冀教版九年级上册 数学 课件： 28.4 垂径定理（20张）

28.4 垂径定理
它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.23m，
你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？
探究活动一
　把一个圆沿着它的任意一条直径所在的直线对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？
可以发现：圆是_____图形，任何一条_________都是它的对称轴，它有________对称轴．　
折
一
折
·
轴对称
直径所在直线
无数条
·
O
A
B
C
D
E
如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足为E．
（1）这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？
（2）你能发现图中有哪些相等的线段和弧？为什么？
（1）是轴对称图形．直径CD所在的 直线是它的对称轴.
（2） 线段： AE=BE
⌒
⌒
弧：AC＝BC　，AD＝BD
⌒
⌒
叠合法
把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，点A与点B重合，AE与BE重合，AC , AD分别与BC 、BD重合．
⌒
⌒
⌒
⌒
探究活动二
如图,理由如下:
连接OA、OB,
则OA=OB.
∵OA=OB，OE⊥AB,
∴AE=BE.
∴点A和点B关于CD对称.
∵⊙O关于直线CD对称,
∴当圆沿着直径CD对折时,点A与点B重合,
⌒
⌒
AC和BC重合,
⌒
⌒
AD和BD重合.
⌒
⌒
∴AC =BC,
⌒
⌒
　AD =BD.
O
B
D
E
C
A
我们把这个结论称为垂径定理
如何证明上述结论呢?
动手试试
探索发现
垂径定理
定理: 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.
提示:垂径定理是圆中一个重要的结论,三种语言要相互转化,形成整体,才能运用自如.
如图∵ CD是直径 CD⊥AB，
∴AE=BE,
⌒
⌒
AC = BC,
⌒
⌒
AD = BD.
A
B
D
● O
C
E└
的三种语言形式
①过圆心
②垂直于弦
③平分弦
④平分弦所对优弧
⑤平分弦所对劣弧
·
O
A
B
C
D
E
探究活动三
如图，AB是⊙O的一条弦（不是直径） ，且AE=BE.过点E作直径CD.
（1）从图中你能发现AB与CD有什么位置关系？
（2）图中有哪些等量关系?并说出理由.
CD⊥AB,
⌒
⌒
AD=BD,
AB与CD位置关系是：
等量关系有：
⌒
⌒
AC=BC.
不是直径
为什么题目中要强调AB是一条非直径的弦呢？
（垂径定理推论） 平分弦（不是直径）的直 径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.
由 CD是直径
AE=BE
可推得
⌒
⌒
AD=BD.
CD⊥AB,
⌒
⌒
AC=BC,
A
B
C
D
O
条件
结论
B
·
O
A
C
D
E
判断题：
（1）平分弦的直径，平分这条弦所对的弧. ( )
（2）弦的垂直平分线，必定过圆心.
（3）垂直于弦的直线平分弦，并且平分弦所对的两条弧.
?
√
?
A
B
C
D
?O
(3)
C
(2)
A
B
?O
( )
( )
牛刀小试
1、
A
B
C
D
O
(1)
?
垂直于弦的直径
人教版九年级数学上册
牛刀小试
2、
如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求⊙O的半径.
变式1)
若⊙O的半径为5cm,OE=3cm,则AB= cm .
·
O
A
E
B
解：过点O作OE⊥AB于点E,连接OA
∵OE⊥AB,AB=8,
∴AE=BE=4.
∵OE=3,
∴AO=5.
8
若⊙O的半径为5cm，弦AB的长为8cm ，弦AB⊥直径CD，垂足为M，则OM的长为_____,
8cm或2cm
解：连接AO，
∵⊙O的直径CD=10cm，AB⊥CD，
AB=8cm， ∴AM=MB= ×8=4cm，
OD=OC=5cm.
当M点在半径OD上时，
∵OA=5cm，AM=4cm，CD⊥AB，
∴OM=3cm，
∴CM=OC+OM=5+3=8cm.
变式2)
当M点在半径OC上时，
同理可得OM=3cm，
∵OC=5cm，∴MC=5﹣3=2cm，
故CM的长为8cm或2cm．

图1
A
B
C
D
M
O
A
B
C
D
M
O
图2
3cm
CM的长为_________.
赵州桥的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为37米，拱高（弧的中点到弦的距离）为7.23米，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？
解决问题
O
A
B
r
例1：赵州桥的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为37米，拱高（弧的中点到弦的距离）为7.23米，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？
O
A
B
D
C
r
解：
经过圆心O作弦AB的垂线OC，垂足为D ，OC与弧AB相交于点C,
由垂径定理，D是AB的中点，C是弧AB的中点，CD就是拱高.
∵ AB=37，CD=7.23,
∴ AD= AB= ×37=18.5,
OD=OC-CD=r-7.23.
在Rt△OAD中由勾股定理，得OA2=AD2+OD2 ,
即 r2=18.52+(r-7.23)2 ,
解得r≈27.3(m)
因此，赵州桥的主桥拱半径约为27.3m.
连半径
作垂线
对于一个圆中的弦长a、圆心到弦的距离d、圆半径r、弓形高h，这四个量中，只要已知其中任意两个量，就可以求出另外两个量，如图有：
⑴d + h = r
⑵
a
d
h
r
O
方法总结
如图，点A、B是⊙O上两点，AB=8,点P是⊙O上的动点（P与A、B不重合）,连接AP、BP,过点O分别作OE⊥AP于E,OF⊥BP于F,则EF=_____.
解：∵OE⊥AP于E，OF⊥PB于F，
∴AE＝PE，PF＝BF.
∴EF是△APB的中位线.
∴EF＝ AB=4．
4
中考链接
数学日记
圆是轴对称图形
垂径定理的应用
垂径定理与勾股定理结合
垂直于弦的直径
垂径定理推论
垂径定理
本节课你有哪些收获，哪些感想？
明白了
圆是轴对称性图形
垂径定理及推论.
圆中常作辅助线（ ）构造直角三角形，用垂径定理和勾股定理来解决有关的证明、计算问题.
动手实践的重要性；
认真观察、大胆猜想、求证的科学态度.
学会了
懂得了
连半径、作垂线
数学日记
1.课本第83页练习第2题；
2. 如右图，在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些油后，截面的油面宽AB = 600mm，求油的最大深度；
3. 已知，在半径为5cm的⊙O中，两条平行弦AB,CD分别长8cm，6cm.求两条平行弦间的距离.
E
D
┌
600
课后作业
（必做题：1、2，选做题：3）
某地有一座圆弧形拱桥，圆心为Ｏ，桥下水面宽度为7.2 m ，过O 作OC ⊥ AB 于D， 交圆弧于C，CD=2.4m， 现有一艘宽3m，船舱顶部为长方形并高出水面（AB）2m的货船要经过拱桥，此货船能否顺利通过这座拱桥？
C
N
M
A
E
H
F
B
D
O
课后思考
谢 谢