人教版八年级上册 数学 课件 13.4 课题学习 最短路径问题（25张）
文档属性
| 名称 | 人教版八年级上册 数学 课件 13.4 课题学习 最短路径问题（25张） |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 403.9KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2020-09-22 20:14:30 | ||
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文档简介
13.4 课题学习 最短路径问题
将军饮马问题：
早在古罗马时代，传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦．一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题：
将军每天骑马从城堡A出发，到城堡B，途中
马要到小河边饮水一次。将军问怎样走路程最短？
这就是广为流传的"将军饮马"问题。
P
两点之间线段最短.
根据：
B
A
(一)两点在一条直线两侧
例1.如图：古希腊一位将军骑马从城堡A到城堡B，途中
马要到小溪边饮水一次。问将军怎样走路程最短？
最短路线：
（
分类讨论：
A ---P--- B.
例2.如图：一位将军骑马从城堡A到城堡B， 途中马要到河边饮水一次，问：这位将军怎样走路程最短？
A
B
河
两点在一条直线同侧
(二):
B/
c
例2变式：已知：P、Q是△ABC的边AB、
AC上的点，你能在BC上确定一点R，
使△PQR的周长最短吗？
两点在一条直线同侧
(二)一次轴对称：
p/
R
问题
为什么这样做出的线段是最短的呢？你能用所学的知识证明吗？
B
·
l
A
·
B′
C
证明：如图，在直线l 上任取一点C′（与点C 不
重合），连接AC′，BC′，B′C′．
由轴对称的性质知，
BC =B′C，BC′=B′C′．
∴ AC +BC
= AC +B′C = AB′，
AC′+BC′
= AC′+B′C′．
问题
为什么这样做出的线段是最短的呢？你能用所学的知识证明吗？
B
·
l
A
·
B′
C
C′
问题
为什么这样做出的线段是最短的呢？你能用所学的知识证明吗？
B
·
l
A
·
B′
C
C′
证明：在△AB′C′中，
AB′＜AC′+B′C′，
∴ AC +BC＜AC′+BC′．
即 AC +BC 最短．
若直线l 上任意一点（与点
C 不重合）与A，B 两点的距离
和都大于AC +BC，就说明AC +
BC 最小．
追问
B
·
l
A
·
B′
C
C′
证明AC +BC 最短时，为什么要在直线l 上
任取一点C′（与点C 不重合），证明AC +BC ＜AC′
+BC′？这里的“C′”的作用是什么？
例2变式：已知：P、Q是△ABC的边AB、
AC上的点，你能在BC上确定一点R，
使△PQR的周长最短吗？
两点在一条直线同侧
(二)一次轴对称：
P`
R
草地
河边
.驻地A
例3.如图：一位将军骑马从驻地A出发，先牵马去草地
OM吃草，再牵马去河边ON喝水， 最后回到驻地A，
问：这位将军怎样走路程最短？
O
M
N
(三)：
一点在两相交直线内部
例3变式：已知P是△ABC的边BC上的点，
你能在AB、AC上分别确定一点Q和R，
使△PQR的周长最短吗？
(三)：
一点在两相交直线内部
例4：如图，A为马厩，B为帐篷，将军某一天要
从马厩牵出马，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到帐篷，请你帮助确定这一天的最短路线。
（四）：
两点在两相交直线内部
A
B
A/
B/
P
Q
最短路线：A P Q B
l
M
N
例4变式：如图，OMCN是矩形的台球桌面，有黑、白两球分别位于B、A两点的位置上，
试问怎样撞击白球，使白球A依次碰撞球台边OM、ON后，反弹击中黑球？
（四）二次轴对称：
两点在两相交直线内部
.
.
.
.
.
