北师大版九年级数学下册第三章 圆 单元测试题（Word版 含解析）
文档属性
| 名称 | 北师大版九年级数学下册第三章 圆 单元测试题（Word版 含解析） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 314.8KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2020-09-21 23:19:05 | ||
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文档简介
北师大版九年级数学下册第三章
圆
单元测试题
一．选择题
1．A、B、C分别表示三个村庄，AB＝1700米，BC＝800米，AC＝1500米，某社区拟建一个文化活动中心，要求这三个村庄到活动中心的距离相等，则活动中心P的位置应在（ ）
A．AB的中点
B．BC的中点
C．AC的中点
D．∠C的平分线与AB的交点
2．如图，⊙O中，若OA⊥BC、∠AOB＝66°，则∠ADC的度数为（ ）
A．33°
B．56°
C．57°
D．66°
3．如图，AB是直径，C、D为圆上的点，已知∠D为30°，则∠CAB的度数为（ ）
A．45°
B．50°
C．55°
D．60°
4．如图所示，四边形ABCD是圆O的内接四边形，∠A＝45°，BC＝4，CD＝2，则弦BD的长为（ ）
A．2
B．3
C．
D．2
5．如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，点C，D在直径AB的两侧．若∠AOC：∠AOD：∠DOB＝2：7：11，CD＝4，则的长为（ ）
A．2π
B．4π
C．
D．π
6．设边长为a的等边三角形的高、内切圆的半径、外接圆的半径分别为h、r、R，则下列结论不正确的是（ ）
A．h＝R+r
B．R＝2r
C．r＝a
D．R＝a
7．如图，四边形ABCD内接于⊙O，连接BD．若，∠BDC＝50°，则∠ADC的度数是（ ）
A．125°
B．130°
C．135°
D．140°
8．如图，△ABC内接于⊙O，∠A＝50°．E是边BC的中点，连接OE并延长，交⊙O于点D，连接BD，则∠D的大小为（ ）
A．55°
B．65°
C．60°
D．75°
9．如图，在⊙O中，AB为直径，∠AOC＝80°．点D为弦AC的中点，点E为上任意一点．则∠CED的大小可能是（ ）
A．10°
B．20°
C．30°
D．40°
10．如图，已知⊙O的半径为10，A、B是⊙O上的两点，∠AOB＝90°，C是射线OB上一个动点，连结AC并延长交⊙O于点D，过点D作DE⊥OD交OB的延长线于点E．当∠A从30°增大到60°时，弦AD在圆内扫过的面积是（ ）
A．
B．
C．
D．
二、填空题
11．如图，点A、B、C在⊙O上，∠ACB＝54°，则∠ABO的度数是
12．如图，A，B，C都是⊙O上的点，OC与AB交于点E，过点B且与⊙O相切的直线与AC的延长线交于点D．∠BAC＝45°，∠D＝75°，则∠AEC的大小为
13．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB＝BC，∠BAC＝30°，AD是直径，AD＝8，则AC的长为
14．如图，在半径为2的⊙O中，半径OC垂直弦AB，D为⊙O上的点，∠ADC＝30°，则AB的长是
15．如图，PA、PB切⊙O于A、B两点，连接OP交AB于点C，交弧AB于点D，∠APB＝70°，点Q为优弧AmB上一点，OQ∥PB，则∠OQA的大小为 ．
16．如图，半径为2cm的⊙O与边长为2cm的正方形ABCD的边AB相切于E，点F为正方形的中心，直线OE过F点．当正方形ABCD沿直线OF以每秒（2﹣）cm的速度向左运动 秒时，⊙O与正方形重叠部分的面积为（π﹣）cm2．
三．解答题
17．如图，已知锐角△ABC的外心为O，线段OA和BC的中点分别为点M，N．若∠ABC＝4∠OMN，∠ACB＝6∠OMN．求∠OMN的大小．
18．如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，AB＝10，AC＝6，连结OC，弦AD分别交OC，BC于点E，F，其中点E是AD的中点．
（1）求证：∠CAD＝∠CBA．
（2）求OE的长．
19．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，点O在AB上，以点O为圆心，OA为半径的圆恰好经过点D，分别交AC、AB于点E．F．
（1）试判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若BD＝2，BF＝2，求⊙O的半径．
20．如图，已知直线PA交⊙O于A、B两点，AE是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，且AC平分∠PAE，过C作CD⊥PA，垂足为D．
（1）求证：CD为⊙O的切线；
（2）若CD＝2AD，⊙O的直径为20，求线段AC、AB的长．
21．如图，点C在以AB为直径的⊙O上，BD平分∠ABC交⊙O于点D，过D作BC的垂线，垂足为E．
（1）求证：DE与⊙O相切；
（2）若AB＝5，BE＝4，求BD的长；
（3）请用线段AB、BE表示CE的长，并说明理由．
