初中数学青岛版九年级上册2.4解直角三角形同步练习（Word版 含解析）

初中数学青岛版九年级上册第二章2.4同步练习
一、选择题
如图，在的网格中，每格小正方形的边长都是1，若的三个顶点在图中相应的格点上，则的值为
A.
B.
C.
2
D.
如图，在中，，，CD为AB边上的中线，CE平分，则的值
A.
B.
C.
D.
如图，正方形ABCD中，点E在边BC上，且连接BD、DE、AE，且AE交BD于F，OG为的中位线：下列结论：，，，其中正确结论的个数是
A.
1
B.
2
C.
3
D.
4
如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E在BC边上，且，连接AE交BD于点G，过点B作于点F，连接OF并延长，交BC于点M，过点O作交DC于占N，，现给出下列结论：；；；；其中正确的结论有
A.
B.
C.
D.
如图，在矩形ABCD中，，，E为AB上一点，，P为直线CD上的动点，以PQ为斜边作，交直线AD于点Q，且满足，若F为PQ的中点，连接CE，CF，则当最小时，的值为
A.
B.
C.
D.
如图，在中，，，，，，若，则BE长为
A.
B.
9
C.
10
D.
5
如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCD的顶点A在x轴的正半轴上，矩形的另一个顶点D在y轴的正半轴上，矩形的边，，，则点C到x轴的距离等于
A.
B.
C.
D.
如图，在四边形ABCD中，，，，把沿着AC翻折得到，若，则线段DE的长度
A.
B.
C.
D.
如图，中，，点D在AC上，若，，则BD的长度为
A.
B.
C.
D.
4
如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，的顶点都在这些小正方形的顶点上，那么的值为
A.
B.
C.
D.
二、填空题
如图所示，在四边形ABCD中，，，连接AC，，若，则AD长度是______．
如图，在中，，BD是AC边上的中线，，垂足为点E，交BD于F，，则的值为______．
如图，在的正方形网格中，点A，B，C都在格点上，则的值等于______．
已知在菱形ABCD中，，，，，，则菱形ABCD的边长______．
三、解答题
如图．E、F分别为正方形ABCD的边DC、BC的中点．
求证：≌；
若，求的值．
如图，在四边形ABCD中，，，，，．
求的面积；
求．
在中，，，，求的正弦、余弦、正切的值．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：，，，
，
是直角三角形，且，
则，
故选：D．
先根据勾股定理逆定理判定为直角三角形，再利用余弦函数的定义求解可得．
本题主要考查解直角三角形，解题的关键是掌握勾股定理逆定理及余弦函数的定义．
2.【答案】D
【解析】解：如图，过点E和点D作，于点F和G，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
为AB边上的中线，
，，
，
，
，
，
即，
解得，
，
，
．
．
故选：D．
如图，过点E和点D作，于点F和G，可得，根据已知条件和两条直线平行对应边成比例可得，根据三角函数可得，进而可求结果．
本题考查了解直角三角形、直角三角形斜边上的中线，解决本题的关键是掌握锐角三角函数．
3.【答案】C
【解析】解：，
，
．
四边形ABCD是正方形，
，，
∽，
，
是BD的中点，G是DE的中点，
，，
，
，故正确
，即，错误，
，
，
设，则，
，，
，正确．
连接OA，
，，
由勾股定理得；，
，正确，
故选：C．
由条件四边形ABCD是正方形可以得出，，通过作辅助线制造直角三角形可以求出正弦值，利用三角形相似可以求出线段之间的关系，平行线的性质就可以求出相应的结论．
此题考查了相似三角形的判定与性质以及正方形的性质，三角形中位线的性质以及平行线的性质等知识．此题综合性很强，图形比较复杂，解题的关键是注意数形结合思想的应用与辅助线的准确选择．
4.【答案】D
【解析】解：如图，过点O作交AE于点H，过点O作交BC于点Q，过点B作交OM的延长线于点K，
四边形ABCD是正方形，
，
，，
．
，
，
，
，
≌，
，
，
，
．
，
，
．
，
，
，
，
，
，
，
．
，
，故正确；
，
，
．
，
≌，
，故正确；
，
，
，故正确；
，
即，
，
，故错误；
正确的有．
故选：D．
直接根据平行线分线段成比例即可判断正误；过点O作交AE于点H，过点O作交BC于点Q，过点B作交OM的延长线于点K，首先根据四边形MONC的面积求出正方形的边长，利用勾股定理求出AE，AF，EF的长度，再利用平行线分线段成比例分别求出OM，BK的长度，然后利用即可判断；利用平行线分线段成比例得出，然后利用勾股定理求出OM的长度，进而OF的长度可求；直接利用平行线的性质证明≌，即可得出结论．
本题主要考查了四边形综合，熟练掌握正方形的性质，全等三角形的判定及性质，平行线分线段成比例和锐角三角函数是解题的关键
5.【答案】D
【解析】解：连接DF，延长CF与DQ交于点M，连接EM，过E点作于点N，
是PQ的中点，，
，
当CF为以D为圆心，5为半径的圆相切时，最小，
此时，
，
，，
∽，
，即，
，
，
，
，
，
，
，
，即，
，
，
．
故选：D．
连接DF，延长CF与DQ交于点M，连接EM，过E点作于点N，由直角三角形斜边上的中线定理可知点F点始终在以D为圆心，5为半径的圆上，故当CF为以D为圆心，5为半径的圆相切时，最小，求出此时的EN和CN的长度便可解决问题．
