28.4垂径定理-冀教版九年级数学上册课件（33张）

(共43张PPT)
28.4
垂径定理
第二十八章
圆
冀教版九上
●
学
习
目
标
1.探究垂径定理及其推论.
2.会用垂径定理及其推论解决问题.
创设情境，引入新课
如图是某公园的一个圆拱形门，路面AB的宽为2米，净高CD为5米，则圆拱形门所在圆的半径是多少米？
A
B
C
D
创设情境，引入新课
A
B
C
D
●
O
小红：为什么AD等于AB的一半呢？
小明：呃......
你能帮小明证明吗？
小明：取圆心O，连接OA,设半径为x，则AO=x,
OD=5-x,由AB=2，得AD=
=1，在Rt△AOD中，由勾股定理可得:
解得x=2.6米.
新课学习
如图，在⊙O中，CD为直径，AB为弦，且CD⊥AB于点E.图中有哪些相等的量？写出并证明.
A
O
B
C
●
D
E
探究一：
相等的弧：AC=BC
AD=BD
相等的线段：AE=BE.
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新课学习
A
O
B
C
●
D
E
圆是轴对称图形，沿直径CD所在的直线折叠，两旁的部分会重合，则点A与点B重合，因此AE=BE,AD=BD,AC=BC.
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小美
新课学习
A
O
B
C
●
D
E
小红
连接OA,OB，则△AOB是等腰三角形，由三线合一可得，当CD⊥AB时,AE=BE,∠AOE=∠BOE,因此,AD=BD,半圆CAD与半圆CBD分别减去AD和BD,得到AC=BC..
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新课学习
A
O
B
C
●
D
E
一、垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧.
几何语言：
∵直径CD⊥AB
∴AE=BE
AD=BD,AC=BC.
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新课学习
A
O
B
C
●
D
E
解读垂径定理：
如果把垂径定理理解为一个故事
故事的场景发生在什么地方？
圆中
故事中的人物都有谁？
直径、弦、弧
故事中谁是主动者？做了什么？
直径
垂直于弦
出现了什么结果？
弦及弦所对的两条弧均被平分
巩固小练习
1.如图，在⊙O中，直径MN⊥AB于点C,则下列结论中不一定正确的是_____.
D
·
O
A
B
C
N
M
2.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，
OC=5cm,CD=8cm,则OE=______.
3
巩固小练习
B
A
C
D
O
●
E
新课学习
探究二
(1)如图，在⊙O中，直径CD与弦AB（非直径）相交于点E.
A
O
B
C
●
D
E
若AE=BE,则CD与AB垂直吗？AD=BD,AC=BC吗？
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连接OA,OB
由三线合一可知，CD⊥AB.
再由垂径定理可得AD=BD,AC=BC.
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平分弦（非直径）的直径垂直于弦，并平分弦所对的两条弧.
新课学习
探究二
(2)如图，在⊙O中，直径CD与弦AB（非直径）相交于点E.
A
O
B
C
●
D
E
若AD=BD,则AE=BE,CD⊥AB吗？
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连接OA,OB，由AD=BD
可推出∠AOD=∠BOD
由三线合一可知，
AE=BE,CD⊥AB.
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平分弧的直径垂直平分弧所对的弦.
在⊙O中，设直径CD与弦AB（非直径）相交于点E.若把AE=BE,CD⊥AB,AD=BD中的一项作为条件，则可得另外两项结论.
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结论
能去掉吗？
A
O
B
C
●
D
（E）
如图，当AB是直径时，CD平分AB，但CD与AB并不垂直.
不能
巩固小练习
下列命题：
①平分弦所对的两条弧的直线必垂直于弦；
②垂直于弦的直线平分弦；
③平分弦的直径平分弦所对的弧；
④与直径不垂直的弦不能被该直径平分；
⑤过一条弦所对的两条弧的中点的直线一定过圆心.
其中正确的是__________.
①⑤
例1.如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E,已知CD=16，OE=6，求⊙O的半径.
典例精析
B
A
C
D
O
●
E
解：连接OC
∵CD⊥AB
∴⊙O的半径为10.
AB=20
CD的长.
解：连接OC,
AO=10,CD=16
BE的长.
解：连接OC
∵CD⊥AB
∴BE=OB-OE=10-6=4
出现过圆心与弦垂直的线即可
例1.(变式一）如图，⊙O的半径为5，弦AB=6,求圆心O到弦CD的距离.
典例精析
B
A
O
●
解：过点O做OC⊥AB于点C,连接OA,
C
∴圆心O到弦CD的距离为4.
