降次——解一元二次方程
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红安县两道桥中学 鄢俊华
降次——解一元二次方程
一、教材分析
二、教学方法与教材处理
三、教学流程安排
四、教学过程
五、教学评价
一、教材分析
1 、教材的作用与地位
本节课是在学生已经掌握一元一次方程的解法以及平方根的意义的基础上，学习用直接开平方法解形如
的方程，本节课是配方法的基础，学习直接开平方法为后面学习配方法做好了铺垫，又能使学生体验到类比，转化，降次的数学思想和方法。
2、教学目标
（1）知识与技能: 会利用直接开方法解形如：
（2）数学思考: 通过实例让学生体会转化，降次，类比的数学
(3) 解决问题: 通过三种层次的方程
让学生学会运
用直接开方法解一元二次方程，并且在实例中让学
生理解方程的根在实际问题中的合理性。
（4）情感态度：通过运用直接开方法解一元二次方程，让学生认识
到“开方”即“降次”的思想，培养学生勇于探索的良
好学习习惯，感受解一元二次方程“降次”的基本思
想，激发学生学习的兴趣。
的方程
思想，提高思维理解能力。
3、教学重难点
教学重点：会解形如
的方程。
教学难点：把已知方程化成
的形式。
)
0
(
2
)
(
2
2
2
2
2
=
=
+
+
=
+
p
p
p
mnx
p
n
mx
n
x
m
x
为了突破重难点,我采取以下措施:
①根据学生接受能力在例题中补充一道过渡方程,降低学生理解 的难度.
②引导学生结合已学知识尝试解决新问题,达到启发新知的目的.
③通过探索交流引导学生题后小结出如何将方程化成能够利用直接开平方法求解的形式.
二、教学方法与教材处理
教法设计：
课标中指出数学是师生之间、学生之间交往互动共同发展的过程。教法的确定要符合学生实际，能够激发学生的求知欲和兴趣，引导学生积极开展思维活动，主动地获取新知。因此本课主要采用的是引导探索，启发交流的模式展开教学，让学生在探索的过程中构建知识，产生方法，形成技能。
教材处理：
为了让学生学会用直接开平方法解一元二次方程,根据由浅入深的安排的三类方程，即：
展开教学。因而在教学中，应注意循序渐进的教学原则让学生掌握直接开平方法的做法，并且理解降次的最终目的是把一元二次方程化成两个一元一次方程。
三、教学流程安排
活动1 以问题1引入，设置情境
活动2 以思考题合作探究，获得新知
活动3 练习反馈，巩固加强
活动4 知识回顾，总结提升
问题1
一桶某种油漆可刷的面积1500d ，李林用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗？
四、教学过程
问题与情境
【活动1】
㎡
活动1中选择以解决实际问题作为本课的开端，有益于培养学生的应用意识，通过实际问题的启发可以激发学生的探索欲。同时让学生经历从实际问题抽象出数学问题的过程，使学生体验数学建模思想，让学生在解决实际问题中学习一元二次方程的解法。
⑴设出未知数？并根据题目的等量关系列出方程？
设计的目的是让学生回顾列方程解应用题的一般步骤，问题1中的等量关系很清楚，学生通过阅读题意不难找出相等关系，再根据相等关系列出方程。在这里体现了让学生回顾旧知启发新知的目的。
⑵如何解这个方程？
解方程是本题中的重点，教师可引导学生把方程进行化简然后结合平方根的定义得出结论。
⑶方程的根都符合实际问题么？
我们学习数学的目的最终目的是要把数学知识应用到现实生活中去，对于方程的两个根我们必须把它与现实意义结合在一起进行思考，在理解了现实意义的基础上再对方程的根进行取舍就容易多了。
学生思考，发表意见,给出答案。
可以验证，5和－5是方程①的两根，但是棱长不能是负值，所以正方形的棱长为5dm。
（教师强调：方程①的根不一定全是问题1的解，但是问题1的解必须是方程①的根）
【活动2】
对照上面解方程①的过程，探索应怎样解方程 和 以及方程 ？
思考：
通过活动2进一步强化直接开方法。让学生在例题中体会解决一元二次方程的实质就是要降次，而“开方”即“降次”的思想。在问题的开始要求学生对照解方程①的过程是本环节的关键之处，在解方程①时我们主要是对照的是平方根的定义：一个数的平方等于一个非负数，要求这个数自然想到求这个数的平方根。在这一基础上学生会发现思考中出现的三类方程与方程①既有联系又有区别，联系在于这三个方程最后都可以化成一个数的平方的形式等于另一个数，但区别在于这三类方程中再并不是单独的一个数的平方了，而演变成一个整式的平方。应而在对照过程中要强调学生在思考的过程中要注意“整体”意识。
合作探究 获得新知
⑴方程 ② 如何解呢？
学生思考，教师引导学生回顾在解方程①时，由方程 =25得x=±5，由此容易想到：由方程
②
得
即
2 x-1= ， 2x-1=- ④
方程的两根为
= ， =
解这道方程的重点就体现了一个对照的过程。同时及时引导学生将前面解方程的经验进行拓展.