22．如图①，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，AD平分∠CAB，AD与BC交于点F，过点D作DE⊥AB于点E．
（1）求证：BC＝2DE；
（2）如图②，连接OF，若∠AFO＝45°，半径为2时，求AC的长．
23．如图，已知以Rt△ABC的边AB为直径作△ABC的外接圆⊙O，∠B的平分线BE交AC于D，交⊙O于E，过E作EF∥AC交BA的延长线于F．
（1）求证：EF是⊙O切线；
（2）若AB＝15，EF＝10，求AE的长．
参考答案
一．选择题
1．A、B、C分别表示三个村庄，AB＝1700米，BC＝800米，AC＝1500米，某社区拟建一个文化活动中心，要求这三个村庄到活动中心的距离相等，则活动中心P的位置应在（ ）
A．AB的中点
B．BC的中点
C．AC的中点
D．∠C的平分线与AB的交点
【解答】解：∵AB＝1700米，BC＝800米，AC＝1500米，
∴BC2+AC2＝AB2，
∴∠C＝90°，
根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出活动中心P的位置应为斜边AB的中点，
故选：A．
2．如图，⊙O中，若OA⊥BC、∠AOB＝66°，则∠ADC的度数为（ ）
A．33°
B．56°
C．57°
D．66°
【解答】解：如图，连接OC，OB．
∵OA⊥BC，
∴＝，
∴∠AOC＝∠AOB＝66°，
∴∠ADC＝∠AOC＝33°，
故选：A．
3．如图，AB是直径，C、D为圆上的点，已知∠D为30°，则∠CAB的度数为（ ）
A．45°
B．50°
C．55°
D．60°
【解答】解：∵∠D＝30°，圆周角∠D和∠B都与相对，
∴∠B＝∠D＝30°，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠CAB＝180°﹣∠B﹣∠ACB＝180°﹣30°﹣90°＝60°，
故选：D．
4．如图所示，四边形ABCD是圆O的内接四边形，∠A＝45°，BC＝4，CD＝2，则弦BD的长为（ ）
A．2
B．3
C．
D．2
【解答】解：如图，过点D作DE⊥BC交BC的延长线于E．
∵∠A+∠BCD＝180°，∠A＝45°，
∴∠BCD＝135°，
∴∠DCE＝45°，
∵∠E＝90°，CD＝2，
∴CE＝ED＝2，BE＝CE+BC＝6，
在Rt△BED中，∵∠E＝90°，BE＝6，DE＝2，
∴BD＝＝＝2，
故选：D．
5．如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，点C，D在直径AB的两侧．若∠AOC：∠AOD：∠DOB＝2：7：11，CD＝4，则的长为（ ）
A．2π
B．4π
C．
D．π
【解答】解：∵∠AOC：∠AOD：∠DOB＝2：7：11，∠AOD+∠DOB＝180°，
∴∠AOD＝×180°＝70°，∠DOB＝110°，∠COA＝20°，
∴∠COD＝∠COA+∠AOD＝90°，
∵OD＝OC，CD＝4，
∴2OD2＝42，
∴OD＝2，
∴的长是＝＝，
故选：D．
6．设边长为a的等边三角形的高、内切圆的半径、外接圆的半径分别为h、r、R，则下列结论不正确的是（ ）
A．h＝R+r
B．R＝2r
C．r＝a
D．R＝a
【解答】解：如图，∵△ABC是等边三角形，
∴△ABC的内切圆和外接圆是同心圆，圆心为O，
设OE＝r，AO＝R，AD＝h，
∴h＝R+r，故A正确；
∵AD⊥BC，
∴∠DAC＝∠BAC＝×60°＝30°，
在Rt△AOE中，
∴R＝2r，故B正确；
∵OD＝OE＝r，
∵AB＝AC＝BC＝a，
∴AE＝AC＝a，
∴（a）2+r2＝（2r）2，（a）2+（R）2＝R2，
∴r＝，R＝a，故C错误，D正确；
故选：C．
7．如图，四边形ABCD内接于⊙O，连接BD．若，∠BDC＝50°，则∠ADC的度数是（ ）
A．125°
B．130°
C．135°
D．140°
【解答】解：连接OA，OB，OC，
∵∠BDC＝50°，
∴∠BOC＝2∠BDC＝100°，
∵，
∴∠BOC＝∠AOC＝100°，
∴∠ABC＝∠AOC＝50°，
∴∠ADC＝180°﹣∠ABC＝130°．
故选：B．
8．如图，△ABC内接于⊙O，∠A＝50°．E是边BC的中点，连接OE并延长，交⊙O于点D，连接BD，则∠D的大小为（ ）
A．55°
B．65°
C．60°
D．75°
【解答】解：连接CD，
∵∠A＝50°，
∴∠CDB＝180°﹣∠A＝130°，
∵E是边BC的中点，
∴OD⊥BC，
∴BD＝CD，
∴∠ODB＝∠ODC＝BDC＝65°，
故选：B．
9．如图，在⊙O中，AB为直径，∠AOC＝80°．点D为弦AC的中点，点E为上任意一点．则∠CED的大小可能是（ ）
A．10°
B．20°
C．30°
D．40°
【解答】解：连接OD、OE，
∵OC＝OA，
∴△OAC是等腰三角形，
∵点D为弦AC的中点，
∴∠DOC＝40°，∠BOC＝100°，
设∠BOE＝x，则∠COE＝100°﹣x，∠DOE＝100°﹣x+40°，
∵OC＝OE，∠COE＝100°﹣x，
∴∠OEC＝∠OCE＝40°+x，
∵OD＜OE，∠DOE＝100°﹣x+40°＝140°﹣x，
∴∠OED＜20°+x，
∴∠CED＝∠OEC﹣∠OED＞（40°+x）﹣（20°+x）＝20°，
