列方程解应用题（行程）
【教学目标】
1．会解决两个物体运动的简单实际问题。
2．理解行程问题解决的关键，弄清楚物体运动的具体情况，具体问题具体分析。
3．尝试列方程解决较复杂的相遇问题、追及问题和相离问题。
4.
感受数学在现实生活中的应用价值，体会数学学习的乐趣。
【教学重点】
理解和掌握行程问题的等量关系；
【教学难点】
理解和掌握行程问题的等量关系；
【教学过程】
解答行程问题的关键是要弄清物体运动的具体情况，如运动的方向（相向、
同向、背向），出发的地点（两地、同地），出发的时间（同时、先后），运动的
路径（封闭、不封闭），运动结果（相遇、相距、交错而过、追及等等）。
1．相遇问题：
速度和×相遇时间=相遇路程
(
v1
+
v2
)
×
t相遇
=
s相遇
2.
追及问题：
速度差×追及时间=相差路程
(
v1
-
v2
)
×
t追及
=
s追及
【例题精讲】
【例1】
甲、乙两站的路程为360千米，一列快车从乙站开出，每小时行驶72千米；一列慢车从甲站开出，每小时行驶48千米．
（1）两列火车同时开出，相向而行，经过多少小时相遇？
（2）快车先开25分钟，两车相向而行，慢车行驶了多少小时两车相遇？
（3）若两车同时开出，同向而行，快车在慢车的后面，几小时后快车追上慢车？
（4）若两车同时开出，同向而行，慢车在快车的后面，几小时后快车与慢车相距720千米？
【例2】
甲、乙骑自行车同时从相距65千米的两地相向而行，2小时相遇．甲比乙每小时多骑2.5千米，求甲、乙的时速各是多少？
【例3】
一架飞机在两城之间飞行，风速为20千米/小时
，顺风飞行需2小时30分，逆风飞行需要3小时。
（1）求无风时飞机的飞行速度。
（2）求两城之间的距离。
【例4】
一条环行跑道长400米，甲每分钟行550米，乙每分钟行250米．
（1）甲、乙两人同时同地反向出发，问多少分钟后他们再相遇？
（2）甲、乙两人同时同地同向出发，问多少分钟后他们再相遇？
【例5】
通讯员要在规定时间内到达某地，他每小时走15千米，则可提前24分钟到达某地；如果每小时走12千米，则要迟到15分钟。求通讯员到达某地的路程是多少千米？和原定的时间为多少小时？
【例6】
A、B两地相距375千米，一辆汽车以50千米/小时的速度从A地开往B地，2小时后，因事途中耽误了30分钟，若要想按时到达B地，后一段路的速度应为多少？
【例7】
甲乙两辆汽车同时从东西两地相向开出，甲车每小时行56千米，乙车每小时行48千米。两车在距中点32千米处相遇。东西两地相距多少千米？
【备选例题】
【例1】
长100米的列车，以每秒20米的速度通过了一条座长500米的桥。列车通过这座桥要用多少秒？
【例2】
甲乙二人上午8时同时从东村骑车到西村去，甲每小时比乙快6千米。中午12时甲到西村后立即返回东村，在距西村15千米处遇到乙。求东西两村相距多少千米？
【例3】
自行车队出发12分钟后，通信员骑摩托车去追他们，在距出发点9千米处追上了自行车队，然后通信员立即返回出发点；随后又返回去追自行车队，再追上时恰好离出发点18千米处，求自行车队和摩托车的速度。
【例4】
喜羊羊和灰太狼一起参加学校组织登山活动，他们早上8点从山脚出发，每小时行3千米，傍晚6点到达山顶，在山顶住了一晚上后，第二天早上8点又从山顶出发，每小时行5千米，按原路返回山脚，他们在两天的往返中是否在同一时刻到达同一地点？若有，这点距离山脚多远？
【课堂练习】
甲、乙两人分别骑自行车从A、B两地相向而行，甲的速度是14km/h，乙的速度是10km/h，A、B两地的距离是72千米，则几小时后两人相遇？
欢欢和乐乐分别从相距13.2千米的两地出发，相向而行，乐乐先行1200米后欢欢再出发，欢欢出发10分钟后两人在途中相遇，已知欢欢的速度是400米/分钟，求乐乐的速度。
一辆客车和一辆货车同时从上海出发开往南京，货车的速度是72千米/时，客车在半路上因故障停车维修了0.4小时，结果货车在出发4小时后与客车同时到达南京，求客车的速度。
