数学
二年级
教学内容：幻方
教学目标：
知识与技能
1.
幻方的认识。
2.
对每个九宫格计算出8个三数之和。
过程与方法
3.
对关系的认识，探究关系、灵巧地计算。
情感目标
1.
中国文化中的数学。
教学过程：
1.
故事引入
1.
先说夏禹治水的故事。
2.
（出示：图1夏禹与龟）师：在夏禹治水的时候，据说从洛水中浮起一只大
乌龟，背上有奇特的图案，后来人们就叫它为“洛书”，把背上有洛书的龟叫做洛书龟。
3.
（出示图：第2题的洛书）问：小朋友，你能猜猜龟背上的图案是什么意思
吗？
4.
师：对，就象我们已经学过的美丽的星座一样，龟背上的图案都是有不同的点数组成的，我们可以把点数的个数记在这样的方格中，这个方格就是——幻方，也叫做九宫格。（在叙述过程中逐步出示幻方的九宫格）
2.
幻方的认识
1.
师：幻方在古代文化中扮演了一个
重要的角色，那幻方上的数字有什么神奇的地方呢？请你们小组合作，一起观察这个幻方，去找一找答案。
2.
小组合作，探究
得出：所有行、列、对角线上的数和都是15。
师：每一行、每一列、每条对角线三个数字的和真的都是15吗？大家一起来算一算。
完成第83页的算一算
3.
小结：果然，幻方实际上，它就是1～9九个数排成的九宫格，它的行、列、对角线上每三个数的和都是15。
4.
练习：第3题
问：它们是幻方吗？请小朋友在脑中计算并将结果写入圆圈内。
1）
出示第84页上的第1幅图
2
7
6
9
5
1
4
3
8
师：我们可以利用幻方中行、列、对角线上的数和都是15。任何行。列，对角线中只要知道两个数字，我们就可以用15减去这两个数字之和求出第三个数字。
进一步探究幻方的特点
5.
师：背上有洛书的龟是很幸运的，它背上神秘莫测的图案已经破译，这只龟向皇帝夏禹透露，它的每个姐妹背上都有奇怪的符号。这些龟都是姐妹的龟背上行、列、对角线上数字之和都是15，但有些数字已经无法读出了，你们能不能帮帮龟姐妹们把数字正确地写出来呢？
2）
出示第2、第3幅图（竖）
6
7
2
6
1
8
1
5
9
7
5
3
8
3
4
2
9
4
师：在幻方中，行列对角线中，只有找到两个数字我们才能求出第三个数字。
师：小朋友已经帮助小乌龟找到了很多背上的秘密，袁老师把你们发现的还幻方都罗列出来了，请你们观察一下这些幻方，它们还有什么特点呢？
（
除了所有的行、列、对角线上的数字的和都是15，还有其它特点吗？请你们在去找一找。）
得出幻方的共性：①所有行、列、对角线上数和均为15；
②偶数位于角上，奇数在中间；
③5位于中心点；
④相对的两个端点和为10。
师小结
6.
练习：比一比，谁能帮小乌龟补得有好又多又快。
学生笔练
问：在填写时，你是怎样想的？
师：真聪明，由于中心点一定是5，所以可以先填中心点的数。
巩固练习
6
1
6
8
7
2
7
3
5
5
9
4
4
师：说说你这样填的理由。
7.
练习。建造一个属于你的幻方
3.
