人教版
八年级数学上册
12.3
角平分线的性质
同步培优训练-讲评卷
一、选择题（本大题共10道小题）
1.
如图，OP是∠MON的平分线，点E，F，G分别在射线OM，ON，OP上，则可以解释定理“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”的图形是( )
【答案】D
2.
到三角形三边距离相等的点是( )
A．三条中线的交点
B．三条高(或三条高所在直线)的交点
C．三边垂直平分线的交点
D．三条内角平分线的交点
【答案】D
3.
如图,OP平分∠AOB,点P到OA的距离为3,N是OB上的任意一点,则线段PN的长度的取值范围为
( )
A.PN<3
B.PN>3
C.PN≥3
D.PN≤3
【答案】C [解析]
作PM⊥OB于点M.∵OP平分∠AOB,PE⊥OA,PM⊥OB,∴PM=PE=3.∴PN≥3.
4.
如图,利用尺规作∠AOB的平分线OC,其作法如下:(1)以点O为圆心,适当长为半径画弧,与OA,OB分别交于点D,E;
(2)分别以点D,E为圆心,大于DE的长为半径画弧,两弧在∠AOB的内部交于点C;
(3)画射线OC,则射线OC就是∠AOB的平分线.
这样作图的原理是三角形全等的一种判定方法,这种判定方法是
( )
A.SSS
B.SAS
C.ASA
D.AAS
【答案】A
5.
如图，OC平分∠AOB，P是射线OC上的一点，PD⊥OB于点D，且PD＝3，动点Q在射线OA上运动，则线段PQ的长度不可能是( )
A．2
B．3
C．4
D．5
【答案】A [解析]
如图，过点P作PE⊥OA于点E.
∵OC平分∠AOB，PD⊥OB，∴PE＝PD＝3.
∵动点Q在射线OA上运动，∴PQ≥3.
∴线段PQ的长度不可能是2.
6.
如图，在直角坐标系中，AD是Rt△OAB的角平分线，点D的坐标是(0，-3)，那么点D到AB的距离是
( )
A.3
B.-3
C.2
D.-2
【答案】A [解析]
如图，过点D作DE⊥AB于点E.
∵点D的坐标是(0，-3)，
∴OD=3.
∵AD是△OAB的角平分线，
∴ED=OD=3，
即点D到AB的距离是3.
7.
如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE＝DG，△ADG和△AED的面积分别为60和35，则△EDF的面积为( )
A．25
B．5.5
C．7.5
D．12.5
【答案】D [解析]
如图，过点D作DH⊥AC于点H.
又∵AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，
∴DF＝DH.
在Rt△ADF和Rt△ADH中，
∴Rt△ADF≌Rt△ADH(HL)．
∴SRt△ADF＝SRt△ADH.
在Rt△DEF和Rt△DGH中，
∴Rt△DEF≌Rt△DGH(HL)．
∴SRt△DEF＝SRt△DGH.
∵△ADG和△AED的面积分别为60和35，
∴35＋SRt△DEF＝60－SRt△DGH.∴SRt△DEF＝12.5.
8.
如图,点A在点O的北偏西30°的方向上,AB⊥OA,垂足为A.根据已知条件和图上尺规作图的痕迹判断,下列说法正确的是
( )
A.点O在点A的南偏东60°方向上
B.点B在点A的北偏东30°方向上
C.点B在点O的北偏东60°方向上
D.点B在点O的北偏东30°方向上
【答案】D [解析]
如图,由题意知∠AOD=30°,∠COD=90°,∴∠AOC=120°.由作图可知,OB平分∠AOC,∴∠AOB=∠AOC=60°.∴∠DOB=30°.∴点B在点O的北偏东30°方向上.
9.
如图，△ABC的外角平分线BD，CE相交于点P，若点P到AC的距离为3，则点P到AB的距离为( )
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】C [解析]
如图，过点P作PQ⊥AC于点Q，PW⊥BC于点W，PR⊥AB于点R.
∵△ABC的外角平分线BD，CE相交于点P，
∴PQ＝PW，PW＝PR.
∴PR＝PQ.
∵点P到AC的距离为3，∴PQ＝3.
∴PR＝3，
则点P到AB的距离为3.
10.
如图,AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB,AB=6
cm,DE=4
cm,S△ABC=30
cm2,则AC的长为( )
A.10
cm
B.9
cm
C.4.5
cm
D.3
cm
【答案】B [解析]
如图,过点D作DF⊥AC于点F.
∵AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB,
∴DE=DF=4.
∵AB=6,
∴S△ABC=S△ABD+S△ACD=×6×4+AC×4=30,
解得AC=9(cm).故选B.
二、填空题（本大题共7道小题）
11.
如图,在△ABC中,两条外角平分线交于点P,PM⊥AC交AC的延长线于点M.若PM=6
cm,则点P到AB的距离为 .?
【答案】6
cm [解析]
如图,过点P作PN⊥BC于点N,PQ⊥AB交AB的延长线于点Q.∵BP,CP是两条外角的平分线,PM⊥AC,∴PN=PM,PQ=PN.∴PQ=PM.