（教师主要要引导学生注意观察此方程与方程②的联系，学生经过观察就可以发现方程②的左边的完全平方式展开之后就是方程③的左边的这个二次三项式.学生发现这个特点后这个方程的解法就很自然的出来了。）
解答过程由学生自己完成
⑵你能由方程②的解法联想到怎
样解方程 吗？
这是为了降低本课的难度设计补充的一道过渡方程。学生通过观察很容易就能发现这个方程实际上就是方程②，只不过把方程②的左边的完全平方式展开了，观察清楚了这一点后，学生再解决这个方程就有据可寻，设计这个问题的同时也是为了解决方程⑤作个铺垫。
降次
解一元二次方程的思想
教师引导学生回顾上面解方程的过程归纳出解一元二次方程的实质就是要进行降次,最终把一元二次方程转化为两个一元一次方程求解.同时指出:
点明解一元二次方程的中心思想就是想方设法进行“降次”。让学生在解一元二次方程时明确方向,同时让学生形成一个技能——“开方即降次”。
⑶方程 如何解呢？
教师提出问题（3）
【学生在解决了问题（2）的基础上再看问题（3）的这个方程就容易多了。】
教师可以让学生结合上面解方程的过程给出问题（3）的解题过程。
方程 的左边是完全平方形式，这个方程可以化成 进行开方降次得到：
x+3=±
∴ = ﹣3 =﹣ ﹣3
有了解上面问题2中的方程经验再过渡到解方程⑤学生对照起来就更容易了，这样就降低了学生理解的难度，达到我们教学的目的。
【活动3】
练习反馈 巩固加强
1.运用本节课所学知识解下列方程。
（1） =6 (2) +1=5 (3) (4)
2.如果a,b为实数，满足 那么ab的值是多少？
3.解关于x的方程
为满足不同层次的学生的发展需求，在保证基本要求的同时，分层次进行练习巩固.同时也为下次课学习配方法埋下伏笔,如第一题中的第二小题就要求学生进行移项.
【活动4】
知识回顾，总结提升
围绕下面的两个问题，师生以谈话交流的形式，共同总结本节课的学习收获。
⑴你今天学习了什么方法解一元二次方程？
⑵今天所学的方法适用与那些类型的一元二次方程？
（教师结合学生的交流意见将本课重点进行归纳整理如下）
如果方程能化成
的形式，那么可得 或 .
问题
以上设计通过对这两个问题的思考引导学生回顾自己的学习过程，畅所欲言，加强理解，提炼及对知识的归纳能力。
布置作业
教科书 习题
必做题
选做题
通过必做题让成绩一般的同学吃饱，通过选做题让成绩好的同学吃好！
用直接开平方法解下列方程
⑴
⑵
⑶
五、教学评价
整个教学过程是建立在学生已学知识的基础上通过实例导入新课,利用三种类型的方程让学生学会用开平方法解一元二次方程.从解决问题的过程中提高学生综合运用知识的能力,充分发挥学生的主观能动性,充分体现学生自己动手,主动探索,合作交流的学习方式,真正体现新课程标准的教学理念---------体现学生的主体地位,教师的主导作用.
