(共25张PPT)
第4课时
斜边、直角边
葫芦岛第六初级中学
如果这两个三角形都是直角三
角形，即∠B=∠E=90°，
且AC=DF，BC=EF，现在能
判定△ABC≌△DEF吗？
A
B
C
D
E
F
“斜边、直角边”
【作图探究】任意画出一个Rt△ABC,使∠C=90°.再画一个Rt△A
′B
′C
′，使∠C′=90
°,B′C′=BC,A
′B
′=AB,把画好的Rt△A′B′
C′
剪下来，放到Rt△ABC上，它们能重合吗？
A
B
C
画图思路
（1）先画∠M
C′
N=90°
A
B
C
M
C′
N
（2）在射线C′M上截取B′C′=BC
M
C′
A
B
C
N
B′
M
C′
画图思路
（3）以点B′为圆心，AB为半径画弧，交射线C′N于A′
M
C′
A
B
C
N
B′
A′
画图思路
（4）连接A′B′
M
C′
A
B
C
N
B′
A′
思考：通过上面的探究，你能得出什么结论？
画图思路
★“斜边、直角边”判定方法
▼文字语言：
斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（简写成“斜边、直角边”或“HL”）.
▼几何语言：
A
B
C
A
′
B′
C
′
在Rt△ABC和Rt△
A′B′C′
中，
∴Rt△ABC
≌
Rt△
A′B′C′
(HL).
“SSA”可以判定两个直角三角形全等，但是“边边”指的是斜边和一直角边，而“角”指的是直角.
AB=A′B′,
BC=B′C′,
判断满足下列条件的两个直角三角形是否全等，不全等的画“×”，全等的注明理由.
（1）一个锐角和这个角的对边对应相等.（
）
（2）一个锐角和这个角的邻边对应相等.（
）
（3）一个锐角和斜边对应相等.
（
）
（4）两直角边对应相等.
（
）
（5）一条直角边和斜边对应相等．
（
）
HL
×
SAS
AAS
AAS
判一判
如图，AC⊥BC，
BD⊥AD，
AC﹦BD，求证：BC﹦AD.
证明：
∵
AC⊥BC，
BD⊥AD，
∴∠C与∠D都是直角.
AB=BA,
AC=BD
，
在
Rt△ABC
和Rt△BAD
中，
∴
Rt△ABC≌Rt△BAD
(HL).
∴
BC﹦AD.
A
B
D
C
应用“HL”的前提条件是在直角三角形中.
这是应用“HL”判定方法的书写格式.
利用全等证明两条线段相等，这是常见的思路.
例1
【变式1】
如图，
∠ACB
=∠ADB=90，要证明△ABC≌
△BAD，还需一个什么条件？把这些条件都写出来，并在相应的括号内填写出判定它们全等的理由.
（1）
（
）
（2）
（
）
（3）
（
）
（4）
（
）
A
B
D
C
AD=BC
∠
DAB=
∠
CBA
BD=AC
∠
DBA=
∠
CAB
HL
HL
AAS
AAS
【变式2】如图，AC、BD相交于点P,AC⊥BC，BD⊥AD，垂足分别为C、D,AD=BC.求证：AC=BD.
HL
AC=BD
Rt△ABD≌Rt△BAC
【变式3】如图：AB⊥AD，CD⊥BC，AB=CD,判断AD和BC的位置关系.
HL
∠ADB=∠CBD
Rt△ABD≌Rt△CDB
AD∥BC
如图，已知AD、AF分别是两个钝角△ABC和△ABE的高，如果AD＝AF，AC＝AE.
求证：BC＝BE.
证明：∵AD、AF分别是两个钝角△ABC和△ABE的高，且AD＝AF，AC＝AE，
∴Rt△ADC≌Rt△AFE(HL)．
∴CD＝EF.
∵AD＝AF，AB＝AB，
∴Rt△ABD≌Rt△ABF(HL)．
∴BD＝BF.
∴BD－CD＝BF－EF.即BC＝BE.
例2
方法总结：证明线段相等可通过证明三角形全等解决，作为“HL”公理就是直角三角形独有的判定方法．所以直角三角形的判定方法最多，使用时应该抓住“直角”这个隐含的已知条件．
如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，两个滑梯的倾斜角∠B和∠F的大小有什么关系？
∴
Rt△ABC≌Rt△DEF
(HL).
解：在Rt△ABC和Rt△DEF中,
BC=EF，
AC=DF
，
∴∠B=∠DEF.
∵
∠DEF+∠F=90°，
∴∠B+∠F=90°.
例3
D
A
1.判断两个直角三角形全等的方法不正确的有（
）
A.两条直角边对应相等
B.斜边和一锐角对应相等
C.斜边和一条直角边对应相等
D.两个锐角对应相等
2.如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，CE⊥AB于点
E
，AD、CE交于点H，已知EH＝EB＝3，AE＝4，
则
CH的长为（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
4.如图，在△ABC中，已知BD⊥AC，CE
⊥AB，BD=CE.求证：△EBC≌△DCB.
