(共22张PPT)
24.1.1圆
了解圆的有关概念，并灵活运用圆的概念解决一些实际问题．
重点：圆的有关概念
.
难点：运用圆的概念解决一些实际问题
.
旋转一周
另一端点
圆心
半径
弦
弧
互相重合
圆心
半径
位置
大小
请同学口答下面两个问题
(1)举出生活中的圆三、四个．
(2)你能讲出形成圆的方法有多少种？
老师点评（口答）：
（1）如车轮、杯口、时针等．
（2）圆规：固定一个定点，固定一个长度，绕定点拉紧运动就形成一个圆．
从以上圆的形成过程，我们可以得出：
在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点所形成的图形叫做圆．固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．
以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”．
学生四人一组讨论下面的两个问题：
问题1：图上各点到定点（圆心O）的距离有什么规律？
问题2：到定点的距离等于定长的点又有什么特点？
老师提问几名学生并点评总结．
（1）图上各点到定点(圆心O)的距离都等于定长(半径r);
（2）到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上．
因此，我们可以得到圆的新定义：圆心为O，半径为r的圆可以看成是所有到定点O的距离等于定长r的点组成的图形．
同时，我们又把
①连接圆上任意两点的线段叫做弦，如图线段AC，AB；
②经过圆心的弦叫做直径，如图24-1线段AB；
③圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，
“以A、C为端点的弧记作AC”，读作“圆弧”或
“弧AC”．大于半圆的弧（如图所示ABC叫做
优弧，小于半圆的弧（如图所示AC或BC）
叫做劣弧．
④圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条
弧，每一条弧都叫做半圆．
（
（
（
（
（
知识点一
圆的定义
对角线的交点
对角线交点
对角线长的一半
B
B
知识点二
圆的有关概念及计算
60°
A
知识点二
圆的有关概念及计算
A
例1：要确定一个圆，需要知道_______和________.
解析：
此根据圆的概念，在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点所形成的图形叫做圆．可知OA是半径，O是圆心。
答案：圆心、半径.
解析：
根据圆的有关概念可得,(1)直径是弦：（２）弦不经过圆心，所以不是直径；（３）弧不一定是直径分成的弧，所以弧不一定是半圆；（４）半径相等就表明这两个圆是等圆，所以半径相等的两个半圆是等弧；（５）等弧指长度形状都相等，同圆或等圆中长度相等的两条弧是等弧；（６）根据周长公式，周长相等则直径相等，所以周长相等的圆是等圆；（７）根据面积公式，面积相等则半径相等，所以面积相等的圆是等圆；（8）必须在同圆或等圆中进行比较。
例2：判断：
（１）直径是弦．（ ）（２）弦是直径．
（ ）
（３）半圆是弧，但弧不一定是半圆．（ ）
（４）半径相等的两个半圆是等弧．
（ ） （５）长度相等的两条弧是等弧．
（ ）
（６）周长相等的圆是等圆．
（ ） （７）面积相等的圆是等圆．
（ ）
（8）优弧一定比劣弧长。
（
）
√
×
√
√
×
√
√
×
例3：如图，半圆的直径AB＝___
．
解析：
利用勾股定理可求出半圆的半径为
，所以直径为2
。
C
A
解：
如图所示，取BC的中点F，连接DF、EF.
∵BD、CE是△ABC的高，
∴△BCD和△BCE都是直角三角形.
∴DF、EF分别为Rt△BCD和Rt△BCE斜边上的中线，
∴DF=EF=BF=CF.
∴E、B、C、D四点在以F点为圆心，BC为直径的圆上.