以上就是我对本节课的粗浅认识,感谢大家批评指正.
红安县两道桥中学 鄢俊华
降次——解一元二次方程
一、教材分析
二、教学方法与教材处理
三、教学流程安排
四、教学过程
五、教学评价
一、教材分析
1 、教材的作用与地位
本节课是在学生已经掌握一元一次方程的解法以及平方根的意义的基础上，学习用直接开平方法解形如
的方程，本节课是配方法的基础，学习直接开平方法为后面学习配方法做好了铺垫，又能使学生体验到类比，转化，降次的数学思想和方法。
2、教学目标
（1）知识与技能: 会利用直接开方法解形如：
（2）数学思考: 通过实例让学生体会转化，降次，类比的数学
(3) 解决问题: 通过三种层次的方程
让学生学会运
用直接开方法解一元二次方程，并且在实例中让学
生理解方程的根在实际问题中的合理性。
（4）情感态度：通过运用直接开方法解一元二次方程，让学生认识
到“开方”即“降次”的思想，培养学生勇于探索的良
好学习习惯，感受解一元二次方程“降次”的基本思
想，激发学生学习的兴趣。
的方程
思想，提高思维理解能力。
3、教学重难点
教学重点：会解形如
的方程。
教学难点：把已知方程化成
的形式。
)
0
(
2
)
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2
2
2
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=
+
+
=
+
p
p
p
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p
n
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为了突破重难点,我采取以下措施:
①根据学生接受能力在例题中补充一道过渡方程,降低学生理解 的难度.
②引导学生结合已学知识尝试解决新问题,达到启发新知的目的.
③通过探索交流引导学生题后小结出如何将方程化成能够利用直接开平方法求解的形式.
二、教学方法与教材处理
教法设计：
课标中指出数学是师生之间、学生之间交往互动共同发展的过程。教法的确定要符合学生实际，能够激发学生的求知欲和兴趣，引导学生积极开展思维活动，主动地获取新知。因此本课主要采用的是引导探索，启发交流的模式展开教学，让学生在探索的过程中构建知识，产生方法，形成技能。
教材处理：
为了让学生学会用直接开平方法解一元二次方程,根据由浅入深的安排的三类方程，即：
展开教学。因而在教学中，应注意循序渐进的教学原则让学生掌握直接开平方法的做法，并且理解降次的最终目的是把一元二次方程化成两个一元一次方程。
三、教学流程安排
活动1 以问题1引入，设置情境
活动2 以思考题合作探究，获得新知
活动3 练习反馈，巩固加强
活动4 知识回顾，总结提升
问题1
一桶某种油漆可刷的面积1500d ，李林用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗？
四、教学过程
问题与情境
【活动1】
㎡
活动1中选择以解决实际问题作为本课的开端，有益于培养学生的应用意识，通过实际问题的启发可以激发学生的探索欲。同时让学生经历从实际问题抽象出数学问题的过程，使学生体验数学建模思想，让学生在解决实际问题中学习一元二次方程的解法。
⑴设出未知数？并根据题目的等量关系列出方程？
设计的目的是让学生回顾列方程解应用题的一般步骤，问题1中的等量关系很清楚，学生通过阅读题意不难找出相等关系，再根据相等关系列出方程。在这里体现了让学生回顾旧知启发新知的目的。
⑵如何解这个方程？
解方程是本题中的重点，教师可引导学生把方程进行化简然后结合平方根的定义得出结论。
⑶方程的根都符合实际问题么？
我们学习数学的目的最终目的是要把数学知识应用到现实生活中去，对于方程的两个根我们必须把它与现实意义结合在一起进行思考，在理解了现实意义的基础上再对方程的根进行取舍就容易多了。
学生思考，发表意见,给出答案。
可以验证，5和－5是方程①的两根，但是棱长不能是负值，所以正方形的棱长为5dm。
（教师强调：方程①的根不一定全是问题1的解，但是问题1的解必须是方程①的根）
【活动2】
对照上面解方程①的过程，探索应怎样解方程 和 以及方程 ？
思考：
通过活动2进一步强化直接开方法。让学生在例题中体会解决一元二次方程的实质就是要降次，而“开方”即“降次”的思想。在问题的开始要求学生对照解方程①的过程是本环节的关键之处，在解方程①时我们主要是对照的是平方根的定义：一个数的平方等于一个非负数，要求这个数自然想到求这个数的平方根。在这一基础上学生会发现思考中出现的三类方程与方程①既有联系又有区别，联系在于这三个方程最后都可以化成一个数的平方的形式等于另一个数，但区别在于这三类方程中再并不是单独的一个数的平方了，而演变成一个整式的平方。应而在对照过程中要强调学生在思考的过程中要注意“整体”意识。
合作探究 获得新知
⑴方程 ② 如何解呢？
学生思考，教师引导学生回顾在解方程①时，由方程 =25得x=±5，由此容易想到：由方程
②
得
即
2 x-1= ， 2x-1=- ④
方程的两根为
= ， =
解这道方程的重点就体现了一个对照的过程。同时及时引导学生将前面解方程的经验进行拓展.