小亚家与学校相距1800米，小亚从家里出发，以75米/分的速度步行去学校，12分钟后，妈妈发现小亚忘带作业本，就立即以225米/分的速度跑步帮她送去，妈妈能在小亚到达学校之前追上她吗？
5、小丁丁和小胖在周长400米的环形跑道上练习竞走，已知小胖平均每分钟走60米，小丁丁平均每分钟走75米，小丁丁在小胖前面100米处，多少分钟后小丁可以追上小胖？
6、一列快车和一列慢车同时从甲乙两地相向而行，慢车每小时行50千米，快车比慢车快20%，经过2.5小时，两车相遇，请问甲乙两地相距多少千米？
解：快车的速度=50×（1+20%）=60千米/时
相遇的距离=（50+60）×2.5=275（千米）
7、好马每天走120千米，劣马每天走75千米，劣马先走12天，好马几天能追上劣马？
8、小明和小亮在200米环形跑道上跑步，小明跑一圈用40秒，他们从同一地点同时出发，同向而跑。小明第一次追上小亮时跑了500米，求小亮的速度是每秒多少米。
9、我人民解放军追击一股逃窜的敌人，敌人在下午16点开始从甲地以每小时10千米的速度逃跑，解放军在晚上22点接到命令，以每小时30千米的速度开始从乙地追击。已知甲乙两地相距60千米，问解放军几个小时可以追上敌人？
10、一辆客车从甲站开往乙站，每小时行48千米；一辆货车同时从乙站开往甲站，每小时行40千米，两车在距两站中点16千米处相遇，求甲乙两站的距离。
【备选练习】
1、一列火车长200米，以每秒8米的速度通过一条隧道，从车头进洞到车尾离洞，一共用了40秒。这条隧道长多少米？
小轿车的速度比面包车速度每小时快6千米，小轿车和面包车同时从学校开出，沿着同一路线行驶，小轿车比面包车早10分钟到达城门，当面包车到达城门时，小轿车已离城门9千米，问学校到城门的距离是多少千米？
3、甲乙两人同时从两地出发，相向而行，距离是100千米。甲每小时行6千米，乙每小时行4千米，甲带着一条狗，狗每小时行10千米。这只狗同甲一道出发，碰到乙的时候，它就掉头朝着甲这边跑，碰到甲的时候，它又掉头朝着乙这边跑。直到两人相遇时，这只狗一共跑了多少千米？
【课后作业】
小亚和小巧同时从相距1620米的两地出发相向而行，小亚每分钟行80米，10分钟后两人还相距50米，求小巧的速度。
一辆汽车和一辆自行车从相距150千米的甲、乙两地同时出发，相向而行，途中汽车因加油停了0.5小时，结果自行车3小时后与汽车在途中相遇，已知自行车的速度是12.5千米/时，求汽车的速度。
北京和呼和浩特之间的铁路全长660千米，两列火车分别从两地开出，相向而行。
两列火车同时出发，一列火车平均每小时行54.2千米，另一列火车平均每小时行61.6千米，5小时后两列火车还相距多少千米？
甲车从呼和浩特开出，平均每小时行54.2千米，它先行138.9千米后，乙车再从北京出发，平均每小时行61.6千米，乙车开出几小时后与甲车在途中相遇？
星期天，芳芳从家出发，去盈盈家玩，3分钟后，盈盈从家出发，去接芳芳，结果两人正好从两家的中点相遇，芳芳每分钟行60米，盈盈每分钟行80米，芳芳和盈盈两家之间距离是多少米？
5、A村和B村分别在山的两边，邮递员上午8时从A村出发翻过山送一份邮件到B村，他上坡时每小时行4千米，下坡时每小时行6千米，到达B村后停留了1小时，又从原路返回，下午2时回到A村，求A、B两村之间的距离。
6、一位同学在360米长的环形跑道上跑了1圈，已知他前一半时间每秒跑5米，后一半时间每秒跑4米，求他跑后一半路程用了多少时间？
一架敌机侵犯我领空，我机立即起飞迎击，在两机相距50千米时，敌机扭转机头以每分钟15千米的速度逃跑，我机以每分钟22千米的速度追击，当我机追至敌机1千米时与敌机激战，只用了半分钟就将敌机击落，敌机从扭头逃跑到被击落共多少时间？
8、一艘汽艇和一艘轮船同时从一码头朝着同一方向航行，汽艇每小时行24千米，轮船每小时行15千米，汽艇航行3小时后机器发生故障，抛锚修理，修好后汽艇航行了7小时追上轮船，汽艇修了几小时？
【备选作业】
1、上午8点8分，小明骑自行车从家里出发，8分钟后，爸爸骑摩托车去追他，在离家4千米的地方追上了他.然后爸爸立即回家，到家后又立刻回头去追小明，再追上小明的时候，离家恰好是8千米，这时是几点几分？