例1.(变式二）如图，CD为⊙O的直径，AB为弦,且AB⊥CD于点E.若ED=2，AB=8.求CD的长.
典例精析
解：连接OA,设⊙O的半径为r
∵AB⊥CD
解得，r=5
·
O
A
B
E
D
C
∴CD=2r=10
什么情况用方程？
直角三角形中只有一条边是已知的.
总结提升
利用垂径定理解决问题的基本图形
图中直角三角形的构成
B
A
C
O
●
斜边：
直角边：
半径
弦的一半
弦心距
在圆中求半径、弦长、弦心距最常用的方法
总结提升
利用垂径定理解决问题的基本图形
直角三角形中
B
A
C
O
●
已知两边
只知一边
用勾股定理直接求第三边
做弦心距、连半径是最常做的辅助线
需要用到勾股方程
典例精析
·
O
A
B
C
D
E
F
分析：已知中出现直径，从“直径所对的圆周角是直角”角度考虑.
例2.已知：如图，BC为⊙O的直径，BF为弦，A为BF的中点，AD⊥BC与点D,AD和BF相交于点E.求证：AE=BE.
⌒
典例精析
·
O
A
B
C
D
E
F
连接AB,AC
AB是⊙O的直径
∠ABC=90°
AD⊥BC
∠BAE=∠ACB
点A为BF的中点
⌒
ABE=∠ACB
ABE=∠BAE
AE=BE
构造直径所对的圆周角
典例精析
例2.已知：如图，BC为⊙O的直径，BF为弦，A为BF的中点，AD⊥BC与点D,AD和BF相交于点E.求证：AE=BE.
·
O
A
B
C
D
E
F
分析：已知中出现直径及垂直，从“垂径定理”角度考虑.
典例精析
·
O
A
B
C
D
E
F
M
延长AE与⊙O交于点M,连接AE
AD⊥BC
AB=MB
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⌒
AB=AF
⌒
⌒
ABE=∠BAE
AE=BE
补全垂径定理的基本图形，使问题更易于解决
点A为BF的中点
⌒
总结提升
已知条件中出现直径时，最常用到的知识点
1.直径所对的圆周角是直角.
2.垂径定理.
巩固练习
1.如图，在平面直角坐标系中，以点P为圆心的圆与x轴交于A,B两点，已知P（4,2）和A（2,0）.则点B的坐标是________.
y
x
P●
O
B
A
(6,0)
巩固练习
2.如图，OA为⊙O的半径，以OA为直径的⊙C与⊙O的弦AB相交与点D,求证：D为AB的中点.
·
·
D
O
C
B
A
答案：
连接OD
∵OA为⊙C的直径
∴OD⊥AB
∴AD=BD
即D为AB的中点
（直径所对的圆周角是直角）
（垂径定理）
提升小练习
A
B
C
（1）求BC的长度.
1.如图，△ABC是某住宅小区的一块三角形的绿化地.已知AB长为
m,∠B=45°,∠C的正切值为2.
M
BC=16+8=24
答案：
提升小练习
A
B
C
·
O
(2)若将绿化地改造为如图所示的⊙O,⊙O过A,C,并与BC交于点D,如果点A是优弧DAC的中点，求⊙O的半径.
D
1.如图，△ABC是某住宅小区的一块三角形的绿化地.已知AB长为
m,∠B=45°,∠C的正切值为2.
N
连接AO并延长交⊙O于点N.连接OC.
由点A是弧CAD的中点，得AN⊥BC.
r=10
答案：
提升小练习
2.如图，点P为弦AB上的一点，连接OP,过点P作PC⊥OP,PC交⊙O于C.若AP=8，PB=2，则PC的长是______.
·
O
A
B
C
P
4
D
答案：
延长CP交⊙O于点D,连接AD,BC,可得△PDA∽△PCB.
可计算出PC=4
提升小练习
3.如图，点P为⊙O内的一个定点，A为⊙O上的一个动点，射线AP,AO分别与⊙O交于B,C两点，若⊙O的半径为3，OP=
,则弦BC的最大值是______.
·
O
A
B
C
P
●
答案：
M
过点O作OM⊥AB于点M,则BC=2OM，因此当OM最大时，BC最大.
当点M与P重合时，OM=OP时,OM最大.
课堂小结
垂径定理
1.关于直径、弦（非直径）、弦所对的弧之间的关系.
常用辅助线
连半径
过圆心做弦的垂线
构造直角三角形
同学们再见