总结
小朋友，你们都很棒！古代人们需要很长时间才能
破译的洛书，你们在短短的一节课内解决了。数学王国里还有许多其它有趣的奥秘，你们想探索吗？幻
方
教学目标：
1、初步认识幻方，了解幻方的特征并能运用幻方的特征。
2、经历观察、分类、分析、比较等过程，探究与发现幻方的特征。
3、感受中国古代文化的博大精深。
教学重点：发现幻方的特征。
教学难点：运用幻方的特征，判断一个九宫格是不是幻方，填缺数。
教学过程：
一、情景导入
听说我们班的小朋友口算能力很强，今天我们先进行一场加法口算比赛，好不好？
1、认识九宫格。
看，今天要口算的一些数都住在一个特殊的格子中。(出示九宫格)为了正确计算，我们先来认识一下这个特殊的格子。
它叫什么呢？（九宫格）
为什么叫九宫格？（它有几行？几列？共有几格？）
小结：像这样的格子称为九宫格。因为它有三行、三列，共九格，所以成为九宫格。
2、计算比赛。
认识了九宫格，我们就要进行比赛了。看这个九宫格中住了这些数，就成了一张三行、三列的数表。现在我们怎样算呢？
示范：
(
)
4+5+8=17
2
3
8
9
5
1
4
7
6
(
)2+3+8=13
(
)9+5+1=15
(
)4+7+6=17
(15)
(15)
(15)
(
)2+5+6=13
即将每行、每列、每条对角线上的三个数加起来，算出它们的和，并分别填入对应的（
）内。明白了吗？
(2)小组比赛：
分组比赛。（每小组计算一张，算好了贴在黑板上，哪组又对又快。）
二、探究新知
1、分类，认识幻方。（将贴在黑板上的九宫格分成两类。）
2
9
4
7
5
3
6
1
8
6
7
2
1
5
9
8
3
4
8
1
6
3
5
7
4
9
2
4
3
8
9
5
1
2
7
6
3
10
5
8
6
4
7
2
9
9
2
7
4
6
8
5
10
3
6
7
4
1
5
9
8
3
2
1
2
3
4
6
5
8
7
9
16
2
3
13
5
11
10
8
9
7
6
12
4
14
15
1
（1）首次分类。（三阶、四阶）
（2）再次将三阶的分类。
每条线上三个数的和相等、和不相等两类。
像这样每行、每列、每条斜线上的几个数相加的和都相等的数表叫做幻方。（揭示课题）
试一试：判断是否幻方。(先判断黑板上的；再判断下面两个数表，要先计算，再判断）
4
11
6
9
7
5
8
3
10
9
7
4
1
5
6
8
3
2
（2）又一次分类。（和都是15的，和不是15的）
下面我们专门研究像上面和都是15的幻方的特征。
2、研究和是15的三阶幻方特征。
（1）观察思考：这些和是15的幻方有什么共同特征？
（都有1～9数字，而且不重复；5在中心；双数在四个角上，单数在每条边的中间；横行、竖列、斜线上三个数的和都是15。）
不重复：
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1、所有行、列、对角线上的数之和均为15；
2、双数位于角上，单数在中间；
3、5位于中心点，相对的两个端点数和为10。
（2）小结：和是15的幻方的特征。
（3）分析上述几副不是幻方的图，除了每条线上三个数的和不是15外，能否根据幻方的其他特征来说一说其他理由。
（4）快速判断是否幻方。
6
7
2
1
5
6
8
3
4
8
1
6
5
3
7
4
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2
9
1
6
3
5
7
4
8
2
9
2
7
4
6
8
5
10
3
（数重复）
（中心数不是5）
（一个角上的数是单数）（是幻方，和18）
（5）小结：之前的两个标准只能作为判断不是幻方，不能作为判断是幻方的标准，当一个九宫图符合这两个标准时，我们还要用“横行、竖列、斜线上三个数加起来和相等”这一标准来判断。和是18的幻方有什么特征，请大家课后去研究。
3、幻方的由来。
我们已经发现了和是15的幻方的规律，有趣吗？那你知道幻方是怎么来的吗？
结合媒体讲故事。在很久很久以前，有条洛河经常发大水，当时的皇帝夏禹带领人们去治水，有一次河水中突然浮起了一只大龟，龟背上有很奇特的图案，这就是洛书。后来人们发现洛书中的点子实际上就是1~9九个数字，也就是我们刚才一起研究的幻方。你看我们的祖先多了不起，那么早就发现了幻方的奇妙。
4、幻方特征的运用。
完成幻方（书上P84页，题2）
帮助这些洛龟的姐妹们，把它们背上的幻方修补完整。每人至少修补四只姐妹龟。
（1）独立完成
（2）同桌交流，选择一只乌龟，说说自己是怎么补完整这些数的。
（3）集体交流反馈
三、拓展
结合分类的四阶幻方进行。
看黑板上的四阶幻方。
（2）判断是否幻方。为什么？
（3）小结。
我们今天所研究的幻方主要是3阶幻方，其实在幻方这一大家族中除了这种3阶幻方，还有4阶、5阶、6阶等等幻方，他们也都有各自的特征和奥秘，这就要我们同学在今后的学习中，自己去学习去研究。
（4）质疑。
对于幻方，你还有什么问题？
四、思考：
1、按要求将2、3、4、5、6、7、8、9、10填入下列九宫格中，使它成为和全是18的幻方。
9
?
7
?
6
?
?
?
?
?
?
3
?