2、某人沿着铁路边的便道步行，一列客车从身后开来，在身旁通过的时间是15秒钟，客车长105米，每小时速度为28.8千米.求步行人每小时行多少千米？
分析：一列客车从身后开来，在身旁通过的时间是15秒钟，实际上就是指车尾用15秒钟追上了原来与某人105米的差距（即车长），因为车长是105米，追及时间为15秒，由此可以求出车与人速度差，进而求再求人的速度。
3、某人畅游长江，逆流而上，在处丢失一只水壶，他向前又游了分钟后，才发现丢失了水壶，立即返回追寻，在离处千米的地方追到，则他返回寻水壶用了多少分钟？列方程解应用题（行程）
【教学目标】
1．会解决两个物体运动的简单实际问题。
2．理解行程问题解决的关键，弄清楚物体运动的具体情况，具体问题具体分析。
3．尝试列方程解决较复杂的相遇问题、追及问题和相离问题。
4.
感受数学在现实生活中的应用价值，体会数学学习的乐趣。
【教学重点】
理解和掌握行程问题的等量关系；
【教学难点】
理解和掌握行程问题的等量关系；
【教学过程】
解答行程问题的关键是要弄清物体运动的具体情况，如运动的方向（相向、
同向、背向），出发的地点（两地、同地），出发的时间（同时、先后），运动的
路径（封闭、不封闭），运动结果（相遇、相距、交错而过、追及等等）。
1．相遇问题：
速度和×相遇时间=相遇路程
(
v1
+
v2
)
×
t相遇
=
s相遇
2.
追及问题：
速度差×追及时间=相差路程
(
v1
-
v2
)
×
t追及
=
s追及
【例题精讲】
【例1】
甲、乙两站的路程为360千米，一列快车从乙站开出，每小时行驶72千米；一列慢车从甲站开出，每小时行驶48千米．
（1）两列火车同时开出，相向而行，经过多少小时相遇？
（2）快车先开25分钟，两车相向而行，慢车行驶了多少小时两车相遇？
（3）若两车同时开出，同向而行，快车在慢车的后面，几小时后快车追上慢车？
（4）若两车同时开出，同向而行，慢车在快车的后面，几小时后快车与慢车相距720千米？
解：（1）360÷（72+48）=3小时
（2）（360-72×）÷（72+48）=2.75小时
（3）360÷（72-48）=15小时
（4）（720-360）÷（72-48）=15小时
【例2】
甲、乙骑自行车同时从相距65千米的两地相向而行，2小时相遇．甲比乙每小时多骑2.5千米，求甲、乙的时速各是多少？
解：设乙每小时速度为x千米/时
解得：
【例3】
一架飞机在两城之间飞行，风速为20千米/小时
，顺风飞行需2小时30分，逆风飞行需要3小时。
（1）求无风时飞机的飞行速度。
（2）求两城之间的距离。
解：设无风时飞机速度为x千米/时
（1）
解得：
（2）
【例4】
一条环行跑道长400米，甲每分钟行550米，乙每分钟行250米．
（1）甲、乙两人同时同地反向出发，问多少分钟后他们再相遇？
（2）甲、乙两人同时同地同向出发，问多少分钟后他们再相遇？
解：（1）小时
（2）小时
【例5】
通讯员要在规定时间内到达某地，他每小时走15千米，则可提前24分钟到达某地；如果每小时走12千米，则要迟到15分钟。求通讯员到达某地的路程是多少千米？和原定的时间为多少小时？
解：设原定的时间是x小时
解得
千米
【例6】
A、B两地相距375千米，一辆汽车以50千米/小时的速度从A地开往B地，2小时后，因事途中耽误了30分钟，若要想按时到达B地，后一段路的速度应为多少？
解：千米/时
【例7】
甲乙两辆汽车同时从东西两地相向开出，甲车每小时行56千米，乙车每小时行48千米。两车在距中点32千米处相遇。东西两地相距多少千米？
解：设x小时相遇
解得
千米
【备选例题】
【例1】
长100米的列车，以每秒20米的速度通过了一条座长500米的桥。列车通过这座桥要用多少秒？
解：秒
【例2】
甲乙二人上午8时同时从东村骑车到西村去，甲每小时比乙快6千米。中午12时甲到西村后立即返回东村，在距西村15千米处遇到乙。求东西两村相距多少千米？
解：相遇时间：小时
∴
两村：千米
【例3】
