冀教版数学七年级上5.4 第2课时 列一元一次方程解决相遇问题、工程问题 导学案（含答案）

5.4
一元一次方程的应用
第2课时
列一元一次方程解决相遇问题、工程问题
学习目标：
1.掌握相遇问题、工程问题中的基本等量关系；
2.学会利用线段图分析相遇问题及工程问题，分清有关数量关系，正确找出作为列方程依据的主要等量关系；(难点）
3.进一步掌握用一元一次方程解决实际问题的基本过程.(重点)
学习重点：进一步掌握用一元一次方程解决实际问题的基本过程.
学习难点：学会利用线段图分析问题，找出等量关系，准确列出方程.
知识链接
1.行程问题
（1）慢车每小时行驶48千米，x小时可行驶
千米，快车每小时行驶72千米，如果快车先开小时，那么在慢车开出x小时后快车行驶
千米.
（2）路程、时间、平均速度之间有怎样的关系？
路程=___________
×
_____________；
时间＝___________
÷
_____________
；
平均速度＝___________
÷
_____________
。
2.工程问题
（1）一项工作甲独做5天完成，乙独做10天完成，那么甲每天的工作效率是
，乙每天的工作效率是
，两人合作3天完成的工作量是
，此时剩余的工作量是
.
（2）一项工作甲独做a天完成，乙独做b天完成，那么甲每天的工作效率是
，乙每天的工作效率是
，两人合作3天完成的工作量是
，此时剩余的工作量是
.
（3）工作量、工作时间、工作效率之间有怎样的关系？
工作量
＝___________
×
_____________
；
工作时间＝___________
÷
_____________
；
工作效率＝___________
÷
_____________
.
新知预习
自主探究
问题1：甲、乙两地间的路程为375km.一辆轿车和一辆公共汽车分别从甲、乙两地同时出发沿公路相向而行.轿车的平均速度为90km/h，公共汽车的平均速度为60km/h.它们出发后多少小时在途中相遇？
分析：（1）线段图
甲
乙
（2）等量关系：_____________+___________=_____________.
（3）设出发后x小时相遇，则：
（4）列方程__________________
解得x=_________________
答：它们出发后______小时相遇.
【自主归纳】
相遇问题中常用的等量关系有：
（1）路程=_______×_________；
（2）_________+___________=____________.
问题2：一项工作，小李单独做需要6h完成，小王单独做需要9h完成.如果小李先做2h后，再由两人合做，那么还需几小时才能完成
？
分析：（1）线段图
（2）等量关系：__________+____________=______________.
（3）设小李和小王合作还需要
小时才能完成全部工作，则
（4）列方程__________________
解得_________________
答：小李和小王合作还需要
小时才能完成全部工作.
【自主归纳】
工程问题中常用的等量关系有：
（1）工作总量=_______×_________；
（2）通常将工作总量看做__________，则工作效率=__________________.
自学自测
甲、乙两站相距365km，一列慢车从甲地开往乙地，每小时行驶65km，慢车行驶1h后，另有一列快车从乙站开往甲站，每小时行驶85km，快车行驶几小时后与慢车相遇？
2.某项工作，甲单独做需要4小时，乙单独做需要6小时，如果甲先做30分钟，然后甲、乙合作，问甲、乙合作还需要多久才能完成全部工作？
四、我的疑惑
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
要点探究
探究点1：相遇问题
例1：小明家离学校2.9千米，一天小明放学走了5分钟之后，他爸爸开始从家出发骑自行车去接小明，已知小明每分钟走60米，爸爸骑自行车每分钟骑200米，请问小明爸爸从家出发几分钟后接到小明？
【归纳总结】找出问题中的等量关系是列方程解应用题的关键，对于行程问题，通常借助“线段图”来分析问题中的数量关系．这样可以比较直观地反映出方程中的等量关系．此外，注意单位要统一.
例2：甲、乙两人在一条长400米的环形跑道上跑步，甲的速度为360米/分，乙的速度是240米/分．两人同时同地反向跑，问几秒后两人第一次相遇？
【归纳总结】环形问题中的等量关系：两个人同地背向而行：相遇问题(首次相遇)，甲的行程＋乙的行程＝一圈周长.