引导学生一起回顾本节课所学的圆的有关概念。(共17张PPT)
24.1.2垂直于弦的直径
判断：
（１）直径是弦．（ ）
（２）弦是直径．
（ ）
（３）半圆是弧，但弧不一定是半圆．（ ）
（４）半径相等的两个半圆是等弧．
（ ） （５）长度相等的两条弧是等弧．
（ ）
（６）周长相等的圆是等圆．
（ ） （７）面积相等的圆是等圆．
（ ）
（8）优弧一定比劣弧长。
（
）
√
×
√
√
×
√
√
×
经过圆心
中心
圆心
轴
垂直于弦的
直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧
垂直
弦所对的两条弧
问题：你知道赵州桥吗?它是1300多年前我国隋代建造的石拱桥，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为37.4m, 拱高（弧的中点到弦的距离）为7.2m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？
通过本节课的学习,我们就会很容易解决这一问题．
探究：1．圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？你能找到多少条对称轴？
分析讨论：
圆是轴对称图形,它的对称轴是直径，我能找到
无数多条直径．
探究：
2．你是用什么方法解决上述问题的？与同伴进行交流．
分析讨论：
我是利用沿着圆的任意一条直径折叠的方法解决圆的对称轴问题的．
因此，我们可以得到：圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线。
探究：3．如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足为M．
（1）如图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？
（2）你能发现图中有哪些等量关系？说一说你理由。
分析讨论：
（1）是轴对称图形，其对称轴是CD．
（
（2）
AM=BM，AC=BC，AD=BD，即直径CD平分弦AB，
并且平分AB及ADB．
（
（
（
（
（
这样，我们就得到下面的定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。进一步，我们还可以得到结论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧
。
知识点一
垂径定理及其推论
C
A
5
知识点一
垂径定理及其推论
C
（6，0）
知识点二
垂径定理及推论的应用
解析：
答案：D.
例1:如图，AB是⊙的直径，弦CD⊥AB，垂足为M，下列结论不成立的是（
）
A.CM=DM
B.CB=BD
C.∠ACD=∠ADC
D.OM=MD
(
(
根据垂径定理得：CM=DM，CB=BD，AC=AD，由AC=AD得∠ACD=∠ADC，而OM=MD不一定成立。
(
(
D
解析：
例2:如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB于C．若AB=
，0C=1，则半径OB的长为________．
根据垂径定理“垂直于弦的直径平分弦，并且平方弦所对的两条弧”，可知
然后根据勾股定理，得
答案：2.
2
解析：
利用垂径定理，解题过程中可以使用列方程的方法.
例3:如图，一条公路的转弯处是一段圆弦（即图中CD，点O是
CD
的圆心，其中CD=600m，E为CD上一点，且OE⊥CD，垂足为F，EF=90m，求这段弯路的半径．
(
(
(
解：
如图，连接OC，设弯路的半径为R，则OF=（R-90）m
∵OE⊥CD
根据勾股定理，得：OC2=CF2+OF2,即R2=3002+(R-90)2
解得R=545,
∴这段弯路的半径为545m．
MP=RN
解：
提示：设半径为xm，
则（x-1）2+22=x2,
∴x=2.5.
解：
(1)当AB、CD在O点同侧时，如图①所示，过O作OM⊥AB于M，交CD于N，连接OA、OC.
∵AB∥CD，∴ON⊥CD于N
∵MN=OM-ON，∴MN=7cm.
(2)当AB、CD在O点异侧时，如图②所示，
由（1）可知OM=12cm,ON=5cm，MN=OM+ON，
∴MN=17cm.∴AB与CD间的距离是7cm或17cm.
问题：你知道赵州桥吗?它是1300多年前我国隋代建造的石拱桥，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为37.4m, 拱高（弧的中点到弦的距离）为7.2m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？
通过本节课的学习,我们就会很容易解决这一问题．
归纳本节课所学内容：
1.圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线.
2.垂直于弦的.直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.
3.平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.(共17张PPT)
24.1.3弧、弦、圆心角
了解圆心角的概念，掌握在同圆或等圆中，圆心角、弦、弧中有一个量的两个相等就可以推出其它两个量的相对应的两个值就相等，及其它们在解题中的应用.
重点：定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对弦也相等及其两个推论和它们的应用
.
难点：探索定理和推导及其应用
.