∵PM=6
cm,∴PQ=6
cm,即点P到AB的距离为6
cm.
12.
如图，请用符号语言表示“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”．
条件：____________________________________.
结论：PC＝PD.
【答案】∠AOP＝∠BOP，PC⊥OA于点C，PD⊥OB于点D
13.
如图，∠B＝∠D＝90°，根据角平分线的性质填空：
(1)若∠1＝∠2，则________＝________．
(2)若∠3＝∠4，则________＝________．
【答案】(1)BC CD (2)AB AD
14.
将两块完全相同的三角尺在∠AOB的内部如图摆放，两块三角尺较短的直角边分别与∠AOB的两边重合，且含30°角的顶点恰好也重合于点C，则射线OC即为∠AOB的平分线，理由是______________________．
【答案】角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上
15.
如图，点O在△ABC的内部，且到三边的距离相等．若∠BOC＝130°，则∠A＝________°.
【答案】80 [解析]
∵点O到△ABC三边的距离相等，∴BO平分∠ABC，CO平分∠ACB.
∴∠A＝180°－(∠ABC＋∠ACB)＝180°－2(∠OBC＋∠OCB)＝180°－2(180°－∠BOC)＝80°.
16.
在△ABC中，AB＝4，AC＝3，AD是△ABC的角平分线，则△ABD与△ACD的面积之比是________．
【答案】4∶3 【解析】如解图，过D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，∵AD是∠BAC的平分线，∴DE＝DF(角平分线上的点到角两边的距离相等)，设DE＝DF＝h，则＝＝.
17.
如图，P是△ABC外的一点，PD⊥AB交BA的延长线于点D，PE⊥AC于点E，PF⊥BC交BC的延长线于点F，连接PB，PC.若PD＝PE＝PF，∠BAC＝64°，则∠BPC的度数为________．
【答案】32° [解析]
∵PD＝PE＝PF，PD⊥AB交BA的延长线于点D，PE⊥AC于点E，PF⊥BC交BC的延长线于点F，
∴CP平分∠ACF，BP平分∠ABC.
∴∠PCF＝∠ACF，∠PBF＝∠ABC.
∴∠BPC＝∠PCF－∠PBF＝(∠ACF－∠ABC)＝∠BAC＝32°.
三、解答题（本大题共3道小题）
18.
如图，现有一块三角形的空地，其三条边长分别是20
m，30
m，40
m．现要把它分成面积比为2∶3∶4的三部分，分别种植不同种类的花，请你设计一种方案，并简单说明理由．(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)
【答案】
解：(答案不唯一)如图，分别作∠ACB和∠ABC的平分线，相交于点P，连接PA，则△PAB，△PAC，△PBC的面积之比为2∶3∶4.
理由如下：
如图，过点P分别作PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，PH⊥BC于点H.
∵P是∠ABC和∠ACB的平分线的交点，
∴PE＝PF＝PH.
∵S△PAB＝AB·PE＝10PE，S△PAC＝AC·PF＝15PF，S△PBC＝BC·PH＝20PH，
∴S△PAB∶S△PAC∶S△PBC＝10∶15∶20＝2∶3∶4.
19.
数学家鲁弗斯设计了一个仪器，它可以三等分一个角．如图所示，A，B，C，D分别固定在以O为公共端点的四根木条上，且OA＝OB＝OC＝OD，E，F可以在中间的两根木条上滑动，AE＝CE＝BF＝DF.
求证：∠AOE＝∠EOF＝∠FOD.
【答案】
证明：在△AOE和△COE中，
∴△AOE≌△COE(SSS)．
∴∠AOE＝∠COE.
同理∠COE＝∠FOD.
∴∠AOE＝∠EOF＝∠FOD.
20.
如图，已知∠C＝60°，AE，BD是△ABC的角平分线，且交于点P.
(1)求∠APB的度数．
(2)求证：点P在∠C的平分线上．
(3)求证：①PD＝PE；②AB＝AD＋BE.
【答案】
解：(1)∵AE，BD是△ABC的角平分线，
∴∠BAP＝∠BAC，∠ABP＝∠ABC.
∴∠BAP＋∠ABP＝(∠BAC＋∠ABC)＝(180°－∠C)＝60°.∴∠APB＝120°.
(2)证明：如图，过点P作PF⊥AB，PG⊥AC，PH⊥BC，垂足分别为F，G，H.
∵AE，BD分别平分∠BAC，∠ABC，
∴PF＝PG，PF＝PH.
∴PH＝PG.
又∵PG⊥AC，PH⊥BC，
∴点P在∠C的平分线上．
(3)证明：①∵∠C＝60°，PG⊥AC，PH⊥BC，
∴∠GPH＝120°.
∴∠GPE＋∠EPH＝120°.
又∵∠APB＝∠DPE＝∠DPG＋∠GPE＝120°，
∴∠EPH＝∠DPG.