∵∠CED＜∠ABC＝40°，
∴20°＜∠CED＜40°
故选：C．
10．如图，已知⊙O的半径为10，A、B是⊙O上的两点，∠AOB＝90°，C是射线OB上一个动点，连结AC并延长交⊙O于点D，过点D作DE⊥OD交OB的延长线于点E．当∠A从30°增大到60°时，弦AD在圆内扫过的面积是（ ）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：过点D作AO的垂线，交AO的延长线于F．
当∠A＝30°时，∠DOF＝60°，DF＝OD?sin60°＝10×＝5，
S弓形ABD＝﹣×10×5＝π﹣25，
当∠A＝60°时，
过点D'作D'F⊥OA于F'，连接OD'，
∠D'OF'＝60°，D'F'＝5，
S弓形ABD'＝﹣×10×5＝π﹣25，
∴S＝π﹣25﹣（π﹣25）＝π．
故选：B．
二、填空题
11．如图，点A、B、C在⊙O上，∠ACB＝54°，则∠ABO的度数是
【解答】解：∵∠ACB＝54°，
∴圆心角∠AOB＝2∠ACB＝108°，
∵OB＝OA，
∴∠ABO＝∠BAO＝（180°﹣∠AOB）＝36°，
12．如图，A，B，C都是⊙O上的点，OC与AB交于点E，过点B且与⊙O相切的直线与AC的延长线交于点D．∠BAC＝45°，∠D＝75°，则∠AEC的大小为
【解答】解：∵∠BAC＝45°，∠D＝75°，
∴∠ABD＝180°﹣45°﹣75°＝60°，
连接OB，
∵BD是⊙O的切线，
∴∠OBD＝90°，
∵∠BAC＝45°，
∴∠BOC＝90°，
∴∠BOC+∠OBD＝180°，
∴OC∥BD，
∴∠AEC＝∠ABD＝60°，
13．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB＝BC，∠BAC＝30°，AD是直径，AD＝8，则AC的长为
【解答】解：连接CD，
∵AB＝BC，∠BAC＝30°，
∴∠ACB＝∠BAC＝30°，
∴∠B＝180°﹣30°﹣30°＝120°，
∴∠D＝180°﹣∠B＝60°，
∵AD是直径，
∴∠ACD＝90°，
∵∠CAD＝30°，AD＝8，
∴CD＝AD＝4，
∴AC＝＝＝4，
14．如图，在半径为2的⊙O中，半径OC垂直弦AB，D为⊙O上的点，∠ADC＝30°，则AB的长是
【解答】解：设半径OC⊥弦AB于点E，
∴＝，
∴∠D＝∠BOC＝30°，
∴∠BOC＝60°，
∵OB＝2，
∴AE＝EB＝OB?sin60°＝，
∴AB＝2AE＝2，
15．如图，PA、PB切⊙O于A、B两点，连接OP交AB于点C，交弧AB于点D，∠APB＝70°，点Q为优弧AmB上一点，OQ∥PB，则∠OQA的大小为 ．
【解答】解：如图，连接OA．
∵PA，PB是⊙O的切线，
∴∠OPB＝∠OPA＝∠APB＝35°，PA⊥OA，
∴∠OAP＝90°，
∴∠POA＝90°﹣35°＝55°，
∵OQ∥PB，
∴∠POQ＝180°﹣∠OPB＝145°，
∴AOQ＝360°﹣145°﹣55°＝160°，
∵OQ＝OA，
∴∠OQA＝∠OAQ＝（180°﹣∠AOQ）＝10°，
故答案为10°．
16．如图，半径为2cm的⊙O与边长为2cm的正方形ABCD的边AB相切于E，点F为正方形的中心，直线OE过F点．当正方形ABCD沿直线OF以每秒（2﹣）cm的速度向左运动 秒时，⊙O与正方形重叠部分的面积为（π﹣）cm2．
【解答】解：如图1中，当点A，B落在⊙O上时，⊙O与正方形重叠部分的面积为（π﹣）cm2
此时，运动时间t＝（2﹣）÷（2﹣）＝1（秒）
如图2中，当点C，D落在⊙O上时，⊙O与正方形重叠部分的面积为（π﹣）cm2
此时，运动时间t＝[4+2﹣（2﹣）]÷（2﹣）＝（11+6）（秒），
综上所述，满足条件的t的值为1秒或（11+6）秒．
故答案为1或（11+6）．
三．解答题
17．如图，已知锐角△ABC的外心为O，线段OA和BC的中点分别为点M，N．若∠ABC＝4∠OMN，∠ACB＝6∠OMN．求∠OMN的大小．
【解答】解：连接OC．设∠OMN＝x，则∠ABC＝4x，∠ACB＝6x；
∴∠NOC＝180°﹣10x，∠AOC＝8x，
∴∠ONM＝180°﹣（180°﹣10x+8x+x）＝x，
∴△MON为等腰三角形，
∴；
∴∠OBN＝30°，
∴180°﹣10x＝60°，
∴x＝12°．
18．如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，AB＝10，AC＝6，连结OC，弦AD分别交OC，BC于点E，F，其中点E是AD的中点．
（1）求证：∠CAD＝∠CBA．
（2）求OE的长．
【解答】（1）证明：∵AE＝DE，OC是半径，
∴＝，
∴∠CAD＝∠CBA．
（2）解：∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∵AE＝DE，
∴OC⊥AD，
∴∠AEC＝90°，
∴∠AEC＝∠ACB，
∴△AEC∽△BCA，
∴＝，
∴＝，
∴CE＝3.6，
∵OC＝AB＝5，
∴OE＝OC﹣EC＝5﹣3.6＝1.4．
19．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，点O在AB上，以点O为圆心，OA为半径的圆恰好经过点D，分别交AC、AB于点E．F．
