江苏省重点中学11-12学年高二上学期开学检测（数学）

高二数学试卷 2011.9.3
一、填空题（）
1.集合A＝{}，B＝{}．若A∩B有且只有一个元素，则实数a的值为________．
2.已知，则 ．
3.若函数的图象的相邻两条对称轴的距离是，则的值为 ．
4.已知、是非零向量且满足， ，则与的夹角是_______．
5.已知数列成等差数列, 成等比数列，则的值为________．
6.若，则= ．
7.，则____________．
8.设为两个不重合的平面，为两条不重合的直线，给出下列四个命题：
①若则∥；②若则；
③若∥，∥，则；④若与相交且不垂直，则与不垂直。其中，所有真命题的序号是 ．
9.已知，则的最小值为__________．
10.已知，若，则的取值范围是 ．
11. 已知数列满足则的最小值为_________．
12. 在中，过中线中点任作一直线分别交于两点，设，则的最小值是 ．
13．已知函数, 数列满足，且数列是单调递增数列，则实数的取值范围是 ．
14.给出定义：若（其中为整数），则叫做离实数 最近的整数，记作，即 . 在此基础上给出下列关于函数的四个命题：
①函数的定义域是R，值域是[0，]；②函数的图像关于直线(k∈Z)对称；③函数是周期函数，最小正周期是1；④ 函数在上是增函数；则其中真命题是__ ．
二、解答题（15、16每题，17、18每题，19、20每题）
15. 如图，平行四边形中，，正方形所在的平面和平面垂直，是的中点，是的交点.
（1）求证：平面；
（2）求证：平面.
16. 已知函数的定义域为集合A,集合 B={＜0}．
（1）当时，求AB；
（2）求使BA的实数的取值范围。
17.设中的内角，，所对的边长分别为，，，且,.
（1）当时，求角的度数；
（2）求面积的最大值.
18.已知函数的最大值为，的图像的相邻两对称轴间的距离为，与轴的交点坐标为.
（1）求函数的解析式；
（2）设数列，为其前项和，求.
19.已知指数函数满足：，定义域为的函数是奇函数。（1）求的解析式；
（2）求m，n的值；
（3）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围。
20.已知数列，.
（1）求证：数列为等比数列；
（2）数列中，是否存在连续的三项，这三项构成等比数列？试说明理由；
（3）设，其中为常数，且，
，求.
开学考试数学试卷答案2011.9
一、填空题
1. 0或－2 2. 3. 1 4. 5. 6. 7. 8. ①②
9. 10. 11. 12. 13. 14. ①②③
二、解答题
15. 证明：⑴是的交点，∴是中点，又是的中点，∴中，， ，∴，又∵
∴平面
⑵平面平面，交线为， ∵，
∴平面， ∴，又∵，
∴
16. 解：（1）当时， AB={|3＜＜10}
（2） B={|＜＜2+1}
1 若时，A=Ф，不存在使BA
2 若＞时，
要使BA,必须 解得2≤≤3
3 若＜时，,要使BA,必须
解得 ，故的范围
17．（1）因为，所以. 因为，，由正弦定理可得. 因为，所以是锐角，所以.
（2）因为的面积， 所以当最大时，的面积最大.因为，所以.
因为，所以，所以，（当时等号成立）， 所以面积的最大值为.
18. （1）∵，依题意：，∴.
又，∴，得.∴. 令得：，又，∴.故函数的解析式为：
（2）由知：.
当为偶数时，………10′
当为奇数时，.
∴.
19. （1）
（2）由（1）知：，因为是奇函数，所以=0，即 ∴， 又由f（1）= -f（-1）知
（3）由（2）知，易知在上为减函数。又因是奇函数，从而不等式：
等价于，
因为减函数，由上式推得：，即对一切有：，从而判别式
20. 解：⑴∵=，∴
，
∵∴为常数∴数列为等比数列
⑵取数列的连续三项，
∵，
，∴，即，
∴数列中不存在连续三项构成等比数列；
⑶当时，，此时；
当时，为偶数；而为奇数，此时；
当时，，此时；
当时，，发现符合要求，下面证明唯一性（即只有符合要求）。
由得，
设，则是上的减函数，∴ 的解只有一个
从而当且仅当时，即，此时；
当时，，发现符合要求，下面同理可证明唯一性（即只有符合要求）。
从而当且仅当时，即，此时；
综上，当，或时，；
当时，，
当时，。
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