自行车队出发12分钟后，通信员骑摩托车去追他们，在距出发点9千米处追上了自行车队，然后通信员立即返回出发点；随后又返回去追自行车队，再追上时恰好离出发点18千米处，求自行车队和摩托车的速度。
解析：（18+9）÷（18-9）=3（倍）
12÷（3-1）=6（分钟）
9÷6=1.5（千米/分钟）
1.5÷3=0.5（千米/分钟）
【例4】
喜羊羊和灰太狼一起参加学校组织登山活动，他们早上8点从山脚出发，每小时行3千米，傍晚6点到达山顶，在山顶住了一晚上后，第二天早上8点又从山顶出发，每小时行5千米，按原路返回山脚，他们在两天的往返中是否在同一时刻到达同一地点？若有，这点距离山脚多远？
解：山脚到山顶的距离：3×（6+12-8）=30（千米），
相遇时间：30÷（3+5）=37.5（小时）
相遇点距离山脚：3×3.75=11.25（千米）
【课堂练习】
甲、乙两人分别骑自行车从A、B两地相向而行，甲的速度是14km/h，乙的速度是10km/h，A、B两地的距离是72千米，则几小时后两人相遇？
解：小时
欢欢和乐乐分别从相距13.2千米的两地出发，相向而行，乐乐先行1200米后欢欢再出发，欢欢出发10分钟后两人在途中相遇，已知欢欢的速度是400米/分钟，求乐乐的速度。
解：设乐乐的速度为x千米/分钟
（x+400）×10=13200-1200
解得：x=800米/分钟
一辆客车和一辆货车同时从上海出发开往南京，货车的速度是72千米/时，客车在半路上因故障停车维修了0.4小时，结果货车在出发4小时后与客车同时到达南京，求客车的速度。
解：设客车速度是x千米/时
72×4=x×（4-0.4）
解得：x=80千米/时
小亚家与学校相距1800米，小亚从家里出发，以75米/分的速度步行去学校，12分钟后，妈妈发现小亚忘带作业本，就立即以225米/分的速度跑步帮她送去，妈妈能在小亚到达学校之前追上她吗？
解：分钟
=1350千米<1800千米
5、小丁丁和小胖在周长400米的环形跑道上练习竞走，已知小胖平均每分钟走60米，小丁丁平均每分钟走75米，小丁丁在小胖前面100米处，多少分钟后小丁可以追上小胖？
解：设小丁丁x分钟追上小胖，
（75-60）x=400-100
解得：x=20分钟。
6、一列快车和一列慢车同时从甲乙两地相向而行，慢车每小时行50千米，快车比慢车快20%，经过2.5小时，两车相遇，请问甲乙两地相距多少千米？
解：快车的速度=50×（1+20%）=60千米/时
相遇的距离=（50+60）×2.5=275（千米）
7、好马每天走120千米，劣马每天走75千米，劣马先走12天，好马几天能追上劣马？
解：75×12÷（120－75）＝900÷45＝20（天）
8、小明和小亮在200米环形跑道上跑步，小明跑一圈用40秒，他们从同一地点同时出发，同向而跑。小明第一次追上小亮时跑了500米，求小亮的速度是每秒多少米。
解：（500－200）÷［40×（500÷200）］＝300÷100＝3（米）
9、我人民解放军追击一股逃窜的敌人，敌人在下午16点开始从甲地以每小时10千米的速度逃跑，解放军在晚上22点接到命令，以每小时30千米的速度开始从乙地追击。已知甲乙两地相距60千米，问解放军几个小时可以追上敌人？
解：［10×（22－6）＋60］÷（30－10）＝120÷20＝6（小时）
10、一辆客车从甲站开往乙站，每小时行48千米；一辆货车同时从乙站开往甲站，每小时行40千米，两车在距两站中点16千米处相遇，求甲乙两站的距离。
解：16×2÷（48－40）＝4（小时）
（48＋40）×4＝352（千米）
【备选练习】
1、一列火车长200米，以每秒8米的速度通过一条隧道，从车头进洞到车尾离洞，一共用了40秒。这条隧道长多少米？
解：8×40-200=120（米）
小轿车的速度比面包车速度每小时快6千米，小轿车和面包车同时从学校开出，沿着同一路线行驶，小轿车比面包车早10分钟到达城门，当面包车到达城门时，小轿车已离城门9千米，问学校到城门的距离是多少千米？
解：面包车到达城门用时=9÷6＝1.5（小时）.
