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23.1
图形的旋转
第二十三章
旋转
第1课时
旋转的概念与性质
【学习目标】
1．掌握旋转的有关概念，理解旋转变换是图形的一种基本变换．
2．理解旋转的性质．
【学习重点】
旋转的基本性质．
【学习难点】
探索旋转的基本性质．
这些运动有什么共同的特点？
情境引入
旋转的概念
B
O
A
45
0
问题
观察下列图形的运动，它有什么特点？
观察与思考
钟表的指针在不停地转动，从12时到4时，时针转动了______度.
120°
把时针当成一个图形，那么它可以绕着中心固定点转动一定角度.
思考:怎样来定义这种图形变换？
风车风轮的每个叶片在风的吹动下转动到新的位置.
怎样来定义这种图形变换？
把叶片当成一个平面图形，那么它可以绕着平面内中心固定点转动一定角度.
在平面内，将一个图形绕一个定点按某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转.
O
P′
P
旋转中心
旋转角
对应点
旋转的定义
这个定点称为旋转中心.
转动的角称为旋转角.
转动的方向分为顺时针与逆时针.
如果图形上的点P经过旋转变为点P'，这两个点叫做这个旋转的对应点.
知识要点
例1.
三角形ABD经过旋转后到三角形ACE的位置.
(1)旋转中心是哪一点?
(2)旋转了多少度?顺时针还是逆时针？
(3)如果M是AB的中点,经过上述旋转后,点M转到什么位置?
A
B
C
E
M
.
解：(1)旋转中心是点A;
D
(2)旋转了60
°,逆时针;
(3)点M转到了AC的中点上.
典例精析
填一填：若叶片
A
绕
O
顺时针旋转到叶片
B，则旋转中心是______，旋转角是_________，旋转角等于____度，其中的对应点有_______、
_______、
_______、
_______、
_______、
_______
.
O
A
C
D
E
F
O
∠AOB
60
F与A
A与B
B与C
C与D
D与E
E与F
B
旋转中心
旋转角
旋转方向
必须明确
确定一次图形的旋转时,
温馨提示：①旋转的范围是“平面内”，其中“旋转中心，旋转方向，旋转角度”称之为旋转的三要素；②旋转变换同样属于全等变换.
归纳总结
A．30°
B．45°
C．90°
D．135°
例2
如图，点A、B、C、D都在方格纸的格点上，若△AOB绕点O按逆时针方向旋转到△COD的位置，则旋转的角度为( )
解析：对应点与旋转中心的连线的夹角，就是旋转角，由图可知，OB、OD是对应边，∠BOD是旋转角，所以，旋转角为90°.故选C.
C
旋转的性质
A
B
B′
A′
C
．
M′
M
．
．
．
．
45°
绕点C逆时针旋转45°.
△ABC是如何运动到△A′B′C的位置？
合作探究
旋转中心是点__________；
图中对应点有_______________________________________;
图中对应线段有_____________________________________.
每对对应线段的长度有怎样的关系？
图中旋转角等于________.
C
点A与点A′,点B与点B′,点M与点M′,点N与点N′
线段CA与CA′、CB与CB′、AB与A′B′
45°
相等
根据上图填空.
B'
A'
C'
A
B
C
O
线：
AO=A'O
，BO=B'O
，CO=C'O
角：∠AOA'=∠BOB'
=∠COC'
观察下图，你能得到什么结论？
D
E
A
B
F
C
O
1.对应点到旋转中心的距离相等;
2.两组对应点分别与旋转中心的连线所成的角相等.
旋转的性质
3.旋转中心是唯一不动的点.
4.旋转不改变图形的形状和大小.
知识要点
例3
如图，点E是正方形ABCD内一点，连接AE、BE、CE，将△ABE绕点B顺时针旋转90°到△CBE′的位置，若AE＝1，BE＝2，CE＝3则∠BE′C＝________度．
解析：连接EE′，
由旋转性质知BE＝BE′，∠EBE′＝90°，
∴∠BE'E=45°，
EE′
在△EE′C中，E′C＝1，EC＝3，
EE′
由勾股定理逆定理可知∠EE′C＝90°，
∴∠BE′C＝∠BE′E＋∠EE′C＝135°.
135
例4
如图，将等腰△ABC绕顶点B逆时针方向旋转α度到△A1BC1的位置，AB与A1C1相交于点D，AC与A1C1，BC1分别交于点E，F．
求证：△BCF≌△BA1D；
解析：根据等腰三角形的性质得到AB=BC，∠A=
∠C，由旋转的性质得到A1B=AB=BC，∠A1=∠A=
∠C，∠A1BD=∠CBC1，根据全等三角形的判定定理得到△BCF≌△BA1D；
证明：∵△ABC是等腰三角形，
∴AB=BC，∠A=∠C，
由旋转的性质，可得
A1B=AB=BC，∠A=∠A1=∠C，∠A1BD=
∠CBC1，
在△BCF与△BA1D中，
△BCF≌△BA1D；
1.下列现象中属于旋转的有(
)个
①地下水位逐年下降；②传送带的移动；③方向盘的转动；④水龙头开关的转动；⑤钟摆的运动；⑥荡秋千运动.
