC(公共边)
∴ ?PCA ≌ ?PCB(SAS)
∴PA=PB(全等三角形的对应边相等)
A
B
C
M
N
?
P
C
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
A
B
M
N
A
B
C
?
?
?
?
?
?
?
?
?
M
N
?
?
填空：
4.已知:如图,在?ABC中,DE是AC的垂直平分线,
AE=3cm, ?ABD的周长为13cm,则?ABC 的周长
为 cm
A
B
D
C
E
?
3cm
3cm
19
13cm
填空：
1.已知:如图,AD是?ABC的高,E为AD上一点,
且BE=CE,则?ABC为 三角形.
A
B
C
E
?
D
1题图
等腰
3.已知:如图,AB=AC,?A=30o,AB的垂直平分线MN交AC于D,则? 1= , ? 2= .
A
B
C
D
M
N
30o
1
2
75o
30o
60o
45o
证明题:1.已知:?ABC中,?C=90?,?A=30o,BD
平分?ABC交AC于D.
求证:D点在AB的垂直平分线上.
A
B
C
D
?
证明:
30o
∵ ? C=90o, ? A=30o(已知)
∴ ?ABC=60o(三角形内角和定理)
∴ ? A= ?ABD (等量代换)
∴ D点在AB的垂直平分线上.(和一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上.)
∵BD平分?A BC(已知)
∴ ?ABD=30o(角平分线的定义)
30o
∴ AD=BD(等角对等边)
证明题:
2.已知:如图,线段CD垂直平分AB,AB平分?CAD. 求证:AD∥BC.
A
B
C
D
O
1
2
3
证明:
∵线段CD垂直平分AB(已知)
∴ CA=CB(线段垂直平分线的
性质定理)
∴ ? 1= ? 3(等边对等角)
又∵ AB平分?CAD(已知)
∴ ? 1= ? 2(角平分线的定义)
∴ ? 2= ? 3(等量代换)
∴ AD ∥BC(内错角相等,两直线平行)
证明题:4.已知:如图,AD平分?BAC,EF垂直平分AD交BC的延长线于F,连结AF.
求证: ? CAF= ? B.
A
B
C
D
E
F
?
1
2
3
4
A
B
C
D
E
F
?
1
2
3
4
∴ ?1+ ? 2= ?4(等边对等角)
又∵ ? 4=? B+? 3(三角形的一个外角等于与它 不相邻的两个内角的和)
∴ ?1+ ? 2= ? B+? 3
∵ AD平分?BAC(已知)
∴ ? 2=? 3(角平分线的定义)
∴ ?1=? B 即? CAF= ? B.
证明:∵ EF垂直平分AD(已知)
∴ AF=DF(线段垂直平分线的性质定理)
证明题:3.已知:如图,在?ABC中, AB=AC,?A=120o,
AB的垂直平分线交AB于E,交BC于F.
求证:CF=2BF.
A
B
C
E
F
300
?
60O
300
30O
CF=2AF
AF=BF
?CF=2BF
线段垂直平分线上的点和这条线段
两个端点的距离相等.
和一条线段两个端点距离相等的点,
在这条线段的垂直平分线上.
线段的垂直平分线可以看作是和线
段两个端点距离相等的所有点的集合.
作业:
P95 2. 3. 4
A
B
M
N
C
?
?
P
M
N
?
C
A
B
Q
?
A
B
M
N
P
.
Q
.
C
?
填空：
1.已知:如图,AD是?ABC的高,E为AD上一点,
且BE=CE,则?ABC为 三角形.
2.已知: 等腰?ABC,AB=AC,AD为BC边上的高,
E为AD上一点,则BE EC.(填>、<或=号)
A
B
C
E
?
D
A
B
C
E
?
D
1题图
2题图
等腰
=
小结:
1.线段的垂直平分线上的点,和这条线段两个端点的距离相等.
2.和一条线段两个端点距离相等的 点,在这条线段的垂直平分线上.
问题:如图,A、B、C三个村庄合建一所学校,要求校址P点距离三个村庄都相等.请你帮助确定校址.
?
?
?
A
B
C
P
?
点P为校址
5.如图,CD、EF分别是AB、BC的垂直平分线.请你指出图中相等的线段有哪些?
AD =BD
CF = BF
AC = BC
CE = BE
1
2
3
CF =DF
即:BF=CF=DF
A
C
E
B
F
D
?
?
问题:如图,A、B、C三个村庄合建一所学校,要求校址P点距离三个村庄都相等.请你帮助确定校址.
?
?
?
A
B
C
如图,已知:?AOB,点M、N.
求作:一点P,使点P到?AOB两边的距离相等,并且满足PM=PN.
.
.
M
N
A
O
B
.
P
点P为所求
作的点
线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等.
定理
(线段垂直平分线的性质定理)
直线MN?AB，垂足是C，且AC=CB.点P在MN上.
已知：
PA=PB
求证：
A
B
C
N
?
M
P
A
B
C
M
N
?
P
当点P与点C重合时,上述证明有什么缺陷?
?PCA与?PCB将不存在.
PA与PB还相等吗?
相等!
此时,PA=CA,PB=CB
已知AC=CB ∴PA=PB
已知线段AB,有一点P,并且PA=PB.那么,点P是否一定在AB的垂直平分线上?
P
A
B
M
N
?
?
C
?
P /
这样的点P /不存在
A
B
P
C
?
已知:
线段AB,且PA=PB
求证:
点P在线段AB的垂直
平分线MN上.
过点P作PC?AB垂足为C.
∵ PA=PB(已知)
∴ ?PAB是等腰三角形(等腰三角 形的定义)
∴AC=BC(等腰三角形底边上的高是底边上的中线)
∴PC是线段AB的垂直平分线.