【针对训练】
1.甲、乙两人骑自行车同时从相距65千米的两地相向而行，2小时相遇，若甲比乙每小时多骑2.5千米，求乙的速度.
2.甲、乙两人在环形跑道上练习跑步，已知跑道一圈长400m，甲每秒钟跑6m，乙每秒钟跑8m，如果甲、乙两人在跑道上相距8m，同时反向出发，那么经过几秒两人首次相遇？
探究点2：工程问题
例3：一个道路工程，甲队单独施工9天完成，乙队单独做24天完成．现在甲乙两队共同施工3天，因甲另有任务，剩下的工程由乙队完成，问乙队还需几天才能完成？
【归纳总结】在工程问题中，如果工作总量没有明确给出，将工作总量设为1是常用的解决办法.工程问题中常用的相等关系有：(1)按工作时间，各时间段的工作量之和=完成的工作量.
(2)按工作者，若一项工作有甲、乙两人参与，则甲的工作量+乙的工作量=完成的工作量.
【针对训练】
整理一批图书，由一个人做要40小时完成。现在计划由一部分人先做4小时，再增加两人和他们一起做8小时，完成这项工作．假设这些人的工作效率相同，具体应安排多少人工作？
二、课堂小结
内容
相遇问题
路程=_______×________;
__________+__________=总路程.
工程问题
工作总量=_______×________;
按工作时间：__________=______________;
按工作者：________+________=___________.
某公路的干线上有相距108公里的A.B两个车站，某日16点整，甲、乙两车分别从A.B两站同时出发，相向而行，已知甲车的速度为45公里/时，乙车的速度为36公里/时，则两车相遇的时间是（
）
A.16时20分
B.17时20分
C.17时40分
D.16时40分
2.加工1
500个零件，甲单独做需要12小时，乙单独做需要15小时，若两人合做x小时可以完工，依题意可列方程为(
)
A.
B.
C.
D.
一项工程，甲队单独完成需要20天，乙队单独完成需要30天，如果先由甲队单独做5天，则剩下部分由甲、乙两队合作完成还需要的天数是（
）
A.9
B.10
C.12
D.15
4.A.B两地相距450千米，甲、乙两车分别从A.B两地同时出发，相向而行.已知甲车的速度为120千米/时，乙车的速度为80千米/时，t小时后两车相遇，则t=_______.
5.一项工程由甲单独做需12天完成，由乙单独做需8天完成，若两人合做3天后，剩下的部分由乙单独完成，乙还需做____天.
6.运动场的跑道一圈长400米，甲练习骑自行车，平均每分钟骑350米，乙练习跑步，平均每分钟跑250米.两人从同一处同时反向出发，经过多长时间首次相遇？
7.甲车由A城到B城需4小时，乙车由B城到A城需6小时，若两车同时出发，相向而行，多少小时在中途相遇？
8.一项工作，由1人做要40小时完成，现计划由2人先做4小时，剩下的工作要8小时完成，问还需增加几人？(假定每个人的工作效率都相同)
9.一件工作由一个人做要500小时完成，现在计划由一部分人先做5小时，再增加8人和他们一起做10小时，完成了这项工作，问：先安排多少人工作？
10.电气机车和磁悬浮列车从相距298千米的两地同时出发相对而行，磁悬浮列车的速度比电气机车速度的5倍还快20千米/时，半小时后两车相遇.两车的速度各是多少？
当堂检测参考答案：
B
2.B
3.A
4.
2.25
5.
3
6.解：设x分钟后首次相遇，由题意得
350x+250x=400
解得x=
答：二人经过分钟后首次相遇.
7.解：设x小时后两车在途中相遇，由题意得
解得
x=2.4.
答：经过2.4小时后两车在途中相遇.
8.解：设还需增加x人，由题意得
.
解得
x=2.
答：还需增加2人.
9.解：设先安排x人工作，由题意得
解得
x=28.
答：先安排28人工作.
10.解：设电气机车的速度为xkm/h，则磁悬浮列车的速度为（5x+20）km/h，由题意得
.
解得
x=96，
故
5x+20=500.
答：电气机车的速度为96km/h，磁悬浮列车的速度为500km/h.
1