A
A'
B
B'
C
D
M
O
N
例4变式：A、B在直线OM、ON内部，
在OM、ON上分别找点C、D，使四
边形ACDB的周长最小。
（四）：
两点在两相交直线内部
小结 将军饮马问题的实质
最短路径问题------
利用轴对称知识确定最短路线：
（1）若动点只有一个，则只需做一次轴对称；
（2）若动点有两个，则需做两次轴对称；
(3)不论做一次轴对称，还是两次轴对称，动点所在的直线就是对称轴。
C
随堂练习：（如图）若城堡A、城堡B
到河岸最短距离分别为AC=1km，BD=2km，
CD=4km，求将军所走的最短路径是多少Km?
A
P
B
A′
D
E
1
2
4
1
1
4
5
小结 将军饮马问题的实质
最短路径问题------
利用轴对称知识确定最短路线：
（1）若动点只有一个，则只需做一次轴对称；
（2）若动点有两个，则需做两次轴对称；
求最短路径通常都需要构造直角三角形，然后用勾股定理进行求解。
综合应用：
著名的恩施大峡谷（A）和世界级自然保护区星斗山（B）位于笔直的沪渝高速公路X同侧，AB=50km,A、B到直线X的距离分别为10km和40km,要在沪渝高速公路旁修建一服务区P,向A、B两景区运送游客.小民设计了两种方案，图11（1）是方案一的示意图(AP与直线X垂直，垂足为P),P到A、B的距离之和S1=PA+PB； 图11（2）是方案二的示意图(点A关于直线X的对称点是A'，连接BA'交直线X于点P),P到A、B的距离之和S2=PA+PB.
(1).求S1 、S2 ,并比较它们的大小.
(2).请你说明S2=PA+PB的值为最小.
(3).拟建的恩施到张家界高速公路Y与沪渝高速公路垂直，建立如图所示的直角坐标系，B到直线Y的距离为30km,请你在X,旁和Y旁各修建一服务区P、Q,使P、A、B、Q 组成的四边形的周长最小.并求出这个最小值.
C
Q
10
50
10
30
10
10
40
50
B/
A/
C
30
10
40
50
30
10
小结 将军饮马问题的实质
最短路径问题------
利用轴对称知识确定最短路线：
（1）若动点只有一个，则只需做一次轴对称；
（2）若动点有两个，则需做两次轴对称；
求最短路径通常都需要构造直角三角形，然后用勾股定理进行求解。
谢 谢
将军饮马问题：
早在古罗马时代，传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦．一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题：
将军每天骑马从城堡A出发，到城堡B，途中
马要到小河边饮水一次。将军问怎样走路程最短？
这就是广为流传的"将军饮马"问题。
P
两点之间线段最短.
根据：
B
A
(一)两点在一条直线两侧
例1.如图：古希腊一位将军骑马从城堡A到城堡B，途中
马要到小溪边饮水一次。问将军怎样走路程最短？
最短路线：
（
分类讨论：
A ---P--- B.
例2.如图：一位将军骑马从城堡A到城堡B， 途中马要到河边饮水一次，问：这位将军怎样走路程最短？
A
B
河
两点在一条直线同侧
(二):
B/
c
例2变式：已知：P、Q是△ABC的边AB、
AC上的点，你能在BC上确定一点R，
使△PQR的周长最短吗？
两点在一条直线同侧
(二)一次轴对称：
p/
R
问题
为什么这样做出的线段是最短的呢？你能用所学的知识证明吗？
B
·
l
A
·
B′
C
证明：如图，在直线l 上任取一点C′（与点C 不
重合），连接AC′，BC′，B′C′．
由轴对称的性质知，
BC =B′C，BC′=B′C′．
∴ AC +BC
= AC +B′C = AB′，
AC′+BC′
= AC′+B′C′．
问题
为什么这样做出的线段是最短的呢？你能用所学的知识证明吗？
B
·
l
A
·
B′
C
C′
问题
为什么这样做出的线段是最短的呢？你能用所学的知识证明吗？
B
·
l
A
·
B′
C
C′
证明：在△AB′C′中，
AB′＜AC′+B′C′，