小轿车的速度是：千米/时
面包车速度是：
54-6＝48（千米/小时）.
城门离学校的距离是：48×1.5＝72（千米）.
3、甲乙两人同时从两地出发，相向而行，距离是100千米。甲每小时行6千米，乙每小时行4千米，甲带着一条狗，狗每小时行10千米。这只狗同甲一道出发，碰到乙的时候，它就掉头朝着甲这边跑，碰到甲的时候，它又掉头朝着乙这边跑。直到两人相遇时，这只狗一共跑了多少千米？
解：相遇时间：小时
千米
【课后作业】
小亚和小巧同时从相距1620米的两地出发相向而行，小亚每分钟行80米，10分钟后两人还相距50米，求小巧的速度。
解：设小巧的速度为x米/秒
则，小亚走的路程为（80×10=800）米，小巧走的路程为（10x）米
列方程，得：800+10x+50=1620
解得：x=77米/秒
一辆汽车和一辆自行车从相距150千米的甲、乙两地同时出发，相向而行，途中汽车因加油停了0.5小时，结果自行车3小时后与汽车在途中相遇，已知自行车的速度是12.5千米/时，求汽车的速度。
解：设汽车的速度为x千米/小时
则，自行车行驶的路程为（12.5×3=37.5）千米，
汽车行驶的路程为（2.5x）千米
列方程，得：37.5+2.5x=150
解得：x=45千米/时
北京和呼和浩特之间的铁路全长660千米，两列火车分别从两地开出，相向而行。
两列火车同时出发，一列火车平均每小时行54.2千米，另一列火车平均每小时行61.6千米，5小时后两列火车还相距多少千米？
甲车从呼和浩特开出，平均每小时行54.2千米，它先行138.9千米后，乙车再从北京出发，平均每小时行61.6千米，乙车开出几小时后与甲车在途中相遇？
解：（1）设5小时后两列火车还相距x千米。
则，一列火车行驶的距离为（54.2×5=271）千米，
另一列火车行驶的距离为
（61.6×5=308）千米，列方程，得：271+308+x=660
解得：x=81（千米）
（2）设乙车开出x小时后与甲车在途中相遇
则，甲车行驶的距离为（138.9+54.2x）千米，
乙车行驶的距离为（61.6x）千米，
列方程，得：138.9+54.2x+61.6x=660
解得：x=4.5（小时）
星期天，芳芳从家出发，去盈盈家玩，3分钟后，盈盈从家出发，去接芳芳，结果两人正好从两家的中点相遇，芳芳每分钟行60米，盈盈每分钟行80米，芳芳和盈盈两家之间距离是多少米？
解：设芳芳和盈盈两家之间距离是x米
则，芳芳所用的时间为（）分钟，
盈盈所用的时间为（）分钟
列方程，得：=+3
解得：x=1440（米）
5、A村和B村分别在山的两边，邮递员上午8时从A村出发翻过山送一份邮件到B村，他上坡时每小时行4千米，下坡时每小时行6千米，到达B村后停留了1小时，又从原路返回，下午2时回到A村，求A、B两村之间的距离。
解：设A、B两村之间的距离为x千米
则，邮递员上坡所花的时间为（x÷4）小时，
下坡所花的时间为（x÷6）小时
列方程，得：x÷4
+
x÷6+1=6
解得：x=12（千米）
6、一位同学在360米长的环形跑道上跑了1圈，已知他前一半时间每秒跑5米，后一半时间每秒跑4米，求他跑后一半路程用了多少时间？
解：设他跑完环形跑道所花的时间为x秒
则，他前一半时间跑了（5×(x÷2)）米，后一半时间跑了（4×(x÷2)）米