A
B
C
E
D
证明：
∵
BD⊥AC，CE⊥AB，
∴∠BEC=∠BDC=90
°.
在
Rt△EBC
和Rt△DCB
中，
CE=BD,
BC=CB
.
∴
Rt△EBC≌Rt△DCB
(HL).
3.如图，△ABC中，AB=AC，AD是高，则△ADB与△ADC
（填“全等”或“不全等”），根据
（用简写法）.
全等
HL
A
F
C
E
D
B
5.如图，AB=CD,
BF⊥AC,DE⊥AC,AE=CF.
求证：BF=DE.
证明:
∵
BF⊥AC,DE⊥AC,
∴∠BFA=∠DEC=90
°.
∵AE=CF，
∴AE+EF=CF+EF.
即AF=CE.
在Rt△ABF和Rt△CDE中，
AB=CD,
AF=CE.
∴
Rt△ABF≌Rt△CDE(HL).
∴BF=DE.
【变式1】如图，AB=CD,
BF⊥AC,DE⊥AC,AE=CF.求证：BD平分EF.
A
F
C
E
D
B
G
AB=CD,
AF=CE.
Rt△ABF≌Rt△CDE(HL).
BF=DE
Rt△GBF≌Rt△GDE(AAS).
∠BFG=∠DEG
∠BGF=∠DGE
FG=EG
BD平分EF
【变式2】如图，AB=CD,
BF⊥AC,DE⊥AC,AE=CF.想想：BD平分EF吗?
C
AB=CD,
AF=CE.
Rt△ABF≌Rt△CDE(HL).
BF=DE
Rt△GBF≌Rt△GDE(AAS).
∠BFG=∠DEG
∠BGF=∠DGE
FG=EG
BD平分EF
【拓展】如图，有一直角三角形ABC，∠C＝90°，AC＝10cm，BC＝5cm，一条线段PQ＝AB，P、Q两点分别在AC上和过A点且垂直于AC的射线AQ上运动，问P点运动到AC上什么位置时△ABC才能和△APQ全等？
分析：本题要分情况讨论：(1)Rt△APQ≌Rt△CBA，此时AP＝BC＝5cm，可据此求出P点的位置．(2)Rt△QAP≌Rt△BCA，此时AP＝AC，P、C重合．
解：(1)当P运动到AP＝BC时，
∵∠C＝∠QAP＝90°.
在Rt△ABC与Rt△QPA中，
PQ＝AB，AP＝BC，
∴Rt△ABC≌Rt△QPA(HL)，
∴AP＝BC＝5cm.
(2)当P运动到与C点重合时，AP＝AC.
在Rt△ABC与Rt△QPA中，
PQ＝AB，AP＝AC，
∴Rt△QAP≌Rt△BCA(HL)，
∴AP＝AC＝10cm.
故当AP＝5cm或10cm时，△ABC才能和△APQ全等．
方法总结：判定三角形全等的关键是找对应边和对应角，由于本题没有说明全等三角形的对应边和对应角，因此要分类讨论，以免漏解．
“斜边、直角边”
内容
斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.
前提条件
在直角三角形中
使用方法
只须找除直角外的两个条件即可(共23张PPT)
第3课时
角边角、角角边
葫芦岛第六初级中学
“角边角”定理
如果已知一个三角形的两角及一边，那么有几种可能的情况呢？
A
B
C
A
B
C
“两角及夹边”
“两角和其中一角的对边”
它们能判定两个三角形全等吗？
先任意画出一个△ABC，再画一个△A
′
B
′
C
′
，
使A
′
B
′
=AB，
∠A
′
=∠A，
∠B
′
=∠B
(即使两角和它们的夹边对应相等).把画好的△A
′
B
′
C
′剪下，放到△ABC上，它们全等吗？
A
C
B
A
C
B
A′
B′
C′
E
D
作法：
（1）画A'B'=AB;
（2）在A‘B’的同旁画∠DA'B
'=∠A，∠EB'A
'=∠B，A'D、B'E相交于点C'.
想一想：从中你能发现什么规律？
★“角边角”判定方法
▼文字语言：
有两角和它们夹边对应相等的两个三角形全等(简写成“角边角”或“ASA”）.
▼几何语言：
∠A=∠A′
，
AB=A′
B′
，
∠B=∠B′
，
在△ABC和△A′
B′
C′中，
∴
△ABC≌△
A′
B′
C′
（ASA）.
A
B
C
A
′
B
′
C
′
已知：∠ABC＝∠DCB，∠ACB＝
∠DBC，
求证：△ABC≌△DCB．
∠ABC＝∠DCB，
BC＝CB（公共边），
∠ACB＝∠DBC，
证明：
在△ABC和△DCB中，
∴△ABC≌△DCB（ASA
）.
B
C
A
D
判定方法：两角和它们的夹边对应相等两个三角形全等．
例1
如图，点D在AB上，点E在AC上，AB=AC,
∠B=∠C,求证：AD=AE.
