人教版九年级上数学22.1.2二次函数的图像和性质课件(21张)

二次函数的图像和性质
复习
一般地,形如 y=ax2+bx+c(a、b、c为常数,a≠0)的函数,叫做二次函数.其中,x是自变量,a,b,c分别是函数表达式的二次项系数、一次项系数和常数项.
二次函数:

下列哪些函数是二次函数？哪些是一次函数？
(1) y=3x-l (2) y=2x?
(3) y=x?+6 (4) y=-3x?-2x+4
（1）一次函数的图象是一条_____，
(2) 通常怎样画一个函数的图象？
直线
列表、描点、连线
(3) 二次函数的图象是什么形 状呢？
从最简单的二次函数y=ax2
开始！
2.体会数形结合的思想，提高观察分析概括能力，感受数学之美。
1.会用描点法画出二次函数y=ax?的图象，概括出图象的特点，知道抛物线y=ax?的开口方向与a的符号有关.
定向导航
x
y
O
－2
2
2
4
6
4
－4
8
22.1.2二次函数y=ax2的图象和性质
x
…
-3
-2
-1
0
1
2
3
…
y=x2
二次函数的图像
画函数y=x2的图像
解: (1) 列表
…
9
4
1
0
1
4
9
…
(2) 描点
(3) 连线
1
2
3
4
5
x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
y
o
-1
-2
-3
-4
-5
根据表中x,y的数值在坐标平面中描点(x,y),再用平滑曲线顺次连接各点,就得到y=x2的图像.
y=x2
x
…
-3
-2
-1
0
1
2
3
…
y=-x2
二次函数的图像
请画函数y=－x2的图像
解:(1) 列表
…
-9
-4
-1
0
-1
-4
-9
…
(2) 描点
(3) 连线
根据表中x,y的数值在坐标平面中描点(x,y),再用平滑曲线顺次连接各点,就得到y=-x2的图像.
1
2
3
4
5
x
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9
1
y
o
-1
-2
-3
-4
-5
-10
y=－x2
x
y
o
x
y
o
从图像可以看出,二次函数y=x2和y=－x2的图像都是一条曲线,它的形状类似于投篮球或投掷铅球时球在空中所经过的路线.
这样的曲线叫做抛物线.
y=x2的图像叫做抛物线y=x2.
y=－x2的图像叫做抛物线y=－x2.
实际上,二次函数的图像都是抛物线.
它们的开口向上或者向下.
一般地,二次函数y=ax2+bx+c 的图像叫做抛物线y=ax2+bx+c.
二次函数的图像
还可以看出,二次函数y=x2和y=－x2的图像都是轴对称图形,y轴是它们的对称轴.
抛物线与对称轴的交点(0,0)叫做抛物线的顶点.
抛物线y=x2的顶点(0,0)是它的最低点.
抛物线y=－x2的顶点(0,0)是它的最高点.
y=x2
y=－x2
解：分别填表，再画出它们的图象，如图
x
···
－4
－3
－2
－1
0
1
2
3
4
···
···
···
x
···
－2
－1.5
－1
－0.5
0
0.5
1
1.5
2
···
···
···
8
4.5
2
0.5
0
8
4.5
2
0.5
8
4.5
2
0.5
0
8
4.5
2
0.5
例2:在同一直角坐标系中，画出函数
的图象．
x
y
O
-2
2
2
4
6
4
-4
8
从二次函数 开口大小与a的大小有什么关系？
当a>0时，a越大，开口越小.
在同一直角坐标系中，画出函数 的图象．
x
···
－4
－3
－2
－1
0
1
2
3
4
···
···
···
x
···
－2
－1.5
－1
－0.5
0
0.5
1
1.5
2
···
···
···
-8
-4.5
-2
-0.5
0
-8
-4.5
-2
-0.5
-8
-4.5
－2
－0.5
0
－8
－4.5
－2
－0.5
练一练
x
y
O
－2
2
－2
－4
－6
4
－4
－8
当a<0时，a越小（即a的绝对值越大），开口越小.
从二次函数 开口大小与a的大小有什么关系？
对于抛物线 y = ax 2 ，｜a｜越大，抛物线的开口越小．
思 考
y＝ax2
a>0
a<0
图象
位置开
口方向
对称性
顶点最值
增减性
开口向上,在x轴上方
开口向下,在x轴下方
a的绝对值越大，开口越小
关于y轴对称，对称轴是直线x＝0
顶点坐标是原点（0，0）
当x=0时，y最小值=0
当x=0时，y最大值=0
在对称轴左侧递减
在对称轴右侧递增
在对称轴左侧递增
在对称轴右侧递减
y
O
x
y
O
x
对称轴、顶点、最低点、最高点
这条抛物线关于
y轴对称，y轴就
是它的对称轴.
对称轴与抛物
线的交点叫做
抛物线的顶点.
抛物线 y=x2在x轴上方
(除顶点外)，顶点是它的最
低点，开口向上，并且向上
无限伸展;
当x=0时,函数 y的值最小，
最小值是0.
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.
y
抛物线 y= -x2在x轴下方(除顶点外)，顶点
是它的最高点，开口向下，并且向下无限伸展，
当x=0时，函数y的值最大，最大值是0.
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.
例3.在同一直角坐标系中画出函数y=-x2、y=-2x2、y=- x2的图象，有什么共同点和不同点?
探究
x
y
O
－2
2
－2
－4
－6
4
－4
－8
相同点：开口都向下，顶点是原点而且是抛物线的最高点，对称轴是 y 轴.
相同点
不同点
不同点：|a|越大，抛物线的开口越小．
尝试应用
1、函数y=2x2的图象的开口 ,对称轴 ,顶点是 ;
2、函数y=－3x2的图象的开口 ,对称轴 ,顶点是 ;
向上
向下
y轴
y轴
(0,0)
(0,0)
3、已知抛物线y＝ax2经过点A(-2，-8).
(1) 求此抛物线的函数解析式
（2）写出这个二次函数图象的对称轴，顶点坐标及开口方向；
（3）判断点（-1，-4）是否在此抛物线上；
解（1）把（-2，-8）代入y=ax2,得
-8=a(-2)2,解出a= -2,所求函数解析式为y= -2x2.
（2）对称轴：y轴，顶点坐标：（0,0），开口向下.
（3）因为 ，所以点B（-1 ，-4）
不在此抛物线上。
小结
1. 二次函数的图像都是什么图形？
2. 抛物线y=ax2的图像性质:
(2)当a>0时,抛物线的开口向上,顶点是抛物线的最低点;
当a<0时,抛物线的开口向下,顶点是抛物线的最高点;
（4）|a|越大,抛物线的开口越小;
(1) 抛物线y=ax2的对称轴是y轴,顶点是原点.
x
y
o
a>0
a<0
a<0
x
y
o
（3）抛物线的增减性