（1）试判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若BD＝2，BF＝2，求⊙O的半径．
【解答】解：（1）线BC与⊙O的位置关系是相切，
理由是：连接OD，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA，
∵AD平分∠CAB，
∴∠OAD＝∠CAD，
∴∠ODA＝∠CAD，
∴OD∥AC，
∵∠C＝90°，
∴∠ODB＝90°，即OD⊥BC，
∵OD为半径，
∴线BC与⊙O的位置关系是相切；
（2）设⊙O的半径为R，
则OD＝OF＝R，
在Rt△BDO中，由勾股定理得：OB2＝BD2+OD2，
即（R+2）2＝（2）2+R2，
解得：R＝4，
即⊙O的半径是4．
20．如图，已知直线PA交⊙O于A、B两点，AE是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，且AC平分∠PAE，过C作CD⊥PA，垂足为D．
（1）求证：CD为⊙O的切线；
（2）若CD＝2AD，⊙O的直径为20，求线段AC、AB的长．
【解答】证明：（1）连接OC．
∵点C在⊙O上，OA＝OC，
∴∠OCA＝∠OAC，
∵CD⊥PA，
∴∠CDA＝90°，
∴∠CAD+∠DCA＝90°，
∵AC平分∠PAE，
∴∠DAC＝∠CAO，
∴∠DCO＝∠DCA+∠ACO＝∠DCA+∠DAC＝90°，
∴CD是⊙O切线．
（2）作OF⊥AB于F，
∴∠OCD＝∠CDF＝∠OFD＝90°，
∴四边形CDFO是矩形，
∴OC＝FD，OF＝CD，
∵CD＝2AD，设AD＝x，则OF＝CD＝2x，
∵DF＝OC＝10，
∴AF＝10﹣x，
在Rt△AOF中，AF2+OF2＝OA2，
∴（10﹣x）2+（2x）2＝102，
解得x＝4或0（舍弃），
∴AD＝4，AF＝6，AC＝4，
∵OF⊥AB，
∴AB＝2AF＝12．
21．如图，点C在以AB为直径的⊙O上，BD平分∠ABC交⊙O于点D，过D作BC的垂线，垂足为E．
（1）求证：DE与⊙O相切；
（2）若AB＝5，BE＝4，求BD的长；
（3）请用线段AB、BE表示CE的长，并说明理由．
【解答】（1）证明：连接OD，
∵OD＝OB，
∴∠ODB＝∠OBD，
∵BD平分∠ABC，
∴∠OBD＝∠CBD，
∴∠ODB＝∠CBD，
∴OD∥BE，
∵BE⊥DE，
∴OD⊥DE，
∴DE与⊙O相切；
（2）解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵BE⊥DE，
∴∠ADB＝∠BED＝90°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠OBD＝∠CBD，
∴△ABD∽△DBE，
∴，
∴＝，
∴BD＝2；
（3）解：结论CE＝AB﹣BE，
理由：过D作DH⊥AB于H，
∵BD平分∠ABC，DE⊥BE，
∴DH＝DE，
在Rt△BED与Rt△BHD中，，
∴Rt△BED≌Rt△BHD（HL），
∴BH＝BE，
∵∠DCE＝∠A，∠DHA＝∠DEC＝90°，
∴△ADH≌△CDE（AAS），
∴AH＝CE，
∵AB＝AH+BH，
∴AB＝BE+CE，
∴CE＝AB﹣BE．
22．如图①，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，AD平分∠CAB，AD与BC交于点F，过点D作DE⊥AB于点E．
（1）求证：BC＝2DE；
（2）如图②，连接OF，若∠AFO＝45°，半径为2时，求AC的长．
【解答】（1）证明：如图①中，延长DE交⊙O于G，连接AG．
∵AB⊥DG，AB是直径，
∴＝，DE＝EG，
∵AD平分∠CAB，
∴∠CAD＝∠DAB，
∴＝，
∴＝，
∴BC＝DG＝2DE．
（2）解：如图②中，作FR⊥AB于R，OS⊥AD于S．
∵AD平分∠CAB，FC⊥AC，FR⊥AB，
∴∠CAD＝∠BAD＝x，FC＝FR，
∴∠FBO＝90°﹣2x，
∵∠AFO＝45°，
∴∠FOB＝45°+x，
∴∠OFB＝180°﹣（90°﹣2x）﹣（45°+x）＝45°+x，
∴∠FOB＝∠OFB
∴BF＝BO＝OA，
∵∠FRB＝∠ACB＝90°，∠FBR＝∠ABC，
∴△BFR∽△BAC，
∴＝＝，
∴AC＝2FR＝2FC，
∴tan∠FAR＝tan∠FAC＝，
设SO＝t，AS＝2t，SF＝SO＝t，
则t2+4t2＝4，
∵t＞0，
∴t＝，
∴AF＝3t＝，设CF＝m，则AC＝2m，
则有5m2＝，
∵m＞0，
∴m＝，
∴AC＝2m＝．
23．如图，已知以Rt△ABC的边AB为直径作△ABC的外接圆⊙O，∠B的平分线BE交AC于D，交⊙O于E，过E作EF∥AC交BA的延长线于F．
（1）求证：EF是⊙O切线；
（2）若AB＝15，EF＝10，求AE的长．
【解答】（1）证明：连接OE，
∵∠B的平分线BE交AC于D，
∴∠CBE＝∠ABE．
∵EF∥AC，
∴∠CAE＝∠FEA．
∵∠OBE＝∠OEB，∠CBE＝∠CAE，
∴∠FEA＝∠OEB．
∵∠AEB＝90°，
∴∠FEO＝90°．
∴EF是⊙O切线．
（2）解：在△FEA与△FBE中，
∵∠F＝∠F，∠FEA＝∠FBE，
∴△FEA∽△FBE，
∴＝＝，
∴AF?BF＝EF?EF，