6
?
?
?
?
（1）补幻方。
（2）造不一样的幻方。
?
?
?
?
?
?
?
?
?
2、按要求将3、4、5、6、7、8、9、10、11填入下列九宫格中，使它成为和全是21的幻方。
?
?
?
?
?
?
?
?
?
板书设计：
幻
方
不重复：
1
2
3
4
5
6
7
8
9
不重复：
2
3
4
5
6
7
8
9
10
单
双
单
双
6
双
单
双
单9
横行、竖列、斜线上三个数的和都是15。
横行、竖列、斜线上三个数的和都是18。教学内容：幻方
（二年级数学第一学期）
教学目标：
1、
初步认识幻方。
2、
能够计算出每个九宫格中8个三数之和，能通过尝试，调整，寻找答案。
3、
能够探究关系，能灵巧计算。
教学重点：初步认识幻方
教学难点：根据幻方的填数规律，把一个幻方填完整。
教学内容：
1、
情境引入：
1、
观看动画片：夏禹治水。
师：大家觉得神奇吗？
洛书四个角的黑点表示几呢？白点呢？古人用黑点白点表示是有规律的，黑点表示什么数？白点？谁发现了？
今天啊，我们小朋友已经学习了用阿拉伯数字表示数，请把这个洛书用数字表示出来。（完成学习单1）
2、师：小朋友真了不起，我们个个都是考古学家，这个一个洛书居然被你们自己翻译过来了。你知道这个表格叫什么呢？九宫格是什么意思呀？
3、揭示课题：幻方
2、
探究新知：
1、
观察幻方
师：从这个幻方中，你获得了哪些数学信息？（同桌讨论）
幻方是由1—9九个数字组成的。
5在中间，四个角上都是双数。
2、
计算幻方
师：我们不光要用眼睛看，还要用灵巧的双手算一算，横行、竖行、斜行上三个数相加的和是多少？看看你可以发现什么？（计算幻方，单独反馈）
板书：幻方中横行，竖行，斜行三个数相加和都是15。
3、
观察小结
师：幻方中还有哪些刚才我们没发现的秘密呢？我们再来看一看。刚才我们在计算三个数连加时，哪几个数先加比较方便？再加中间的几就是15了？
5在中间，两端能凑成10。
4、
总结：幻方的秘密
（1）四个角上都是双数。
（2）5在中间，两端能凑成10。
（3）横行，竖行，斜行三个数相加和都是15。
3、
巩固练习：
1、
下面是幻方吗？（四人一组讨论）
（ ） （ ）
（ ）
（ ）
2、把图填完整。
师：大家看，洛水龟又来了，听！
（1）以第一个洛水龟为例，这个龟身上有五个空格，哪几个可以先填？你是怎么想的？（四人一组讨论）
为什么可以先填？因为三个数连加，知道了其中的两个数，求另一个数，可以用和去减。
(2)独立完成其余洛水龟
3、和全是15，填空。
6
3
四、课堂总结
五、知识拓展:欣赏《奇妙的幻方世界》幻方
教学内容：
二年级第一学期P83—85
教学目标：
通过认识幻方，激发学生学习数学的兴趣。
探索幻方的特征，知道幻方的内在规律，并能运用特征灵活地填出幻方中的缺数，初步培养学生逐步学会对知识的归纳和整理的能力，。
能够正确计算出每个九宫格中8组，三数之和。
教学重点：
初步认识幻方的特征。
教学难点：
根据幻方的特征灵活填写幻方中所缺少的数。
教学过程：
引入
1、由夏禹治水的故事引出龟背上神秘的图案，激发学生学习的兴趣。
今天我们这节数学课先来听一个小故事，喜欢吗？
2、你们想不想看看这只神奇的乌龟？它究竟神奇在哪儿？
今天这节课我们就来研究龟背上的神秘图案。
二、探究
1、填写九宫格。
要求学生仔细观察乌龟背上有几块，把九块转化成表格，每块上都有小圆点分别表示相应的数，每个数都有它对应的位置。
师生互动，老师根据学生观察和表述的内容，进行板书，完成九宫格。
（板书）
4
9
2
3
5
7
8
1
6
像这样有9个格子的正方形，称为“九宫格”。
横着的三格称为行，竖着的三格称为列，斜着的三格称为斜行。
（板书：行、列，斜行。）
赶快数数有几行、几列、几斜行？
2、探究幻方的基本特征之一。
（1）同桌合作，算一算，议一议，这些行、列、斜行之间有什么秘密？
（2）验证。
正如他们小组发现的那样和都是15
，我们就说它们的和都相等。
（板书：每行、每列、每斜行三个数的和都相等。）
小结：当九宫格中的9个数具备了这样的特征，我们就把它称为
“幻方”。
（出示课题：幻方）
（3）反馈
它是幻方吗？为什么？
4
3
8
9
5
1
2
7
6
学生汇报。
3、探究幻方的基本特征之二。（用1——9九个数组成的幻方的基本特征。）
它还有三个孪生兄弟，这四个龟兄弟除了具备每行、每列、每斜行的和相等之外，还有许多共同的秘密？
赶快和你的小伙伴找一找？（小组讨论。）
学生讨论：
老师根据学生汇报内容，边听汇报，边媒体演示。
归纳：
①
每个中心都是5。
②相对两个端点数和为10。
③都是1—9九个数，只不过转了一下。
④双数在四个角上，单数在每条边的中间。