A.2
B.3
C.4
D.5
2.
下列说法正确的是(
)
A.旋转改变图形的形状和大小
B.平移改变图形的位置
C.
图形可以向某方向旋转一定距离
D.由平移得到的图形也一定可由旋转得到
B
C
当堂练习
A
B
C
D
E
3.如图，将Rt△ABC绕点A按顺时针方向旋转一定角度得Rt
△ADE,点B的对应点D恰好落在BC边上.若AC=
,
∠B=60
°，则CD的长为（
）
A.
0.5
B.
1.5
C.
D.
1
D
4.
△A
′
OB
′是△AOB绕点O按逆时针方向旋转得到的.已知∠AOB=20
°,
∠
A
′
OB
=24°，AB=3,OA=5,则A
′
B
′
=
,OA
′
=
,旋转角等于
.
3
5
44
°
5.△ABC绕点A旋转一定角度后得到△ADE，若BC=4，AC=3，则下列说法正确的是（
）
A.DE=3
B.AE=4
C.∠CAB是旋转角
D.∠CAE是旋转角
D
6.如图（1）中，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ACB和∠D都是直角，点C在AE上，△ABC绕着A点经过逆时针旋转后能够与△ADE重合，再将图（1）作为“基本图形”绕着A点经过逆时针旋转得到图（2）.两次旋转的角度分别为（
）
A.45°，90°
B.90°，45°
C.60°，30°
D.30°，60°
A
7.如图，△ADE可由△CAB旋转而成，点B的对应点是E，点A的对应点是D，在平面直角坐标系中，三点坐标为A（1,0）、B（3,0）、C（1,4）.
请找出旋转中心P的位置，并写出P的坐标.
A
B
O
C
D
E
x
y
P（3,2）
8.如图所示，AB是长为4的线段，且CD⊥AB于O.你能借助旋转的方法求出图中阴影部分的面积吗？说说你的做法.
O
A
B
C
D
旋转到同一个象限，构成四分之一个圆
将一个直角三角板绕30°角的顶点顺时针旋转，使一直角边与原斜边在同一条直线上(如图所示).你知道旋转角是多少吗？连结BB’，△ABB’有什么特征吗？
150°
拓展训练
旋转
定义
三要素：旋转中心，旋转方向和旋转角度
性质
旋转前后的图形全等；
对应点到旋转中心的距离相等;
对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角.
课堂小结
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23.1
图形的旋转
第二十三章
旋转
第2课时
旋转作图
人教版九年级数学上册
【学习目标】
1．掌握图形旋转的基本作图，能综合运用平移、轴对称、旋转设计图案．
2．能综合运用旋转性质解决有关代数，几何类问题．
【学习重点】
用旋转的有关知识画图．
【学习难点】
综合运用旋转性质解决有关代数，几何类问题．
A
B
C
D
E
F
G
H
K
L
M
N
回顾平移的特征
复习引入
O
F
︵
A
B
C
D
E
回顾旋转的特征
画一画：如图，画出线段
AB绕点A按顺时针方向旋转60°后的线段．
简单的旋转作图
作法：(1)如图，以AB为一边按顺时针方向画∠BAX，使得∠BAX=60°.
(2)在射线AX上取点C，使得AC=AB.线段AC为所求．
X
C
画出下图所示的四边形
ABCD
以
O为中心，
旋转角都为
60°的旋转图形．
A
B
C
D
O
B'
A'
C'
D'
试一试
①相同：都是一种运动；运动前后不改变图形的形状和大小.
B
A
C
O
②不同
图形变换
运动方向
运动量的衡量
平移
直线
移动一定距离
旋转
顺时针或逆时针
转动一定的角度
平移和旋转的异同：
拓展提升
例1
如图，E是正方形ABCD中CD边上任意一点，以点A为中心，把△ADE顺时针旋转90°，画出旋转后的图形.
作图关键－关键是确定点E的对应点E′
想一想：本题中作图的关键是什么？
A
B
C
D
E
典例精析
解：∵点A是旋转中心，∴它的
对应点是
.正方
形ABCD中，AD=AB，∠DAB=
，所以旋转后
重合.
设点E的对应点为E′.
∵△ADE
△ABE′
∴∠ABE′＝
＝
，
BE′＝
，
因此
.