∴AF×（AF+15）＝10×10，
解得AF＝5．
∴BF＝20．
∴＝，
∴BE＝2AE，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠AEB＝90°，
∴AE2+BE2＝152，
∴AE2+（2AE）2＝225，
∴AE＝3．
圆
单元测试题
一．选择题
1．A、B、C分别表示三个村庄，AB＝1700米，BC＝800米，AC＝1500米，某社区拟建一个文化活动中心，要求这三个村庄到活动中心的距离相等，则活动中心P的位置应在（ ）
A．AB的中点
B．BC的中点
C．AC的中点
D．∠C的平分线与AB的交点
2．如图，⊙O中，若OA⊥BC、∠AOB＝66°，则∠ADC的度数为（ ）
A．33°
B．56°
C．57°
D．66°
3．如图，AB是直径，C、D为圆上的点，已知∠D为30°，则∠CAB的度数为（ ）
A．45°
B．50°
C．55°
D．60°
4．如图所示，四边形ABCD是圆O的内接四边形，∠A＝45°，BC＝4，CD＝2，则弦BD的长为（ ）
A．2
B．3
C．
D．2
5．如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，点C，D在直径AB的两侧．若∠AOC：∠AOD：∠DOB＝2：7：11，CD＝4，则的长为（ ）
A．2π
B．4π
C．
D．π
6．设边长为a的等边三角形的高、内切圆的半径、外接圆的半径分别为h、r、R，则下列结论不正确的是（ ）
A．h＝R+r
B．R＝2r
C．r＝a
D．R＝a
7．如图，四边形ABCD内接于⊙O，连接BD．若，∠BDC＝50°，则∠ADC的度数是（ ）
A．125°
B．130°
C．135°
D．140°
8．如图，△ABC内接于⊙O，∠A＝50°．E是边BC的中点，连接OE并延长，交⊙O于点D，连接BD，则∠D的大小为（ ）
A．55°
B．65°
C．60°
D．75°
9．如图，在⊙O中，AB为直径，∠AOC＝80°．点D为弦AC的中点，点E为上任意一点．则∠CED的大小可能是（ ）
A．10°
B．20°
C．30°
D．40°
10．如图，已知⊙O的半径为10，A、B是⊙O上的两点，∠AOB＝90°，C是射线OB上一个动点，连结AC并延长交⊙O于点D，过点D作DE⊥OD交OB的延长线于点E．当∠A从30°增大到60°时，弦AD在圆内扫过的面积是（ ）
A．
B．
C．
D．
二、填空题
11．如图，点A、B、C在⊙O上，∠ACB＝54°，则∠ABO的度数是
12．如图，A，B，C都是⊙O上的点，OC与AB交于点E，过点B且与⊙O相切的直线与AC的延长线交于点D．∠BAC＝45°，∠D＝75°，则∠AEC的大小为
13．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB＝BC，∠BAC＝30°，AD是直径，AD＝8，则AC的长为
14．如图，在半径为2的⊙O中，半径OC垂直弦AB，D为⊙O上的点，∠ADC＝30°，则AB的长是
15．如图，PA、PB切⊙O于A、B两点，连接OP交AB于点C，交弧AB于点D，∠APB＝70°，点Q为优弧AmB上一点，OQ∥PB，则∠OQA的大小为 ．
16．如图，半径为2cm的⊙O与边长为2cm的正方形ABCD的边AB相切于E，点F为正方形的中心，直线OE过F点．当正方形ABCD沿直线OF以每秒（2﹣）cm的速度向左运动 秒时，⊙O与正方形重叠部分的面积为（π﹣）cm2．
三．解答题
17．如图，已知锐角△ABC的外心为O，线段OA和BC的中点分别为点M，N．若∠ABC＝4∠OMN，∠ACB＝6∠OMN．求∠OMN的大小．
18．如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，AB＝10，AC＝6，连结OC，弦AD分别交OC，BC于点E，F，其中点E是AD的中点．
（1）求证：∠CAD＝∠CBA．
（2）求OE的长．
19．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，点O在AB上，以点O为圆心，OA为半径的圆恰好经过点D，分别交AC、AB于点E．F．
（1）试判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若BD＝2，BF＝2，求⊙O的半径．
20．如图，已知直线PA交⊙O于A、B两点，AE是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，且AC平分∠PAE，过C作CD⊥PA，垂足为D．
（1）求证：CD为⊙O的切线；
（2）若CD＝2AD，⊙O的直径为20，求线段AC、AB的长．
21．如图，点C在以AB为直径的⊙O上，BD平分∠ABC交⊙O于点D，过D作BC的垂线，垂足为E．
（1）求证：DE与⊙O相切；
（2）若AB＝5，BE＝4，求BD的长；
（3）请用线段AB、BE表示CE的长，并说明理由．
22．如图①，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，AD平分∠CAB，AD与BC交于点F，过点D作DE⊥AB于点E．
（1）求证：BC＝2DE；
（2）如图②，连接OF，若∠AFO＝45°，半径为2时，求AC的长．