小结：当用1——9九个数组成幻方时，四个角上都是（双数），每条边的中间都是（单数），中间一定是（5），相对两个端点数的和都是（10）。因此每行、每列、每斜行三个数的和都是15，也就是它们的和都相等。
三、巩固。
1、15秒抢名次的游戏，我们把1——9九个数填在九宫格里，用所发现的特征来判断它们是否是幻方。
（×）
（×）
2、集体反馈
。(手势表示)
（×）
（×）
（×）
（×）
（）
3、填幻方中的缺数。
（1）找出先填的空格，说说理由。
2
5
1
3
（2）书面练习。
4
2
5
6
7
2
4
（3）讨论。
5
9
8
2
拓宽。
1、我们会用每行、每列、每斜行三个数的和都相等的特征来判别是否是幻方，并在1——9组成的幻方上填缺少的数。是不是只有1——9这九个数能组成幻方，现在老师把6——14这九个数填在九宫格里，你有什么办法来判别它是不是幻方？两个人互议一下，算一算。
7
14
9
12
10
8
11
6
13
（）
2、找出躲起来的数。
总结。
世界上第一个从数学角度对幻方进行详尽研究的学者，就是我国南宋时期的数学家杨辉，他的发现比国外的数学家早了几千年。你们说中国人聪不聪明！有关幻方的知识还有很多，以后我们还要继续探究。
2
9
4
7
5
3
6
1
8
6
7
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1
5
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1
3
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2
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6
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3
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5
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7
2
4
1
2
3
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5
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1
8
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4
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3
6
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4
2
1
5
7幻
方
教学内容：沪教版九年制义务教育课本P83-84《数学广场——幻方》
教学目标：
初步认识幻方，了解幻和相等的一般特征，能准确运用特征判断幻方。
能根据数据特点，灵活推理空格中的数。
通过题组模块的建立，初步感受能组成幻方的9个数的数列特征。
渗透数学文化，感受数学的趣味和浸润。
教学重点：能根据数据特征，灵活推理空格中的数。
教学难点：通过题组模块的建立，初步感受能组成幻方的9个数的数列特征。
教学前准备：板书、课件、学习单。
教学过程：
引入
找规律填数：正确填出结果可以看看水中藏着的小动物。
1、2、3、4、
、
、
、
、
。
1、3、5、7、
、11、13、
、17。
0、2、4、6、8、
、12、14、16。
水中浮出洛书龟
同学们一定还记得在一年级时候学过一篇课文-----《三过家门而不入》，讲述的是夏禹治水的故事，相传那时洛水中浮出一只大龟，龟背上有奇特的图案，只要解开谜团，就能帮助大禹找到治水的方法，古人把它称为“洛书”。
认识幻方
将龟背上的图案转化成数字：龟背上的点分别表示几？
师：每行三个数，有这样的3行，我们称这样的表格叫做九宫格。横着三格的称为一行，竖着三格称为一列，斜着三格叫做对角线。
揭示课题：古人也将这个九宫格称为“幻方”，今天老师就要和同学们一起来探索“幻方”中数的填法。（板书：幻方）
新授
知道幻方中幻和相等的一般特征，并运用此特征巧求幻方中各数。
学生列式计算，发现幻和相等的特征。
幻方中有哪几个数，将它们从小到大排一排。（板书出示1-9个数字）
计算幻方每行、每列、对角线三数之和，你发现了什么小秘密？
板书：4+9+2=15
3+5+7=15
8+1+6=15
4+3+8=15
1+5+9=15
2+7+6=15
4+5+6=15
2+5+8=15
预设：每行、每列及两条对角线上三个数的和都相等，是15。
小结：我们称这个相等的和叫幻和。幻和相等是幻方特征之一。
（板书：幻和15）
观察中间四个算式，你有什么发现？
预设1：中间都有5.