圆心
相等
相等
相等
观察折扇收拢和展开的动
画过程，哪些弧重合？哪些弦重合？哪些角重合？引出课题。
(1)如左下图所示，∠AOB的顶点在圆心，像这样顶点在圆心的角叫做圆心角．
(2)请同学们按下列要求作图并
回答问题：
如右上图所示的⊙O中，分别作相等
的圆心角∠AOB和∠A′OB′将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠A′OB′的位置,你能发现哪些等量关系?为什么？
∵半径OA与O’A’重合,且∠AOB=∠A’OB’
AB=A’B’,AB=A’B’
(
(
理由：
∵点A与点A′重合，点B与点B′重合
∴半径OB与OB’重合
因此,在同一个圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等．
在等圆中，相等的圆心角是否也有所对的弧相等，所对的弦相等呢？请同学们现在动手做一做．
∴AB=A’B’,AB=A’B’
(
(
∴AB与A’B’重合,弦AB与弦A’B’重合
(
(
(3)如图，在⊙O和⊙O’中,分别作相等的圆心角∠AOB和∠A’O’B’得到如图,滚动一个圆,使O与O’重合,固定圆心,将其中的一个圆旋转一个角度,使得OA与O’A’重合．
你能发现哪些等量关系？说一说你的理由？
我能发现:
AB=A’B’,AB=A’B’
(
(
因此,我们可以得到下面的定理:在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦也相等．
同样,还可以得到:在同圆或等圆中,如果两条弧相等,那么它们所对的圆心角相等,所对的弦也相等.在同圆或等圆中,如果两条弦相等,那么它们所对的圆心角相等,所对的弧也相等.
知识点一
弧、弦、圆心角之间关系
B
AC=AF
C
知识点一
弧、弦、圆心角之间关系
知识点二
弧、弦、圆心角之间关系应用
130°
120°
例1：下列说法正确的是（ ）
A．相等的圆心角所对的弧相等
B．在同圆中，等弧所对的圆心角相等
C．相等的弦所对的圆心到弦的距离相等
D．圆心到弦的距离相等，则弦相等
解析：
A,C,D三项一定注意前提“在同圆和等圆中”.否则,错误.
B
解：
A，C，D中没有强调在同圆和等圆中，故错误，只有B正确,故选B。
解析：
如图，在圆上截取弧DE=弧CD，再根据“根据三角形的三边关系”可解.
解：
如图，在圆上截取弧DE=弧CD，
则有：弧AB=弧CE，AB=CE
A、AB＞2CD
B、AB＜2CD
C、AB=2CD
D、无法比较
例2：如图所示,在⊙O中,AB=2CD，那么（
）
(
(
根据三角形的三边关系知，CD+DE=2CD＞CE=AB，
∴AB＜2CD．故选B
B
解析：
(1)要说明OE=OF，只要在直角三角形AOE和直角三角形COF中说明AE=CF，即说明AB=CD,因此,只要运用前面所讲的定理即可．
例3:如图,在⊙O中,AB、CD是两条弦,OE⊥AB,OF⊥CD,垂足分别为EF．
(1)如果∠AOB=∠COD，那么OE与OF的大小有什么关系？为什么？
(1)如果∠AOB=∠COD，那么OE=OF
解：
理由是：∵∠AOB=∠COD
∴AB=CD
∵OE⊥AB，OF⊥CD
又∵OA=OC
∴Rt△OAE≌Rt△OCF
∴OE=OF;
例3:如图,在⊙O中,AB、CD是两条弦,OE⊥AB,OF⊥CD,垂足分别为EF．
(2)如果OE=OF，那么AB与CD的大小有什么关系？AB与CD的大小有什么关系？为什么？∠AOB与∠COD呢？
(
(
解析：
(2)要∵OE=OF,∴在Rt△AOE和Rt△COF中,
又有AO=CO是半径,∴Rt△AOE≌Rt△COF,∴AE=CF,
∴AB=CD,又可运用上面的定理得到
解：
∵OA=OC，OE=OF,
∴Rt△OAE≌Rt△OCF,
∴AE=CF
AB=CD
(
(
(2)如果OE=OF，那么AB=CD，AB=CD，∠AOB=∠COD
(
(
又∵OE⊥AB，OF⊥CD,
∴AB=2AE，CD=2CF,∴AB=CD
∴AB=CD，∠AOB=∠COD
(
(
AB=CD
(
(
B
证明：
连接AF,∵四边形ABCD为平行四边形.
C
∴AD∥BC，
∴∠GAE=∠B，∠EAF=∠AFB.