23．如图，已知以Rt△ABC的边AB为直径作△ABC的外接圆⊙O，∠B的平分线BE交AC于D，交⊙O于E，过E作EF∥AC交BA的延长线于F．
（1）求证：EF是⊙O切线；
（2）若AB＝15，EF＝10，求AE的长．
参考答案
一．选择题
1．A、B、C分别表示三个村庄，AB＝1700米，BC＝800米，AC＝1500米，某社区拟建一个文化活动中心，要求这三个村庄到活动中心的距离相等，则活动中心P的位置应在（ ）
A．AB的中点
B．BC的中点
C．AC的中点
D．∠C的平分线与AB的交点
【解答】解：∵AB＝1700米，BC＝800米，AC＝1500米，
∴BC2+AC2＝AB2，
∴∠C＝90°，
根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出活动中心P的位置应为斜边AB的中点，
故选：A．
2．如图，⊙O中，若OA⊥BC、∠AOB＝66°，则∠ADC的度数为（ ）
A．33°
B．56°
C．57°
D．66°
【解答】解：如图，连接OC，OB．
∵OA⊥BC，
∴＝，
∴∠AOC＝∠AOB＝66°，
∴∠ADC＝∠AOC＝33°，
故选：A．
3．如图，AB是直径，C、D为圆上的点，已知∠D为30°，则∠CAB的度数为（ ）
A．45°
B．50°
C．55°
D．60°
【解答】解：∵∠D＝30°，圆周角∠D和∠B都与相对，
∴∠B＝∠D＝30°，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠CAB＝180°﹣∠B﹣∠ACB＝180°﹣30°﹣90°＝60°，
故选：D．
4．如图所示，四边形ABCD是圆O的内接四边形，∠A＝45°，BC＝4，CD＝2，则弦BD的长为（ ）
A．2
B．3
C．
D．2
【解答】解：如图，过点D作DE⊥BC交BC的延长线于E．
∵∠A+∠BCD＝180°，∠A＝45°，
∴∠BCD＝135°，
∴∠DCE＝45°，
∵∠E＝90°，CD＝2，
∴CE＝ED＝2，BE＝CE+BC＝6，
在Rt△BED中，∵∠E＝90°，BE＝6，DE＝2，
∴BD＝＝＝2，
故选：D．
5．如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，点C，D在直径AB的两侧．若∠AOC：∠AOD：∠DOB＝2：7：11，CD＝4，则的长为（ ）
A．2π
B．4π
C．
D．π
【解答】解：∵∠AOC：∠AOD：∠DOB＝2：7：11，∠AOD+∠DOB＝180°，
∴∠AOD＝×180°＝70°，∠DOB＝110°，∠COA＝20°，
∴∠COD＝∠COA+∠AOD＝90°，
∵OD＝OC，CD＝4，
∴2OD2＝42，
∴OD＝2，
∴的长是＝＝，
故选：D．
6．设边长为a的等边三角形的高、内切圆的半径、外接圆的半径分别为h、r、R，则下列结论不正确的是（ ）
A．h＝R+r
B．R＝2r
C．r＝a
D．R＝a
【解答】解：如图，∵△ABC是等边三角形，
∴△ABC的内切圆和外接圆是同心圆，圆心为O，
设OE＝r，AO＝R，AD＝h，
∴h＝R+r，故A正确；
∵AD⊥BC，
∴∠DAC＝∠BAC＝×60°＝30°，
在Rt△AOE中，
∴R＝2r，故B正确；
∵OD＝OE＝r，
∵AB＝AC＝BC＝a，
∴AE＝AC＝a，
∴（a）2+r2＝（2r）2，（a）2+（R）2＝R2，
∴r＝，R＝a，故C错误，D正确；
故选：C．
7．如图，四边形ABCD内接于⊙O，连接BD．若，∠BDC＝50°，则∠ADC的度数是（ ）
A．125°
B．130°
C．135°
D．140°
【解答】解：连接OA，OB，OC，
∵∠BDC＝50°，
∴∠BOC＝2∠BDC＝100°，
∵，
∴∠BOC＝∠AOC＝100°，
∴∠ABC＝∠AOC＝50°，
∴∠ADC＝180°﹣∠ABC＝130°．
故选：B．
8．如图，△ABC内接于⊙O，∠A＝50°．E是边BC的中点，连接OE并延长，交⊙O于点D，连接BD，则∠D的大小为（ ）
A．55°
B．65°
C．60°
D．75°
【解答】解：连接CD，
∵∠A＝50°，
∴∠CDB＝180°﹣∠A＝130°，
∵E是边BC的中点，
∴OD⊥BC，
∴BD＝CD，
∴∠ODB＝∠ODC＝BDC＝65°，
故选：B．
9．如图，在⊙O中，AB为直径，∠AOC＝80°．点D为弦AC的中点，点E为上任意一点．则∠CED的大小可能是（ ）
A．10°
B．20°
C．30°
D．40°
【解答】解：连接OD、OE，
∵OC＝OA，
∴△OAC是等腰三角形，
∵点D为弦AC的中点，
∴∠DOC＝40°，∠BOC＝100°，
设∠BOE＝x，则∠COE＝100°﹣x，∠DOE＝100°﹣x+40°，
∵OC＝OE，∠COE＝100°﹣x，
∴∠OEC＝∠OCE＝40°+x，
∵OD＜OE，∠DOE＝100°﹣x+40°＝140°﹣x，
∴∠OED＜20°+x，
∴∠CED＝∠OEC﹣∠OED＞（40°+x）﹣（20°+x）＝20°，
∵∠CED＜∠ABC＝40°，
∴20°＜∠CED＜40°
故选：C．