∴ AC +BC＜AC′+BC′．
即 AC +BC 最短．
若直线l 上任意一点（与点
C 不重合）与A，B 两点的距离
和都大于AC +BC，就说明AC +
BC 最小．
追问
B
·
l
A
·
B′
C
C′
证明AC +BC 最短时，为什么要在直线l 上
任取一点C′（与点C 不重合），证明AC +BC ＜AC′
+BC′？这里的“C′”的作用是什么？
例2变式：已知：P、Q是△ABC的边AB、
AC上的点，你能在BC上确定一点R，
使△PQR的周长最短吗？
两点在一条直线同侧
(二)一次轴对称：
P`
R
草地
河边
.驻地A
例3.如图：一位将军骑马从驻地A出发，先牵马去草地
OM吃草，再牵马去河边ON喝水， 最后回到驻地A，
问：这位将军怎样走路程最短？
O
M
N
(三)：
一点在两相交直线内部
例3变式：已知P是△ABC的边BC上的点，
你能在AB、AC上分别确定一点Q和R，
使△PQR的周长最短吗？
(三)：
一点在两相交直线内部
例4：如图，A为马厩，B为帐篷，将军某一天要
从马厩牵出马，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到帐篷，请你帮助确定这一天的最短路线。
（四）：
两点在两相交直线内部
A
B
A/
B/
P
Q
最短路线：A P Q B
l
M
N
例4变式：如图，OMCN是矩形的台球桌面，有黑、白两球分别位于B、A两点的位置上，
试问怎样撞击白球，使白球A依次碰撞球台边OM、ON后，反弹击中黑球？
（四）二次轴对称：
两点在两相交直线内部
.
.
.
.
.
A
A'
B
B'
C
D
M
O
N
例4变式：A、B在直线OM、ON内部，
在OM、ON上分别找点C、D，使四
边形ACDB的周长最小。
（四）：
两点在两相交直线内部
小结 将军饮马问题的实质
最短路径问题------
利用轴对称知识确定最短路线：
（1）若动点只有一个，则只需做一次轴对称；
（2）若动点有两个，则需做两次轴对称；
(3)不论做一次轴对称，还是两次轴对称，动点所在的直线就是对称轴。
C
随堂练习：（如图）若城堡A、城堡B
到河岸最短距离分别为AC=1km，BD=2km，
CD=4km，求将军所走的最短路径是多少Km?
A
P
B
A′
D
E
1
2
4
1
1
4
5
小结 将军饮马问题的实质
最短路径问题------
利用轴对称知识确定最短路线：
（1）若动点只有一个，则只需做一次轴对称；
（2）若动点有两个，则需做两次轴对称；
求最短路径通常都需要构造直角三角形，然后用勾股定理进行求解。
综合应用：
著名的恩施大峡谷（A）和世界级自然保护区星斗山（B）位于笔直的沪渝高速公路X同侧，AB=50km,A、B到直线X的距离分别为10km和40km,要在沪渝高速公路旁修建一服务区P,向A、B两景区运送游客.小民设计了两种方案，图11（1）是方案一的示意图(AP与直线X垂直，垂足为P),P到A、B的距离之和S1=PA+PB； 图11（2）是方案二的示意图(点A关于直线X的对称点是A'，连接BA'交直线X于点P),P到A、B的距离之和S2=PA+PB.
(1).求S1 、S2 ,并比较它们的大小.
(2).请你说明S2=PA+PB的值为最小.
(3).拟建的恩施到张家界高速公路Y与沪渝高速公路垂直，建立如图所示的直角坐标系，B到直线Y的距离为30km,请你在X,旁和Y旁各修建一服务区P、Q,使P、A、B、Q 组成的四边形的周长最小.并求出这个最小值.
C
Q
10
50
10
30
10
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B/
A/
C
30
10
40
50
30
10
小结 将军饮马问题的实质
最短路径问题------
利用轴对称知识确定最短路线：
（1）若动点只有一个，则只需做一次轴对称；
（2）若动点有两个，则需做两次轴对称；
求最短路径通常都需要构造直角三角形，然后用勾股定理进行求解。
谢 谢