在△PGD和△PHE中，
∴△PGD≌△PHE.∴PD＝PE.
②如图，在AB上截取AM＝AD.
在△ADP和△AMP中，
∴△ADP≌△AMP.
∴∠APD＝∠APM＝60°.
∴∠EPB＝∠MPB＝60°.
在△EBP和△MBP中，
∴△EBP≌△MBP.
∴BE＝BM.
∴AB＝AM＋BM＝AD＋BE.人教版
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12.3
角平分线的性质
同步培优训练
一、选择题（本大题共10道小题）
1.
如图，OP是∠MON的平分线，点E，F，G分别在射线OM，ON，OP上，则可以解释定理“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”的图形是( )
2.
到三角形三边距离相等的点是( )
A．三条中线的交点
B．三条高(或三条高所在直线)的交点
C．三边垂直平分线的交点
D．三条内角平分线的交点
3.
如图,OP平分∠AOB,点P到OA的距离为3,N是OB上的任意一点,则线段PN的长度的取值范围为
( )
A.PN<3
B.PN>3
C.PN≥3
D.PN≤3
4.
如图,利用尺规作∠AOB的平分线OC,其作法如下:(1)以点O为圆心,适当长为半径画弧,与OA,OB分别交于点D,E;
(2)分别以点D,E为圆心,大于DE的长为半径画弧,两弧在∠AOB的内部交于点C;
(3)画射线OC,则射线OC就是∠AOB的平分线.
这样作图的原理是三角形全等的一种判定方法,这种判定方法是
( )
A.SSS
B.SAS
C.ASA
D.AAS
5.
如图，OC平分∠AOB，P是射线OC上的一点，PD⊥OB于点D，且PD＝3，动点Q在射线OA上运动，则线段PQ的长度不可能是( )
A．2
B．3
C．4
D．5
6.
如图，在直角坐标系中，AD是Rt△OAB的角平分线，点D的坐标是(0，-3)，那么点D到AB的距离是
( )
A.3
B.-3
C.2
D.-2
7.
如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE＝DG，△ADG和△AED的面积分别为60和35，则△EDF的面积为( )
A．25
B．5.5
C．7.5
D．12.5
8.
如图,点A在点O的北偏西30°的方向上,AB⊥OA,垂足为A.根据已知条件和图上尺规作图的痕迹判断,下列说法正确的是
( )
A.点O在点A的南偏东60°方向上
B.点B在点A的北偏东30°方向上
C.点B在点O的北偏东60°方向上
D.点B在点O的北偏东30°方向上
9.
如图，△ABC的外角平分线BD，CE相交于点P，若点P到AC的距离为3，则点P到AB的距离为( )
A．1
B．2
C．3
D．4
10.
如图,AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB,AB=6
cm,DE=4
cm,S△ABC=30
cm2,则AC的长为( )
A.10
cm
B.9
cm
C.4.5
cm
D.3
cm
二、填空题（本大题共7道小题）
11.
如图,在△ABC中,两条外角平分线交于点P,PM⊥AC交AC的延长线于点M.若PM=6
cm,则点P到AB的距离为 .?
12.
如图，请用符号语言表示“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”．
条件：____________________________________.
结论：PC＝PD.
13.
如图，∠B＝∠D＝90°，根据角平分线的性质填空：
(1)若∠1＝∠2，则________＝________．
(2)若∠3＝∠4，则________＝________．
14.
将两块完全相同的三角尺在∠AOB的内部如图摆放，两块三角尺较短的直角边分别与∠AOB的两边重合，且含30°角的顶点恰好也重合于点C，则射线OC即为∠AOB的平分线，理由是______________________．
15.
如图，点O在△ABC的内部，且到三边的距离相等．若∠BOC＝130°，则∠A＝________°.
16.
在△ABC中，AB＝4，AC＝3，AD是△ABC的角平分线，则△ABD与△ACD的面积之比是________．
17.
如图，P是△ABC外的一点，PD⊥AB交BA的延长线于点D，PE⊥AC于点E，PF⊥BC交BC的延长线于点F，连接PB，PC.若PD＝PE＝PF，∠BAC＝64°，则∠BPC的度数为________．
三、解答题（本大题共3道小题）
18.
如图，现有一块三角形的空地，其三条边长分别是20
m，30
m，40
m．现要把它分成面积比为2∶3∶4的三部分，分别种植不同种类的花，请你设计一种方案，并简单说明理由．(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)
19.
数学家鲁弗斯设计了一个仪器，它可以三等分一个角．如图所示，A，B，C，D分别固定在以O为公共端点的四根木条上，且OA＝OB＝OC＝OD，E，F可以在中间的两根木条上滑动，AE＝CE＝BF＝DF.
求证：∠AOE＝∠EOF＝∠FOD.
20.
如图，已知∠C＝60°，AE，BD是△ABC的角平分线，且交于点P.
(1)求∠APB的度数．
(2)求证：点P在∠C的平分线上．
(3)求证：①PD＝PE；②AB＝AD＋BE.