（教师主要要引导学生注意观察此方程与方程②的联系，学生经过观察就可以发现方程②的左边的完全平方式展开之后就是方程③的左边的这个二次三项式.学生发现这个特点后这个方程的解法就很自然的出来了。）
解答过程由学生自己完成
⑵你能由方程②的解法联想到怎
样解方程 吗？
这是为了降低本课的难度设计补充的一道过渡方程。学生通过观察很容易就能发现这个方程实际上就是方程②，只不过把方程②的左边的完全平方式展开了，观察清楚了这一点后，学生再解决这个方程就有据可寻，设计这个问题的同时也是为了解决方程⑤作个铺垫。
降次
解一元二次方程的思想
教师引导学生回顾上面解方程的过程归纳出解一元二次方程的实质就是要进行降次,最终把一元二次方程转化为两个一元一次方程求解.同时指出:
点明解一元二次方程的中心思想就是想方设法进行“降次”。让学生在解一元二次方程时明确方向,同时让学生形成一个技能——“开方即降次”。
⑶方程 如何解呢？
教师提出问题（3）
【学生在解决了问题（2）的基础上再看问题（3）的这个方程就容易多了。】
教师可以让学生结合上面解方程的过程给出问题（3）的解题过程。
方程 的左边是完全平方形式，这个方程可以化成 进行开方降次得到：
x+3=±
∴ = ﹣3 =﹣ ﹣3
有了解上面问题2中的方程经验再过渡到解方程⑤学生对照起来就更容易了，这样就降低了学生理解的难度，达到我们教学的目的。
【活动3】
练习反馈 巩固加强
1.运用本节课所学知识解下列方程。
（1） =6 (2) +1=5 (3) (4)
2.如果a,b为实数，满足 那么ab的值是多少？
3.解关于x的方程
为满足不同层次的学生的发展需求，在保证基本要求的同时，分层次进行练习巩固.同时也为下次课学习配方法埋下伏笔,如第一题中的第二小题就要求学生进行移项.
【活动4】
知识回顾，总结提升
围绕下面的两个问题，师生以谈话交流的形式，共同总结本节课的学习收获。
⑴你今天学习了什么方法解一元二次方程？
⑵今天所学的方法适用与那些类型的一元二次方程？
（教师结合学生的交流意见将本课重点进行归纳整理如下）
如果方程能化成
的形式，那么可得 或 .
问题
以上设计通过对这两个问题的思考引导学生回顾自己的学习过程，畅所欲言，加强理解，提炼及对知识的归纳能力。
布置作业
教科书 习题
必做题
选做题
通过必做题让成绩一般的同学吃饱，通过选做题让成绩好的同学吃好！
用直接开平方法解下列方程
⑴
⑵
⑶
五、教学评价
整个教学过程是建立在学生已学知识的基础上通过实例导入新课,利用三种类型的方程让学生学会用开平方法解一元二次方程.从解决问题的过程中提高学生综合运用知识的能力,充分发挥学生的主观能动性,充分体现学生自己动手,主动探索,合作交流的学习方式,真正体现新课程标准的教学理念---------体现学生的主体地位,教师的主导作用.
以上就是我对本节课的粗浅认识,感谢大家批评指正.
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