本题是矩形的一个综合题，主要考查了矩形的性质，勾股定理，解直角三角形，三角形的面积公式，圆的性质，本题难度，关键是确定最小时F点的位置，计算量也大，对计算能力要求较高．
6.【答案】C
【解析】解：设，则，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故选：C．
设，则，，利用平行线分线段成比例定理构建方程即可解决问题．
本题考查相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
7.【答案】A
【解析】解：作轴于E，如图：
四边形ABCD是矩形，
，，，
，
，
，
，
，，
，，
，
点C到x轴的距离等于；
故选：A．
作轴于E，由矩形的性质得出，，，证出，由三角函数定义得出，，进而得出答案．
本题考查了矩形的性质、坐标与图形性质、三角函数定义等知识；熟练掌握矩形的性质和三角函数定义是解题的关键．
8.【答案】B
【解析】解：方法一：如图，延长ED交AC于点M，过点M作于点N，
设，
，
，
，
，，，
，
由翻折可知：
，
，
，
，
，
，
，，，
，
，
，，
，
，
，
，
由翻折可知：，
，
是的角平分线，
，
，
解得．
方法二：
如图，过点D作，
由折叠可知：，
，
，，
，
设，由折叠性质可知，，
，
，
解得，
，，
在直角三角形EDM中，，
解得．
故选：B．
方法一，延长ED交AC于点M，过点M作于点N，设，根据已知条件和翻折的性质可求m的值，再证明CD是的角平分线，可得，进而可得ED的长．方法二，过点D作，首先得到度，度，再根据折叠可得到，设，由折叠性质可知，，在直角三角形EDM中，根据勾股定理即可得DE的长．
本题考查了翻折变换、勾股定理、解直角三角形，解决本题的关键是综合运用以上知识．
9.【答案】C
【解析】解：，，，
，
，
．
，
，
故选：C．
在中，由三角函数求得AB，再由勾股定理求得BC，最后在中由三角函数求得BD．
本题主要考查了勾股定理，解直角三角形的应用，关键是解直角三角形．
10.【答案】D
【解析】解：如图，过点A作于H．
在中，，，
，
，
故选：D．
如图，过点A作于利用勾股定理求出AC即可解决问题．
本题考查解直角三角形，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
11.【答案】10
【解析】解：在中，
，，
．
在中，
．
故答案为：10．
根据直角三角形的边角间关系，先计算AC，再在直角三角形ACD中，利用勾股定理求出AD．
本题考查了解直角三角形和勾股定理，利用直角三角形的边角间关系，求出AC是解决本题的关键．
12.【答案】
【解析】解：过点D作于点G，
，，
，
由勾股定理可知：，
，
，
是AC的中点，，
是的中位线，
，，
，
在中，
，
故答案为：
过点D作于点G，易求得，，，然后利用中位线的性质即可求出，最后利用锐角三角函数的定义即可求出答案．
本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练运用勾股定理以及锐角三角函数的定义，本题属于中等题型．
13.【答案】
【解析】解：如图，连接BC，过点B作于D．
则可得，，，
，
于D，
．
在中，由勾股定理，得，
．
故答案为：．
连接BC，作于D，利用勾股定理可得，，，再根据等腰三角形三线合一的性质得出，在中利用勾股定理求出BD，从而可得的值．
此题考查了解直角三角形，勾股定理，等腰三角形的性质，锐角三角函数，解答本题的关键是作出辅助线构造直角三角形．
14.【答案】
【解析】解：连接BD，过B作交DE的延长线于G，
，
，
四边形BFEG是平行四边形，
，
四边形BFEG是菱形，
，
，
，
，
过D作交GB的延长线于H，
，
，
，
，
，
，
在菱形ABCD中，，
是等边三角形，
，
故答案为：．
连接BD，过B作交DE的延长线于G，根据菱形的判定和性质以及解直角三角形求得BD，判断是等边三角形，根据等边三角形的性质即可得出菱形ABCD的长．
本题考查了菱形的性质及勾股定理的知识，解答本题的关键是作出辅助线，构造直角三角形．
15.【答案】解：四边形ABCD是正方形，
，，
、F分别为正方形ABCD的边DC、BC的中点，
，，
，
在和中，
，
≌；
过点A作，垂足为点M，
≌，
，
，
由勾股定理可得：，，
，
．
【解析】由正方形的性质和已知条件利用SAS即可证明≌；
过点A作，垂足为点M，利用勾股定理分别求出AE，EF的长，即可求出的值．
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用以及求锐角三角函数值等有关问题．仔细分析图形并作出辅助线构造出直角三角形是解题的关键．
16.【答案】解：过点D作交BC的延长线于E，
，
，
在中，，，
，，
，
；
过点B作于F，
，，
，
在中，，，
，
；
在中，，
由勾股定理知：，
，
在中，，
由勾股定理知：，
，
在中，，
．
【解析】在中，，求出DE的长度，即可求解；
在中，由勾股定理知：，求出BD的长度；同理在中，求出DF的长度，即可求解．
此题是一个综合性很强的题目，主要考查勾股定理的运用、三角形面积计算、解直角三角形等知识点，难度很大，有利于培养同学们钻研和探索问题的精神．
17.【答案】解：在中，，，，
，
，
，
．
【解析】首先根据勾股定理求出AC的长，然后根据正弦、余弦、正切函数的概念进行求解．
本题考查了解直角三角形中三角函数的应用，要熟练掌握好边角之间的关系．
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