即点P在线段AB的垂直
平分线MN上.
证明:
和一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上.
逆定理
和线段两个端点距离相等的所有点的集合.
线段的垂直平分线可以看作是
例 已知:如图?ABC中,边AB、BC的垂直平分线相交于点P.
求证:PA=PB=PC.
∴ PA=PB(线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点距离相等)
证明: ∵ 点A在线段AB的垂直平分线上(已知)
同理 PB=PC
∴ PA=PB=PC.
A
C
B
M
P
N
M/
N/
作图题:如图,在直线 l 上求一点P,使PA=PB
l
?
?
B
A
P
点P为所求作的点
线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等.
定理
线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等.
定理
线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等.
定理
线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等.
定理
证明:
∵MN?AB（已知）
∴?PCA=?PCB(垂直的定义)
在?PCA和?PCB中,
AC=CB(已知),
?PCA=?PCB(已证)
PC=PC(公共边)
∴ ?PCA ≌ ?PCB(SAS)
∴PA=PB(全等三角形的对应边相等)
A
B
C
M
N
?
P
C
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
A
B
M
N
A
B
C
?
?
?
?
?
?
?
?
?
M
N
?
?
填空：
4.已知:如图,在?ABC中,DE是AC的垂直平分线,
AE=3cm, ?ABD的周长为13cm,则?ABC 的周长
为 cm
A
B
D
C
E
?
3cm
3cm
19
13cm
填空：
1.已知:如图,AD是?ABC的高,E为AD上一点,
且BE=CE,则?ABC为 三角形.
A
B
C
E
?
D
1题图
等腰
3.已知:如图,AB=AC,?A=30o,AB的垂直平分线MN交AC于D,则? 1= , ? 2= .
A
B
C
D
M
N
30o
1
2
75o
30o
60o
45o
证明题:1.已知:?ABC中,?C=90?,?A=30o,BD
平分?ABC交AC于D.
求证:D点在AB的垂直平分线上.
A
B
C
D
?
证明:
30o
∵ ? C=90o, ? A=30o(已知)
∴ ?ABC=60o(三角形内角和定理)
∴ ? A= ?ABD (等量代换)
∴ D点在AB的垂直平分线上.(和一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上.)
∵BD平分?A BC(已知)
∴ ?ABD=30o(角平分线的定义)
30o
∴ AD=BD(等角对等边)
证明题:
2.已知:如图,线段CD垂直平分AB,AB平分?CAD. 求证:AD∥BC.
A
B
C
D
O
1
2
3
证明:
∵线段CD垂直平分AB(已知)
∴ CA=CB(线段垂直平分线的
性质定理)
∴ ? 1= ? 3(等边对等角)
又∵ AB平分?CAD(已知)
∴ ? 1= ? 2(角平分线的定义)
∴ ? 2= ? 3(等量代换)
∴ AD ∥BC(内错角相等,两直线平行)
证明题:4.已知:如图,AD平分?BAC,EF垂直平分AD交BC的延长线于F,连结AF.
求证: ? CAF= ? B.
A
B
C
D
E
F
?
1
2
3
4
A
B
C
D
E
F
?
1
2
3
4
∴ ?1+ ? 2= ?4(等边对等角)
又∵ ? 4=? B+? 3(三角形的一个外角等于与它 不相邻的两个内角的和)
∴ ?1+ ? 2= ? B+? 3
∵ AD平分?BAC(已知)
∴ ? 2=? 3(角平分线的定义)
∴ ?1=? B 即? CAF= ? B.
证明:∵ EF垂直平分AD(已知)
∴ AF=DF(线段垂直平分线的性质定理)
证明题:3.已知:如图,在?ABC中, AB=AC,?A=120o,
AB的垂直平分线交AB于E,交BC于F.
求证:CF=2BF.
A
B
C
E
F
300
?
60O
300
30O
CF=2AF
AF=BF
?CF=2BF
线段垂直平分线上的点和这条线段
两个端点的距离相等.
和一条线段两个端点距离相等的点,
在这条线段的垂直平分线上.
线段的垂直平分线可以看作是和线
段两个端点距离相等的所有点的集合.
作业:
P95 2. 3. 4
A
B
M
N
C
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?
P
M
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C
A
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Q
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A
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M
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Q
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C
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填空：
1.已知:如图,AD是?ABC的高,E为AD上一点,
且BE=CE,则?ABC为 三角形.
2.已知: 等腰?ABC,AB=AC,AD为BC边上的高,
E为AD上一点,则BE EC.(填>、<或=号)
A
B
C
E
?
D
A
B
C
E
?
D
1题图
2题图
等腰
=
小结:
1.线段的垂直平分线上的点,和这条线段两个端点的距离相等.
2.和一条线段两个端点距离相等的 点,在这条线段的垂直平分线上.
问题:如图,A、B、C三个村庄合建一所学校,要求校址P点距离三个村庄都相等.请你帮助确定校址.
?
?
?
A
B
C
P
?
点P为校址
5.如图,CD、EF分别是AB、BC的垂直平分线.请你指出图中相等的线段有哪些?
AD =BD
CF = BF
AC = BC
CE = BE
1
2
3
CF =DF
即:BF=CF=DF
A
C
E
B
F
D
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?
问题:如图,A、B、C三个村庄合建一所学校,要求校址P点距离三个村庄都相等.请你帮助确定校址.
?
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A
B
C
如图,已知:?AOB,点M、N.
求作:一点P,使点P到?AOB两边的距离相等,并且满足PM=PN.
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N
A
O
B
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点P为所求
作的点