10．如图，已知⊙O的半径为10，A、B是⊙O上的两点，∠AOB＝90°，C是射线OB上一个动点，连结AC并延长交⊙O于点D，过点D作DE⊥OD交OB的延长线于点E．当∠A从30°增大到60°时，弦AD在圆内扫过的面积是（ ）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：过点D作AO的垂线，交AO的延长线于F．
当∠A＝30°时，∠DOF＝60°，DF＝OD?sin60°＝10×＝5，
S弓形ABD＝﹣×10×5＝π﹣25，
当∠A＝60°时，
过点D'作D'F⊥OA于F'，连接OD'，
∠D'OF'＝60°，D'F'＝5，
S弓形ABD'＝﹣×10×5＝π﹣25，
∴S＝π﹣25﹣（π﹣25）＝π．
故选：B．
二、填空题
11．如图，点A、B、C在⊙O上，∠ACB＝54°，则∠ABO的度数是
【解答】解：∵∠ACB＝54°，
∴圆心角∠AOB＝2∠ACB＝108°，
∵OB＝OA，
∴∠ABO＝∠BAO＝（180°﹣∠AOB）＝36°，
12．如图，A，B，C都是⊙O上的点，OC与AB交于点E，过点B且与⊙O相切的直线与AC的延长线交于点D．∠BAC＝45°，∠D＝75°，则∠AEC的大小为
【解答】解：∵∠BAC＝45°，∠D＝75°，
∴∠ABD＝180°﹣45°﹣75°＝60°，
连接OB，
∵BD是⊙O的切线，
∴∠OBD＝90°，
∵∠BAC＝45°，
∴∠BOC＝90°，
∴∠BOC+∠OBD＝180°，
∴OC∥BD，
∴∠AEC＝∠ABD＝60°，
13．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB＝BC，∠BAC＝30°，AD是直径，AD＝8，则AC的长为
【解答】解：连接CD，
∵AB＝BC，∠BAC＝30°，
∴∠ACB＝∠BAC＝30°，
∴∠B＝180°﹣30°﹣30°＝120°，
∴∠D＝180°﹣∠B＝60°，
∵AD是直径，
∴∠ACD＝90°，
∵∠CAD＝30°，AD＝8，
∴CD＝AD＝4，
∴AC＝＝＝4，
14．如图，在半径为2的⊙O中，半径OC垂直弦AB，D为⊙O上的点，∠ADC＝30°，则AB的长是
【解答】解：设半径OC⊥弦AB于点E，
∴＝，
∴∠D＝∠BOC＝30°，
∴∠BOC＝60°，
∵OB＝2，
∴AE＝EB＝OB?sin60°＝，
∴AB＝2AE＝2，
15．如图，PA、PB切⊙O于A、B两点，连接OP交AB于点C，交弧AB于点D，∠APB＝70°，点Q为优弧AmB上一点，OQ∥PB，则∠OQA的大小为 ．
【解答】解：如图，连接OA．
∵PA，PB是⊙O的切线，
∴∠OPB＝∠OPA＝∠APB＝35°，PA⊥OA，
∴∠OAP＝90°，
∴∠POA＝90°﹣35°＝55°，
∵OQ∥PB，
∴∠POQ＝180°﹣∠OPB＝145°，
∴AOQ＝360°﹣145°﹣55°＝160°，
∵OQ＝OA，
∴∠OQA＝∠OAQ＝（180°﹣∠AOQ）＝10°，
故答案为10°．
16．如图，半径为2cm的⊙O与边长为2cm的正方形ABCD的边AB相切于E，点F为正方形的中心，直线OE过F点．当正方形ABCD沿直线OF以每秒（2﹣）cm的速度向左运动 秒时，⊙O与正方形重叠部分的面积为（π﹣）cm2．
【解答】解：如图1中，当点A，B落在⊙O上时，⊙O与正方形重叠部分的面积为（π﹣）cm2
此时，运动时间t＝（2﹣）÷（2﹣）＝1（秒）
如图2中，当点C，D落在⊙O上时，⊙O与正方形重叠部分的面积为（π﹣）cm2
此时，运动时间t＝[4+2﹣（2﹣）]÷（2﹣）＝（11+6）（秒），
综上所述，满足条件的t的值为1秒或（11+6）秒．
故答案为1或（11+6）．
三．解答题
17．如图，已知锐角△ABC的外心为O，线段OA和BC的中点分别为点M，N．若∠ABC＝4∠OMN，∠ACB＝6∠OMN．求∠OMN的大小．
【解答】解：连接OC．设∠OMN＝x，则∠ABC＝4x，∠ACB＝6x；
∴∠NOC＝180°﹣10x，∠AOC＝8x，
∴∠ONM＝180°﹣（180°﹣10x+8x+x）＝x，
∴△MON为等腰三角形，
∴；
∴∠OBN＝30°，
∴180°﹣10x＝60°，
∴x＝12°．
18．如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，AB＝10，AC＝6，连结OC，弦AD分别交OC，BC于点E，F，其中点E是AD的中点．
（1）求证：∠CAD＝∠CBA．
（2）求OE的长．
【解答】（1）证明：∵AE＝DE，OC是半径，
∴＝，
∴∠CAD＝∠CBA．
（2）解：∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∵AE＝DE，
∴OC⊥AD，
∴∠AEC＝90°，
∴∠AEC＝∠ACB，
∴△AEC∽△BCA，
∴＝，
∴＝，
∴CE＝3.6，
∵OC＝AB＝5，
∴OE＝OC﹣EC＝5﹣3.6＝1.4．
19．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，点O在AB上，以点O为圆心，OA为半径的圆恰好经过点D，分别交AC、AB于点E．F．
（1）试判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若BD＝2，BF＝2，求⊙O的半径．
【解答】解：（1）线BC与⊙O的位置关系是相切，
理由是：连接OD，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA，