A
B
C
D
E
分析：证明△ACD≌△ABE,就可以得出AD=AE.
证明：在△ACD和△ABE中，
∠A=∠A，
AC=AB，
∠C=∠B
，
∴
△ACD≌△ABE（ASA)，
∴AD=AE.
例2
若三角形的两个内角分别是60°和45°，且45°所对的边为3cm，你能画出这个三角形吗?
60°
45°
用“角角边”判定三角形全等
60°
45°
思考：
这里的条件与1中的条件有什么相同点与不同点？你能将它转化为1中的条件吗？
75°
两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等.
简写成“角角边”或“AAS”.
∠A=∠A′，
∠B=∠B′
，
AC=A′C
′，
在△ABC和△A′B′C′中，
∴
△ABC≌△
A′
B′
C′
（AAS）.
A
B
C
A
′
B
′
C
′
在△ABC和△DEF中，∠A＝∠D，∠B＝
∠E，BC=EF.求证：△ABC≌△DEF．
证明：
在△ABC中，∠A+∠B+∠C＝180°.
∠B＝∠E，
BC＝EF，
∠C＝∠F.
∴△ABC≌△DEF（ASA
）.
∴
∠C＝180°－∠A－∠B.
同理
∠F＝180°－∠D－∠E.
又
∠A＝∠D，∠B＝
∠E,
∴
∠C＝∠F.
在△ABC和△DEF中，
例3
如图，已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E.
求证：(1)△BDA≌△AEC；
例4
证明：(1)∵BD⊥m，CE⊥m，∴∠ADB＝∠CEA＝90°，
∴∠ABD＋∠BAD＝90°.
∵AB⊥AC，
∴∠BAD＋∠CAE＝90°，
∠ABD＝∠CAE.
在△BDA和△AEC中，
∠ADB=∠CEA=90°，
∠ABD＝∠CAE,
AB＝AC，
∴△BDA≌△AEC(AAS).
(2)DE＝BD＋CE.
∴BD＝AE，AD＝CE，
∴DE＝DA＋AE＝BD＋CE.
证明：∵△BDA≌△AEC,
方法总结：利用全等三角形可以解决线段之间的关系，比如线段的相等关系、和差关系等，解决问题的关键是运用全等三角形的判定与性质进行线段之间的转化．
1.
△ABC和△DEF中，AB＝DE，∠B＝∠E，要使△ABC≌△DEF
，则下列补充的条件中错误的是（
）
A．AC＝DF
B．BC＝EF
C．∠A＝∠D
D．∠C＝∠F
2.
在△ABC与△A′B′C′中，已知∠A＝44°，∠B＝67°，∠C′＝69°
，∠A′＝44°，且AC＝A′C′，那么这两个三角形（
）
A．一定不全等
B．一定全等
C．不一定全等
D．以上都不对
A
B
3.
如图，已知∠ACB=∠DBC，∠ABC=∠CDB，判别下面的两个三角形是否全等，并说明理由.
不全等，因为BC虽然是公共边，但不是对应边.
A
B
C
D
A
B
C
D
E
F
4.如图∠ACB=∠DFE，BC=EF，那么应补充一个条件
，才能使△ABC≌△DEF
（写出一个即可）.
∠B=∠E
或∠A=∠D
或
AC=DF
（ASA）
（AAS）
（SAS）
AB=DE可以吗？
×
AB∥DE
5.已知：如图，
AB⊥BC，AD⊥DC，∠1=∠2,
求证：AB=AD.
A
C
D
B
1
2
证明：
∵
AB⊥BC，AD⊥DC，
∴
∠
B=∠D=90
°.
在△ABC和△ADC中，
∠1=∠2
，
∠
B=∠D，
AC=AC
，
∴
△ABC≌△ADC（AAS)，
∴AB=AD.
【学以致用】如图,小明不慎将一块三角形模具打碎为三块,他是否可以只带其中的一块碎片到商店去,就能配一块与原来一样的三角形模具?
如果可以,带哪块去合适?你能说明其中理由吗?
3
2
1
答：带1去，因为有两角且夹边相等的两个三角形全等.
【拓展】已知：如图，△ABC
≌△A′B′C′
，AD、A′
D′
分别是△ABC
和△A′B′C′的高.试说明AD＝
A′D′
，并用一句话说出你的发现.
A
B
C
D
A
′
B
′
C
′
D
′
解：因为△ABC
≌△A′B′C′
，
所以AB=A'B'，∠ABD=∠A'B'D'.
因为AD⊥BC，A'D'⊥B'C'，所以∠ADB=∠A'D'B'.
在△ABD和△A'B'D'中，
∠ADB=∠A'D'B'，∠ABD=∠A'B'D'，AB=AB，
所以△ABD≌△A'B'D'.所以AD=A'D'.
发现：全等三角形对应边上的高也相等.
A
B
C
D
A
′
B
′
C
′
D
′
边角边
角角边
内容
应用
为证明线段和角相等
提供了新的证法
注意
注意“角角边”“角边角”中两角与边的区别
课堂总结