列方程，得5×(x÷2)+4×(x÷2)=360
解得：x=80秒
所以，他前一半时间跑了5×(80÷2)=200（米），
后一半时间跑了4×(80÷2)=160（米）
那么，他跑后一半路程用的时间为：(20÷5)
+(160÷4)=44（秒）
一架敌机侵犯我领空，我机立即起飞迎击，在两机相距50千米时，敌机扭转机头以每分钟15千米的速度逃跑，我机以每分钟22千米的速度追击，当我机追至敌机1千米时与敌机激战，只用了半分钟就将敌机击落，敌机从扭头逃跑到被击落共多少时间？
解：设我机追到敌机的时间为x小时
则，我机追击的路程为（22x）千米，敌机逃跑的路程为（15x）千米，
列方程，得：22x=50+15x-1
解得：x=7（小时）
所以，敌机从扭头逃跑到被击落的时间为：7+0.5=7.5（小时）
8、一艘汽艇和一艘轮船同时从一码头朝着同一方向航行，汽艇每小时行24千米，轮船每小时行15千米，汽艇航行3小时后机器发生故障，抛锚修理，修好后汽艇航行了7小时追上轮船，汽艇修了几小时？
解：汽艇行驶7小时的距离等于轮船行驶（7+x）小时的距离
设汽艇修了x小时，列方程：
解得：x=6小时
【备选作业】
1、上午8点8分，小明骑自行车从家里出发，8分钟后，爸爸骑摩托车去追他，在离家4千米的地方追上了他.然后爸爸立即回家，到家后又立刻回头去追小明，再追上小明的时候，离家恰好是8千米，这时是几点几分？
解：画一张简单的示意图：
图上可以看出，从爸爸第一次追上到第二次追上，小明走了
8-4＝4（千米）.
而爸爸骑的距离是
4＋
8＝
12（千米）.
这就知道，爸爸骑摩托车的速度是小明骑自行车速度的
12÷4＝3（倍）.按照这个倍数计算，小明骑8千米，爸爸可以骑行8×3＝24（千米）.
但事实上，爸爸少用了8分钟，骑行了
4＋12＝16（千米）.
少骑行24-16＝8（千米）.
摩托车的速度是1千米/分，爸爸骑行16千米需要16分钟.
8＋8＋16＝32.
答：这时是8点32分.
2、某人沿着铁路边的便道步行，一列客车从身后开来，在身旁通过的时间是15秒钟，客车长105米，每小时速度为28.8千米.求步行人每小时行多少千米？
分析：一列客车从身后开来，在身旁通过的时间是15秒钟，实际上就是指车尾用15秒钟追上了原来与某人105米的差距（即车长），因为车长是105米，追及时间为15秒，由此可以求出车与人速度差，进而求再求人的速度。
解：（1）车与人的速度差：105÷15=7（米/秒）=25.2（千米/小时）
（2）步行人的速度：28.8-25.2=3.6（千米/小时）
答：步行人每小时行3.6千米。
3、某人畅游长江，逆流而上，在处丢失一只水壶，他向前又游了分钟后，才发现丢失了水壶，立即返回追寻，在离处千米的地方追到，则他返回寻水壶用了多少分钟？
解析：此人丢失水壶后继续逆流而上分钟，水壶则顺流而下，两者速度和此人的逆水速度水速此人的静水速度水速水速此人的静水速度，此人与水壶的距离两者速度和时间．此人发现水壶丢失后返回，与水壶一同顺流而下．两者速度差等于此人的静水速度，故等于丢失水壶后至返回追寻前的两者速度和，而追及距离即此人发现水壶丢失时与水壶的距离，所以追及时间等于丢失水壶后至发现丢失并返回追寻的这一段时间，即分钟．