预设2：
5左右两边的数合起来都是10.（齐读）
学生整理算式：谁能把这四个算式整理一下，有序排列。（板书移动）
1-9这9个数和四个算式有什么联系呢？
预设1：1-9首尾相加的和也是10，最后剩下了一个数5.
这四个算式在幻方中可以近似看作一个什么字呢？
“米”字。
小结：5左右的两个加数都在凑10，这四个算式在幻方上下、左右、对角线上构成了一个“米”字。
6
5
8
探索幻方的填法。
四人小组合作，尝试填写：这儿也有一个幻和为15的幻方，请尝试填写。
学生板演：说说你是怎么样想的？
师小结：我们可以优先用凑十法求出相对的数，再用减法求出剩余空格，这样可以减少计算的次数。
指名回答，板书交流。（被指名的学生带乌龟头饰增加趣味）
学生独立尝试填写幻方，展台快速核对结果。
3
4
9
2513
724
通过观察，感受幻方的归一性。
观察这些幻方，你有什么发现？
中间数都是5，幻和都是15.（板书：中间数5）
神龟把5作为中间数，你认为它聪明吗？为什么？
预设1：选5做中间数就可以很快首尾相加，凑出幻和相等的四个算式。
预设2：首尾相加后就剩下了5。
师：8个算式中已经猜中了4个相等的算式，那另外四个就简单多了。
2、4、6、8这四个数分别填在4个角；1、3、7、9夹在中间。
幻方的归一性:这些算式都差不多，只是转了转。
小结：虽然这8个幻方看似不同，但不少同学发现，他们只是转动了一下位置。其实，这些幻方都是由一个演变而来的。（媒体演示）它们都遗传了神龟的特征，都是神龟的兄弟姐妹！
了解了幻方的特征，请判断它们是不是幻方？
2
8
9
6
4
1
7
3
5
913457682
834159672
412357896
（重点解释第二张图，除了要看中间数5，还要满足幻和15）
小结：所以中间数和幻和是判断幻方的两个依据，缺一不可。
拓展巩固
除了1-9可以组成幻方，像1、3、5、7、9、11、13、15、17这样的数也可以组成幻方。
中间数可能是几？为什么？
中间数是9，因为首尾相加后，剩下9.
如果中间数是9，幻和是几？
首尾相加和是18，再加中间数就是18+9=27
15
1
9
17
出示表格，学生独立填写幻方并集体交流。
0、2、4、6、8、10、12、14、16，也能组成幻方，独立尝试填写。
中间数是（
），幻和是（
）
0
14
总结观察，发现规律。
1、2、3、4、5、6、7、8、9。
1、3、5、7、9、11、13、15、17。
0、2、4、6、8、10、12、14、16。
幻和和中间数中间有什么关系？
幻和是中间数的3倍。
这三组数都能排列成幻方，到底怎样的9个数就能组成幻方呢？
预设1：有规律的9个数。
预设2：每两个数之间差相等。
小结：我们称这样差相等的一组有规律的数，叫做等差数。9个等差数就能组成幻方，中间数的3倍就是这组数的幻和。
总结。
说说这节课你的收获。
夸夸你身边的数学小能手，谁是你的好榜样？
板书
幻方
判断依据：
1、2、3、4、5、6、7、8、9
幻和
15
中间数
5
4
9
2
3
5
7
8
1
6
副板书：
6
8
5
《数学广场——幻方》课堂学习单
班级（
）姓名（
）学号（
）
四人小组讨论，使幻和为15.
6
8
5
将1、2、3、4、5、6、7、8、9填入幻方，使幻和为15.
3
4
9
2513
724
将1、3、5、7、9、11、13、15、17填入幻方，使幻和相等.
中间数是9，幻和是（
）。
15
1
9
17
四、
0、2、4、6、8、10、12、14、16填如幻方，使幻和相等.
中间数是（
），幻和是（
）。
0
14
12
6
4+9+2=15
3+5+7=15
8+1+6=15
4+3+8=15
9+5+1=15
2+7+6=15
4+5+6=15
2+5+8=15