∵AD平分∠CAB，
∴∠OAD＝∠CAD，
∴∠ODA＝∠CAD，
∴OD∥AC，
∵∠C＝90°，
∴∠ODB＝90°，即OD⊥BC，
∵OD为半径，
∴线BC与⊙O的位置关系是相切；
（2）设⊙O的半径为R，
则OD＝OF＝R，
在Rt△BDO中，由勾股定理得：OB2＝BD2+OD2，
即（R+2）2＝（2）2+R2，
解得：R＝4，
即⊙O的半径是4．
20．如图，已知直线PA交⊙O于A、B两点，AE是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，且AC平分∠PAE，过C作CD⊥PA，垂足为D．
（1）求证：CD为⊙O的切线；
（2）若CD＝2AD，⊙O的直径为20，求线段AC、AB的长．
【解答】证明：（1）连接OC．
∵点C在⊙O上，OA＝OC，
∴∠OCA＝∠OAC，
∵CD⊥PA，
∴∠CDA＝90°，
∴∠CAD+∠DCA＝90°，
∵AC平分∠PAE，
∴∠DAC＝∠CAO，
∴∠DCO＝∠DCA+∠ACO＝∠DCA+∠DAC＝90°，
∴CD是⊙O切线．
（2）作OF⊥AB于F，
∴∠OCD＝∠CDF＝∠OFD＝90°，
∴四边形CDFO是矩形，
∴OC＝FD，OF＝CD，
∵CD＝2AD，设AD＝x，则OF＝CD＝2x，
∵DF＝OC＝10，
∴AF＝10﹣x，
在Rt△AOF中，AF2+OF2＝OA2，
∴（10﹣x）2+（2x）2＝102，
解得x＝4或0（舍弃），
∴AD＝4，AF＝6，AC＝4，
∵OF⊥AB，
∴AB＝2AF＝12．
21．如图，点C在以AB为直径的⊙O上，BD平分∠ABC交⊙O于点D，过D作BC的垂线，垂足为E．
（1）求证：DE与⊙O相切；
（2）若AB＝5，BE＝4，求BD的长；
（3）请用线段AB、BE表示CE的长，并说明理由．
【解答】（1）证明：连接OD，
∵OD＝OB，
∴∠ODB＝∠OBD，
∵BD平分∠ABC，
∴∠OBD＝∠CBD，
∴∠ODB＝∠CBD，
∴OD∥BE，
∵BE⊥DE，
∴OD⊥DE，
∴DE与⊙O相切；
（2）解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵BE⊥DE，
∴∠ADB＝∠BED＝90°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠OBD＝∠CBD，
∴△ABD∽△DBE，
∴，
∴＝，
∴BD＝2；
（3）解：结论CE＝AB﹣BE，
理由：过D作DH⊥AB于H，
∵BD平分∠ABC，DE⊥BE，
∴DH＝DE，
在Rt△BED与Rt△BHD中，，
∴Rt△BED≌Rt△BHD（HL），
∴BH＝BE，
∵∠DCE＝∠A，∠DHA＝∠DEC＝90°，
∴△ADH≌△CDE（AAS），
∴AH＝CE，
∵AB＝AH+BH，
∴AB＝BE+CE，
∴CE＝AB﹣BE．
22．如图①，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，AD平分∠CAB，AD与BC交于点F，过点D作DE⊥AB于点E．
（1）求证：BC＝2DE；
（2）如图②，连接OF，若∠AFO＝45°，半径为2时，求AC的长．
【解答】（1）证明：如图①中，延长DE交⊙O于G，连接AG．
∵AB⊥DG，AB是直径，
∴＝，DE＝EG，
∵AD平分∠CAB，
∴∠CAD＝∠DAB，
∴＝，
∴＝，
∴BC＝DG＝2DE．
（2）解：如图②中，作FR⊥AB于R，OS⊥AD于S．
∵AD平分∠CAB，FC⊥AC，FR⊥AB，
∴∠CAD＝∠BAD＝x，FC＝FR，
∴∠FBO＝90°﹣2x，
∵∠AFO＝45°，
∴∠FOB＝45°+x，
∴∠OFB＝180°﹣（90°﹣2x）﹣（45°+x）＝45°+x，
∴∠FOB＝∠OFB
∴BF＝BO＝OA，
∵∠FRB＝∠ACB＝90°，∠FBR＝∠ABC，
∴△BFR∽△BAC，
∴＝＝，
∴AC＝2FR＝2FC，
∴tan∠FAR＝tan∠FAC＝，
设SO＝t，AS＝2t，SF＝SO＝t，
则t2+4t2＝4，
∵t＞0，
∴t＝，
∴AF＝3t＝，设CF＝m，则AC＝2m，
则有5m2＝，
∵m＞0，
∴m＝，
∴AC＝2m＝．
23．如图，已知以Rt△ABC的边AB为直径作△ABC的外接圆⊙O，∠B的平分线BE交AC于D，交⊙O于E，过E作EF∥AC交BA的延长线于F．
（1）求证：EF是⊙O切线；
（2）若AB＝15，EF＝10，求AE的长．
【解答】（1）证明：连接OE，
∵∠B的平分线BE交AC于D，
∴∠CBE＝∠ABE．
∵EF∥AC，
∴∠CAE＝∠FEA．
∵∠OBE＝∠OEB，∠CBE＝∠CAE，
∴∠FEA＝∠OEB．
∵∠AEB＝90°，
∴∠FEO＝90°．
∴EF是⊙O切线．
（2）解：在△FEA与△FBE中，
∵∠F＝∠F，∠FEA＝∠FBE，
∴△FEA∽△FBE，
∴＝＝，
∴AF?BF＝EF?EF，
∴AF×（AF+15）＝10×10，
解得AF＝5．
∴BF＝20．
∴＝，
∴BE＝2AE，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠AEB＝90°，
∴AE2+BE2＝152，
∴AE2+（2AE）2＝225，
∴AE＝3．