又∵AB=AF，∴∠B=∠AFB.
∴∠GAE=∠EAF.
∴GE=EF.
(
(
本节课应掌握：
1．圆心角概念．
2．在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都部分相等，及其它们的应用．(共16张PPT)
24.1.4圆周角
1.了解圆周角与圆心角的关系．
2.掌握圆周角的性质和直径所对圆周角的特征．
3.能运用圆周角的性质解决问题．
重点：圆周角的定理、圆周角的定理的推导及运用.
难点：发现并论证圆周角定理
.
等圆
相等
圆心角
直径
等弧
直角
直径
圆内接多边形
多边形的外接圆
互补
1．什么叫圆心角？
2．圆心角、弦、弧之间有什么内在联系呢？
刚才讲的，顶点在圆心上的角，有一组等量的关系，如果顶点不在圆心上，它在其它的位置上？如在圆周上，是否还存在一些等量关系呢？这就是我们今天要探讨，要研究，要解决的问题．
探究1：观察∠ACB、∠ADB、∠AEB，这样的角有什么特点？
点C,D，E在什么位置？
分析讨论：
通过观察,我们可以发现像∠EAF、∠EBF、∠ECF这样的角，它们的顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．
归纳：
探究2：在圆上任取一个圆周角,观察圆心角顶点与圆周角的位置关系有几种情况?
共有三种情况:①圆心在圆
周角的一边上;
②圆心在圆周角的
内部;
③圆心在圆周角的外部.如图：
分析讨论：
在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半.
归纳：
同弧AB所对的圆周角与圆心角有什么关系？你能证明吗？
⌒
探究3：如图所示图中，∠AOB=180°则∠C1,
∠C2,
∠C3等于多少度呢？从中你发现了什么？
半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90的圆周角所对的弦是直径。圆内接四边形的对角互补。
归纳：
知识点一
圆周角定理
A
A
2
C
知识点二
圆周角定理推论及其应用
知识点三
圆内接四边形
B
B
例1：如图，△ABC内接于⊙O，OD⊥BC于D，∠A
=500
，则∠OCD的度数是（
）
A．40°
B．45°
C．50°
D．60°
解析：
连接OB,由垂径定理得弧CD等于弧BD,再由“同圆中
等弧所对的圆心角相等”得∠COD＝∠A＝50°，最后∠OCD=900-∠COD=900-500=400．
A
答案：
A.
解析：
例2：△ABC为⊙O的内接三角形，若∠AOC＝160°，则∠ABC的度数是(
)
A．80°
B．160°
C．100°
D．80°或100°
当点B在劣弧上时,
∠AB’C＝180°-∠ABC＝180°-80°＝100°.
所以∠ABC的度数是80°或100°．
答案：
D.
D
解析：
解：
故选C.
例3:如图，已知BD是⊙O的直径，点A、C在⊙O上，
AB=CD,∠AOB=60°,则∠BDC的度数是（
）
A.20°
B.25°
C.30°
D.40°
(
(
由BD是⊙O的直径，点A、C在⊙O上，
AB=CD，∠AOB=60°,利用在同圆或等圆中
同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对
的圆心角的一半，即可求得∠BDC的度数.
(
(
∵AB=CD，∠AOB=60°
(
(
C
D
144
证明：
∵CM⊥AB，∴OF∥CM，∠MCF=∠CFO.
∵OC=OF，∴∠FCN=∠CFO，
∴∠MCF=∠FCN，即CF平分∠MCN
(2)连接OM.∵OF∥CM，∴∠MOF=∠M，∠FON=∠MCN.
(1)连接OF.∵F点为AB的中点，
(
∴OF⊥AB，且AF=BF.
(
(
∵OC=OM,∴∠MCN=∠M,∴∠MOF=∠FON,∴FM=FN，
(
(
∵AF=BF（已证），∴AF-FM=BF-FN，AM=BN.
(
(
(
(
(
(
(
(
本节课应掌握：
1．圆周角的概念；
2．圆周角的定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都相等这条弧所对的圆心角的一半；
3．半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
4．应用圆周角的定理及其推导解决一些具体问题．