A
B
C
D
E
E
′
点A
90
°
≌
∠ADE
90
°
DE
在CB的延长线上截取点E′,使BE
′=DE
则△ABE′为旋转后的图形.
答：延长CB,以点A为圆心，AE
的长为半径画弧,交CB的延长线于E'，连接AE',则△ABE'为旋转后的图形.
A
B
C
D
E
想一想：
还有其他方法确定点E的对应点E′吗？
（1）明确旋转三要素：
旋转中心、旋转方向和旋转角度.
旋转作图的基本步骤：
（2）找出关键点;
（3）作出关键点的对应点;
（4）作出新图形;
（5）写出结论.
方法归纳
D
E
B
F
C
A
考考你：
借助上图，如何确定它们的旋转中心位置？
答：找到两条对应点连线段的垂直平分线的交点.
A
B
O
练一练：下图为
4×4
的正方形网格，每个小正方形的边长均为
1，将
△OAB
绕点
O
逆时针旋转
90°，
你能画出△OAB
旋转后的图形
△O'A'B'吗？
A＇
B＇
例2.
怎样将甲图案变成乙图案？
甲
甲
乙
乙
A
B
B
A
可以先将甲图案绕图上的A点旋转，使得图案被“扶直”，然后，再沿AB方向将所得图案平移到B点位置，即可得到乙图案
还可以用什么方法把甲图案变成乙图案？
下图由四部分组成,每部分都包括两个小“十”字,红色部分能经过适当的旋转得到其他三部分吗?能经过平移吗?能经过轴对称吗?还有其他方式吗?
平移:
平移的方向
平移的距离
仅靠平移无法得到
议一议
旋转:
旋转中心
旋转角
旋转方向
O
下图由四部分组成,每部分都包括两个小”十”字,红色部分能经过适当的旋转得到其他三部分吗?能经过平移吗?能经过轴对称吗?还有其他方式吗?
整个图形可以看作是左边的两个小“十字”绕着图案的中心旋转3次，分别旋转90°、180°、270°前后图形组成的.
平移、
旋转相结合:
先平移
后旋转
下图由四部分组成,每部分都包括两个小“十”字,红色部分能经过适当的旋转得到其他三部分吗?能经过平移吗?能经过轴对称吗?还有其他方式吗?
O
整个图形可以看作是左边的两个小“十字”先通过一次平移成图形右侧的部分，然后左、右部分一起绕图形的中心旋转90°前后图形组成的.
轴对称:
下图由四部分组成,每部分都包括两个小”十”字,红色部分能经过适当的旋转得到其他三部分吗?能经过平移吗?能经过轴对称吗?还有其他方式吗?
直线EF与GH相交于图形的中心O，且互相垂直，先把左边的两个“十字”作关于EF的轴对称图形，然后作这两部分关于GH的轴对称图形，这样就可以得到整个图形.
E
F
G
H
O
对称轴?
如图，怎样将右边的图案变成左边的图案？
答：以右边图案的中心为旋转中心，将图案按逆时针方向旋转90°，然后平移，即可得到左边的图案.
说一说
1.选择不同的__________、不同的______旋转同一个图案,会出现不同的效果.
(1)两个旋转中，旋转中心不变,
______
改变了，产生了_______的旋转效果.
(2)两个旋转中,旋转角不变,__________改变了，
产生了_______的旋转效果.
a
o
o
旋转中心
旋转角
旋转角
不同
旋转中心
不同
合作探究
2.我们可以借助旋转可以设计出许多美丽的图案.
1.如图，四边形ABCD绕O点旋转后，顶点A的对应点为E，试确定B、C、D对应的点的位置，以及旋转后的四边形．
当堂练习
解：(1)连接OA、OB、OC、OD、OE；
(2)分别以OB、OC、OD为一边作∠BOF，
∠COG，
∠DOH，使∠BOF=
∠COG=
∠DOH=
∠AOE；
(3)分别在射线OF，OG，OH上，截取OF=OB，OG=OC，OH=OD；
(4)连接EF，FG，GH，HE，
四边形EFGH就是四边形ABCD绕O点旋转后的图形．
2.如图，正方形ABCD和正方形CDEF有公共边CD,请设计方案,使正方形ABCD旋转后能与正方形CDEF重合,你能写出几种方案?
A
B
C
D
E
F
·
O
解:
方案一：
把正方形ABCD绕点D顺时针旋转90°.
方案二：
把正方形ABCD绕点C
逆时针旋转90°.
方案三：
把正方形ABCD绕CD的
中点O旋转180°.
旋转的作图
作旋转图形
作图基本步骤五步
确定旋转中心
找两条对应点连线段的垂直平分线的交点
课堂小结
谢谢欣赏
